5.第13课时 二次函数的图象与性质

二次函数的图像和性质知识点一：图像函数性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0 a<0y∈[4ac－b24a，＋∞) y∈(－∞，4ac－b24a]奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数a<0单调性a>0a<0x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图像特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：(－b2a，4ac－b24a)例：1、求函数1352++-=xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

2、如果cbxxxf++=2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf-=+，那么（）（A）)4()1()3(fff<<（B）)4()3()1(fff<<（C）)1()4()3(fff<<（D）)1()3()4(fff<<3、求函数522--=xxy在给定区间]5,1[-上的最值。

4、已知函数1)2(2-+-=nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(-f的大小。

5、求当k为何值时，函数kxxy++-=422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.6、抛物线642--=xaxy的顶点横坐标是-2，则a=7、已知二次函数bxay+-=2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定 8、二次函数y=(x-k ）2与直线y=kx(k>0)的图像大致是（ ）知识点二：(1)当Δ＝b2－4ac=0，方程有两个相等的实根，这时图象与x 轴只有一个公共点； (2)当Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴有两个公共点； (3)当Δ＝b2－4ac<0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴无公共点；课堂练习： 一．选择题1．二次函数522+-=x x y 的值域是（ ）Ａ．)4∞+，　［ Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］ Ｄ．)4,(　-∞2．如果二次函数452++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=m （ ）Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-103．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ） Ａ．),6()2,(+∞⋃--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数3212-+=x x y 的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2135．函数2422---=x x y 具有性质（ ） Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x，顶点坐标为（-1，0）Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x，顶点坐标为（1，0）6．函数（1）3422-+=x x y ；（2）3422++=x x y ；（3）3632---=x x y ；（4）3632-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（ ）Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 7．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8 8．如果函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（ ）Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<<f f f Ｄ．)1()2()4(-<<f f f二．填空1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线2．若函数322++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b3．函数9322--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 、 4．已知6692+-=x x y ，则y 有最 值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最 值为 三．解答题1．已知二次函数342-+-=x x y（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

第三单元函数第十三课时二次函数的图像与性质基础达标训练1. (2017哈尔滨)抛物线y＝－35(x＋12)2－3的顶点坐标是()A. (12，－3) B. (－12，－3) C. (12，3) D. (－12，3)2. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是2第3题图3. (2017长沙中考模拟卷五)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为()A. 0B. －1C. 1D. 24. (2017连云港)已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A. y1>0>y2B. y2>0>y1C. y1>y2>0D. y2>y1>0第5题图5. (2017六盘水)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则()A. b>0，c>0B. b>0，c<0C. b<0，c<0D. b<0，c>06. 将抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为()A. y＝3(x－3)2－3B. y＝3x2C. y＝3(x＋3)2－3D. y＝3x2－67. (2017宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第二象限D. 第三象限第8题图8. (2017鄂州)已知二次函数y＝(x＋m)2－n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n与反比例函数y＝mnx的图象可能是()9. (2017随州)对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是()A. 它的图象与x轴有两个交点B. 方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C. 它的图象的对称轴在y轴的右侧D. x<m时，y随x的增大而减小10. (2017徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()A. b<1且b≠0B. b>1C. 0<b<1D. b<111. (2017眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax()A. 有最大值a4 B. 有最大值－a4C. 有最小值a4 D. 有最小值－a412. (2017兰州)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3第13题图13. (2017河北)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围在封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x>0)的图象是()14. (2017长沙中考模拟卷六)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，第14题图现有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③ca>－8；④ 9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. (2017苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A. x 1＝0，x 2＝4B. x 1＝－2，x 2＝6C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝016. (2017乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y的最小值为－2，则m 的值是( )A. 32B. 2C. 32或 2D. －32或 217. (2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是______________．(只需写一个)18. (2017百色)经过A (4，0)，B (－2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是______________．19. (2017广州)当x ＝________时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值________．第20题图20. (2017兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则Q 点的坐标为________．21. (2017青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．第22题图22. (2017咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____．23. (2017鄂州)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是________．24. (6分)设二次函数y＝x2＋px＋q的图象经过点(2，－1)，且与x轴交于不同的两点A(x1，0)，B(x2，0)，M为二次函数图象的顶点，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．25. (8分)(2017云南)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O 是原点．(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．26. (8分)(2017北京)在平面直角坐标系x O y中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．27. (9分)(2017荆州)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k 为常数．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．28. (9分)(2017郴州)设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者．例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max(4，3)＝4.参照上面的材料，解答下列问题：(1)ma x{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标．函数y＝x2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．第28题图能力提升训练1. (2017天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y＝x2＋2x＋1B. y＝x2＋2x－1C. y＝x2－2x＋1D. y＝x2－2x－1第2题图2. (2017扬州)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)、B(1，0)、C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是()A. b≤－2B. b<－2C. b≥－2D. b>－23. (2017长沙中考模拟卷二)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过点M(－1，2)和点N(1，－2)，交x轴于点A，B，交y轴于点C. 现有以下四个结论：①b＝－2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在实数a，使得M，A，C三点在同一条直线上；④若a＝1，则OA·OB＝OC2.其中，正确的结论有() A. ①②③④ B. ②③④C. ①②④D. ①②③4. (2017武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2<m<3，则a的取值范围是________．5. (9分)(2017天津)已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′.①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；②当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值．答案1. B【解析】y＝－35(x＋12)2－3为顶点式，顶点坐标是(－12，－3)．2. B【解析】由二次函数y＝－(x－1)2＋2可知，对称轴为直线x＝1排除选项C，D，函数开口向下，有最大值，当x＝1时，最大值为y＝2，故选B.3. A【解析】∵对称轴x＝1且经过点P(3，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)，代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中，得a－b＋c＝0.4. C【解析】如解图，根据图象可知，y1>0，y2>0，且y1>y2＞0.第4题解图5. B【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝－b2a在y轴右侧，∴－b2a＞0，∴b＞0，又∵图象与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.6. A【解析】由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知：当y＝3x2－3的图象向右平移3个单位时，得到新抛物线的表达式为y＝3(x－3)2－3.7. A【解析】对称轴x＝－b2a＝1，代入表达式可得y＝m2＋1，∴顶点坐标为(1，m2＋1)，∵m2≥0，∴m2＋1≥1，∴顶点坐标在第一象限．8. C【解析】∵二次函数y＝(x＋m)2－n的顶点在第二象限，∴－m<0，－n>0，∴m>0，n<0，mn<0，∴一次函数y＝mx＋n经过第一、三、四象限，反比例函数y＝mnx经过第二、四象限．9. C【解析】∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12＞0，∴图象与x轴有两个交点，A正确；令y＝0得x2－2mx－3＝0，方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标，由A知图象与x轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为－31＝－3，B正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确．10. A 【解析】∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，∴图象与x 轴有两个交点，则(－2)2－4b>0，解得b <1，又∵图象与y 轴有一个交点，∴b ≠0，综上，b 的取值范围是b ＜1且b ≠0.11. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－14a ，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－14a.12. C 【解析】由表格可知当x ＝1.2时，y 的值最接近0，∴x 2＋3x －5＝0的一个近似根是1.2.13. D 【解析】在抛物线y ＝－x 2＋3中，令y ＝0，解得x ＝±3，令x ＝0，则y ＝3，∴抛物线与x 轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有：(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，∴k ＝4，∴反比例函数解析式为y ＝4x ，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，故选D.14. D 【解析】观察图象可知，函数与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，故①项正确；函数图象开口向上，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，c ＜0，对称轴－b 2a ＝1，∴b ＜0，∴abc ＞0，故②正确；由②可得对称轴－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，可将抛物线的解析式化为y ＝ax 2－2ax ＋c(a ≠0)，由函数图象知：当x ＝－2时，y＞0，即4a－(－4a)＋c＝8a＋c＞0，即ca＞－8，故③正确；由二次函数的对称性可知，当x＝3和x＝－1时，y的值相等，观察图象可知，当x＝－1时，y ＜0，∴当x＝3时，y＜0，则9a＋3b＋c＜0，故④项正确，综上所述，正确结论为①②③④，共4个．15. A【解析】∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得(－2)2a＋1＝0，解得a＝－14，即－14(x－2)2＋1＝0，解得x1＝0，x2＝4.16. D【解析】∵二次函数的对称轴为x＝m，∴对称轴不确定，需分情况讨论．①当m≥2时，此时－1≤x≤2落在对称轴的左边，当x＝2时，y取得最小值－2，即－2＝22－2m×2，解得m＝32(舍)；②当－1<m<2时，此时在对称轴x＝m处取得最小值－2，即－2＝m2－2m·m，解得m＝－2或m＝2，又－1<m<2，故m＝2；③当m≤－1时，此时－1≤x≤2落在对称轴的右边，当x＝－1时，y取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m×(－1)，解得m＝－32，综上所述，m＝－32或 2.17. y＝x2－1(答案不唯一)【解析】∵二次函数的图象开口向上，∴a>0，顶点坐标为(0，－1)，可设二次函数解析式为y＝ax2－1，即y＝x2－1(答案不唯一)．18. y＝－38(x－4)(x＋2)【解析】设抛物线解析式为y＝a(x－4)(x＋2)，把C(0，3)代入上式得3＝a(0－4)(0＋2)，解得a＝－38，故y＝－38(x－4)(x＋2)．19. 1，5【解析】∵y＝x2－2x＋6＝(x2－2x＋1)＋5＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，y＝x2－2x＋6有最小值，且最小值为5.20. (－2，0) 【解析】∵抛物线上点P 和点Q 关于x ＝1对称，P(4，0)，可设Q (m ，0)，∴m ＋42＝1，解得m ＝－2，∴Q (－2，0)．21. m >9 【解析】∵抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，∴方程x 2－6x ＋m ＝0无实数解，即b 2－4ac ＝(－6)2－4m <0，解得m >9.22. x <－1或x >4 【解析】观察题图，当直线在抛物线之上时，即mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c ，∵A (－1，p )，B (4，q )，∴关于x 的不等式的解集为x <－1或x >4.23. 2≤m ≤8 【解析】∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8.24. 解：∵二次函数y ＝x 2＋px ＋q 经过点(2，－1)，代入得－1＝22＋2p ＋q ， 即2p ＋q ＝－5，∵x 1，x 2为x 2＋px ＋q ＝0两根，∴x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ，∴|AB |＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝p 2－4q ，顶点M (－p 2，4q －p 24)，∴S △AMB ＝12|AB |·|4q －p 24|＝12p 2－4q ·|4q －p 24|＝18·(p 2－4q )12·|4q －p 2|＝18(p 2－4q )32，当p 2－4q 最小时，S △AMB 有最小值，∵p 2－4q ＝p 2＋8p ＋20＝(p ＋4)2＋4，∴当p ＝－4时，p 2－4q 取最小值4，此时q ＝3，故所求的二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3.25. 解：(1)不等式b ＋2c ＋8≥0成立．理由如下：∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(3，8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b2×（－2）＝3，4×（－2）c －b 24×（－2）＝8，解得⎩⎨⎧b ＝12c ＝－10，∴b ＋2c ＋8＝0，∴不等式b ＋2c ＋8≥0成立；(2)由(1)知，b ＝12，c ＝－10，∴代入得y ＝－2x 2＋12x －10，由已知得点A 的坐标为(3，0)，设M (x ，－2x 2＋12x －10)，当点M 在x 轴上方时，S ＝12×3×(－2x 2＋12x －10)＝9，解得x 1＝2或x 2＝4；当点M 在x 轴下方时，S ＝12×3×[－(－2x 2＋12x －10)]＝9，解得x 3＝3－7或x 4＝3＋7，∴满足S ＝9的所有点M 的坐标为(2，6)，(4，6)，(3－7，－6)，(3＋7，－6)．26. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，∴令y ＝0，则有x 2－4x ＋3＝(x －3)·(x －1)＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，∴令x ＝0，得y ＝3，∴C (0，3)，设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B (3，0)，C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线对称轴为x ＝2，顶点为(2，－1)，∵l ⊥y 轴，l 交抛物线于点P 、Q ，交BC 于点N ，x 1<x 2<x 3，∴－1<y 1＝y 2＝y 3<0，点P 、Q 关于x ＝2对称，∴－1<－x 3＋3<0，x 1＋x 22＝2, ∴3<x 3<4, x 1＋x 2＝4，∴7<x 1＋x 2＋x 3<8.27. 解：(1)∵a ＝1，b ＝k －5，c ＝1－k ，∴b 2－4ac ＝(k －5)2－4(1－k )＝k 2－6k ＋21＝(k －3)2＋12，其中(k －3)2≥0，∴b 2－4ac ＝(k －3)2＋12>0，∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵二次函数图象不经过第三象限，∴对称轴x ＝5－k 2>0且不与y 轴负半轴相交，即1－k ≥0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧5－k 2>01－k≥0，解得k ≤1；(3)依题意得，对于y ＝x 2＋(k －5)x ＋1－k ，∵x ＝3时，y <0，∴y ＝32＋3(k －5)＋1－k <0，即2k －5<0，k <52，∴k 的最大整数取2.28. 解：(1)5，3；(2)由题意知：3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0；(3)联立函数解析式得⎩⎨⎧y ＝x 2－2x －4y ＝－x ＋2， 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝－1或⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝4，第28题解图∴两函数的交点坐标为：(3，－1)，(－2，4)；如解图，过两交点作直线即为所求图象；观察解图可知：max {－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值为－1.能力提升训练1. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B(3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，需再向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1.2. C 【解析】如解图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋1与y 轴交于点(0，1)，对称轴为x ＝－b 2，当b ＝－2时，对称轴x ＝1，抛物线过(0，1)，C (2，1)；当b ＜－2时，对称轴x>1，抛物线与△ABC 不相交；当b ＞－2时，对称轴x <1，抛物线与△ABC 相交，综上所述，b ≥－2.第2题解图3. C 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点M (－1，2)和点N (1，－2)，∴⎩⎨⎧2＝a －b ＋c －2＝a ＋b ＋c，解得b ＝－2，故①正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ＞0，∴该二次函数图象开口向上，∵点M (－1，2)和点N (1，－2)，∴直线MN 的解析式为y ＝－2x ，当－1＜x ＜1时，二次函数图象在y ＝－2x 的下方，∴该二次函数图象与y 轴交于负半轴，故②正确；根据抛物线图象的特点，M 、A 、C 三点不可能在同一条直线上，故③错误；当a ＝1时，c ＝－1，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －1，当y ＝0时，0＝x 2－2x ＋c ，利用根与系数的关系可得x 1·x 2＝c ，即OA ·OB ＝|c |，当x ＝0时，y ＝c ，即OC ＝|c |＝1＝OC 2，∴若a ＝1，则OA ·OB ＝OC 2，故④正确．综上所述，正确的结论有①②④.4. 13<a <12或－3<a <－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a，0)，即m＝1a或m＝－a，又∵2＜m＜3，则13<a<12或－3<a<－2.5. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－3经过点A(－1，0)，∴0＝1－b－3，解得b＝－2，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)；(2)①由点P(m，t)在抛物线y＝x2－2x－3上，得t＝m2－2m－3，又∵点P′和P关于原点对称，∴P′(－m，－t)，∵点P′落在抛物线y＝x2－2x－3上，∴－t＝(－m)2－2(－m)－3，即t＝－m2－2m＋3，∴m2－2m－3＝－m2－2m＋3，解得m1＝3，m2＝－3；②由题意知，P′(－m，－t)在第二象限内，∴－m<0，－t>0，即m>0，t<0，又∵抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标(1，－4)，得－4≤t<0，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，即H(－m，0)，又∵A(－1，0)，t＝m2－2m－3，则P′H2＝t2，AH2＝(－m＋1)2＝m2－2m＋1＝t＋4，当点A和H不重合时，在Rt△P′AH中，P′A2＝P′H2＋AH2；当点A和H重合时，AH＝0，P′A2＝P′H2，符合题意，∴P′A2＝P′H2＋AH2，即P′A2＝t2＋t＋4(－4≤t<0)，令y′＝t2＋t＋4，则y′＝(t＋12)2＋154，∴当t＝－12时，y′取得最小值，将t＝－12代入t＝m2－2m－3，得－12＝m2－2m－3，解得m1＝2－142，m2＝2＋142，由m>0，可知m＝2－142不符合题意，应舍去，∴m＝2＋142.。