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双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素方差分析剖析在双因素方差分析中，有两个主要的因素被研究。
这些因素可以是两个不同的处理条件、两个不同的处理时间、两个不同的处理剂量等。
同时，每个因素都可以有两个或多个水平（即取值范围）。
为了进行双因素方差分析，研究人员首先需要确定研究对象和目标变量。
然后他们需要确定每个因素的水平和变量的测量方法。
例如，如果他们想要研究两种不同的药物对于治疗一种疾病的效果，他们需要确定每种药物的剂量以及测量疾病症状的方法。
接下来，研究人员需要收集数据，并进行统计分析。
在双因素方差分析中，主要的统计指标是方差和F值。
方差用来衡量不同因素和不同水平之间的差异。
F值是方差之比，用来判断不同因素之间是否存在显著差异。
进行双因素方差分析之后，研究人员可以得出结论。
如果F值大于临界值，那么可以得出不同因素之间存在显著差异的结论。
如果F值小于临界值，那么就可以得出不同因素之间没有显著差异的结论。
此外，研究人员还可以通过进行后续的多重比较来进一步分析不同因素之间的差异。
常用的多重比较方法包括Tukey方法和Bonferroni方法。
然而，双因素方差分析也存在一些限制。
首先，它只能处理两个或多个因素对于一个或多个变量的影响。
如果有更多的因素需要考虑，就需要进行更复杂的分析方法。
其次，双因素方差分析假设变量的分布是正态分布的，并且各组之间的方差是相等的。
如果数据不符合这些假设，就需要采用其他的非参数方法进行分析。
总之，双因素方差分析是一种常用的统计方法，可以帮助研究人员研究两个或更多因素对于一个或多个变量的影响。
它可以帮助确定不同因素之间的重要性，并且可以探索不同因素之间的相互作用。
然而，研究人员需要在收集数据和进行分析时注意假设的前提条件，并且需要根据具体情况选择合适的统计方法。
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1•无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2•有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
下面用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L ）如下:问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较, 若F值接近1,则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1,则说明各组均数间的差异有统计学意义。
实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。
因素A位于列的位置，共有r个水平，^ 表示第j种水平的样本平均数；因素B位于行的位置，共有k个水平，表示第I种水平的样本平均数。
止为样本总平均数样本容量为n = r x k 。
每一个观察值X j是由因素A的r个水平和因素B的k个水平所组成的八「「总体中抽取的样本容量为1的独立随机样本。
在进行双因素方差分析时，假定在厂〉三个总体中，每一个总体都服从正态分布，而且有相同的方差。
三、离差平方和的分解与单因素方差分析相类似，进行双因素方差分析时也需要将总离差平方和SST进行分解。
但不同的是，这里需要将SST分解成三个组成部分：即SSA:反映因素A的组间差异SSB：反映因素B的组间差异SSE：随机误差的离散状况它们的计算公式分别为：—二二.〔 (1}二二宀二：'⑵SSE = SST -SSA -SSB ( 4)双因素方差分析表如下:表7-8 收因素方差分祈裏溟差来源离差平方和自由度均方差F值&因素SSA r - 1USA 二SSA/(x - 1) F.二JISA/MSEB因盍SSB K1wsB = SSE/(K-I3SSE(r-1) (i-li ISE = SSE/(x-l) Ck-L)合计SST a - 1例题：某商品有五种不同的包装方式，在五个不同地区销售。
现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如表7-9所示。
^7-9某种商品不同地因不同包装的销售资料包转方式⑷A曲As Asi销Bi2013201014售22L020126地241416IS10区比1348618<3)血2S22162010试问，包装方式和销售地区对该商品销售量是否有显著影响（a= 0.05）?解：从上表可看出，设包装方式为因素A，销售地区为因素B。
如果五种包装方式的销售均值相等，则表明不同的包装方式在销售上没有差别；同理，如果五个地区销售均值相等，则表明不同地区在销售上没有影响。
所以，方差分析的过程为：（一）建立假设：用A、B分别来表示两个因素。
因素A位于列的位置，有r个水平；因素B 位于行的位置，有k个水平，因素A和因素B共有r k种不同的水平组合。
我们对每一种水平组合进行一次试验，其试验结果用X j来表示。
并且假定这r k个观察值均服从正态分布，且有相同的方差。
全部试验结果如下表：表8-9双因素方差分析数据表-因素A（j）A A…A j …A r X i因素B（ i）-B i X ii X i2 X1j X1r X1B2 X21 X22 X2j X2r X2M M M M M M M MB i X ii X i2 X j X ir X iM M M M M M M MB k X ki X k2 X kj X kr X kX j X i X2 X j X r X对上表中的数据可以这样来理解，假设 A 、B 两因素对试验结果没有影响,那么r k 个观察值X ij就是来自同一正态总体的同一个样本的随机变量，各个X ij之间的变异，纯是随机因素所产生的随机误差，从而各列间的平均数应是相 等的，且等于总体平均数。
各行间的平均数也应相等，也等于总体平均数。
如有 差异，也是随机误差。
假如两个因素对试验结果有影响， 则表现在各列平均数之 间和各行平均数之间就有明显的差异， 这种差异除随机误差之外，还包含了系统 偏差，这时就不能认为各个观察值是来自同一正态总体的样本随机变量了。
所以，我们可以做如下假设： 对因素A ，H 01 :12jr因素A 各水平之间无差别 对因素B ，HQ1 2 i k因素B 各水平之间无差别通过方差分析，就能对统计假设是否可信作出一定程度的判断。
对于此题: 对因素A :7- h C包装方式之间无差别不全等 包装方式之间有差别对因素B ：:h C地区之间无差异''--1不全等 地区之间有差异(二) 计算F 值：1•计算各种均值(1) 因素A 的列均值分别为： x.i —- 12.4,JCJ — 16.4,X ,4 = 132和 ^116(2) 因素B 的行均值分别为Xi, = 15.- 14, xj. —16.8,7 4. — 10.4, zj b = 18 8X i1 rX ij , (i r j 11,2,L ,k)，表示第i 行试验数值的平均X jk iiX-(j1,2,L ,r)，表示第j 列试验数值的平均数。
X丄 Xijrk j 1 i 1，表示r k 个试验数值的平均数。
(5)(6 )(7)(3)总均值---12•计算各种离差平方和于是，由公式(1) ―― ( 4)有：=(20-15.04)3+ (12-15.04)^... 4-(20-15.04)3 + (10-15.04)? = 880.96觀=22刀2 一』三_ J=5x(21.6-15 04)a 4. +5x(11.6- 15.04J3= 335.36 =-J' ■:- 「丨■ ■ (I- - * |「-SSE = SST-SSA-SSB=880.96-335.36-199.36 = 346.243•计算各种均方差口辰B理=84= 2.3031,2°21.64若使用计算机，Excel的输出结果如下:双因素方差分析表335 365-1= 83.344•计算F值199.365-134S.2483 8^21 64二 3.S74307（三）统计决策由上表知，1.对于因素A，因为厂七…丁…厂二” •……：匚，落在拒绝域。
故拒绝H o,接受H i。
说明不同的包装方式对该商品的销售量产生一定的影响。
2•对于因素B,因为〔「一「—'…，落在接受域。
故接受H o, 说明该商品在不同地区的销售量不受地区因素的影响，或不同地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。
