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最新53双因素方差分析汇总

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(整理)53双因素方差分析.

(整理)53双因素方差分析.

§5.3 双因素方差分析I 无交互作用的双因素方差分析(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。

因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。

数据结构表假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差；(3*)ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： i j i j ij i jY e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11si i j j s μμ-⋅==∑;11rj iji r μμ-⋅==∑;i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；j j βμμ⋅=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；10r i i α==∑; 10s j j β==∑;rA1212s s r r rs Y Y Y Yr Y ⋅12..s Y Y Y ⋅⋅⋅i j i j i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值；{}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即ij i i μμαβ=++；(2) 方差分析(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：0112:0r H ααα====即因素A 对试验指标影响不显著；0212:0s H βββ====即因素B 对试验指标影响不显著；注：当01H 和02H 成立时，,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.(ii) 构造F-统计量及否定域 设()111r siji j Y rs Y-===∑∑；11si ij j Y s Y -⋅==∑；11rj ij i Y r Y -⋅==∑；2211()rsT ij i j S Y Y ===-∑∑；221()rA i i S s Y Y ⋅==-∑；221()sB j j S r Y Y ⋅==-∑；2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；注：注意，2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑211()r sij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑ 211[()()]rsij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑211()rsij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.这里利用了“无交互效应”的假设条件：0i j i j i jγμμμμ⋅⋅=--+=.由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。

双因素方差分析共43页文档

双因素方差分析共43页文档

▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
43
双因素方差分析
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子

双因素方差分析结果解读

双因素方差分析结果解读

双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。

双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。

它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。

本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。

首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。

因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。

例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。

其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。

双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。

最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。

通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。

只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。

综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。

其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。

双因素方差分析【最新】

双因素方差分析【最新】

双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。

例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。

在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。

同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。

双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。

双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。

（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。

有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

1.无交互作用的双因素方差分析。

无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。

有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。

二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

双因素试验方差分析

双因素试验方差分析

SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：

i 1
a
i
0;

j 1
b
j
0; ij ~ N 0,

双因素试验方差分析课件

双因素试验方差分析课件
结合其他统计方法
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集

双因素方差分析课件

双因素方差分析课件
特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。

双因素方差分析

双因素方差分析

2021/5/23
10
构造检验的统计量
(各平方和的关系)
▪ 总离差平方和(SST )、水平项离差平方和
(SSA和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的
关k 系r
xijx2
i1 j1
k r
kr
kr
xi. x2
x.j x2
xijxi. x.j x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
平的均)
▪ H1: mi (i =1,2, … , k) 不全相等
2、对因素B提出的假设为
▪ H0: m1 = m2 = … = mj = …= mr (mj为第j个水平
的均值)
▪ H1: mj (j =1,2,…,r) 不全相等
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构造检验的统计量
1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2、构造统计量需要计算
我们所讲的是无交互作用的双因素方差分析
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2
二、双因素方差分析的基本假定
1、每个总体都服从正态分布
▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正
态分布总体的简单随机样本
2、各个总体的方差必须相同
▪ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总
体中抽取的
3、观察值是独立的
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3
双因素方差分析的数据结构
SST = SSA +SSB+SSE
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构造检验的统计量
(计算均方 MS)
1. 各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为
消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需 要将其平均，这就是均方，也称为方差
2. 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度

双因素方差分析方法

双因素方差分析方法

(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.

双因素试验的方差分析

双因素试验的方差分析

设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各


X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t


ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r


1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .


得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t

双因素试验方差分析

双因素试验方差分析

试验误差
Xijk i j ij ijk
观测值
因素A
交互作用
的效应 的效应
第18页/共32页
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 Xijk i j ij ijk
其中
1 ab
a i 1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij i
j 1
水平Ai对试验结果的效应
j
1 b
a i 1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij
ij
i
j
交互效应
ijk X ijk ij 试验误差
第19页/共32页
a
b
特性： i 0; j 0;
i 1
j 1
a
b
ij 0; ij 0; ijk ~ N 0, 2
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
df A df E
MSA MSE
~ F a 1, a 1b 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~ F b 1, a 1b 1
对给定的检验水平 ，
当 FA F a 1, a 1b 1 时，
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 FB F b 1, a 1b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F ( a 1 , a 1 b 1) F (b 1 , a 1 b 1)
注意
df E
dfT
df A
fB,
SSE SST SSA SSB

双因素方差分析

双因素方差分析

1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),

双因素方差分析

双因素方差分析
(7-13)
三、双因素方差分析
在上述误差平方和的基础上计算均方，也就是将各平方和除 以相应的自由度。与各误差平方和相对应的自由度分别为：
SST的自由度为kr－1，SSR的自由度为k－1，SSC的自由度 为r－1，SSE的自由度为(k－1)(r－1)。
为构造检验统计量，需要计算下列各均方： ①行因素的均方，记为MSR。 ②列因素的均方，记为MSC。 ③随机误差的均方，记为MSE。
三、双因素方差分析
二、 无交互作用的双因素方差分析
1. 数据结构
在无交互作用的双因素方差分析中，由于有两个 因素，因而在获取数据时，需要将一个因素安排在“ 行”的位置，称为行因素；另一个因素安排在“列” 的位置，称为列因素。设行因素有k个水平，列因素 有r个水平，行因素和列因素的每一个水平都可以搭配 成一组，观察它们对试验指标的影响，共抽取kr个观 察数据，其数据结构见表7-8。
三、双因素方差分析
“全因子”单选按钮为系统默认项，用 来建立全模型。全模型中包括因素之间的交 互作用。如果选择分析两个因素的交互作用 ，则必须在每种水平组合下取得两个以上的 试验数据，才能实现两个因素的交互作用的 分析。如果不考虑因素间的交互作用，则应 当选择自定义模型。
三、双因素方差分析
“设定”单选按钮用来自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操 作，如图7-12所示。
三、双因素方差分析
2. 分析步骤
与单因素方差分析类似，双因素方差分析也包括提出假设、构造检验 统计量和决策分析等步骤。
（1）提出假设。
为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出如下假设：
①对行因素提出假设。
H0∶μ1=μ2=…=μk=μ
行因素（自变量）对因变量没有显著影响

双因素方差分析数据

双因素方差分析数据

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------双因素方差分析数据肥料土壤重复 A1 B1 21. 4 21. 2 20. 1 B219. 6 18. 8 16. 4 B3 17. 6 16. 6 17. 5 A2 B1 1214. 2 12. 1 B2 13 13. 7 12 B3 13. 3 14 13. 9A3 B1 12. 8 13. 8 13. 7 B2 14. 2 13. 6 13. 3 B312 14. 6 14 计算结果当前日期 2019-1-1 1: 24:35 处理均值标准差 A1 18. 8000 1. 8901A2 13. 1333 0. 9000 A3 13. 5556 0. 7780 B115. 7000 3. 9847 B2 14. 9556 2. 6861 B3 14.8333 1. 9551 各个处理组合均值 A1B1= 20.9000 A1B2= 18. 2667 A1B3= 17. 2333 A2B1= 12. 766 A2B2= 12.900 A2B3= 13. 733 7 0 3 A3B1= 13. 4333 A3B2= 13. 7000 A3B3=13. 5333 方差分析表(固定模型) 变异来源平方和自由度均方 F 值 p 值 A 因素间179. 3807 2 89. 6903 96. 6720 0. 0001 B 因素间 3. 96072 1. 9803 2. 1340 0. 1473 AxB 19. 24154 4. 8104 5. 18500. 0059 误差 16. 7001 18 0. 9278 总变异 219.2830 26 表方差分析表(随机模型) 变异来源平方和自由度均方 F 值 p 值 A 因素间179. 3807 2 89. 6903 18. 6450 0. 0094 B 因素间 3. 96072 1. 9803 0. 4120 0. 6877 AxB 19. 24154 4. 8104 5. 18501 / 50. 0059 误差 16. 7001 18 0. 9278 总变异 219.2830 26 A 因素间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 13 2 1 18. 8000 0. 0000 0. 0000 3 13. 5556 5. 24440. 3647 2 13. 1333 5. 6667 0. 4222 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平A1 18. 8000 a A A3 13. 5556 b B A213. 1333 b B B 因素间多重比较Dunca n 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平)No. 均值 1 2 3 1 15. 7000 0. 1185 0. 0862 2 14.9556 0. 7444 0. 7909 3 14. 8333 0. 8667 0. 1222字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 B1 15. 7000 a A B2 14. 9556 a AB3 14. 8333 a A A1 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 1 2 3 1 20. 9000 0. 00360. 0003 2 18. 2667 2. 6333 0. 2054 3 17. 2333 3.6667 1. 0333 字母标记表示结果处理均值5%显著水平 1%极显著水平 1 20. 9000 a A 218. 2667 b B 3 17. 2333 b B A2 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 3 2 1 3 13.---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------7333 0. 3033 0. 2597 2 12. 9000 0. 8333 0. 8673 112. 7667 0. 9667 0. 1333 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 3 13. 7333 aA 2 12. 9000 a A 1 12. 7667 a A A3 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差, 上三角为显著水平) No. 均值 2 3 12 13. 7000 0. 8346 0. 75263 13. 5333 0. 1667 0. 90021 13. 4333 0. 2667 0. 1000 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 2 13. 7000 aA 3 13. 5333 a A 1 13. 4333 a A B1 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 1 3 21 20. 9000 0. 0000 0. 0000 3 13. 4333 7. 4667 0. 40772 12. 7667 8. 1333 0. 6667 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 1 20. 9000 aA 3 13. 4333 bB 2 12. 7667 b B B2 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 1 3 21 18. 2667 0. 0000 0. 0000 3 13. 7000 4. 5667 0. 32252 12. 9000 5. 3667 0. 8000 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 1 18. 2667 a3 / 5A 3 13. 7000 bB 2 12. 9000 b B B3 中各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 1 2 31 17. 233 0. 0003 0. 00023 2 13. 7333 3. 5000 0. 80213 13. 5333 3. 7000 0. 2019 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平 1 17. 2333 aA 2 13. 7333 bB 3 13. 5333 b B AB 各个组合间多重比较 Duncan 多重比较(下三角为均值差,上三角为显著水平) No. 均值 1 2 3 6 8 9 7 54 1 20. 9000 0. 0036 0. 0003 0. 00000. 0000 0. 0000 0. 00000. 0000 0. 0000 2 18. 2667 2. 6333 0. 2054 0. 00000. 0000 0.0000 0. 0000 0. 0000 0. 0000 3 17. 2333 3. 6667 1. 0333 0. 00030.0004 0. 0003 0. 0003 0. 0001 0. 0001 6 13. 7333 7. 1667 4. 53333. 5000 0. 9667 0. 8130 0. 7309 0. 3525 0. 2882 8 13. 7000 7.2019 4. 5667 3. 5333 0. 0333 0. 8346 0. 7526 0. 3631 0. 29919 13. 5333 7. 3667 4. 7333 3. 7000 0. 20190. 1667 0. 9002 0.4565 0. 3831 7 13. 4333 7. 4667 4. 8333 3. 8000 0. 30000. 26670. 1000 0. 5063 0. 4335 5 12. 9000 8. 0000 5. 3667 4. 3333 0.83330. 8000 0. 6333 0. 5333 0. 8673 4 12. 7667 8. 1333 5. 50004. 4667 0. 96670. 9333 0. 7667 0. 6667 0. 1333 字母标记表示结果处理均值 5%显著水平 1%极显著水平1 20. 9000 a A2 18. 2667 b B3 17.---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------2333 b B 6 13. 7333 c C 8 13. 7000c C 9 13. 5333 c C 7 13. 4333 c C5 12. 9000 c C 4 12. 7667 c C5 / 5。

新双因素方差分析

新双因素方差分析

F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A 因素B 误差 总和
SS A SSB SSE SST
df A
MS A
SS A df A
df B
MSB
SSB df B
df E
MSE
SSE df E
dfT
F值
FA
MS A MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F (b 1 , a 1 b 1)
试验误差
a
b
特性： i 0; j 0; ij ~ N 0, 2
i 1
j 1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 L a 0 H02 : 1 2 L b 0
➢ 总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
2
SSE
X ij X i. X . j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~ N , 2
可推得：
SST
2
~ 2 ab 1
SSA
2
~
2 a 1
SSB
2
~
2 b 1
SSE
2
~
2 a 1b 1
将
SST
2
,
SS A
2
,
(1)差异：X ijk X ij• (纯粹是随机误差)
(2)差异：X i•• X (由Ai导致的差异)
(3)差异：X •j•
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53双因素方差分析§5.3 双因素方差分析I 无交互作用的双因素方差分析(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。

因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。

数据结构表假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-⋅==∑; 11r j ij i r μμ-⋅==∑;i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；j j βμμ⋅=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；10r i i α==∑; 10s j j β==∑;ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值；因素B s Br A 12r r rsY Y Y r Y ⋅12..s Y Y Y ⋅⋅⋅{}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即ij i i μμαβ=++；(2) 方差分析(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：0112:0r H ααα====即因素A 对试验指标影响不显著；0212:0s H βββ====即因素B 对试验指标影响不显著；注：当01H 和02H 成立时，,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.(ii) 构造F-统计量及否定域 设()111r siji j Y rs Y-===∑∑；11si ij j Y s Y -⋅==∑；11rj ij i Y r Y -⋅==∑；2211()rsT ij i j S Y Y ===-∑∑；221()rA i i S s Y Y ⋅==-∑； 221()sB j j S r Y Y ⋅==-∑； 2211()rs E ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；注：注意，2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑211()r sij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑211[()()]r sij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑211()rsij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.这里利用了“无交互效应”的假设条件：0ij ij i j γμμμμ⋅⋅=--+=.由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。

“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的！！* 引理： 设 n rs =，则(1*) 分解式：2222T A B E S S S S =++；(2*) 独立性：{2A S ，2B S ， 2E S }是两两独立的，且2A S +2B S 与2E S独立；(3*) 统计特性：当01H 和02H 同时成立时，有 2221~T n S χ-；当01H 成立时，有2221~A r S χ-； 当02H 成立时，有2221~Bs S σχ-；对任意情形，有2222(1)(1)(1)(1)(1)~E n r s r s S σχχ-------=.注：2[(1)(1)]ES r s --是2σ的一个无偏估计.证 2211[()()()]r s T ij i j i j i j S Y Y Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅⋅===--++-+-∑∑221111()()rsrsij i j i i j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅=====--++-∑∑∑∑211()rsj i j Y Y ⋅==+-∑∑112()()rsi j i j Y Y Y Y ⋅⋅==+--∑∑112()()rsij i j i i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑112()()rsij i j j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑.易见, 此式中的三个混合项均为零. 故(1*)成立. 独立性(2*)的证明如下： 注意，(,)0k ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅--+=；(,)0ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅--+=. （**）而这两个等式的成立只要展开即知. 于是，k Y ⋅与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；Y与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；从而，j Y Y ⋅- 与211()srij i j j i Y Y Y Y ⋅⋅==--+∑∑独立；故2A S 与 2E S 独立；同理，可证：2B S 与 2E S 独立； 按抽样分布定理，Y 与2A S 和2B S 均独立，而i Y ⋅与j Y ⋅独立是假设条件的结果.故2A S 与2B S 独立；显然，2A S +2B S 与2E S 独立.结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.* 构造F-统计量如下：22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]AA E S r F F r r s S r s -=-----，当01H 成立时；22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]BA E S s F F s r s S r s -=-----，当02H 成立时；注：上面的分析表明：对假设01H 和02H 可以分别进行检验。

* 否定域的结构 解释:当0i α≈时，2A S 应接近零；当0j β≈时，2B S 应接近零；按此解释，01H 和02H 的否定域结构形式为：2{:}A AK Y S a =>；2{:}B B K Y S b =>； 为了决定a, b , 构作方程：01(|)A A P F a H α>=；02(|)B B P F b H α>=； 由此即可决定a, b .(iii) 方差分析表无交互效应的双因素方差分析表在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定临界值a 和b ：01(|)A P F a H α=>； 02(|)B P F b H α=>. 最后进行判决：若A F a >，则拒绝01H ；否则，接受01H ； 若B F b >，则拒绝02H ；否则，接受02H ； 例5.3.1(p.164)此题的数据表为差 A S 22A A E F S S a χ=B S 22B B E F S S b χ=E S因素A = {A1, A2, A3} ;因素B = {B1, B2, B3} , 即每个因素三个水平。

试问：每个水平组合各作一次试验，要求分析两个因素对产品合格率的影响是否显著？ 练习题(p.188) ：3；II 有交互作用的双因素方差分析 (1) 数据结构表有交互作用的双因素方差分析数据结构表在这个数据表中，水平的每个组合(,)i j A B 都有n 个观测值{:1}ijk Y k n ≤≤.(2) 数学模型(1*) 假设：{:1;1;1}ijk Y i r j s k n ≤≤≤≤≤≤独立;2~(,),(1;1;1)ijk ijk Y N i r j s k n μσ≤≤≤≤≤≤； 注：{:1;1;1}ijk Y i r j s k n ≤≤≤≤≤≤都有相同的方差2σ.(2*) 模型 ijk ij ijk i j ij ijk Y e e μμαβγ=+=++++；2B s Br A 11,r Y Y其中， 2~(0,)ijk e N σ，{}ijk e 独立；111()rsij i j rs μμ-===∑∑； i i αμμ⋅=-， 10ri i α==∑；j j βμμ⋅=-，10sj j β==∑；()ij ij i j γμμαβ=-++， 10sij j γ==∑，10rij i γ==∑；(3*) 解释：i i αμμ⋅=-反映因素A 的水平 Ai 对试验指标的影响效应；j j βμμ⋅=-反映因素B 的水平 Bj 对试验指标的影响效应；()ij ij i j γμμαβ=-++反映组合(,)i j A B 对试验指标的交互效应.(3) 假设检验问题 这里，要求检验三个内容，因此，有三个假设： 0112:0;r H ααα==== 0212:0;s H βββ====03:0,(1,1);ij H i r j s γ=≤≤≤≤(4) 检验统计量的设计 按数学模型，有 (1*) 误差22111()r s n T ijk i j k S Y Y ====-∑∑∑ 2111()r s ni j ij ijk i j k e e αβγ====+++-∑∑∑；22211()()r r A i i i i i S sn Y Y sn e e α⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑； 22211()()s s Bj j j j j S rn Y Y rn e e β⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑； 2211()r s A Bij i j i j S n Y Y Y Y ⨯⋅⋅⋅⋅⋅===--+∑∑ 211()r sij ij i j i j n e e e e γ⋅⋅⋅⋅⋅===+--+∑∑；22111()r s n Eijk ij i j k S Y Y ⋅====-∑∑∑2111()r s n ijk ij i j k e e ⋅====-∑∑∑；其中， 1111()r s n ijk i j k Y rsn Y -====∑∑∑；11nij ijk k Y n Y -⋅==∑；111()sni ijkj k Y sn Y -⋅⋅===∑∑； 111()r nj ijki k Y rn Y -⋅⋅===∑∑.(2*) 基本结论(i) 误差的分解式：22222T A B A B E S S S S S ⨯=+++；(ii) 误差之间的独立性： 在任何情况下，2222{, ,, } A B A B E S S S S ⨯是两两独立的,222+ +A B A B S S S ⨯与2E S 独立；(iii) 误差的统计特性： 当01H ，02H ，03H 成立时，2221~T rsn S σχ-；当01H 成立时， 2221~A r S σχ-； 当02H 成立时， 2221~Bs S σχ-；当03H 成立时， 2221~A Brs S σχ⨯-；在任何情况下，222(1)~E rs n S σχ-.（证明方法类似于无交互作用的情形） (3*) 设计F-检验统计量当01H 成立时， 22(1)~(1,(1))[(1)]AA E S r F F r rs n S rs n -=---；当02H 成立时， 22(1)~(1,(1))[(1)]BB E S s F F s rs n S rs n -=---；当03H 成立时，22(1)~((1)(1),(1))[(1)]A B A BE S sF F r s rs n S rs n ⨯⨯-=----.(4*) 否定域的结构形式跟无交互效应情形的设计一样；(5) 方差分析表( 重复观测n 次的情形)有交互效应的双因素方差分析表在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定临界值a ，b ，c ：01(|)A P F a H α=>； 02(|)B P F b H α=>； 03(|)A B P F c H α⨯=>.注：(1*) 当重复试验次数1n =时，不能考虑“有交互效应的双因素”方差分析问题.(2*) 双因素方差分析的统一数学模型应该以有交互效应的模型为准.差 A S22A A E F S S a =B S22B B E F S S1b αχ-=A B S ⨯22A B E F S S ⨯= 21c αχ-=2S精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 (3*) 如果ij μ为常数，即,(1,1)ij i r j s μμ=∀≤≤≤≤，则相应的0ij γ=。