高中 函数 培优讲义

第7讲函数与方程理清双基1．函数的零点（非点）（1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间],[b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是0)(=x f 的根。

2．二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象与零点的关系>∆0=∆0<∆二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点)0,)(0,(21x x )0,(1x 无交点零点个数21无3.二分法定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(<b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．步骤：第一步，确定区间[],[b a ，验证0)()(<b f a f ，给定精确度ε。

第二步，求区间),(b a 的中点1x 。

第三步，计算)(1x f ：①若0)(1=x f ，则1x 就是函数的零点；②若0)()(1<x f a f ，则令1x b =此时零点),(10x a x ∈；③若0)()(1<x f b f ，则令1x a =(此时零点),(10b x x ∈。

第四步，判断是否达到精确度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点近似值a (或b )。

否则重复第二、第三、第四步。

4.函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法又称双函数法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．③零点存在原理【考点分析】考点一判断函数零点所在的区间【例1】1、函数11ln 2)(-+=x x x f 的零点所在的大致区间是（）A ．)2,1(B ．)32(，C ．)43(，D ．)2,1(与)32(，2、已知函数545lg )(-+=x x x f 在区间))(1,(Z n n n ∈+上存在零点，则=n __________►归纳提升判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断。

高一培优讲义函数的性质一、单调性1）．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x =+>,0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)b b a a-∞-+∞，减区间为[,0),(0,]b ba a -.1.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______2.已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____3.若函数()()log 40,1a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______4.若函数()2f xax b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如 5.函数()212log 2y x x =-+的单调递增区间是________.2）．特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如:6.若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a-∞上为减函数，求a 的取值范围；3）．函数单调性与奇偶性的逆用：（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如:7.已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.二、函数的奇偶性1）．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

2）．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：8.判断函数2|4|49x y x--=-的奇偶性____9.变式训练: 判断下列函数的奇偶性．1)f (x )＝lg 1－x1＋x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； 3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋xx >0x 2－xx <0(4)f (x )＝lg 1－x 2|x 2－2|－2.(5f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (6)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()f x f x -=±（()0f x ≠）。

高三培优讲义3函数（一）
1.求下列函数的定义域：
（1）
（2） ( )
2.已知函数 的定义域为[－1，1]，求函数 （ ）的定义域.
3.求下列函数的值域：
（1） ＝ ； （2） ＝ ； （3） ＝ ；
（4） ；
（5）
4.设 ，计算和 …＋ .
5.设集合 ≤ ≤9， ∈N}， ．定义P到Z的映射 ：（ ．若 都是 中的元素，且满足 ：（ ） 39，（ 66，试求 的值．
19.设函数 ，区间M=[a，b](a<b)，集合N={ }，则使M=N成立的实数对(a，b)有多少对？
答案：1.（1） ，（2） ；2. 时， ， 时， ；3.（1） ，（2） ，（3） ，（4）[2， ）（5） ；4.1002.5；5.24；6.
；7.999；8.[1，)∪[2，+∞)；9. ；10.997；11.a∈(－∞，1]∪[3，＋∞)；12.f(x)=3－|x+1|；13.7；14.2；15.略；16.401；17.略；18.略；19.0对
12.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，求x∈[－2，0]时f(x)的解析式.
13.设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，求函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积.
14.设x，y为实数，出 的最小值．
7.定义域为正整数的函数f满足 ，求 ．
8.函数y=x+的值域为．
9.已知函数 的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。
10．函数f定义在整数集上，且满足
f(n)= 求f(84)．
11．若关于x的不等式<0的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，求实数a的取值范围．

y f ( x) 有零点。
（3）函数零点的判定 （零点存在性定理） ：如果函数 y f ( x) 在区间 [ a,b] 上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有 f ( a) f (b) 0 ，那么函数 y f ( x) 在区间 [ a,b] 内有零点，即存
在 c ( a,b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是 f ( x) 0 的根。
（3）借助函数零点比较大小。要比较 f (a) 与 f (b) 的大小，通常先比较 f (a) 、 f (b) 与 0
的大小。
强化训练 3（ 1）函数 f ( x)
x
2
是( )A． (1,3)
B． (1,2)
2 a 的一个零点在区间 x
C． ( 0,3) D． (0,2)
(1,2) 内，则实数 a 的取值范围
方 程 [ f (x)] 2 bf (x) c 0 有 且 仅 有 三 个 不 同 的 实 数 解 分 别 为 2, 1,0 ， 所 以 x12 x22 x3 2 5
7
）
A． (0,1) B． (1,2) C． (2，3) D． (3，4)
考点二 判断函数零点的个数
【例 2】 1、函数 f ( x) x2 2 x 在 x R 上的零点的个数是 ( )
A．０ B．１ C．２ D．３
x 1, x 0
2、已知函数 f (x)
，则函数 y f ( f (x)) 1的零点个数是 ( )
1
人教版高中数学培优讲义
第四步，判断是否达到精确度 否则重复第二、第三、第四步。
；即若 | a b |
，则得到零点近似值 a ( 或 b ) 。
4. 函数零点的求法：
① （代数法）求方程 f ( x) 0 的实数根；