2021艺体生基础生培优讲义考点1 复数(学生版)

艺体生文化课--百日突围讲练通》专题二 复数复数的概念及其几何意义【背一背基础知识】1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示．学-科网2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数．3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =． 特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ 一一对应．5．复数的模：向量OZ 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且22||z a b =+．【讲一讲释疑解难】1．必备技能：对于复数的基本概念及其几何意义的考查，一般首先通过复数的基本运算将复数利用一般形式进行表示，然后利用相关知识与公式进行求解．2．典型例题例1【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知i 是虚数单位，复数()11Z m m i =-++（其中m R ∈）是纯虚数，则m =（ ）A. 1-B. 1C. 1±D. 0例3【2018年文北京卷】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限复数四则运算【背一背基础知识】1．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-． 2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； 乘法法则：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc ad i c di c di c di c d c d+-++-==+++-++． 【讲一讲释疑解难】2．典型例题例1【2018年全国卷Ⅲ文】A. B. C. D.例2【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（ ）A.-2iB.2iC.-2D.2例3.设103i z i=+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -【练一练能力提升】一、选择题（12*5=60分）1．【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z = ( )A. 5i -B. 5iC. 1+5iD. 15i -2.【2018届河北省邢台市高三上学期期末】设复数3z i =-，则复数z i 的实部为（ ） A. -3 B. 3 C. -1 D. 13.【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟】已知i 是虚数单位，复数21i-的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. i - 4．【2018届安徽省马鞍山市高三第一次（期末】i 是虚数单位，复数211z i i =++在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5．【2018届福建省漳州市高三1月调研】在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则12z z = ( )学_科网 A. －1－2i B. －1＋2i C. 1－2i D. 1＋2i6．【2018年文北京卷】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知复数4723i z i-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限A.52i B. 52C. 2i -D. -2 9.已知i 是虚数单位，11z i =+，则z =（ ） A ．0 B ．1 C 2 D ．210．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）11.【2016高考新课标Ⅲ文数】若43i z =+，则||z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55- 12．【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知复数31i z i+=-，则关于z 的四个命题：1:p z 的虚部为2i ； 2:p 5z = 3:p z 的共轭复数为12i - 4:p z 在复平面内对应的点在第四象限.其中的真命题为( )二、填空题（4*5=20分）14．【2018届北京市通州区高三上学期期末】已知复数2i ia -的实部与虚部相等，那么实数a =_______. 15．【2018届福建省厦门市高三年级上学期期末】复数z 满足()1i 2i z -=，则z =__________．16．【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________．。

数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。

(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。

3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。

②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。

③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

考点1 复数[玩前必备]1．复数的有关概念 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R3．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．[玩转典例]题型一 复数的概念例1（2018•福建）若复数2(32)(1)a aa i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．1-例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015•湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-(2i)(1i)a ++i例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪]1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-2.已知复数 z = (m 2 - m - 2) + (m 2 - 3m + 2)i 是实数，则实数 m =_________3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -题型二 复数的代数运算例5（2016•全国）复数22(12)(2)i i -+的模为( )A ．1B ．2CD ．5例6（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0例7【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2 [玩转跟踪]1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z 的共复数z =（ ）A ．1322i + B ．1322i - C ．1322i -+ D ．1322i -- 2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i=+-，则z ＝（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i --题型三 复数的几何意义例8(2018全国卷Ⅰ)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 例9（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[玩转跟踪]1.（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z 满足||2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)4x y -+= C ．22(1)4x y +-=D ．22(1)2x y ++=2.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[玩转练习]1．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 4．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 5．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i += ) A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -6．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于() A ．5B ．13C ．22D ．28．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z = )A BC ．5D ．39．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-11．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．112．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=14．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--15．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--，则关于复数z 的说法正确的是( ) A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=16．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -= )A ．0B ．1CD ．2。

第13讲 复数【基础知识】 1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.3.i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小5.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数6．复数的四则运算：①i d b c a di c bi a )()()()+++=+++（②i ad bc bd ac di c bi a )()-())(++=++（ ③2222a biac bdbc ad i c di c d c d ++-=++++【基础训练】1、(2013·浙江高考文科)已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i2、（2010·湖南高考文科） 复数21i-等于（ ） (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i3、（2013·辽宁高考文科）复数11z i =-的模为（ ） 4、（2013·湖南高考文科）复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【典例分析】1、（2013·新课标Ⅰ高考文科）=-+2)1(21i i （ ） A. i 211-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 211- 2、（2013·山东高考文科）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B. 41 C.5 D.53、（2013·江西高考文科）复数)2(i i Z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、（2012·新课标全国高考文科）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（ ） （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【提高训练】1、（2011·湖南高考文科）若a 、b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ）（A ）a=1,b=1 （B ）a=-1,b=1 （C ）a=1,b=-1 （D ）a=-1,b=-12、（2013·北京高考文科）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、（2012·湖南高考文科）复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( )（A ）-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i4、（2012·山东高考文科）若复数z 满足i i z 711)2(+=-（i 为虚数单位），则z 为（ ）（A ）i 53+ （B ）i 53- （C ）i 53+- （D ）i 53--5、（2011·福建卷文科）i 是虚数单位,1+i 3等于( )(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i6、（2013·重庆高考文科·Ｔ11）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．。

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《复数》知识点总结1、复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

(1)纯虚数：对于复数z a bi =+,当00a b =≠且时，叫做纯虚数。

（2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且。

（3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴。

(4）复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模，表示为:||||z a bi =+=(5）共轭复数：两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++;（2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++；（3)除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； (4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-。

专题1.3复数高考主要考查复数的概念（复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等），复数相等的充要条件，复数的四则运算，复数的几何意义等．一般的，复数代数形式的运算与其它知识点综合考查较多，突出运算求解能力与数形结合思想的应用.稳定为选择题、填空题，难度较低.一．复数的概念及其几何意义1．形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数集用集合表示． 2．复数的分类：对于复数① 当时，是实数； ② 当时，是虚数； ③ 当且时，是纯虚数．3．复数相等：若，，则的充要条件是且．特别地：若的充要条件是．4．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若，则它的共轭复数．5．复数与复平面内的点一一对应．复数与复平面内所有以原点O 为起点的向量一一对应．，与它的共轭复数对应的点关于x 轴对称．复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．6．复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且二．复数四则运算a bi +(),ab R ∈i 21i =-a b C z a bi =+(),a b R ∈0b =z 0b ≠z 0a =0b ≠z 1z a bi =+(),a b R ∈2z c di =+(),c d R ∈12z z =a c =b d =0a bi +=(),a b R ∈0a b ==z a bi =+(),a b R ∈z a bi =-z a bi =+(),a b R ∈(),Z a b z a bi =+(),a b R ∈OZ z a bi =+(),a b R ∈z a bi =-OZ z a bi =+(),a b R ∈z a bi +||z =1.复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：；乘法法则：；除法法则：． 2.共轭与模是复数的运算性质有：(1)1212z z z z ±=±；(2)1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z ⋅==； (4)121212z z z z z z -≤±≤+； (5)1212z z z z =⨯；(6)1121z z z z =.【典例1】（2020·全国高三其他（文））若复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z = B ．z 的虚部为iC ．1z i =-+D ．22z i =【答案】D 【解析】 因为22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，所以||z ==A 错； z 的虚部为1，故B 错；1z i =-，故C 错；22(1)2z i i =+=，故D 正确.故选：D【典例2】（2020·浙江省高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1 B ．–1C ．2D ．–2【答案】C 【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C【典例3】（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++A ．0B ．1CD ．2【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.【典例4】（2017·上海高考真题）已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．【典例5】（2019·江苏高考真题）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =. 【方法总结】1.复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋bi(a ，b∈R)的形式，再根据题意求解．复数a +bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、共轭复数为a −bi .2.一般的，先运算化简复数，在进一步解题.【典例6】（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ）A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．【典例7】（2020·北京高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B 【解析】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B.【典例8】（2017·北京高考真题（理））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B 【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【总结提升】1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量OZ .4.提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．【典例9】（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【典例10】（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ） A B C ．3 D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D. 【总结提升】复数四则运算的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．(3)在含有z ，z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z. （4）注意应用： (a +bi)(c +di)=(ac −bd)+(ad +bc)i(a,b,c,d ∈R)，a+bi c+di=(ac+bd)+(bc−ad)ic 2+d 2(a,b,c,d ∈R)，.（5）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.1．（2020·海南省高考真题）2i12i-=+（ ） z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=A ．1B ．−1C ．iD ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D2．（2018·全国高考真题（文））(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.3.（2019·全国高考真题（文））若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【解析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 4.（2018·浙江高考真题）复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】 化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．5.（2018·北京高考真题（文））在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.6．（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 7.（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ） A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以C ．8．（2020·江西南昌十中高三期末（理））已知i 为虚数单位，211z i i⋅=--，则关于复数z 的说法正确的是（ ）A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--3i12iz -=+z 312i z i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==【解析】 已知211z i i⋅=--， 所以2(1i)2z i -==-，所以||1z =. 故选：A.9．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________.【解析】. 10．（2019·天津高考真题（理））是虚数单位，则的值为__________.【解析】. 11．（2018·上海高考真题）已知复数满足（是虚数单位），则 ． 【答案】5 【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得， 则． 故答案为：5．12．（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为11z i=+i ||z =1|||1|2z i ===+i 51i i-+5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-z ()117i z i +=-i z =()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-5=z i 12i z ⋅=+z【答案】2 【解析】因为，则，则的实部为.i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。

考点1 复数[玩前必备]1．复数的有关概念 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R3．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．[玩转典例]题型一 复数的概念例1（2018•福建）若复数2(32)(1)a aa i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．1-例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015•湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-(2i)(1i)a ++i例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 题型二 复数的代数运算例5（2016•全国）复数22(12)(2)i i -+的模为( )A ．1B ．2CD ．5例6（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0题型三 复数的几何意义例7（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1BC ．5D ．例8（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[玩转练习]1．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 2．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 4．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =-g B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 5．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i += ) A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -6．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于() A ．5B ．13C ．22D ．28．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．39．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-11．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．112．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=14．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--15．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--g ，则关于复数z 的说法正确的是( )A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=16．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -= )A ．0B ．1CD ．2考点2 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法． (4)常见数集的记法2.A B (或B A )3.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }[玩转典例]题型一 集合的基本概念例1（2020•济南模拟）设集合{1A =，2，3}，{4B =，5}，{|M x x a b ==+，a A ∈，}b B ∈，则M 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6例2（2018全国卷Ⅱ）已知集合22{(,)|3}=+∈∈Z Z ≤，，A x y x y x y ，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．4题型二 集合间的基本关系例3（2015•全国）设集合{1A ⊆，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有( ) A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个例4（2020•青岛模拟）已知集合2{|20}A x x x =->，{|B x x =<<，则( ) A ．A B =∅IB ．A B R =UC ．B A ⊆D ．A B ⊆题型三 集合的基本运算例5（2017•山东）设函数y =A ，函数(1)y ln x =-的定义域为B ，则(A B =I ) A ．(1,2)B ．(1，2]C ．(2,1)-D ．[2-，1)例6（2017•新课标Ⅰ）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则( ) A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I例7（2016•全国）设集合{||1|1}A x x =-<，{|22}x B x =<，则(A B =I ) A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|2}x x <D ．∅例8（2020•梅河口市校级模拟）已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =>，则全集U R =，则下列结论正确的是( ) A ．A B A =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð例9（2020•银川模拟）若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例10（2017•新课标Ⅲ）已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为() A ．3B ．2C ．1D ．0[玩转练习]1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,24.（2019江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I .5.（2019浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I ð= A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-6．（2020春•五华区月考）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B =U ) A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <„C ．{|22}x x -<<D ．{0，1}7．（2020•眉山模拟）集合{|10}A x x =+>，2{|320}B x x x =-+>，则(R A B =I ð ) A ．(1,1)- B ．(1,2)C ．[1，2]D ．(1-，1)(1⋃，)+∞8．（2020•宜昌模拟）已知集合2{|log (1)1}M x x =-<，集合2{|60}N x x x =+-<，则(M N =U ) A ．{|33}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|3}x x <D ．{|23}x x -<<9．（2020春•桃城区校级月考）已知全集U R =，集合2{|2A y y x ==+，}x R ∈，集合{|(1)}B x y lg x ==-，则阴影部分所示集合为( )A ．[1，2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．[1，2)10．（2020春•漳州月考）已知集合12{|log (12)1}A x x =->，则(R A =ð )A ．(-∞，11)(42⋃，)+∞B ．(-∞，11][42U ，)+∞C ．(14，1)2 D ．1[4，1]211．（2020•咸阳二模）集合{|M x y =，{1N =-，0，1，2}，则(M N =I ) A ．{0，1}B ．{1-，0，1}C ．{1，1}-D ．{0，1，2}12．（2020•内蒙古模拟）已知集合2{|230}M x x x =--<，2{|0}N x x mx =-<，若{|01}M N x x =<<I ，则m 的值为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．213．（2020•全国一模）已知集合2{|230}A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞14．（2020•重庆模拟）设集合2{|9}A x x =<，{3B =-，2-，1-，0，1，2}，则(A B =I ) A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{2-，1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0}15．（2020春•武昌区校级月考）设集合{|11}A x x =-<<，2{|B y y x ==，}x A ∈，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|11}x x -<<16．（2020•金安区校级模拟）已知集合{|20}M x x =-<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}x R ∈，则()R M N I ð的子集有( ) A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个考点3 命题和简易逻辑[玩前必备]1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词4.5.[玩转典例]题型一 充分条件与必要条件的判定例1（2019•天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件例3（2018•天津）设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4（2017•浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型一 含一个量词的命题的否定例5（2020•四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则()A ．:p x A ⌝∀∈，2xB ∉ B ．:p x A ⌝∀∉，2x B ∉C ．:p x A ⌝∃∉，2x B ∈D ．:p x A ⌝∃∈，2x B ∉例6已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0[玩转练习]1.（湖南高考）设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 2.（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020天津模拟）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．（2020安徽模拟）设p ：12x <<，q ：21x>，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．（2020重庆模拟）“1x >”是“12log (2)0x +<”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020天津模拟）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2020浙江模拟）命题“**N ,()N n f n ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是A ．**N ,()N n f n ∀∈∉且()f n n > B ．**N ,()N n f n ∀∈∉或()f n n >C ．**00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n > D ．**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >8．（2020福建模拟）命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+<B ．()3,0.0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+≥9．（2020浙江模拟）已知是虚数单位，,则“”是“”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件10．（2020•德阳模拟）若a ，b R ∈，则“220a b +≠ “是“a ，b 全不为零“的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件11.（2020•武汉模拟）已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“|1||1|a b +>+”的什么条件( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2020•九江一模）已知非零向量a r，b r 满足||||a b =r r ，则“|2||2|a b a b +=-r r r r ”是“a b ⊥r r ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点4 等差数列[玩前必备]1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).4．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .i R b a ∈,1==b a i bi a 2)(2=+说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．8．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .[玩转典例]题型一 等差数列基本量的计算例1（2019•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-例2（2018•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = ) A ．12-B ．10-C ．10D ．12例3(安徽，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.题型二 等差数列和的最值例4（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．例5（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______. 题型三 等差数列的证明例6(大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式.[玩转练习]1.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 2.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .3.(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．4.(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 5．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S = ) A ．27B ．272C ．9D ．36.（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = ) A ．13B ．14C ．15D ．167.（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．28.（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．11239．（2013新课标2）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求．{}n a 125a =11113,,a a a {}n a 14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+10（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．11.在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .12.数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.考点5 等比数列[玩前必备]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1a n ＝q ．说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；[玩转典例]题型一 等比数列基本量的运算例1 (2020·济南模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( )A ．4B ．2 C.12 D.14例2（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______． 例3 (2020·日照模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12C. 1D. －1或12例4(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.题型二 等比数列证明例5已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .例6(2020·黄山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；例7（2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.[玩转练习]1．（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=____________． 2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 23.（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=-) A ．5B ．10C ．25D ．1054.（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于() A ．64B ．32C ．2D ．45.（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．186.（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-214613a a a ==，列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．11237.（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 8.(北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和.9.（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10.（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上， （Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比． （Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S ．11.（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．12.（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．考点6 数列求通项[玩前必备]1．等差等比数列求a n 的方法 列关于首项和公差或公比的方程組. 2．已知数列的前n 项和S n ，求a n 的方法 (1)第一步，令n =1,求出a 1＝S 1；(2)第二步，当n ≥2时，求a n ＝S n －S n －1；(3)第三步，检验a 1是否满足n ≥2时得出的a n ，如果适合，则将a n 用一个式子表示；若不适合，将a n 用分段形式写出。