高中培优讲义定积分及其简单应用

高考讲定积分及其应用举例课件理日期:目录•定积分基本概念与性质•定积分的计算方法•定积分的应用举例•定积分的拓展应用与现实生活联系定积分基本概念与性质分割近似代替作和取极限01020304将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δxi。

在每个小区间上任取一点ξi，用f(ξi)Δxi近似代替小区间上的曲线段。

将所有小区间上的近似值加起来，得到Σf(ξi)Δxi。

当n趋近于无穷大，且最大的小区间长度趋近于0时，Σf(ξi)Δxi的极限就是定积分∫f(x)dx。

对于任意常数c1和c2，有∫[c1f(x)+c2g(x)]dx=c1∫f(x)dx+c2∫g(x)dx。

线性性对于任意两个区间[a,c]和[c,b]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]+[∫f(x)dx]。

区间可加性如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。

保号性|∫f(x)dx|≤∫|f(x)|dx。

绝对值不等式面积：当f(x)≥0时，定积分∫f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a和x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

距离：定积分可以用来计算平面曲线在直角坐标系下的长度。

通过将曲线分成小段并用直线近似，可以用定积分计算曲线长度。

以上是定积分的基本概念与性质，通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地应用定积分解决实际问题。

定积分的几何意义定积分的计算方法牛顿-莱布尼茨公式是定积分计算的基础公式，它建立了定积分与被积函数的原函数之间的关系，大大简化了定积分的计算过程。

通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以直接利用被积函数的原函数在积分上下限处的函数值之差来计算定积分，避免了复杂的积分运算。

牛顿-莱布尼茨公式公式应用公式内容定积分的换元法定积分的换元法是通过变量代换来简化被积函数的形式，从而便于计算定积分的方法。

通过选择合适的代换函数，可以将复杂的被积函数转化为简单的形式。

方法应用换元法常用于处理被积函数中含有复杂表达式或根号等情况。

第十三讲 定积分及其简单应用教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾 课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念 在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .(4)．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．知识点2、微积分基本定理 如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．基础练习1.∫421xd x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π 二、例题辨析 推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰ sin 2x 2d x .[解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x ＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x ＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24.变式练习1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2)20π⎰1－sin 2x d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例2、 ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.变式练习2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1 三、归纳总结方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．四、拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6 [解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21＝76.变式练习3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x ＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式练习4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x ＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.例3、(2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________． [解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54.[答案] 54变式练习1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49.答案：49 五、课后作业 巩固提高1.∫e 11＋ln xxd x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln xxd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34B.45C.56 D ．不存在 解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603 (m)． 5．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 6．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2.∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2. ∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2.答案：4＋2ln 27．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423.答案：24238．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π49．计算下列定积分：(1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2)＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3) 120⎰e 2xd x ＝12e 2x120＝12e －12.10．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342.11．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169.12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.。

1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a bf (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛ab f x d x ； (2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cb f (x )d x □06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上， 当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形X 围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)由曲线y ＝e x，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为________． (3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】 已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.。

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。

高考数学复习 定积分的简单应用 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

定积分的几个简单应用(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）．二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1n n n n n +++=．上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=，其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。

1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1．会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2．会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分与平面图形面积的关系阅读教材P 56～P 58“练习”以上部分，完成下列问题．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系：(1)如图1-7-1①，阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛0a g (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝_____.① ②图1-7-1(2)如图1-7-1②，阴影部分的面积为S ＝______________.所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．【答案】 (1)⎠⎛0a [f (x )－g (x )]d x (2)⎠⎛0b [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛ba [f (x )－c (x )]d x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝sin x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，与x轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛π22πsin x d x.()(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为⎠⎛1x3d x＋⎠⎛12(2－x)d x.()(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为⎠⎛-22(4－x2)d x.() 【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 定积分在物理中的应用阅读教材P58～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为____________________.【答案】 1.⎠⎛ab v(t)d t 2.W＝⎠⎛ab F(x)d x一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.【解析】由题意可知，力F(x)所作的功W＝⎠⎛13F(x)d x＝⎠⎛13(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14 J.【答案】14[小组合作型]利用定积分求平面图形的面积(1)由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A.53B ．1 C.52 D.23(2)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-2所示)的面积为43，则k ＝________ .图1-7-2【自主解答】 (1)由图可知，所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝56＋16＝1.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.【答案】 (1)B (2)2求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．[再练一题]1．(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．4(2)由直线y＝12，y＝2，曲线y＝1x及y轴所围成的封闭图形的面积是()【导学号：62952056】A．2ln 2 B．2ln 2－1C.12ln 2 D.54【解析】(1)由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x－x3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x4⎪⎪⎪2＝4.(2)由题知，x的范围为[0,2]．所以S＝12×32＋⎠⎜⎛1221x d x－32×12＝⎠⎜⎛1221x d x＝ln 2－ln12＝2ln 2.【答案】(1)D(2)A求变速直线运动的路程、位移2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求点P 从原点出发，当t ＝6时，点P 离开原点的路程和位移．【精彩点拨】解不等式v (t )>0或v (t )<0→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移【自主解答】 由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.1．求变速直线运动的物体的路程(位移)(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t . (2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．2．求变力做功的方法(1)要明确变力的函数F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算． (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位换为焦耳．[再练一题]2．在上例题设条件不变的情况下，求P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【解】 依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0， 解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．[探究共研型]变力作功问题探究 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成60°方向做直线运动，则由x ＝1 m 运动到x ＝3 m 时F (x )做的功为多少J .【提示】 W ＝⎠⎛13F (x )cos 60°d x ＝⎠⎛1312F (x )d x ＝⎠⎛1312(5－x 2)d x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 31＝23(J )． 如图1-7-3所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，C D ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5，0≤x ≤90，20，90<x ＜120，(单位：N )，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在C D 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)图1-7-3【精彩点拨】 先求出在AB 段、BC 段上拉力F 沿运动方向的分力，再利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 求出各段上功的大小． 【自主解答】 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力做功公式得：W ＝⎠⎛050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30° d x ＋⎠⎛5090⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪ 500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪9050＋600 ＝1 1254 3＋4502＋600≈1 723(J)．所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J.求变力所做功的步骤1．根据物理学的实际意义，求出变力F (x )的表达式．2．由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )，因此，求功之前应求出位移的起始位置与终止位置．3．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，求出变力F (x )所做的功．[再练一题]3．在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)， 当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ，所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪ 0.10＝10(J)．1．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】 如图，作出三个函数y ＝e x ，x ＝2，y ＝1的图象，由三者围成的曲边梯形如图阴影部分，若选择x 的积分变量，则积分区间应为[0,2]．【答案】 B2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m /s )的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m【解析】 s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m )． 【答案】 B3．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】 如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.【解析】 由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.【答案】 49 5．一物体在变力F (x )＝36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功.【导学号：62952057】【解】 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)． 从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J ．。

第五章 定积分的概念教学目的与要求：1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念 一． 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=i ni i x f 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

注1． 定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰b adu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

第十六节定积分及其简单应用知识梳理一、连续曲线一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的________．二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤1．分割：n等分区间[a，b]．2．近似代替：取点ξi∈[]x i－1，x i.3．求和：4. 取极限：三、定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续曲线，用分点a＝x0<x1<x2<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间．在每个小区间[]x i－1，x i上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的________，记作________，即其中f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式，b，a分别叫做积分上限和下限，区间[a，b]叫做积分区间，“∫”称为积分号．四、定积分∫a b f(x)d x的实质1．当f(x)在区间[a，b]上大于0时，∫a b f(x)d x表示___________________，这也是定积分的几何意义(如图①)．2．当f(x)在区间[a，b]上小于0时，∫a b f(x)d x表示_______________________(如图②)．3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，∫a b f(x)d x表示________________________(如图③)．五、微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)一般地，如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫ab(x)d x＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，可以把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即∫a b f(x)d x＝____________.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．六、基本的积分公式∫a b0d x＝C；∫a b x m d x＝1m＋1x m＋1＋C(m∈Q，m≠－1)；∫a b1xd x＝ln||x＋C；∫a b e x d x＝e x＋C；∫ab a x d x＝a xln a＋C；∫a b cos x d x＝sin x＋C；∫a b sin x d x＝－cosx＋C(各式中的C均为常数)．七、定积分的性质1.∫a b kf(x)d x＝________________(k为常数)．2.∫a b[f(x)±g(x)]d x＝________________.3.∫a b f(x)d x＝________________(其中a<c<b)．八、利用函数的奇偶性求定积分若f(x)是[－a，a]上的奇函数，则∫-a a f(x)d x＝0；若f(x)是[－a，a]上的偶函数，则∫-a a f(x)d x＝2∫0a f(x)d x.九、定积分的求法1．定义法(用微分思想求曲边梯形的面积：分割、近似代替、求和、取极限)．2．牛顿－莱布尼兹公式法．3．几何意义法：若y＝f(x)，x轴与直线x＝a，x＝b之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积．如求∫-111－x2d x.4．利用奇、偶函数的性质．十、定积分的简单应用1．定积分在几何中的应用：如图，曲线y＝f(x)，y＝g(x)与直线x＝a，x＝b 围成的曲边梯形面积S＝∫a b[f(x)－g(x)]d x.2．定积分在物理中的应用：(1)变速直线运动的路程：运动速度为V(t)，则在t＝a到t＝b时间内物体的位移为S＝∫a b v(t)d t；(2)变力作功：力F是位移s的函数，则在s＝a到s＝b位移内力所做的功为W ＝∫a b F(s)d s.3．定积分与其他知识的综合．基础自测1.lim n →∞ 1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin πn ＋sin 2πn ＋…＋sin （n －1）πn写成定积分的形式，可记为( )A.∫0πsin x d x B.∫01sin x d x C.1π∫0π sin x d x D.∫0π sin x xd x答案：A2. 已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π2解析：根据图象可得：y ＝f (x )＝－x 2＋1， 再由定积分的几何意义，可求得面积为 S ＝∫-11(－x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x ｜-11＝43.故选B. 答案：B3．(2013·韶关三模)计算∫03(2x －1)d x ＝________. 解析：由导数的运算法则知当F (x )＝x 2－x 时， F ′(x )＝2x －1，由定积分定义得∫30(2x －1)d x ＝F (3)－F (0)＝9－3＝6.答案：64．(2013·湖南卷)若∫T0x2d x＝9 ，则常数T的值为________________．解析：∫T0x2d x＝x23|T0＝T 33＝9，解得T＝3.答案：31．(2013·江西卷)若S 1＝∫21x 2d x ，S 2＝∫211xd x ，S 3＝∫21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1 < S 2 < S 3B ．S 2 < S 1 < S 3C ．S 2 < S 3 < S 1D ． S 3 < S 2 < S 1解析：利用定积分的几何意义知B 正确． 答案：B2．(2012·山东卷)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由已知得S ＝∫0ax d x ＝23x 32｜0a ＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.答案：491．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6 解析：y ＝x 与y ＝x －2以及y 轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2，得交点坐标为(4,2)，故所求面积为S ＝∫04[x －(x －2)]d x ＝⎣⎡⎦⎤23x 32－⎝⎛⎭⎫x 22－2x ⎪⎪⎪40＝163. 答案：C2．已知f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ≤2，x ∈R)，g (x )＝e －x，φ(x )＝f (x )·g (x )．(1)当a ＝1时，求φ(x )的单调区间；(2)求g (x )在点(0,1)处的切线与直线x ＝1及曲线g (x )所围成的封闭图形的面积S .解析：(1)当a ＝1时，φ(x )＝(x 2＋x ＋1)·e －x ，φ′(x )＝e －x (－x 2＋x )． ∴φ(x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)． (2)切线的斜率为k ＝g ′(0)＝－e －x |x ＝0＝－1， ∴切线方程为y ＝－x ＋1.g (x )在点(0,1)处的切线y ＝－x ＋1与直线x ＝1及曲线g (x )＝e －x 所围成的封闭图形如下图所示．故所求封闭图形面积为S ＝∫01[e －x －(－x ＋1)]d x ＝∫01(e －x ＋x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－e －x ＋12x 2－x |01＝12－1e . 答案：见解析。