高中数学-三角函数_培优讲义

π
3
5π
2kπ6
5π
π
, 2π +
6
6
,∴函数的递增区间为
π
0, 6
.
π
≤x≤2kπ+ (k∈Z).
6
(k∈Z).
考向2.由单调性求参数
典例突破
例 4.已知 ω>0,函数 f(x)=sin
是
.
π
+4
在
π
,π
2
上是减少的,则 ω 的取值范围
答案:
1 5
,
2 4
π
π
解析:由2 <x<π,ω>0,得 2
3π ∴0<a≤ π ,∴a 的最大值为π .
≤ 4 ,
4
4
> 0,
π 3π
−4, 4
,
(2)由题意可知,[a,2]⊆
π
π
− ,
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
π
3
的递减区间是函数 y=sin 2 −
的递增区间.
由
π
2kπ-2
π
≤2x-3
π
≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得
故所给函数的递减区间为 π −

高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。

2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。

本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。

5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。

三角函数完美讲义
1.引言
三角函数是高中数学的重要知识点之一，也是解决几何和物理
问题的基础。

本讲义旨在提供一个完整且简明易懂的三角函数讲解，帮助学生更好地理解和应用三角函数的概念和性质。

2.基本概念
研究前提：了解直角三角形和基本三角比的概念
三角函数定义：正弦、余弦和正切的定义及图示
三角恒等式：介绍常见的三角恒等式及其证明方法
3.三角函数图像
正弦函数图像：介绍正弦函数的周期、振幅、相位和对称性
余弦函数图像：介绍余弦函数的周期、振幅、相位和对称性
正切函数图像：介绍正切函数的周期、渐近线和对称性
4.三角函数性质
基本性质：介绍正弦、余弦和正切函数的定义域、值域和奇偶性
三角函数的推导：从直角三角形的角度推导三角函数的值
5.三角函数应用
角度的测量单位：介绍弧度制和度制的转换关系
三角函数应用举例：解决实际问题时如何运用三角函数
三角函数的相关性：介绍三角函数之间的关系，如和差公式和倍角公式
6.总结
本讲义通过简明易懂的语言和清晰明了的图示，全面介绍了三角函数的基本知识和应用。

希望学生能够通过本讲义的研究，更加深入地理解和掌握三角函数，为日后的高中数学研究和实际应用打下坚实的基础。

以上是《三角函数完美讲义》的框架概述，具体内容请根据需要进行补充。

希望对您有所帮助！。

2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题09 三角函数表示及和差倍角公式知识定位本讲义目的在于让同学熟悉三角函数的表示方法，并正确使用和差倍角公式来解决实际问题。

知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。

（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求的值。

知识梳理➢ 知识点一：了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

➢ 知识点二：熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。

➢ 知识点三：利用三角形和差公式进行求值化简。

➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。

➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。

常见题型和方法解析1. 了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

例1 已知，那么角是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角变式题：是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角例2设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1变式题：在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．2. 熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。

例3代数式的值为（）A．B．C．D．变式题：已知则的值为 .例4已知（）A．B．C．D．-2变式题：已知tan=2,,则3sin2-cos sin+1= ( )A．3 B．-3 C．4 D．-43.利用三角形和差公式进行求值化简例5 已知(1)求的值；(2)求的值.变式题： 已知，（）则的值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．4.记忆并熟练运用三角函数倍角公式解答三种基本题型：求值题、化简题、证明题。

例6 求 18sin 和 36cos 的值。

综合习题拓展变型技巧与综合应用。

例7 已知（1）求的值；（2）求的值；（3）若是第三象限角，求的值.试题演练一1、已知（ ）A ．B ．C ．D ．2、若 且则y x 的可能取值是（ ）A.BC.D.3、 已知，其中是第二象限角，则A ．B ．C ．D ．4、若，则为A ．B ．C ．D ．.5、已知，且，，则______．6、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------① ------②由①+② 得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)试题演练二7、若cosxcosy+sinxsiny=，sinxcosy-cosxsiny=,则sin2(x-y)=（）A．B．C．- D．8、已知，则的值为（）A．B．C．D．9、若，三角函数式的化简结果为（）A．B．C．D．10、函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数11、函数的周期为（）A．2B．C．D．12、函数的最大值等于13、当时，函数的最小值为________．14、已知是第二象限角，且，那么15、若，则=．16、已知函数（1）求函数的最小正周期和值域；（2）若，且，求的值.。

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数诱导公式例1：利用诱导公式求三角函数的值 （1）10sin()3π-；）（2）29sin()6π；（3）20sin()3π- 例2：化简3sin()tan()2sin()πααππα++- 高效作业，技能备考1、0cos35a =，则0sin 55= ； 2、cos()3π-的值为 ；0sin(855)-= ；3、95cos()cos()22x x ππ++-= ； 1 ．设cos(π＋α)＝32，(π<α<32π)，那么cos(2π－α)的值是( ) A ．－12 B.32 C ．－32D.122 ．cos(2013)π-的值为 ( )A ． 12 B. 1-C ．D. 03 ．sin 585的值为 ( )A ．2-B.2 C ．2- D. 24 ．已知sin()cos(2)()cos()tan f παπααπαα--=--，则31()3f π-的值为 （ ）A ．12 B. 13- C ．12- D. 135 ．化简95cos()cos()22x x ππ++-= ； 6 ．化简sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-⋅------；7 ．已知2cos()63πα-=，则2sin()3πα-= ； 同角的三角函数（1）1cos sin 22=α+α （2）α=ααtan cos sin 例1：（1）已知3sin 5α=-，且α在第三象限，求cos α和tan α；（2）（2010全国）若0cos(80)k -=，那么0tan100= ；例2：已知tan 2α=，求值（1）224sin 3sin cos 5cos αααα--；（2）22222sin 3cos 4sin 9cos αααα--例3：若cos(2)3πα-=，且(,0)2πα∈-，则sin()πα-= ；高效作业，技能备考1 ．已知tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-+的值为 （ ）A ．53- B. 13- C ．53 D. 132 ．已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α=（ ） A ．43 B. 34 C ．34- D. 34±3.已知5cos 13α=-，且α是第二象限的角，则tan (2)πα=-= ；4．（2011全国）3(,)2παπ∈，tan 2α=，则cos α= ； 5．若4sin 5θ=-，tan 0θ>则cos θ= ；6 ．3cos()cos()02πθπθ-++=，21cos sin 22θθ+= ；7 ．1tan 3α=-，则11sin cos αα=- ； 8 ．求证：cos 1sin 1sin cos x xx x+=-9、已知tan()2,tan 3αββ+==，则3sin(2)2πα+= ；三角函数的图像与性质问题三角函数sin()y A x ωϕ=+图像例1：（1）已知函数sin()y A x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图像如图所示，则 （ ） A.1,6πωϕ==B. 1,6πωϕ==-C. 2,6πωϕ==D. 2,6πωϕ==-（2）已知函数已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（ ）（A ）23-(B)- 12 (C) 23 (D) 12图（1） 图(2) 高效作业，技能备考 1.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=2. （2011江苏）函数sin()y A x ωϕ=+（A 、ω、ϕ是常数，0,0A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ；图1 图23.（2011全国大纲）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．94.(2012天津) 将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A.13 B. 1 C. 53D. 2 三角函数的值域和最值例题：求函数sin (0)2cos x y x x π-=<<-的最小值。

高一年段数学培优教材第四讲 三角函数一、基础知识：1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2k k Z ππ+∈tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形.2． 求三角函数最值的常用方法：① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值.② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x by c x d+=+）可利用正弦函数的有界性来求.④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用：1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3α=时，)f α=_________________2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________4． 函数5cos 23sin ,[,]63y x x x ππ=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________6． 函数sin (0)2cos xy x xπ=<<+的最大值是_________________7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4y a bx π=+的最小正周期.8．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求,a b 的值.9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，求a 的值.10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当13x =时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123[,]44上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由.11．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求,ϕω的值.12．已知定义在区间2[,]3ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当2[,]63x ππ∈-时，函数()s i n ()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<， 其图象如图所示.（1）求函数()y f x =在2[,]3ππ-的表达式；x（2）求方程()2f x =.三、强化训练：1．有四个函数2sin sin tancot sin 22x xy x y x y y x ===-=①②③④，其中周期为π，且在(0,)2π上是增函数的函数个数是（ ） .1.2.3.4A B C D2．设函数2()2c o s 3s i n 2f x x x a =+（a 为实常数）在区间[0,]2π上的最小值是4-,则a 的值是（ ）.4.6.4.3A B C D ---3．sin(2)cos()cos(2)sin()3636y x x x x ππππ=+--+-的图像中一条对称轴方程是（ ）3....422A x B x C x D x ππππ====4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x) = x －2，则（ ）A ．f (sin12) < f (cos12) B ．f (sin3π) > f (cos3π) C ．f (sin1) < f (cos1) D ．f (sin32) > f (cos32)5．将函数y =f(x)sin x 的图象向右平移4π个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数 y =1－2sin 2x , 则f (x )是 （ ）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x 6．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π7．设()()2cos fx x m ωϕ=++，恒有())3f x f x π+=-（成立，且(1)6f π=-，则实数m 的值为A ．1±B ．3±C ．－1或3D ．－3或18．使函数()sin(2))f x x x θθ=+++是奇函数，且在[0,]4π上是减函数的θ的一个值是_____________9．已知函数21()cos sin cos (0,0)2f x a x x x a ωωωω=+⋅->>2，其最小正周期为π.（Ⅰ）求实数a 与ω的值.（Ⅱ）写出曲线()y f x =的对称轴方程及其对称中心的坐标.参考答案：例1：(8)(3)(3)1f f f ==--=- 例2： 2例3：3())2;|,48f x x x x k k Z πππ⎧⎫=++=-∈⎨⎬⎩⎭例4：2()12sin 3sin ,1,45f x x x M N M N =-+=-=-+=- 例5：1例6例7：1,a b ==± 例8：21()2sin(2)2,sin(2)1,5626a f x a x ab x b ππ=⎧=-+++-≤+≤⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩例9：1a =-例10：（1）()2sin()6f x x ππ=+（2）()2sin()6f x x ππ=+的对称方程为1,623x k x k k Z ππππ+=+⇒=+∈，由211235965,54341212k k k Z k ≤+≤⇒≤≤∈∴= 故存在.例11：03高考天津卷2223πϕωω==，，= 例12：（1）当2[,]63x ππ∈-时，()sin()3f x x π=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-强化练习：1 C2 C3 C4 C5 B 6. A 7. D 8. 23πθ=9. （1）2111cos sin cos (1cos 2)sin 22222a y a x x x x x ωωωωω=+⋅-=++-11(sin 2cos 2)22a x a x ωω-=++1)22a x ωϕ-=++.∵y 的最小正周期T=π. ∴ω=1.∴12man a y -==∴a=1.（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，∴1()(sin 2cos 2))224f x x x x π=+=+.∴曲线y=f(x)的对称轴方程为()28k x k Z ππ=+∈.对称中心的坐标为(,0)()28k k z ππ-∈.。

三角函数培优讲义（一）【知识梳理】：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说该角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

①第I 象限角的集合： ；②第II 角限角的集合： ； ③第III 象限角的集合： ； ④第IV 象限角的集合： ； ⑤终边在x 轴正半轴的角的集合： ；终边在x 轴负半轴的角的集合： ；终边在x 轴上的角的集合： ；⑥终边在y 轴正半轴的角的集合： ：终边在y 轴负半轴的角的集合： ；终边在y 轴上的角的集合： ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合： ：⑧终边在直线x y =的角的集合： ：⑨终边在直线x y -=的角的集合： ：3. 终边相同的角的表示：①α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔ ； ②α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔ ； ③α终边与θ终边关于x 轴对称⇔ ； ④α终边与θ终边关于y 轴对称⇔ ；⑤α终边与θ终边关于原点对称⇔ ； ⑥ α终边与θ终边关于直线x y =对称⇔ ；注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 4.弧长公式：①扇形的弧长为l ,半径为R ,圆心角为α,则: ， ②扇形面积公式： ；1弧度(1rad)57.3≈.5．任意角的三角函数的定义：①设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么正弦sin ,cos y x r rαα==余弦sin ,cos y x r r αα==，正切()tan ,0y x x α=≠；②了解：余切cot x y α=(0)y ≠，正割sec r x α=()0x ≠，余割()csc 0r y yα=≠。

第8讲 三角函数的图象与性质【题型精讲】题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系1．（2021·湖北·高三月考）已知点()5,P m -为角α终边上一点，2αβ=，且1cos 2tan sin 2βββ++=，则m =（ ）A ．2B ．2±C ．1D ．±12．（2021·全国·模拟预测（文））已知点(,P x 是角α终边上一点，且1cos 3α=-，则πcos()6α+等于（ ）A ．BC D3．（2021·河南·高三月考（理））已知sin cos θθ+=tan tan 2πθθ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（ ） A ．97-B ．187-C ．718 D ．794．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（ ）A ．177B ．717C ．177-D ．717-5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若tan 2θ=-，则()sin cos sin 1sin 2θθθθ+=+（ ） A ．56-B ．52C ．52-D ．566．（2021·全国·高三月考）已知sin 2sin 026ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2cos 12cos ααα⋅+=__________．题型（二）三角函数的图象与解析式1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（ ）A ．()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象 2．（2021·安徽·高三开学考试（理））如图是函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象，将()f x 的图象上所有的点向右平行移动4π个单位长度可得()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2021·全国全国·模拟预测（理））已知函数()sin cos f x x x =-经过变换可得()sin 2cos2g x x x =+，则下列变换正确的是（ ）A ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍B ．先将()f x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍C ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍D ．先将()f x 的图象向左平移2π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍题型（三）三角函数的性质及应用1．（2021·北京十五中高三期中）设函数()21cos cos 2f x x x x =-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．将函数cos2y x =的图象向左平移6π个单位可以得到函数()f x 的图象 D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减2．（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数()2cos 21f x x x =-+，下列结论中正确的有_______（1）()f x 的图象关于,112π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称（2）()f x 在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（3）()f x 的图象关于3x π=对称（4）()f x 的最大值为33．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称；③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是___________【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·高三月考（理））玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm2．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）A B C D 3．（2021·全国·高三专题练习）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π4．（2021·江西柴桑·高三月考（理））函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）．A ．B ．C ．D ．5．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称6．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 7．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2- C ．D ．32-第9讲 三角函数中参数ω专题【题型精讲】题型(一）ω的取值范围与单调性相结合1．（2021·甘肃·西北师大附中高三期中）已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高三专题练习）函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．74C ．52D ．6题型(二）ω的取值范围与对称性相结合1．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数()sin()(0),||2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．12．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数()2cos2sin 1222xxxf x ωωω=+-(0>ω)的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象关于坐标原点对称，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型(三）ω的取值范围与三角函数的最值相结合1．（2019·湖南师大附中（理））将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（ ）A ．713,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1117,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·湖南怀化·（理））将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移32πω个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()()()F x f x g x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为 A ．13B ．12C ．1D ．2题型(四）ω的取值范围与三角函数的零点相结合1．（2021·广西桂林·（文））函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．812,55⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．812,55⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2020·陕西省宝鸡市长岭中学（理））已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2935,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦题型(五）ω的取值范围与三角函数的极值相结合1．（2021·四川·石室中学（文））函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,π内有且仅有一个极大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．110,33⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（2019·云南曲靖·（文））已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=-（0>ω）在区间(0,)π内无极值点，则ω的取值范围为 A ．110,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,24⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【课后精练】一、单选题1．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()cos x f x x ωω=(0>ω)在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．102．（2021·四川·泸州老窖天府中学高三月考（文））已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的一条对称轴为6x π=，一个对称中心为7(,0)24π，则ω有（ ） A ．最小值4 B ．最小值2 C ．最大值4D ．最大值23．（2021·陕西·高三月考（理））已知函数()()sin 0f x x x ωωω+>的图象关于3x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324．（2021·全国·）将函数()sin f x x =的图像先向右平移3π个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．20,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．280,,199⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦5．（2020·安徽·马鞍山二中（理））已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．4(0,]9B ．48[,]99C ．48(,]99D ．8(0,]96．（2020·全国·）将函数44()sin cos f x x x =+的图象向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图象，若函数()y g x ω=在[,]124ππ-上单调递减，则正数ω的最大值为 A ．12B ．1C ．32D ．237．（2020·宁夏长庆高级中学（理））若将函数sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0>ω)的图象向左平移6π个单位长度后，与函数cos 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．38．（2020·全国·）已知函数()()sin 02g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，把函数()g x 的图象向右平移2πω得到函数()f x 的图象，函数()f x 在区间22,93ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在210,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω=（ ） A ．34B ．94C ．13D ．439．（2021·天津滨海新·一模）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2280,,939⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．80,9 ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．280,,199⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D ．(]0,110．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数()cos f x x x ωω+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则实数ω的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]1,2D ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11．（2021·全国·）已知函数()sin (sin cos )(0)ωωωω=+>f x x x x 在区间(0,)π上恰有2个最大值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1119,88⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1119,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1119,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1119,44⎛⎤ ⎥⎝⎦12．（2021·全国·（文））已知函数()()cos 0f x x x ωωω->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1316,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1316,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1417,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1417,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．（2020·四川省泸县第二中学（文））已知112ω>，函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（ ） A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 三角恒等变换、解三角形【题型精讲】 题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．292．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．9-D ．93．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89-B ．CD ．89题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22226,3c ab a b C π+=++=，则ABC 的面积为（ ）A B C ．1D 12．（2021·河南·高三月考（文））在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2,b B C ==则a c +的取值范围为（ ）A ．(B ．()4C ．(0,D ．()3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）ABC 中，D 为边BC 的中点，8AB =，17AC =，7.5AD =，则ABC 的面积为___________.4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，角75A B C ===︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB ，若2B π=，则四边形ABCD 面积的最大值为________．2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24252．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎣C ．[]0,1D ．2⎤⎥⎣⎦3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m ，山高160m ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）A ．12B ．941C ．1625D ．9164．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC 就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin54︒=（ ）A B C D 5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知13sin()()4444πππϕϕ-=--<<，则cos 2ϕ=（ ）A ．B ．78-C ．78 D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．12- 7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ）A ．可能是锐角B ．一定是直角C ．可能大于23πD ．一定小于56π 8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22(32)(54)0a b a c -+-=，则ABC 最小内角的正弦值为（ ）A ．45B ．34C ．35D 9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．C ．)D ．( 10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（ ）A ．23πB ．2π+C ．23πD ．2π-11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ∠=，N 点的仰角π6CBN ∠=以及cos MBN ∠=间的距离MN =（ ）A ．300m B． C ．600m D．12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）A ．9πB ．143πC ．283πD ．323π 二、填空题 13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos 2x x x x x ++=__________． 14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线1112x π=对称；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中12O O ，为半圆的圆心，则该图形的面积为_________2cm .16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A ．教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．。

三角函数讲义的周期相等，则4.（1）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向 平移 个单位5.已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 （ ）A 2π B 83π C 4πD 8π6.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π67.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为 ( )A.2πB.πC.－πD.－2π8．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则 f （x ）是 （ ）A ．cosxB ．2cosxC ．SinxD ．2sinx9．若函数()θ+=x y sin 2的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是A ．125π B ．3π C ．6πD ．12π七．图象1．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是 （ ）2 在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=A. 1B. 2ＡＢC. 1/2D. 1/34． 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象 ( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位7．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，则下列判断正确的是 ( )A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π12，0C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π6，0八..综合1. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为2． 函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数3． 已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 ( ) A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称D. 函数)(x f 是奇函数4． 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;。

高一年段数学培优教材第四讲 三角函数知识要点:一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做的的正切线、正弦线、余弦线。

三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系。

四、诱导公式：()ααπg nf ±=⎪⎭⎫⎝⎛±2 记忆：奇变偶不变，符号看象限。

奇双：即看πn 中的n 是2π的奇数倍还是偶数倍，奇数倍后面三角函数名变，偶数不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2πn 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。

五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题。

六、函数图像的变换。

典型例题：一: 同角三角函数关系,诱导公式的应用。

例1（北京理1）已知0tan cos <θθ，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角例2（浙江理科8）若cos 2sin αα+=tan α=（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-二: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性、对称性）例3（广东文9）已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）Ａ．6T =，π6ϕ=Ｂ．6T =，π3ϕ=Ｃ．6πT =，π6ϕ=Ｄ．6πT =，π3ϕ=例4（福建理5）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 例5（江苏5）函数)3sin(2)(π-=x x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间是（ ）Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例6（辽宁理科16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．例7（安徽卷）设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象，重点是函数 的图象与y=sinx 的图象关系。

÷ö 0 ø
=
2.
若α+β< p ，则 x<0，由 0<α< p -β< p 得 cosα>cos( p -β)=sinβ>0,
2
2
2
2
所以 cosa >1。又 0<sinα<sin( p -β)=cosβ，所以 cos b >1，
sin b
2
sin a
所以
ççèæ
cosa sin b
÷÷øö x
+
,
0）均为其对称
中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调
区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ 均为其对称
轴，点 çæ kp
2
çæ è
a 2
÷ö ø
tana =
2
tançæ è
a 2
÷ö ø
.
1
-
tan
2
çæ è
a 2
÷ö ø
定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 ¹ 0，则取始边在 x 轴 正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则 sinβ= b ,cosβ
a2 + b2
= a ，对任意的角α.
第六章 三角函数
一、基础知识
定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转 方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为 负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

5
4
5
5
5
4
4
f (x) cos x 在[0, ]单调递减，所以 cos( 23 ) cos( 17 ) 0
5
4
【例 5】解： tan 13 tan ， tan 17 tan 2 ，
4
4
5
5
0 2 , y tan x在 0, 内单调递增，

⑥

-
1 2 3
3
-o 【例 4】①
f
(x)

sin
x
在[
,
] 单调递增，所以 sin(

) sin(

)

0
x
22
18
10
② cos( 23 ) cos( 17 ) cos( 23 ) cos( 3 ) cos 3 ， cos( 17 ) cos ，
（3）当
x

6
,
7 6

时，函数
y

5

sin
x

4
cos 2
x
的最小值是__________，最大值
是__________。
强化训练 1（1）函数 y 2 log 1 x tan x 的定义域为____________________。
2
（2）函数
y

2
sin(2x
2

上的值域为(
)
A.

3 2
,
3 2

B.

3 2
,3
C.

§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.21、 平方关系：1cos sin 22=+αα 2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=T π2=Tπ=T奇偶性 奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=α α2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=).解三角形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学中要立足基础，抓好对部分概念的理解． 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【学海提示】 一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z}；终边落在y 轴上的角的集合,2k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为,2k k Z πββ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．【题型分类解析】【题型一】 角的集合表示及象限角的判定(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，也可以表示为32,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】(1)角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A ．α＝－βB ．α＝180°＋βC ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z) (2)已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.(3)已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ； (4)若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 .【题型二】 三角函数的定义任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 例2 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 【训练2】(1)试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合并指出上述集合中-1800~1800之间的角. (2)角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

第01讲三角函数的图像与性质题组一常识题1.函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.函数f(x)=√tanx-1的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.函数y=tan(x+π4)图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=√2−log2x+tan(x+π3)的定义域为.(2)函数y=ln(2cosx+1)+√sinx的定义域为.变式题 (1)函数y=√sinx-cosx的定义域为.(2)函数f(x)=√√3+2sinx的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是.(2) 已知x∈[-π4,π6],则函数f(x)=2cos xsin（x+π3）-√3sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为.变式题 (1)函数f(x)=sin(x-π4)-cos(x-π4)的最大值为()A.2B.√2C.2√2D.√22 (2)函数y=cosx-sinx+4sinxcosx的值域是. 探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③(2)若函数f(x)=1+asin（ax+π6）(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.微点2三角函数的对称性例4 (1) 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=12x2-x互为同轴函数的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sin πxC.g(x)=tan xD.g(x)=cos πx(2) 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,|φ|<π2）的图像关于直线x=π3对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()A.(π3,0) B.(π12,0)C.(5π12,0)D.(-π12,0)微点3三角函数的单调性例5 (1)已知π3为函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π2)的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是()A.[2kπ−5π12,2kπ+π12](k∈Z)B.[2kπ+π12,2kπ+7π12](k∈Z)C.[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z) D.[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)(2)已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+π3)在(π3,π2)上单调递增,则ω的取值范围是()A.(23,103) B.[23,103]C.[2,103]D.(2,103)【应用演练】1.【微点3】已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是()A.[π3,π]B.[π3,2π3]C.[0,2π3] D.[2π3,π]2.【微点3】设f(x)=cosx,若a=f(ln2),b=f(lnπ),c=f(ln13),则下列关系式正确的是()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c3.【微点2】已知函数f(x)=A sin(ωx+π6)的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()A.x=1 B.x=14C.x=23D.x=-14.【微点1】函数y=3sin(2x+π3）的最小正周期T= .第02讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用题组一 常识题1. 函数y=sin x 的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是 .2.某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin (x +π4),则原函数的解析式是 .3.函数y=cos (2x -π2)的周期为 ,单调递增区间为 .4.已知简谐运动f (x )=2sin （π3x+φ）(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度. 6.设ω>0,若函数f (x )=12sin ωx 在区间[-π2,π2]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin(ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= . 8.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2）的部分图像如图3-20-2所示,则φ= . 图3-20-2探究点一 函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换例1 (1)将函数f (x )=sin (2x +π4)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为 ( ) A .y=cos 2xB .y=-cos 2xC .y=sin (2x +3π8)D .y=sin (2x -π8)(2)若由函数y=sin (2x +π2)的图像变换得到y=sin （x 2+π3）的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin （2x+π2）图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x 轴 ( ) A .向右平移π3个单位长度 B .向右平移5π12个单位长度 C .向左平移π3个单位长度 D .向左平移5π12个单位长度变式题 (1)将函数y=sin （x-π6）的图像上所有的点向右平移π4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为 ( ) A .y=sin (2x -5π12) B .y=sin (x 2+π12) C .y=sin (x 2-5π12) D .y=sin (x 2-5π24)(2)为了得到函数y=sin 3x 的图像,可以将y=cos 3x 的图像 ( )A .向右平移π6个单位长度 B .向左平移π6个单位长度 C .向右平移π2个单位长度 D .向左平移π3个单位长度探究点二 函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式例2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f (x )的图像向右平移π4个单位长度得到函数y=g (x )的图像,则函数g (x )的解析式为 ( ) A .g (x )=2sin 2x B .g (x )=2sin (2x +π8) C .g (x )=2sin (2x +π4)D .g (x )=2sin (2x -π4) 图3-20-3(2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则φ= .图3-20-4 图3-20-5变式题 已知函数f (x )=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且A （π2,1）,B (π,-1),则φ的值为 .探究点三 函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质例3 函数f (x )=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2）在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π12,11π12].将y=f (x )的图像先向左平移π4个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g (x ).(1)求g (x )的解析式;(2)求g (x )在区间[0,π4]上的最大值和最小值.变式题 (1)将函数f (x )=cos(2x+θ)(|θ|<π2)的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图像,若g (x )的图像关于直线x=π4对称,则θ= ( ) A .π6B .π12C .-π6D .-π12(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,π2<φ<π）的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是( ) A .函数f (x )的周期为π B .函数y=f (x-π)为奇函数 C .函数f (x )在[-π,π2]上单调递增 D .函数f (x )的图像关于点3π4,0对称探究点四 三角函数模型的简单应用 图3-20-6例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设∠AA 1H 1=α.图3-20-7(1)试用α表示△AA 1H 1的面积;(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时α的大小.变式题 某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos π6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ℃,12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切题组一 常识题1. sin 75°的值为 .2.已知cos α=-35,α∈(π2,π),则sin （α+π3）的值是 . 3. cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°= . 4. 已知tan α=13,tan β=-2,则tan(α-β)的值为 .题组二 常错题◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误. 5.已知tan （5π4+α）=17,α∈（π2,π）,则cos α的值是 .6.化简:12sin x-√32cos x = . 7.计算:1−tan15°1+tan15°= .8.若α+β=3π4,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为 .探究点一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)若sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12,则sin 2αcos β= ( ) A .23 B .13 C .16 D .112(2) 已知cos (α+π6)=√3cos α,tan β=√33,则tan(α+β)= .变式题 (1)已知cos α=17,α∈(0,π2),则cos (α-π3)= ( )A .-1114B .3√314 C .5√314D .1314(2) 已知tan （α+π6）=1,则tan （α-π6）= ( )A .2-√3 B .2+√3 C .-2-√3 D .-2+√3探究点二 两角和与差公式的逆用与变形例2 (1) 已知cos (x -π6)=√33,则cos x +cos (x -π3)= ( )A .-1 B .1 C .2√33D .√3 (2)已知sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,则sin(α-β)= .变式题 (1)√22cos 375°+√22sin 375°的值为 ( )A .√32 B .12 C .-√32D .-12(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= . 探究点三 角的变换问题 例3 (1)已知α∈(-π3,0),cos (α+π6)-sin α=4√35,则sin （α+π12）的值是( )A .-2√35B .-√210C .2√35D .-45(2)已知sin α=2√55,sin(β-α)=-√1010,α,β均为锐角,则β= ( )A .5π12 B .π3 C .π4 D .π6变式题 (1)若0<α<π4,-π2<β<0,cos (π4+α)=13,cos (π4-β2)=√33,则cos (α+β2)= ( ) A .5√39B .-√33C .7√327D .-√69(2)已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,则sin 2α= ( ) A .5665 B .-5665 C .1665 D .-1665第04讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换题组一 常识题1.sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 .3. 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4. 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .题组二 常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定). 5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一 三角函数式的化简例1 化简:cos 2（x-π12）+sin 2（x+π12）= ( ) A.1+12cos 2x B.1+12sin 2x C.1+cos 2xD.1+sin 2x(2)化简:tan α+1tan(π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cosα D .1sinα变式题 √1+sin6+√1−sin6= ( ) A .2sin 3B .-2sin 3C .2cos 3D .-2cos 3探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725 D .-1825 (2) 已知tan θ+1tan θ=4,则cos 2(θ+π4)=( )A .15 B .14 C .13D .12变式题 (1) 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25 C.±4√27 D .2√25(2)若sin （π6-α）=13,则cos (2π3+2α)的值为( )A .-13 B .-79C .13 D .79角度2 给角求值 例32cos10°sin70°-tan 20°=( )A .1B .√3-12C .√3D .√32变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4变式题 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .探究点三 三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (x -π6)+a 的最大值为3.(1)求的值及f (x )的单调递减区间; (2)若a ∈(0,π2),f (α2)=115,求cos a 的值.变式题 设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第05讲 正弦定理和余弦定理题组一 常识题1. 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2. 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 .题组二 常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若c cos A=b ,则△ABC 为 三角形.探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=√3,且b 2+c 2=3+bc . (1)求角A 的大小;(2)求b sin C 的最大值.变式题 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=2√3,c=2√2,1+tanA tanB =2c b,则C= ( )A .π6B .π4C .π4或3π4D .π3(2)已知△ABC 满足BC ·AC=2√2,若C=3π4,sinA sinB =12cos(A+B),则AB= .探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2=a 2+bc.若sin B ·sin C=sin 2A ,则△ABC 的形状是 ( )A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形变式题 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若tanA tanB =a 2b 2,则△ABC 是 ( ) A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形或等腰三角形探究点三 与三角形面积有关的问题例3 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且b sin B+(c-b )sin C=a sin A . (1)求角A 的大小;(2)若sin B sin C=38,且△ABC 的面积为2√3,求a .变式题 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足bc=1,a 2-bc=(b-c)2. (1)求△ABC 的面积;(2)若cos B cos C=14,求△ABC 的周长.。