江西省上饶中学2020届高三上学期期中考试数学(理科零班奥赛补习班)试卷Word版含答案
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数学试卷（理科零班、奥赛、补习班） 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．()21i i -C ．2(1)i +D ．()1i i +2．已知命题:p “0x R ∃∈，使得200220x ax a +++≤”，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]1,2-B.()1,2-C.()2,1-D.(]0,23．函数y ＝331x x -的图象大致是（ ）A. B. C. D.4．设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A.(0,2)B.(2,)+∞C.[2,)+∞D.[0,2]5．若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<6．函数f x （）在区间[15]-， 上的图象如图所示0()()x g x f t dt =⎰ ，则下列结论正确的是（ ） A.在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x <（）B.在区间04（，）上，g x （）先减后增且0g x >（）C.在区间04（，）上，g x （）递减且0g x >（）D.在区间04（，）上，g x （）递减且0g x <（）7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cos cos CB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ）8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.73B.83 C.83π- D.73π-9．已知数列{}n a 的前n 项和nn S 21=-，则数列{}2na 的前10项和为（ ）A.1041-B.()21021-C.()101413- D.()101213- 10．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x =+上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A.2B.52C.3D.7211．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈，则111a b++的最小值为（ ） A.1B.2C.3D.412．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（每空5分，共20分）13．设直线1:(1)320l a x y a +++-=，直线2:2(2)+10l x a y ++=.若12l l ⊥，则实数a 的值为______，若1l ∥2l ，则实数a 的值为_______．14．已知变量,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，若20x y a --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．15．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．16．已知首项为2的正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且当n≥2时，3n S －2＝2n a －31n S －．若12nn S ＋≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为_______________． 三、解答题（17题10分，其余12分，共70分） 17．已知函数2()cos sin f x x x x =⋅+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．18．已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*2(21)0,n n a na n n N --+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知定义域为R 的函数12()2x x nf x m+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）若任意的[]1,1t ∈-，不等式2()(2)0-+-≥f t a f at 恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知直线l ：()kx y 12k 0k R -++=∈ （1）证明直线l 经过定点并求此点的坐标；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =，F 为棱PA 上一点，且()01AF AP λλ=<<，M 为AD 的中点，四棱锥P ABCD -． （1）若12λ=，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ；（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为11．22．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）函数()f x 在区间()(),1k k k N *+∈上有零点，求k 的值；（3）记函数()()2122g x x bx f x =---，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值数学试卷答案（理科零班、奥赛班、补习班）一、 选择题C B C BD D A C C B A D 二、 填空题 13.，-4 14. 15.16.三、 解答题 17. (1)5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；(2)4+ 18. (1)(2)19. (1) m=2,n=1 (2)20. (1) (-2,1) (2)21．（1）详见解析 (2)存在12λ=， 解：（1）因为12λ=，所以F 是AP 的中点，又因为N 是PB 的中点，所以//FN AB ，由四边形ABCD 是矩形，得//AB CD ，故//FN CD ，////FN CD CD PCD FN PCD FN PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 ////FN DP DP PCD FM PCD FM PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 //////,FM PCD FN PCDFM FN F PCD FMN PCD FM FN FMN⎧⎪⎪⎨I =⇒⎪⎪⊂⎩面面面面面面； （2）连接PM ，过M 作//ME CD 交BC 于E ，由PAD △是等边三角形，得PM AD ⊥，PAD ABCD PAD ABCD ADPM ABCD PM AD PM PAD⊥⎧⎪I =⎪⇒⊥⎨⊥⎪⎪⊂⎩面面面面面面，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，假设存在λ，满足题意，设AF AP λ=，()0,1λ∈，则()1,0,0A，(P，()B ，()0,0,0M，()MB =，(AF AP λλ==-，则()1MF MA AF λ=+=-，设面FMN 的法向量为(),,m x y z =，所以()00010x m MF m MB x z λ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎩⎪⎩，取y =，得2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由题知：cos ,m n ==，解得12λ=，所以，存在12λ=，使得平面FMB 与平面PAD 22．（1）1y =-；（2）3；（3）152ln 28-． （1）由题意得：()()1110x f x x xx-¢=-=> ()10f '∴=，()11ln121f =--=-∴曲线()y f x =在1x =处切线为：()()()111y f f x '-=-，即1y =-（2）由（1）知：()()1110x f x x x x-¢=-=> ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 ()()min 11f x f ∴==-又()2ln 20f =-<，()31ln30f =-<，()42ln 40f =->由零点存在定理知：()f x 在()3,4上有一个零点()f x 在()1,+∞上单调递增 ∴该零点为()1,+∞上的唯一零点 3k ∴=（3）由题意得：()()()211ln 02g x x b x x x =-++> ()()()()211110x b x g x x b x x x-++'∴=-++=>12,x x 为()g x 的两个极值点，即12,x x 为方程()2110x b x -++=的两根 ∴121x x b +=+，121=x x 211x x ∴=32b ≥1211152x x x x ∴+=+≥，又1110x x <<，解得：1102x <≤ ()()()()()2221121212112211111ln 2ln 22x g x g x x x b x x x x x x ⎛⎫-=--+-+=-- ⎪⎝⎭令()22112ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，102x <≤则()()2242333121210x x x h x x x x xx--+-'=--==-<()h x ∴在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减 ()min 1152ln 228h x h ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭即()()12min 152ln 28g x g x -=-⎡⎤⎣⎦ 152ln 28k ∴≤- 即实数k 的最大值为：152ln 28-。
