江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。

2021年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，4}，N＝{4，5，6}，则（∁U M）∩N ＝（）A．{6} B．{4，6} C．∅D．{5，6}2．已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知||＝2，||＝1，且＝﹣1，则＝（）A．6 B．8 C．3 D．﹣34．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（）A．0.7 B．0.58 C．0.12 D．0.465．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°．若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为（）A．B．C．6 D．6．算法流程图表示如图，若输入a＝30，b＝24，i＝0，则输出的结果为（）A．a＝6，i＝10 B．a＝12，i＝5 C．a＝6，i＝5 D．a＝8，i＝107．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若b sin（B+C）＝2c sin B，，b＝2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．若直线l平行于平面α，则（）A．α内所有直线与l平行B．在α内不存在直线与l垂直C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l成60°角9．北师大版高中数学教材《选修1﹣1》第二章引言中有：过一个圆锥的侧面一点（不是母线的端点）作圆锥的截面．则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的（）A．①②③④B．①③④C．①②D．①②④10．设函数的最小正周期为T，则f（x）在（T，2T）上的零点之和为（）A．B．C．D．11．已知点A（﹣5，﹣5）在动直线mx+ny﹣m﹣3n＝0上的射影为点B，若点C（5，﹣1），那么BC的最大值为（）A．16 B．14 C．12 D．1012．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）﹣f（x）＞1恒成立，e为自然常数．则下列选项中正确的是（）A．f（1）﹣e2f（﹣1）＜e2﹣1 B．ef（2020）﹣f（2019）＜1﹣eC．ef（0）﹣f（1）＜1﹣e D．f（2020）＞f（2019）二、填空题（共4小题）.13．若变量x，y满足，则2x+y的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0．当x≥0时，f（x）＝x2﹣x+a ﹣1，则f（﹣3）＝．15．将连续正偶数有规律地排列如下：则在此表中第15行第14列出现的数字是．16．已知抛物线C：x2＝8y，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()() IIA B =（ ）A ．{}7,8B ．{}3,4C ．{}3,4,7,8D ．5,6【答案】A 【解析】计算出集合IA 和IB ，利用交集的定义可求得集合()()I I A B ⋂.【详解】全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则{}5,6,7,8IA =，{}1,2,7,8IB =，因此，()(){}7,8IIA B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足()()12i z i +=+，则z =（ ）A B ．5C D 【答案】C【解析】根据复数z 满足()()12i z i +=+，利用复数的除法和乘法，化简为35iz +=，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为复数z 满足()()12i z i +=+， 所以()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，所以z ==.故选：C本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．下列命题中，是假命题的是（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则()a b c ⊥- B ．x R ∀∈，2330x x -+>C ．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期为πD ．2log 323= 【答案】A【解析】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=，结合向量垂直的定义，从而可判断.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而可判断.选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，从而可判断.选项D. 由对数运算可得2log 323=，从而可判断. 【详解】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=，当0a =或者b c =时，a 与()b c -不垂直，当0a ≠且b c ≠时，有()a b c ⊥-，从而A 不正确.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而B 正确.选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象如图.由()()sin =44f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数的图象，可得()f x 的最小正周期为π，从而C 正确. 选项D. 设2log 3t =，则23t =，所以2log 3223t == 所以2log 323=，从而D 正确.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直的判断，三角函数的周期的判断，对数的运算，属于基础题. 4．如图，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据每组的条形统计图计算标准差，进而可得出合适的选项. 【详解】对于第一组，9个数均为5，其标准差为10S =；对于第二组，标准差为()22223101693S ⎡⎤⨯-++⎣⎦==；对于第三组，标准差为3S ==；对于第四组，标准差为4S ==因此，标准差最大的为第四组. 故选：D. 【点睛】本题考查标准差的大小比较，根据条形统计图计算出标准差是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 5．已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义可得1cos 2xOQ ∠=-，从而可得()223xOQ k k Z ππ∠=+∈，进而求出()23xOP k k Z ππ∠=+∈，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】由单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ， 点Q 的横坐标为12-，所以1cos 2xOQ ∠=-，即()223xOQ k k Z ππ∠=+∈， 所以()23xOP k k Z ππ∠=+∈，设点P 的横坐标为x ，则1cos cos 2cos 332x xOP k πππ⎛⎫=∠=+== ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解任意角的三角函数定义是关键，属于基础题. 6．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),2ππ和(),0π-函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin xy e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除C 选项；当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．120【答案】C【解析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解. 【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．已知平面向量,a b 满足1a b ，12a b ⋅=，若()12c a b =+，()1d a b λλ=+-，()R λ∈，则c d ⋅的值为（ ） A ．13BC ．34D ．与λ有关【答案】C【解析】根据向量数量积运算律进行展开，代入对应数值即得结果. 【详解】()()()()2211[1][11]22c d a b a b a b a b a b λλλλλλ⋅=+⋅+-=+-+⋅+-⋅ ()()221113[1][1]2224a b a b λλλλ=+-+⋅=+-+= 故选：C 【点睛】本题考查向量数量积运算律，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知双曲线()222:10y C x b b-=>，(),0F c 为双曲线的右焦点，过3,02c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，若F 为OAB 的内心，则双曲线方程为（ ） A ．2241x y -= B ．2212y x -=C ．2213y x -=D ．2214y x -=【答案】A【解析】设直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据内心为内切圆的圆心可知焦点F 到OAB 的三边距离相等，进而列式可得b 即可得出双曲线方程. 【详解】直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即230x y c --=.因为F 到渐近线y bx =b =.且F 为OAB 的内心，故焦点F 到OABb = ，故2222515c b b b =⇒+=，解得214b =.故双曲线方程为22114y x -=，即2241x y -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，需要根据题意利用内心的性质，结合点到线的距离公式列式求解.属于中档题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10100a >，则()()()()()12320182019...f a f a f a f a f a +++++的值（ ）A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负【答案】A【解析】先根据等差数列性质得12019a a >-，再根据奇函数性质以及单调性得()()120190f a f a +<，最后根据类推可判断选择. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以1201910101201920a a a a a +=>∴>- 因为函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数， 所以()()()()()120192019120190f a f a f a f a f a <-=-∴+< 同理可得()()()()()()2201832017100910110,0,,0,f a f a f a f a f a f a +<+<+<()()()10101010101000,f a f a f a +<⇒<因此()()()()()12320182019...0f a f a f a f a f a +++++< 故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质、奇函数性质以及单调性，考查综合分析判断能力，属中档题. 11．已知3e a =，3b e =，则下列选项正确的是（ ） A ．a b > B ．ln2a be +< C ．2lnabe a b>+ D ．ln ln 2a be +< 【答案】C【解析】对于选项A ：先构造函数，利用导数研究其单调性，进而根据单调性作判断；对于选项B,选项C 与选项D ，利用放缩进行判断. 【详解】对于选项A ：构造函数ln x y x =，则21ln xy x -'=，所以函数在(),e +∞上单调递减，所以ln ln 33e e >，即3ln ln3e e >，即3ln ln3e e >，即33e e >，故A 错；对于选项B ：由33ee >可得3333ln ln ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故B 错；对于选项D ：3ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故D 错；对于选项C ：3222lnlnlnln 3ln 3111111333e eee e ea be=>==>+++，故C 正确.故选：C 【点睛】本题考查利用函数单调性以及放缩法比较大小,考查综合分析与求解能力，属中档题.12．已知直角三角形ABC 中，1AC =，BC =斜边AB 上两点,M N ，满足30MCN ∠=︒，则MCN S △的最小值是（ ） ABCD【答案】D【解析】法一：设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ，利用三角形的面积公式可得4xy S =，点C 到斜边的距离为d ，可得12S d MN =⋅=，由余弦定理可得2222cos30MN x y xy =+-︒，利用基本不等式即可求解.法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y =，在ACM 和BCN △中，由正弦定理求出2sin 3x y πθ⎧=⎪⎪-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩，再利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质即可求解.【详解】解析：（法一）设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ， 则在MCN △中有11sin 3024S xy xy =︒=，即4xy S =. 在ACB △中，点C到斜边的距离为d =故12S d MN =⋅=，即MN =由余弦定理可得：222222cos302MN x y xy x y xy =+-︒=+-≥-， 当且仅当x y =时，取等号.即(224S S ⎫≥⋅⎪⎭，可得S ≥. 法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y = 则在ACM 和BCN △中，由正弦定理可得：2sin sin 33sin sin 62CA CM CB CN ππθππθ⎧=⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即12sin 31cos 2y πθθ⎧=⎪⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎪⎩，得2sin 3x y πθ⎧=⎪⎪-⎪⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩所以1sin 26S xy π=142sin 3πθ=- ⎪⎝⎭132244sin cos cos sin cos 33ππθθθ=⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭==31cos2sin2822θθ=+⎫+⎪⎭=38sin23πθ=⎛⎫++⎪⎝⎭.∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33ππθπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴面积的最小值为S==，故选：D.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、三角函数的性质、基本不等式，综合性比较强，属于中档题.二、填空题13．cos15sin15︒=︒______.【答案】2【解析】根据154530︒=︒-︒，再根据正余弦的差角公式求解即可.【详解】()()cos4530cos15cos45cos30sin45sin30sin15sin4530sin45cos30cos45sin30︒-︒︒︒︒+︒︒==︒︒-︒︒︒-︒︒2112+====+故答案为：2+【点睛】本题主要考查了根据正余弦差角公式求解三角函数值的问题，需要转换到特殊角的三角函数进行求解，属于基础题.14．已知()22,01,0x x f x x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()2f a a >，则实数a 的解集是______.【答案】()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】先根据分段函数解析式分类列不等式，再解不等式得结果. 【详解】()0242a f a a a a ≥⎧>∴⎨->⎩或012a a a<⎧⎪⎨->⎪⎩解得23a >或0a < 故答案为：()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属基础题.15．已知直线1y kx =-与焦点在x 轴上的椭圆()222:104x yC b b +=>总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是______.【答案】0,2⎛ ⎝⎦【解析】由焦点在x 轴上得24b <，再由直线1y kx =-与椭圆总有公共点，得20114b +≤，解不等式得12b ≤<，最后根据离心率公式求结果.【详解】因为椭圆焦点在x 轴上，所以24b <，因为0b >，所以02b <<；因为直线1y kx =-与椭圆总有公共点，所以220(1)1014b b b -+≤>∴≥，综上12b ≤<,222311(0,]42c b b e a a ==-=-∈ 故答案为：30,2⎛⎤⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查椭圆离心率、直线与椭圆位置关系,考查基本分析求解能力，属中档题. 16．已知三棱锥P ABC -中，满足1PA BC ==，3PC AB ==，2AC =，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是______. 【答案】105【解析】先确定三棱锥体积最大时位置，再作平行得直线AC 与PB 的夹角，最后根据余弦定理求结果. 【详解】如图所示，因为ABC 的面积为定值，所以当平面PAC ⊥平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作//PE AC ，过A 作AE PE ⊥，所以BPE ∠为AC 与PB 所成角或补角； 过点P 作PD AC ⊥交AC 于D ，则PD ⊥平面ABC ， 所以AE ⊥平面ABC ，即AE AB ⊥， 因为1PA =，3PC =，2AC =，所以PAC 为直角三角形，所以32PD AE ==，12AD PE ==，因为1BC =，3AB =2AC =，所以ABC 为直角三角形，6BAC π∠=所以211732424BD=+-⋅=，则2375442BP=+=，2315344BE=+=，所以1515cos5BPE+-∠==-.因此直线AC与PB夹角的余弦值是5故答案为：5【点睛】本题考查线线角、余弦定理以及三棱锥体积，考查基本分析与求解能力，属中档题.17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x2tcosy3tsinαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求3πα=时直线l的普通方程；（2）若直线l和曲线C交于两点,A B，点P的直角坐标为()2,3，求PA PB+的最大值.【答案】（1）22220x y x y+--=30y--=（2）【解析】（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得2sin2cosρθθ=+，两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．【详解】解：（1）因为2sin2cos4πρθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，得22sin2cosρρθρθ=+∴黄线C的直角坐标方程为22220x y x y+--=当3πα=时，直线l 过定点()2,3，斜率k =∴直线l 的普通方程为)32y x -=-30y --= （2）把直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22220x y x y +--=，得()22cos 4sin 30t t αα+++=.设A 、B 的参数分别为12,t t ，所以()122cos 4sin t t αα+=-+，123t t ⋅=，则1t 与2t 同号，()22cos 4sin 120αα=+->△，则()22cos 4sin 12αα+>，即2cos 4sin αα+>得2cos 4sin αα+>2cos 4sin αα+<-∴()122cos 4sin PA PB t t αααθ+=+=+=+≤∴PA PB +的最大值为【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题．三、解答题18．某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率.（注：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关（2）35【解析】（1）先根据卡方公式求卡方，再对照数据作判断；（2）先根据分层抽样确定各层抽取人数，再利用枚举法确定事件所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】解：（1）()2210010503001009.09110.8285050455511K ⨯-==≈<⨯⨯⨯∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很兴趣， 设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d 、e 中随机选取3名的基本事件有{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,a d e 、{},,b c d 、{},,b c e 、{},,b d e 、{},,c d e 共10个.其中,d e 恰有1个的有{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,b c d 、{},,b c e 共6个 ∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为35. 【点睛】本题考查卡方公式以及古典概型概率，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 19．已知非零数列{}n a 满足11a =，1121n na a +=+； （1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）()212122n n n n S n ++=-⋅-【解析】（1）根据递推关系式，利用等比数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式即可求解. （2）利用分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】解：（1）依题意：1121n na a +=+，所以111211n n a a ++=+， 即数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比2q 的等比数列，所以1111112n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得121nn a =-，所以121n n a =-（2）由（1）可知2n nnn n a =⋅-，令23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅， 则23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，所以()21121222 (22212)n n n n n T n n ++--=+++⋅=-⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，所以()212122n n n nS n ++=-⋅- 【点睛】本题考查了等比数列的定义、递推关系式求通项公式、分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式，属于中档题.20．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别为棱1111,,BB DD D C 和1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1EFC ； （2）求点1A 到平面1EFC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）证法一：连结1AC 交EF 于点G ，利用平几知识证四边形1NGC M 为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结果；证法二：取1CC 中点P ，利用平几知识证MN ∥112AC 11=2MN AC ，再根据线面平行判定定理得结果；（2））解法一与解法二，利用等体积法求点到直线距离. 【详解】（1）证法一：如图连结1AC 交EF 于点G ，则点G 为1AC 的中点，连结1AD ，NG ∵N 为1AD 的中点，∴NG 为11AC D △的中位线，∴NG ∥11C D ，1112NG C D =∵M 为11C D 的中点，∴NG ∥1C M ，1NG C M =，∴四边形1NGC M 为平行四边形 ∴MN ∥1C G ，∵MN ⊄平面1BFC ，1C G ⊂平面1EFC ∴MN ∥平面1EFC .证法二：如图取1CC 中点P ，连接,AF AE ，,PF PB ，因为正方体1111ABCD A B C D -，,,E F P 分别为111,,BB DD CC 中点，所以可得四边形1BPC E 和四边形ABPF 均为平行四边形，所以AF ∥BP ∥1EC ，所以平面1EFC 即为平行四边形1AEC F 所在平面，因为N 为1A D 的中点，所以也为1AD 中点，且M 为11C D 中点，所以MN ∥112AC 11=2MN AC ，∴MN ∥平面1EFC .（2）解法一：延长1DD 到点O ，使得112DD D O =，连结1A O ，则1A O ∥平面1EFC ， 则1A 到平面1EFC 的距离即O 到平面1EFC 的距离，112OC F S =△，点E 到平面1OC F 的距 离为1，164C EF S =△，设1A 到平面1EFC 的距离为h ，则1111A EFC O EFC E OC F V V V ---==，即11161323h ⋅⋅=⋅可得h =，即点1A 到平面1EFC解法二：由证法二知点1A 到平面1EFC 的距离为1A 到平面1AEC F 的距离，所以11A AEF E A AF V V --=，且12AEFS==，112A AFS =，所以1A 到平面1EFC的距离为1113A AF AEF S S ⨯==. 【点睛】本题考查线面平行的判断以及利用等体积法求点面距离，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21．已知函数()sin ln 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 在点,ln 22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程；（2）当()0,x π∈时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）2ln12y x ππ=+-（2）()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点【解析】（1）求出2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，应用点斜式求出切线的方程； （2）应用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数. 【详解】（1）因为()1cos f x x x '=+，所以22k f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所求切线方程为：2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2ln12y x ππ=+-（2）∵()1cos f x x x '=+，∴当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，则()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，且ln 022f ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1ln 0662f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，由()21sin 0f x x x ''=--<，知()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()20f x π'=>，()110f ππ'=-+<，知存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减且02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()ln 10f ππ=->，所以()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，综上可知()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点. 【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数在某个点处的切线方程，利用导数研究函数的零点，属于简单题目.22．已知圆()()222:11C x y r r +-=>，设点A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，点P 为圆C 上一点，且满足AP 的中点在x 轴上.（1）当r 变化时，求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，M 、N 为曲线E 上两个不同的点，且在M 、N 两点处的切线的交点在直线2y =-上，证明：直线MN 过定点，并求此定点坐标.【答案】（1）()240x y y =>；（2）证明见解析，定点坐标为()0,2. 【解析】（1）求得点()0,1A r -，设点(),P x y ，求得线段AP 的中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由0CD DP ⋅=结合平面向量数量积的坐标运算化简可求得点P 的轨迹方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx b =+，利用导数求出曲线E 在点M 、N 的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点Q 的坐标，可得出128x x =-，再将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，利用韦达定理可求得b 的值，进而可求得直线MN 所过定点的坐标.【详解】（1）依题意()0,1A r -，设(),P x y ，则弦AP 中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由0CD DP ⋅=得,1,022x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()240x y y =>； （2）设()11,M x y 、()22,N x y ，依题意可设抛物线在M 、N 两点处的切线交点为()0,2Q x -，设直线MN 的方程为y kx b =+，对函数24x y =求导得2x y '=， 所以，抛物线在点M 处的切线为()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-， 抛物线在点N 处的切线为()22212y y x x x -=-，即2221124y x x x =-， 联立211222124124x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12012224x x x x x +⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 联立直线MN 与曲线E 的方程得24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=， 由韦达定理得1248x x b =-=-，解得2b =，所以，直线MN 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线过定点问题的处理，考查了抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中等题.23．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=.证明： （1）114a b c+≥+； （2）1113222a b b c c a ++≥+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）由条件有()11112a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++ ⎪+++⎝⎭，由均值不等式可证明结论. （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，即证1113x y z++≥，则()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式可证. 【详解】证明：（1）因为,,a b c R +∈，又因为1a b c ++=所以()1111224a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++≥+= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当b c a +=时取等号. 所以114a b c+≥+ （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，且,,x y z R +∈， 所以111111222a b b c c a x y z++=+++++， 所以()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭133x x y y z z y z x z x y ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭1333⎛≥+= ⎝（当且仅当x y z ==时取等号.） 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，考查条件的应用，注意数字1的灵活处理，属于中档题.。

江西省重点中学协作体第一次联考数学（理）答案一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D CBBCDBCACAC二、填空题17. 10 14.2=y 15.2 16.π31040 18. 解(1)由题意得：()()1,615472-=∴+⨯=+d d d ，或11=d (舍）∴n a n -=6............................................3分又 23,6,45211=∴==-=q b a b 公比123.4,-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b ............6分（2）123.4,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=n n n b n a())..........(..................................21212211n n n n n b b b a a a b a b a b a S +++++=++++++= nn n n s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∴23882112-2..........12分18．解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，2=BD 所以AO BD ⊥，...........2分 且3=AO ，又因为2BC CD ==，所以112CO BD ==，又2=AC 222AC OC AO =+∴OC AO ⊥∴................4分AO BD ⊥又因为CO BD O ⋂=，所以平面ABD BCD ⊥平面，............6分()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ， 且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ， 同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =， 设EFO πθ∠=-， 则()0,0,0O，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,co 1s ,221222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos ,co 113s ,22222BE θθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭23sin 21cos 2cos 232=∴=∴=+∴=θθθBE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴464343，，E ..........8分 所以()1,1,0CD =-，1344CE ⎛=- ⎝⎭，， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，01360444x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,n ⎛= ⎝⎭．..........................10分因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC=，所以c os ,4OC n 〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 的锐二面角的余弦值为46...............12分19.解（1）由题意可知：2,42==a a ................1分 设点()()2211,,y x B y x A ，B A ,在椭圆上1221221=+∴b ya x .........① 1222222=+by a x ...........② 43.-=OMAB k k 43.21211212-=++--∴x x y y x x y y ..........③由①-②及③得43-22-=a b ............................4分32=∴b∴椭圆C 方程为: 13422=+y x .....................5分 （2）设直线()1-=x k y l ；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得()01248432222=-+-+k x k x k 2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+∴ ,..............................7分 ∴)433,434222kk k M +-+（， 假设存在点D ,则MD 的直线方程为：)434(1433222kk x k k y +--=++)43340(2k k D +-∴， 2243)1(12kk AB ++= ，.............................................9分 222224314043411kk k k k k MD ++=-++=.........................10分 若ABD ∆为等边三角形则：MD =2243)11223k k ++⨯（224314k k k ++= 即027232=+k ，方程无实数解， ∴不存在这样的点D ..................................12分20.解：（1）依题意得：X 的所有可能取值为500,300,200，..................1分 由表格数据知()3.09027500P ===x ，()4.09036300P ===x ，()3.09027200P ===x ，......4分 因此分布列为..........................................................................5分 (2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑500200≤≤n 。

江西省重点中学协作体2021届高三数学第一次联考试题 文满分：150时间：120分钟一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6}，则(IA)∩(IB)＝A.{7，8}B.{3，4}C.{3，4，7，8}D.{5，6} 2.已知复数z 满足(1＋i)＝z(2＋i)，则|z|＝ A.10 B.2 C.10 D.10 3.下列命题中，是假命题的是A.若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )B.∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0C.函数f(x)＝|sinx ＋cosx|的最小正周期为2πD.2log 32＝34.下图中，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是5.已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为－12，则点P的横坐标为 A.13 B.12C.2236.函数y ＝e xsinx 的大致图像为7.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作。

卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个。

问该若干?”如图是解决该问题的程序框图。

执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A.28B.56C.84D.1208.已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝12，若c＝12(a＋b)，d＝λa＋(1－λ)b，(λ∈R)，则c·d的值为A.133C.34D.与λ有关9.已知双曲线C：2221(0)yx bb-=>，F(c，0)为双曲线的右焦点，过M(32c，0)作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若F为△OAB的内心，则双曲线方程为A.x2－4y2＝1B.2212yx-= C.2213yx-= D.2214yx-=10.已知函数f(x)是定义在R上的单调减函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，且a1010>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2018)＋f(a2021)的值A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负11.已知a＝3e，b＝e3，则下列选项正确的是A.a>bB.a bln e2+< C.2ln eaba b>+D.lna lnbe2+<12.已知直角三角形ABC中AC＝1，BCAB上两点M，N，满足∠MCN＝30°，则S△MCN的最小值是A.4B.8C.62-D.64-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考英语试卷2021.2满分150分考试时间：120分钟第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上. 第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the man going to do now?A. Go to the museum.B. Talk to his friend Matt.C. Attend a meeting.2. What did the man think of the movie?A. It was thrilling.B. It was funny.C. It was horrible.3. What will the woman do?A. Look in the closet.B. Check her room.C. Buy new gloves.4. Who might the woman be?A. A teacher of a class.B. A parent of a student.C. A headmaster of a school.5. What is the man’s cat like?A. Friendly.B. Lazy.C. Scared.第二节(共15小题;每小题1.5分，总分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

n 6n ⎩ 1 1 ⎝ ⎭⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCADAABBCCD5730 ⋅ ⎛ ln N f ⎫N ⎪ 10、t = ⎝ 0 ⎭ = 5730⋅ (2 log 3- 3)≈ 5730⨯ 0.17 ≈ 974ln 2 21 2 2⎛ 3 5 ⎫ 19π 11、 a = 1,V = π(⎰ 0 3xdx + ⎰ 1 (4- x )dx ) = π + ⎪ = ⎝ 2 3 ⎭ 612、设a = k ，则k - 1 ≤ ≤ k + 1 ，即 k 2 - k + 1 ≤ n ≤ k 2 + k + 1n2 2 4 4所以 a = k 数的项共有 2k 项， k = 45 时， k 2 - k = 1980 ， k 2+ k = 2080 所以 a= 44, a = 45∴ 1 + 1 + ....... + 1 = 1 ⨯ 2k ⨯ 44 + 1 ⨯ 41 = 88 411980 198113、λ= -2a 1 a 2 a 2021 k45 45⎧ 1 , n = 114、 a n = ⎨2n -2, n ≥ 215、10000⨯ 0.1359 = 135916、cos B =617、（1）设数列{a }的公差为 d ，则由题意(a + d )2= a (a +3d )----------------1 分 n1 1 1⇒ d 2 = a d ∴d = a = 2或者d = 0 ------------------3 分又 a 1 ≠ a 2021 ∴d ≠ 0∴d = 2 -----------------4 分∴ a n = a 1 + (n - 1)2 = 2n ---------------6 分（2）1=1=1 ⎛ 1-1⎫ ------------8 分a n a n +14n (n +1) 4 n n +1 ⎪1 ⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎫n ∴T n = 4 1- 2 ⎪ + 2 - 3 ⎪ + .......+ n - n +1 ⎪ ⎪ =4 (n +1 )--------------------10 分1 2 2 1 1 1 1 1 1 { n 由 4 (n +1) = 505 2021得n = 2020 --------------12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1 ， AD ∥ A 1D 1 ,取 A 1D 1 的中点 E ，AD = AA 1 且 AD ∥ A 1E ∴ 四 边 形 ADA 1D 1 是 平 行 四 边 形 ∴ DE 、 AA 1 ⊥ 平 面ABCD ∴ A A 1 ⊥ AD ∴ A 1D = DD 1 = ∴ A D 2 +D D 2 =A D 2∴ A D ⊥ DD ------------2 分AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ∴C 1D 1 ⊥ AA 1 又C 1D 1 ⊥ A 1D 1 ，∴C 1D 1 ⊥ 平面 A 1D 1DA --------4 分故 A 1D ⊥ C 1D 1 ，又 A 1D ⊥ DD 1 ， DD 1 ⋂ C 1D 1 =D 1 ∴ A 1D ⊥ 平面DD 1C 1C ------6 分（2）如图建坐标系 D （0,1,1）, B 1 (2,0，0) D 1 (0,2，0） C 1 (2,2，0) ,C(1,1，1)由（1）知 A 1D =（0,1,1）是平面DD 1G 一个法向量-----------------------7 分令 n = (x , y , z ) 是平面CD 1B 1 的一个法向量，设 B 1C = (-1,1,1) , B 1D 1 = (-2, 2, 0)n ⋅ B 1 D 1 =0 n ⋅B 1C =0{x = y =1-2 x + 2 y =0- x + y + z =0 令cos z =0 则 n = (1,1, 0) ------------------------------9 分1n , A 1D = = 2-----------------------------11 分所以二面角 D - GD - B 的平面角为120︒------------12 分1119、（1）完成表格如下骑车不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁及其以上20 30 50 合计5545100-------2 分2 ⇒ { ,= 2 + = 2 10（0 35 ⨯30-15 ⨯ 20）2(7 ⨯ 6-3⨯ 4)2κ2 ==50 ⨯ 50 ⨯ 55⨯ 4511⨯ 9≈9.1 >7.879 -------5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有 关--------6 分。