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1.2.1 三角函数线
一、教学目标：
知识与技能：
1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
过程与方法：
掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
情感、态度与价值观
通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数形结合的思想方法，帮助学生形成科学的世界观、
价值观。
二．重点难点
重点：正弦、余弦、正切线的概念。
难点：正弦、余弦、正切线的利用。
三、教材与学情分析
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
1.导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样
的相依关系呢?
思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容
的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.
新知探究
（1）提出问题：问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用
几何中的方法来表示,应怎样表示呢?
问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?
活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x
轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP
的长度为|y|,它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:
如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向), 规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.
如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y
轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.
引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有
sin α=r y =1
y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义
和相似三角形的知识,就有tan α=
x y =OA
AT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.
讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.
（2）提出问题：问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?
问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?
当角α的终边变化时,它们有什么变化?
活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:
(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,
一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,
不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
讨论结果:①略.②略.
（3）学以致用
例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则
sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,
sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.
活动:根据三角函数线的定义可
知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=A T,sinβ=NQ,cosβ=ON,tanβ=A T′.
答案:MP OM AT NQ ON A T′
点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练1.利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,
所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有
｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM ｜+｜MP ｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合: (1)sinα=21;(2)sinα≥2
1. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以
要作出满足sinα=
21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为2
1的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.
解:(1)作直线y=
21交单位圆于A 与B 两点,连结OA,OB,则OA 与OB 为角α的终边,如图8所示.
