【公开课教案】《三角函数图像》教学设计

《三角函数的图像和性质》教学设计与反
思
一、教学设计
1. 教学目标
- 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质
- 掌握三角函数的周期性和对称性
- 能够利用图像和性质解决三角函数相关问题
2. 教学步骤
步骤一：引入概念
- 通过示意图介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
- 强调函数的周期性和对称性
步骤二：讲解图像和性质
- 展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像
- 分析图像特征，如振幅、周期、对称轴等
- 阐述三角函数的性质，如奇偶性、界值等
步骤三：解决问题
- 提供一些典型问题，引导学生运用图像和性质求解
- 示范解题方法，包括利用性质、缩放变换等
3. 教学资源
- 投影仪和电脑
- 教学PPT
- 相关练题和答案
4. 教学评估
- 设计小组练题，测试学生对三角函数图像和性质的理解程度
- 实时观察学生解题过程，评估其解题方法和思维能力
- 结合学生回答问题和总结教学效果
二、教学反思
本次教学设计在引入概念、讲解图像和性质以及解决问题等环
节上都能够使学生参与，从而提高学生的主动研究能力。

通过图像
的展示和性质的阐述，学生可以直观地理解三角函数的规律和特点。

而解决问题的训练则有助于学生运用所学知识解决实际问题。

值得改进的地方是在评估方面，可以加入更多的互动环节和个别评价，以更准确地评估学生的掌握情况。

此外，教学资源可以进一步扩充，包括实物展示和多媒体辅助工具，以提升教学效果。

总体而言，本次教学设计能够满足教学目标并促进学生的参与和思维能力培养，但仍需在实施过程中加以优化和改进。

3、在处理教材上，我先让学生在函数的图象上直接找关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合图像一个周期的起点和终点，使学生能很快速的画出正弦函数的图像，然后引导他们用相似的作图方法，来探索余弦曲线及其作图方法。这种“两点法”画图的思维模式，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受。
4、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学；普通话标准，教态自然大方，有较好的教学基本功。
2，在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足。比如开头讲函数的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点法作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的理解更为深刻。
3，板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来，摆在学生面前的板书也是重要的一环。优秀的教师，粉笔字潇洒大方，作图时一气呵成，让学生赏心悦目。而我虽然板书设计上工整了许多，但字体不够美观，因此这方面还需多下功夫去练习。
2、数学总是要在游戏中学习的，本课开场白我通过简单的学生活动，巧借学生的好胜心理和爱表现天性，激发他们的学习热情，吸引学生的眼球，并采用计算机绘图来增加学生的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣。在这四十分钟里，我先后采用让学生在电子白版上作图、利用计算机技术绘图、上台板演及用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极而充分地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念。
③再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
方法2:按先伸缩后平移的顺序变换
引导,观察启发函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx的图象作比较，结论：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：

《三角函数图像》教学设计一、学习目标：①了解正弦线、余弦线、正切线；②理解和掌握正弦、余弦、正切曲线，用“五点法”画它们的图像；③会用“五点法”作()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 在一个周期内的简图，并理解()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像与x y sin =的图像的相互联系；④提高数形结合的数学方法与能力；二、学习重点：函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像之间的相互变换。

三、学习难点：“五点法”中五点的确定；并且能够根据x y sin =的图像的对称轴、对称中心确定函数()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像的对称轴、对称中心。

四、教学环境：多媒体教学，学生对象：高三（3）班全体学生五、教学过程： （一）知识导学：1、三角函数线——在下图中，规定了方向的线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线：2、正弦曲线、余弦曲线、正切曲线：分别是指基本三角函数)(cos ),(sin R x x y R x x y ∈=∈=),2,(tan Z k k x R x x y ∈+≠∈=ππ的图像。

3、正弦曲线的特征：关于直线)(2Z k k x ∈+=ππ对称，又关于点))(0,(Z k k ∈π对称，作其在]2,0[π的简图的五个关键点为),1,2(),0,0(π).0,2(),1,23(),0,(πππ- 4、“五点法”作)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 在一个周期内的简图时，五点的取法是：设ϕω+=x X ，由X 取ππππ2,23,,2,0来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

5、)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像可由x y sin =的图像经以下变换得到：①相位变换：)sin(||0)(0)(sin ϕϕϕϕ+=−−−−−−−−−−→−<>=x y x y 个单位长度平移或向右向左；②周期变换：)sin()(1sin x y xy ωω==纵坐标不变横坐标变为原来的；③振幅变换：x A y A xy sin )(sin ==横坐标不变倍纵坐标变为原来的。

专题二：正弦函数、余弦函数的性质。学生考察图像，讨论研究，感知周期性，结合周期特征总结其他性质。
专题三：正切函数的图像和性质，学生分组探究正切函数的性质，利用性质作出函数的图像，更进一步体验数形结合的思想。这三个专题是对教材的相关内容的有效结合，专题之间层层递进，体现本学段课标要求，不拘泥于教材，合理的进行了拓展实践，提高学生学习兴趣与知识的完整性。
1.单元（或主题）学习目标与重点难点
学习目标：
1、会用正弦线画正弦函数的图像，会利用平移变换作余弦函数的图像，会用“五点法”正弦、余弦函数的简图。
2、认识三角函数的周期性，理解周期函数与最小正周期的意义，会求最小正周期。
3、理解并掌握正弦函数、余弦函数的性质，会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间、最值等。
5、 如何画正余弦函数的简图？
1.学习评价设计
可评价的学习要素
1、 正余弦函数图象的画法
评价方法：现场评价，学生自评、互评，教师评价
评价指标： 1）尺规作图 2）作图规范，描点准确
2、五点法作图
评价方法：现场评价
评价指标： 1）准确确定五个关键点 2）作图规范
6.学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：指导学生做单摆简谐振动的实验
讲述用集合对应的语言给出了正弦函数和余弦函数的定义利用正弦线画出正弦曲线让学生体验几何法作图与描点法作图的不同及优点通过平移变换作余弦弦曲线让学生初步体验用图像变换的话函数图像通过画出的图形观察得出五个关键点得到五点法画正弦函数余弦函数的简图
《三角函数的图像与性质》教学设计案例
《《三角函数的图像与性质》教学设计案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
单元（或主题）名称

1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图象1教学目标了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义;能画出)sin(ϕω+=x A y 的图象，了解参数A,ω，ϕ对函数图象变化的影响。

正确找出由函数x y sin =到)sin(ϕω+=x A y 的图象变换规律．通过对函数x y sin =到)sin(ϕω+=x A y 的图象变换规律的探索，体会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．通过对问题的自主探究，培养独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养解决问题抓主要矛盾的思想．2 学情分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习)sin(ϕω+=x A y 的图像，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一。

本节内容从一个物理问题引入，根据从具体到抽象的原则，通过参数的赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数x y sin =的图象到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的变换过程，分解为先分别考察参数A 、ϕ、ω对函数的影响，然后整合为对)sin(ϕω+=x A y 的整体考察。

鉴于作函数)sin(ϕω+=x A y 的图象有一定的复杂性，因此我制作了一张坐标纸，让学生通过作图直观的感受，并结合计算机动态地演示参数A 、ϕ、ω对函数)sin(ϕω+=x A y 图象变化的影响。

三角函数图像与性质教案教案标题：三角函数图像与性质教学目标：1. 理解正弦、余弦和正切函数的图像特征及其性质。

2. 掌握正弦、余弦和正切函数的周期、幅值、相位差等重要概念。

3. 通过观察和比较，能够分析并绘制三角函数的图像。

4. 能够应用三角函数的图像及其性质解决与实际问题相关的数学计算。

教学准备：1. 投影仪/白板/黑板2. 教学课件或绘图工具3. 学生练习册、作业册等教辅材料4. 相关练习题、实例和应用题教学过程：一、引入活动1. 导入：通过展示一个周期性的波动图像，引导学生思考这些图像有何特点，有何规律，并讨论这些波动图像与数学中的三角函数的关系。

二、知识讲解和图像分析1. 介绍正弦函数的定义和基本性质，包括周期、对称轴、最大值、最小值等。

2. 展示正弦函数的图像，解读图像上各个要素与函数的关系，并解释这些要素的具体含义。

3. 引导学生分析正弦函数图像上的特征及其性质，包括振幅、相位差等概念的引入和解释。

4. 教授余弦函数和正切函数的定义和性质，并展示它们的图像，让学生观察和比较三种函数图像的异同。

三、示例演练1. 给予学生一定数量的练习题，要求他们根据所学知识分析和绘制三角函数的图像。

2. 引导学生通过比较不同函数的图像，发现它们之间的关系和规律，并总结出三角函数图像的一般特点。

四、应用拓展1. 给予学生一些实际问题和应用题，要求他们能够利用所学的三角函数图像及其性质解决这些问题。

2. 引导学生通过数学模型的建立和函数图像的分析，将实际问题转化为数学计算，并得出正确的答案。

五、总结和评价1. 对所学知识进行小结和归纳，强调三角函数图像与性质在数学中的重要性和应用价值。

2. 提出问题和讨论，让学生根据所学知识回答和解决，以检验他们的学习效果。

六、作业布置1. 布置适量的课后作业，包括练习题和思考题，以巩固和拓展所学知识。

2. 鼓励学生自主学习，寻找更多与三角函数图像及其性质相关的应用领域。

三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。

2. 学会绘制和分析三角函数的图像。

3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。

二、教学重点：1. 三角函数的定义和图像。

2. 三角函数的性质。

三、教学难点：1. 三角函数图像的绘制和分析。

2. 理解和应用三角函数的性质。

四、教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 三角函数图像的示例。

3. 练习题和解答。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如温度、声音等，引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：讲解三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。

3. 演示：使用课件或黑板，展示三角函数的图像，让学生观察和分析图像的形状和特点。

4. 练习：让学生绘制一些简单的三角函数图像，并分析其性质。

5. 讲解：讲解三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，引导学生理解和应用。

6. 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角函数的性质进行计算和分析。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像和性质的重要性。

8. 作业：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。

六、教学反思：本节课通过实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。

通过讲解和演示，让学生理解和掌握三角函数的图像和性质。

通过练习和实际问题解决，让学生应用所学知识。

整个教学过程中，注意引导学生主动参与，培养学生的动手能力和思维能力。

作业的布置有助于巩固所学内容。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、教学目标：1. 能够运用三角函数的性质解决简单的三角方程和不等式问题。

2. 理解正弦、余弦和正切函数的图像是如何由基础函数通过平移、伸缩等变换得到的。

3. 能够分析实际问题，选择合适的三角函数模型进行求解。

七、教学重点：1. 三角函数图像的变换规律。

2. 三角方程和不等式的求解方法。

八、教学难点：1. 理解三角函数图像的变换规律及其对函数性质的影响。

2. 解决实际问题中三角函数的应用。

教学计划：《三角函数的图像与性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像及其关键特征（如周期、振幅、相位等）；理解并应用三角函数的奇偶性、单调性、最值等性质。

2.过程与方法：通过绘制函数图像、观察分析、归纳总结等过程，培养学生直观感知、逻辑推理和数学抽象能力；学会运用数形结合的方法解决三角函数问题。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和严谨的科学态度；通过团队合作和交流分享，增强学生的集体意识和协作能力。

二、教学重点和难点●教学重点：正弦、余弦、正切函数的基本图像及性质；数形结合思想在三角函数中的应用。

●教学难点：理解并掌握三角函数图像的变换规律（如平移、伸缩、对称等）；运用三角函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过展示海浪波动、音乐波形等自然现象或人工制品中的周期性变化，引导学生思考这些现象与三角函数的关系，引出三角函数图像的重要性。

●复习旧知：简要回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和基础性质，为后续学习做好铺垫。

●提出问题：提出探究性问题，如“正弦函数的图像是什么样的？它有哪些基本性质？”激发学生的好奇心和探索欲。

2. 讲授新知（约15分钟）●图像绘制：利用多媒体演示或指导学生动手绘制正弦、余弦、正切函数的图像，强调图像的连续性、周期性等特点。

●性质讲解：结合图像，详细讲解三角函数的振幅、周期、相位等关键特征，以及奇偶性、单调性、最值等性质。

●对比分析：引导学生对比正弦、余弦、正切函数图像的差异，理解它们各自的特点和相互之间的关系。

3. 图像变换（约10分钟）●理论讲解：介绍三角函数图像的平移、伸缩、对称等变换规律，结合具体例子说明变换后的图像特征。

●实践操作：组织学生分组进行实践操作，尝试通过改变参数来绘制变换后的三角函数图像，并观察分析变化规律。

●总结归纳：引导学生总结归纳三角函数图像变换的一般规律和方法，形成系统的知识体系。

函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象教学设计（一） 教学重点：)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象；（二） 教学难点：)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 图象的作法及其变换方法； （三） 教学方法：启发诱导式； （四） 教学过程： 一、引入播放小动画，引起学生兴趣，并提出问题：已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t)，下面是某日各时的海浪数据：怎样根据以上数据，建立y 与t 之间的函数关系？ 二、)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 图象画法。

问题一：怎样画出)32sin(2π+=x y 的函数图象？[分析]主要方法：五点法。

（1）列表（2）描点 （3）连线注意：（1）五点法作图中x 的取值方法； （2）x 轴单位的确定。

三、图象变换问题二：)32sin(2π+=x y 由x y sin =图象怎样变换得到？[分析]（法一）x y sin = )3sin(π+=x y)32sin(π+=x y )32sin(2π+=x y （法二）x y sin = x y 2sin =)6(2sin π+=x y )32sin(2π+=x y （此过程讲解配合动画演示） 四、例题向左平移3π个单位 横坐标缩小为原来21倍，纵坐标不变 2倍，横坐标不变纵坐标伸长为原来横坐标缩小为原来21倍，纵坐标不变 向左平移6π个单位 2倍，横坐标不变 纵坐标伸长为原来例1 （1）要得到sin(2)3y x π=-（x R ∈） 的图象，只需将sin 2y x = （x R ∈）的图象( D )Α、向左平移3π个单位 Β、向右平移3π个单位 С、向左平移6π个单位 D 、向右平移6π个单位（2）要得到sin()33x y π=-（x R ∈）的图象，只需将sin 3xy =（x R ∈）的图象( D )Α、向左平移3π个单位 Β、向右平移3π个单位С、向左平移π个单位 D 、向右平移π个单位例2 已知函数)(x f y =图象沿x 轴向右平移3π个单位，再保持图象纵坐标不变，而横坐标变为原来2倍，得到曲线与x y sin =图象相同，则)(x f y =是（ ） A.)32sin(π+=x y B.)32sin(π-=x y C.)322sin(π+=x y D.)322sin(π-=x y[分析]可采用“逆向思维”。

三角函数图像教学设计1. 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的概念和性质；2. 学会绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图像；3. 掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的特性和应用。

教学步骤：第一步：引入概念（10分钟）教师向学生介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的概念，以及它们在数学和实际生活中的应用。

教师可以通过简单的例子来说明这些函数的概念和定义，并与学生一起讨论函数的周期性、正负性和定义域等特点。

第二步：绘制函数图像（30分钟）教师向学生展示如何绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

教师可以选择一个周期进行绘制，并解释在一个周期内如何确定函数值。

同时，教师可以使用计算器或数学软件来辅助绘制函数图像，以便更好地展示函数的特点。

第三步：讨论函数特点（20分钟）教师与学生一起讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的特点。

教师可以引导学生分析函数的周期、振幅、平移、正负性等特点，并与学生一起观察图像，找到这些特点的几何意义和物理意义。

第四步：解决问题（20分钟）教师提供一些与正弦函数、余弦函数和正切函数相关的问题，并帮助学生运用所学知识解决问题。

问题可以包括函数的最大值和最小值、函数值的定义域和值域、函数的周期等。

通过解决这些问题，帮助学生巩固对函数的理解和应用。

第五步：应用扩展（20分钟）教师向学生介绍正弦函数、余弦函数和正切函数在实际生活中的应用，并让学生思考和探讨它们在日常生活、自然界和工程中的具体应用。

学生可以自己选择一个研究方向，并以小组形式展示和讨论。

第六步：总结和反思（10分钟）教师与学生一起总结所学内容，并互相交流自己的学习体会和收获。

教师可以向学生提出一些问题，让学生思考和运用所学知识来回答，以检验学生对所学内容的掌握程度。

教学资源：1. 计算器或数学软件，用于绘制函数图像；2. 学生教材和练习册，用于巩固和拓展学习。

评价方式：1. 观察学生对正弦函数、余弦函数和正切函数的理解和绘制图像的能力；2. 学生课堂参与度和问题解决能力的表现；3. 学生的小组展示和讨论的质量和深度。

y A sin x, x R ，周期变换 y sin x, x R ． 3.情感目标：让每个学生亲身体验问题的探究、发现和创造的乐趣；培养动与静的辩证关系, 提高数学修养． 四、教学重点 1.理解振幅变换和周期变换的规律； 2.熟练的对函数 y sin x 进行振幅和周期变换． 五、教学难点 理解振幅变换和周期变换的规律． 六、教学方法 启发引导式(引导学生结合作图过程和动手操作过程理解振幅变换和周期变换的规律)． 六、应用教具 多媒体 ppt、坐标纸． 七、教学过程 1.在我们前面的学习中，我们已经解决了函数 y sin x, x R 与函数 y cos x, x R 的图 象与性质．在作图时我们还学习了一种作图的方法：五点作图法．请大家回忆五点作图法作 y sin x, x R 的图时在 X 轴上的五个值取的是？函数的主要性质有哪些？ 3 , 2 ． 2.五点作图法作 y sin x, x R 的图时在 X 轴上的五个值取的是 0, , , 2 2 3.主要性质有：定义域：R ；值 域：[-1,1]；周 期： 2 ；奇偶性： y sin x, x R 是奇 函数； y cos x, x R 是偶函数 ；单调性呢？（设计意图：复习回顾，直接切入探究的问题） 4.在实际生活中啊，我们常常会遇到的不是 y sin x, x R 这样简单的函数，而是形如
z 2x
0

2

3 2 3 4
函数 y A sin( x ) 的图象教学设计
一、内容分析 本节课是在学生了解五点作图法以后，通过函数 y A sin( x ) 与 y sin x 图象间的关 系，揭示参数 A, , 对函数图象变化的作用和物理意义．它是研究函数图象变换的一个延伸， 也是研究函数性质的一个直观反映．本节课将充分体现以“学生为本”的教学理念，实现课程理 念、教学方式和学生学习方式的转变． 二、学情分析 三角函数是高中数学的重要内容之一．本节课为三角函数图像与性质的重要内容，是一节函 数图象探究的重要范例，同样也是提高学生积极识图、动手画图、数形结合、换元思想能力的一 次锻炼． 三、教学目标 教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的 同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定 了本节课将要完成的三个教育目标． 1.知识目标：理解振幅、周期的定义及变换． 2.能力目标：理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数对函数 y sin x, x R 进行振幅变换

§1.3.3 函数sin()y A x ωϕ=+的图象（第一课时）【教学目标】 知识目标：1.让学生会用“五点法”画出函数)sin(ϕ+=x y 、x y x A y ωsin sin ==、的简图；2.掌握参数ϕω、、A 对函数sin()y A x =+ωϕ图象的影响，渗透分而治之、各个击破的策略. 过程与方法：1.通过学生自己动手画图象，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图象，发现规律，总结提练；2.经历函数x y sin =分别到)sin(ϕ+=x y 、x A y sin =、x y ωsin =的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想以及由感性上升到理性的思维过程. 情感、态度与价值观：1.通过本节的学习，让学生认识动与静的辩证关系，学会运用运动变化的观点认识事物；2.通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探究的学习态度. 教学重点：掌握参数,,A ωϕ对函数sin()y A x =+ωϕ图象的三种影响. 教学难点：图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识. 【学法与教学用具】1.学法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.2.学法指导：主要让学生动手实践，课上尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层.以问题为载体，通过“作图--观察--比较--猜想--证明”的方式呈现，并体验探究、发现和创造的乐趣．3.教法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论.4.教学用具：多媒体 【教学过程】一、提出问题，引入课题师：同学们，前一阶段我们学习了正弦函数x y sin =的图象和性质，而且也学习了用“五点法”画一些由正弦函数生成的函数的图象.现在大家回顾一下，你能写出一些由正弦函数x y sin =生成的函数吗？生：x y x y x y x y sin 22sin )4sin()3sin(==-=+=、、、ππ等.(学生畅所欲言）师：我们能否给他们一个统一的一般形式呢？ 学生尝试给出一般形式，参数可能不是ϕω、、A .师：习惯上，我们用ϕω、、A 来表示一般形式，即sin()y A x =+ωϕ.下面我们就来研究函数sin()y A x =+ωϕ.师：这是一个相对比较复杂的函数，我们可以通过什么方法来研究函数sin()y A x =+ωϕ的性质呢？生：画图.师：很好！我们对这个函数的研究，就从它的图象入手.其实前几天我们用“五点法”也画了一些函数sin()y A x =+ωϕ的图象，你有没有发现它们的图象和谁的图象类似呢？ 生：正弦函数x y sin =.师：那么，这个函数的图象和x y sin =图象到底有什么关系呢？这就是本节课我们将要探索的问题.（板书课题§1.3.3 函数sin()y A x =+ωϕ的图象（第一课时））二、分析问题，规划研究问题1：我们来观察这个函数的表达式，你认为哪些因素在影响sin()y A x =+ωϕ的图象呢？生：三个参数ϕω、、A .问题2：三个参数都在制约函数的图象，你打算怎样研究参数ϕω、、A 对函数sin()y A x =+ωϕ图象的影响呢？生：三个参数分开研究.师：想法很好，我们可以分而治之，逐个击破.当我们碰到一个复杂的问题时，伟大的数学家华罗庚说：“要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”这里的“分而治之、逐个击破”就是 “退”的方法.比如我们先研究参数ϕ，那么A 和ω的值怎么处理呢？ 生：可以令1=A ,1=ω. 师：很好，我们可以再“退”.对于另外两个量研究顺序可以让学生来定.教师板书：)sin(sin ϕ+=−→−=x y x y x A y x y sin sin =−→−= x y x y ωsin sin =−→−=下面请学生选取适当的参数，按照顺序来研究三组函数图象间的关系. 三、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维 合作探究1探究ϕ对函数sin()y x =+ϕ的影响（以sin()3y x =+、πsin()4y x π=-为例） 在同一坐标系中画出以下两个函数sin()3y x π=+、sin()4y x π=-，R x ∈一个周期内的简图.学生用“五点法”画出两个函数的图象. 步骤：1.列表2.描点3.连线（几何画板作图）师：观察一下这两个函数的图象，它们的形状和位置之间有什么关系呢？ 生：形状相同，位置发生了改变，函数)3sin(π+=x y 的图象可以由函数xy sin =向左平移3π个单位而得到.师：你是怎么观察出来的呢？生：我看的是两个特殊点），（03-π和）（0,0. 师：这两个坐标之间有什么关系？ 生：横坐标间相差3π，纵坐标相等. 师：刚才我们观察的是特殊点，下面我们来看看任意对应点之间是否也有这样的关系.（几何画板验证）我们发现两个对应点之间的间距恒等于3π.下面可以来探寻一下图象变换的本质，如果设函数x y sin =横坐标为t 的话，那么函数)3sin(π+=x y 图象上对应的横坐标就是3-πt ，此时它们的纵坐标相等.图像是点的集合，所以考察两个图象间的关系就是考察对应点之间的关系4π-x 02π π 23π π2x 4π 43π 45π 47π 49π )4sin(π-x11-在函数)3sin(π+=x y 图象上的横坐标为3-πt 的点的纵坐标，与函数x y sin =上横坐标为t 的点的纵坐标相等.因此，函数)3sin(π+=x y 的图象可以看做是将函数x y sin =的图象上所有点向左平移3π个单位长度而得到的.推广：在函数)sin(ϕ+=x y 图象上的横坐标为ϕ-t 的点的纵坐标，与函数x y sin =上横坐标为t 的点的纵坐标相等.所以，一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图象可以看做是将函数x y sin =的图象上所有点向左（当0>ϕ时）或向右（当0<ϕ时）平移ϕ个单位长度而得到的板书：)sin(sin 00ϕϕϕϕ+=−−−−−−−−−−−−→−=<>x y x y 个单位）平移）或向右（图象向左（ 师：我们通过对参数ϕ选取了一些特殊值，总结出了一般规律，这就是数学中常用的“特殊到一般”的思想方法.接下去研究参数A ，也可以采用此方法. 合作探究2探究A 对函数sin y A x =的影响（以2sin y x =、1sin 2y x =为例）在同一坐标系中画出函数x y sin =，2sin y x =，1sin 2y x = 一个周期内简图.x 02ππ 32π 2π sin x 0 1 0 1- 0 2sin x0 2 0 2- 0 1sin 2x 01212-（几何画板作图）师：观察一下这两个函数的图象，它们的形状和位置之间有什么关系呢？ 生：位置相同，形状发生了改变，函数x y sin 2=的图象可以由函数x y sin =的图象纵向伸长了2倍而得到的. 师：你是怎么观察出来的呢？生：我看的是两个特殊点），（22π和）（1,2π. 师：这两个坐标之间有什么关系？生：横坐标相等，x y sin 2=的纵坐标是x y sin =图象上对应纵坐标的2倍. 师：根据我们刚才发现的坐标之间的关系，你能否用规范的语句来总结出函数x y sin 2=和x y sin =图象间的关系呢?生：2sin y x =的图象可以看做由函数x y sin =的图象纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）得到的师：你的结论一定正确吗，能否也从任意对应点之间的坐标来说明呢？ 生：（类比探究1）在同一个横坐标t 处，2sin y x =的纵坐标是x y sin =纵坐标的2倍，所以2sin y x =的图象可以看做由函数x y sin =的图象纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）得到的.即在同一个横坐标t 处，sin y A x =的纵坐标是x y sin =纵坐标的A 倍.所以，一般地，函数sin y A x =(0>A 且1≠A )的图象，可以看做是将函数x y sin =的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变）而得到的. 板书：x A y x y A sin sin =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的合作探究3探究ω对函数sin y x =ω的影响（以sin 2y x =、1sin 2y x =为例）在同一坐标系中画出函数x y sin =，sin 2y x =，1sin 2y x = 一个周期内的简图横坐标不变（几何画板作图）师：观察一下这两个函数的图象，它们的形状之间有什么关系呢？ 生：形状发生了改变，函数x y 2sin =的图象横向缩短了. 师：你是怎么观察出来的呢？生：我看的是两个特殊点），（0π和）（0,2π. 师：这两个坐标之间有什么关系？生：纵坐标相等，x y 2sin =的横坐标是x y sin =图象上对应横坐标的21倍. 师：根据我们刚才发现的坐标之间的关系，类比探究2，你能否用规范的语句来总结出函数x y 2sin =和x y sin =图象间的关系呢?生：sin 2y x =的图象可以看做由函数x y sin =的图象,横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）得到的师：你的结论一定正确吗，能否也从任意点之间的坐标来说明呢？12x2ππ 32π2π x0 π2π3π 4π1sin 2x0 1 0 1-2x 0 2π π32π2π x4π2π34ππsin 2x 0 1 0 1-生：（类比探究2）在同一个纵坐标t sin 处，sin 2y x =的横坐标是x y sin =横坐标的21倍，所以sin 2y x =的图象可以看做由函数x y sin =的图象横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）得到的.即在同一个纵坐标t sin 处，sin y x =ω的横坐标是x y sin =横坐标的ω1倍.所以，一般地，函数sin y x =ω(0>ω且1≠ω)的图象，可以看做是将函数x y sin =的图象上所有点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的.板书：x y x y ωωsin sin 1=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的 师：刚才我们研究了一个参数的变化对函数sin()y A x =+ωϕ图象的影响，若有两个或三个参数，又会有什么影响呢？下面我们先来看看含有两个参数的函数. 以函数x y 2sin =和)32sin(π-=x y 为例，大家来说说它们图象间的关系.师：我们可以通过什么方法来寻找它们图象间的关系呢?其实可以借鉴刚才的探究经验，通过作图--观察--比较--猜想--证明这个过程方法来操作. 合作探究4研究函数x y ωsin =与函数)sin(ϕω+=x y 图象间的关系.在同一坐标系中画出函数x y 2sin =与)32sin(π-=x y 一个周期内的简图.)6(2π-x2ππ 32π 2πx6π 512π 23π 1112π 76π)6(2sin π-x10 1- 02x0 2π π32π2π x 0 4π2π34ππ sin 2x11-纵坐标不变师：为什么我们平移了6π个单位，而不是3π个单位呢？ 教师在学生回答的基础上作补充说明：在函数)3-2sin(πx y =图象上横坐标为6-πt 的点的纵坐标，与函数x y 2sin =上横坐标为t 的点的纵坐标相等.因此，函数)3-2sin(πx y =的图象可以看做是将函数x y 2sin =的图象上所有点向右平移6π个单位而得到的.一般的，在函数)sin(ϕω+=x y 图象上的横坐标为ωϕ-t 的点的纵坐标，与函数x y ωsin =上横坐标为t 的点的纵坐标相等.所以，一般地，函数)0,0)(sin(≠>+=ϕωϕωx y 的图象，可以看做是将函数x y ωsin =的图象上所有的点向左（当0>ϕ时）或向右（当0<ϕ时）平移ωϕ个单位长度而得到的. 板书：)(sin )sin(sin )0)0(ωϕωϕωωωϕϕϕ+=+=−−−−−−−−−−−→−=<>x x y x y 个单位平移或向右（图像向左 四、课堂小结：请同学们谈谈本堂课的收获（略）. 教师总结：一、知识：二、过程：作图--观察--比较--猜想--证明（感性到理性） 三、思想：特殊到一般， 数形结合 五、布置作业：课本39P 第1、2题. 40P 第3、4题.【板书设计】§1.3.3 函数sin()y A x =+ωϕ的图象（第一课时）三种变换：1．)sin(sin 00ϕϕϕϕ+=−−−−−−−−−−−−→−=<>x y x y 个单位）平移）或向右（图象向左（)sin ,t t （ )sin ,-t t ϕ（2．x A y x y A sin sin =−−−−−−−−−−→−=倍，横坐标不变纵坐标变为为原来的 )sin ,t t （ )sin ,t A t （3．x y x y ωωsin sin 1=−−−−−−−−−→−=倍，纵坐标不变横坐标变为原来的 )sin ,t t （ )sin ,t tω（提高：)sin(sin )0)0(ϕωωωϕϕϕ+=−−−−−−−−−−−→−=<>x y x y 个单位平移或向右（图像向左)sin ,t t （ )sin ,-t t ωϕ（【设计理念 】本节课遵循“诱思探究”教学模式，体现教师是主导，学生是主体的教学思想.教师在教学中贯彻“特殊到一般，感性到理性”的思想，通过层层设问，诱导学生思考，解决问题来推进教学进程.教师“诱”在关键点上，在精不用多，学生“思”在困惑点处.整个教学过程中，让学生动手探，动脑思，动口概括表达，经历函数x y sin =到x y x A y x y ωϕsin sin )sin(==+=、、的图象变换规律的探索过程，在过程中培养学生分析、抽象、概括的能力，同时也培养学生观察问题和探究问题的能力.。

适用学科 适用区域 知识点 教学目标高中数学 苏教版区域适用年级 课时时长（分钟）高一 2 课时正弦、余弦、正切函数的图象及性质1．能画出 y  sin x, y  cos x, y  tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间 [0, 2 ] 上的性质(如单调性、最大值和最小 值、图象与 x 轴的交点等)．[来  3．理解正切函数在区间 ( , ) 上的单调性．2 2 1．能画出 y  sin x, y  cos x, y  tan x 的图象．教学重点 教学难点【知识导图】2．正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用． 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.教学过程一、导入 本节课复习正弦、余弦、正切函数的图象及性质. 二、知识讲解函数 考点 1 图像y  cos x y  sin x 正弦、余弦、正切函数的图像与性质y  tan x定义域 值域 周期性 奇偶性R[ 1,1]R[ 1,1]{x | x  k 2,k  Z}RT =奇函数T =2奇函数T =2偶函数第 1 页增：[2k ,2k  ](k  Z ) 2 2减：增：增单调性 3 [2k + ,2k  ](k  Z ) 2 2[2k   ,2k ](k  Z )减：(k [2k ,2k   ](k  Z ), k  )(k  Z ) 2 2无减区间对称 中心 对称轴(k ,0)(k  Z )(k + ,0)(k  Z ) 2x  k (k  Z )(k ,0)(k  Z ) 2x  k 2(k  Z )无考点 2 如何求三角函数的值域 1. 将 y  a sin x  b sin x 化为 y  A sin( x   ) 来求； 2. y  a sin 2 x  b sin x  c 型可换元转化为二次函数； 3. sin x cos x 与 sin x  cos x 同时存在时可换元转化；4. y a sin x  b a cos x  b （或 y  ）型，可用分离常数法或由 | sin x | 1, | cos x | 1 来 c sin x  d c cos x  d解决．三 、例题精析 类型一 求三角函数的定义域和最值πx π (1)函数 y＝2sin  6 －3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 1 (2)函数 y＝ 的定义域为______________________． tan x－1例题 1()【规范解答】(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值．π π π 7π ∵0≤x≤9，∴－ ≤ x－ ≤ ， 3 6 3 6 π π  3  ∴sin 6x－3∈－ 2 ，1. ∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3. tan x－1≠0   (2)要使函数有意义，必须有 π ， x≠ ＋kπ，k∈Z   2第 2 页x≠4＋kπ，k∈Z 即 π x≠2＋kπ，k∈Z.π π 故函数的定义域为{x|x≠ ＋kπ 且 x≠ ＋kπ，k∈Z}． 4 2π【总结与反思】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像 来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值 域)； ②形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值 域(最值)； ③形如 y＝asin xcos x＋b(sin x± cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x± cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．类型二 三角函数的单调性、周期性 例题 1 写出下列函数的单调区间及周期：π (1)y＝sin －2x＋3；(2)y＝|tan x|. π 【规范解答】(1)y＝－sin 2x－3， π 它的增区间是 y＝sin 2x－3的减区间， π 它的减区间是 y＝sin 2x－3的增区间． π π π 由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 π 5π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 3 2 5π 11π 得 kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 12 12 π 5π 故所给函数的减区间为 kπ－12，kπ＋12，k∈Z； 5π 11π 增区间为 kπ＋12，kπ＋ 12 ，k∈Z.第 3 页2π 最小正周期 T＝ ＝π. 2 π π  k∈Z. (2)观察图像可知， y＝|tan x|的增区间是 k∈Z， 减区间是 kπ，kπ＋2， kπ－2，kπ， 最小正周期 T＝π.【总结与反思】(1)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中， ω>0)的单调区间时， 要视“ωx＋φ” 为一个整体，通过解不等式求解．但如果 ω<0，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正 数，防止把单调性弄错． (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规 律“同增异减”． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．类型三 三角函数的奇偶性和对称性π 例题 1 (1)已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋φ)  |φ|≤2的图像关于直线 x＝0 对称，则 φ 的值为________． 4π  (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点  3 ，0中心对称，那么|φ|的最小值为( π 【规范解答】(1)f(x)＝2sin x＋3， π  y＝f(x＋φ)＝2sin x＋3＋φ图像关于 x＝0 对称， 即 f(x＋φ)为偶函数． π π π ∴ ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋ ，k∈Z， 3 2 6 π π 又∵|φ|≤ ，∴φ＝ . 2 6 4π  2π  (2)由题意得 3cos 2× 3 ＋φ＝3cos 3 ＋φ＋2π 2π 2π π  ＝3cos  3 ＋φ＝0，∴ 3 ＋φ＝kπ＋2，k∈Z， π π ∴φ＝kπ－ ，k∈Z，取 k＝0，得|φ|的最小值为 . 6 6 )【总结与反思】若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得最大值或最小值． 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时，f(x)＝0.第 4 页π 如果求 f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝ ＋kπ (k∈Z)，求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．类型四 三角函数的单调性、对称性π π 例题 1 (1)已知 ω>0，函数 f(x)＝sin(ωx＋ )在( ，π)上单调递减，则 ω 的取值范围是( 4 2 )π π (2)已知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 对任意实数 x 有 f(x＋ )＝f(－x)成立，且 f( )＝1，则实数 4 8 b 的值为 . π π π π π【规范解答】(1)由2<x<π 得2ω＋4<ωx＋4<πω＋4，π π π π 3π 由题意知( ω＋ ，πω＋ )⊆[ ， ]， 2 4 4 2 22ω＋4≥2， ∴ π 3π πω＋4≤ 2ππ π1 5 ，∴ ≤ω≤ ，故选 A. 2 4π π (2)由 f(x＋ )＝f(－x)可知函数 f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b 关于直线 x＝ 对称，又函数 f(x)在 4 8 对称轴处取得最值，故± 2＋b＝1，∴b＝－1 或 b＝3.【总结与反思】(1) 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题，首先，明确已知的单调 区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之 间的关系可求解．(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点.四 、课堂运用π 1. 函数 y＝cos( －2x)的单调减区间为________． 4 1 2．函数 y＝sin x 的定义域为[a，b]，值域为[－1， ]，则 b－a 的最大值为________． 2 π π 3.已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )，y＝f(x)的部分图像如图，则 f( )＝________. 2 24 答案与解析 1.【答案】同解析 π π 【解析】由 y＝cos( －2x)＝cos(2x－ )得 4 4基础第 5 页π 2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)， 4 π 5π 故 kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ＋ ，kπ＋ ](k∈Z)． 8 8 2.【答案】同解析 【解析】由正弦函数的图像知(b－a)max＝ 3.【答案】同解析 【解析】由题中图像可知，此正切函数的半周期等于 3π 所以 ω＝2.由题意可知，图像过定点( ，0)， 8 3π 3π 所以 0＝Atan(2× ＋φ)，即 ＋φ＝kπ(k∈Z)， 8 4 3π 所以 φ＝kπ－ (k∈Z)， 4 π π 又|φ|< ，所以 φ＝ . 2 4 又图像过定点(0,1)，所以 A＝1. π 综上可知，f(x)＝tan(2x＋ )， 4 π π π π 故有 f( )＝tan(2× ＋ )＝tan ＝ 3. 24 24 4 3 3π π π π － ＝ ，即最小正周期为 ， 8 8 4 2 13π 5π 4π － ＝ . 6 6 3巩固 π 1. 设函数 f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线 x＝ . 8(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调增区间． πx π πx 2．设函数 f(x)＝sin( － )－2cos2 ＋1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期． 4 (2)若函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图像关于直线 x＝1 对称，求当 x∈[0， ]时，y＝g(x)的最 3 大值． 答案与解析 1.【答案】同解析 π π π 【解析】(1)令 2× ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，∴φ＝kπ＋ ，k∈Z， 8 2 4第 6 页3π 又－π<φ<0，则 φ＝－ . 4 3π (2)由(1)得：f(x)＝sin 2x－ 4 ， π 3π π 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 4 2 π 5π 可解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 8 8 π 5π  因此 y＝f(x)的单调增区间为 8＋kπ， 8 ＋kπ，k∈Z. 2.【答案】同解析 【解析】(1)f(x)＝sin ＝ πx π πx π πx cos －cos sin －cos 4 6 4 6 43 πx 3 πx sin － cos 2 4 2 4πx π ＝ 3sin( － )， 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝8. π 4 (2)方法一 在 y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))， 它关于 x＝1 的对称点(2－x，g(x))． 由题设条件，知点(2－x，g(x))在 y＝f(x)的图像上， π π 从而 g(x)＝f(2－x)＝ 3sin[ (2－x)－ ] 4 3 π πx π ＝ 3sin[ － － ] 2 4 3 πx π ＝ 3cos( ＋ )． 4 3 4 π πx π 2π 当 0≤x≤ 时， ≤ ＋ ≤ ， 3 3 4 3 3 4 因此 y＝g(x)在区间[0， ]上的最大值为 3 π 3 g(x)max＝ 3cos ＝ . 3 2 4 2 方法二 区间[0， ]关于 x＝1 的对称区间为[ ，2]， 3 3 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图像关于直线 x＝1 对称， 4 故 y＝g(x)在[0， ]上的最大值为 3 2 y＝f(x)在[ ，2]上的最大值． 3第 7 页πx π 由(1)知 f(x)＝ 3sin( － )， 4 3 2 π πx π π 当 ≤x≤2 时，－ ≤ － ≤ . 3 6 4 3 6 4 因此 y＝g(x)在[0， ]上的最大值为 3 g(x)max＝ 3sin π 3 ＝ . 6 21. 设 f ( x)  1  2sin x ．拔高(1)求 f ( x) 的定义域； (2)求 f ( x) 的值域及取最大值时 x 的值．2．已知函数 f ( x)=sin x  cos x, x  R ． (1)求 f ( ) 的值；12(2)试写出一个函数 g ( x) ，使得 g ( x) f ( x)  cos 2 x ，并求 g ( x) 的单调区间．答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】(1)由 1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：  5 定义域为x2kπ ＋ π 6  ≤ x ≤ 2kπ ＋ 13π ，k∈Z． 6 (2)因为－1≤sin x≤1，所以－1≤1－2sin x≤3， 因为 1－2sin x≥0，所以 0≤1－2sin x≤3， 所以 f(x)的值域为[0， 3]，当 x＝2kπ ＋2.【答案】同解析 【解析】 (1)因为 f(x)＝ 2sinx＋3π ，k∈Z 时，f(x)取得最大值． 2 π π π  π π  ， 所以 f ＝ 2sin ＋ ＝ 2sin 4 3 12 12 4 ＝6 ． 2(2)g(x)＝cos x－sin x．理由如下： 因为 g(x)f(x)＝(cos x－sin x)(sin x＋cos x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x， 所以 g(x)＝cos x－sin x 符合要求．第 8 页π  又 g(x)＝cos x－sin x＝ 2cosx＋ ， 4  由 2kπ ＋π <x＋ π 3π 7π <2kπ ＋2π ，得 2kπ ＋ <x<2kπ ＋ ，k∈Z． 4 4 43π 7π   ，2kπ ＋ ，k∈Z． 所以 g(x)的单调递增区间为2kπ ＋ 4 4  五 、课堂小结 课程小结 1. 正弦函数的图象及性质. 2. 余弦函数的图象及性质. 3. 正切函数的图象及性质.六 、课后作业 基础1．函数 y＝ |sin x＋cos x|－1的定义域是 . π π 2． 设函数 f(x)＝3sin( x＋ )， 若存在这样的实数 x1， x2， 对任意的 x∈R， 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 4 成立，则|x1－x2|的最小值为________． 3．已知函数 f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题： ①若 f(x1)＝－f(x2)，则 x1＝－x2； ②f(x)的最小正周期是 2π； π π ③f(x)在区间[－ ， ]上是增函数； 4 4 3π ④f(x)的图像关于直线 x＝ 对称． 4 其中真命题是________． 答案与解析 π 1.【答案】[kπ，kπ＋ ](k∈Z) 2 【解析】|sin x＋cos x|－1≥0⇒(sin x＋cos x)2≥1 ⇒sin 2x≥0，∴2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z， π 故原函数的定义域是[kπ，kπ＋ ](k∈Z)． 2 2.【答案】2第 9 页π π 2 【解析】f(x)＝3sin( x＋ )的周期 T＝2π× ＝4， 2 4 π f(x1)，f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值， T 故|x1－x2|的最小值为 ＝2. 2 3. 【答案】③④ 1 π 【解析】 f(x)＝ sin 2x，当 x1＝0，x2＝ 时， 2 2 f(x1)＝－f(x2)，但 x1≠－x2，故①是假命题； f(x)的最小正周期为 π，故②是假命题； π π π π 当 x∈[－ ， ]时，2x∈[－ ， ]，故③是真命题； 4 4 2 2 3π 1 3 1 因为 f( )＝ sin π＝－ ， 4 2 2 2 3 故 f(x)的图像关于直线 x＝ π 对称，故④是真命题． 41．已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＋1. 巩固 π π (1)当 x∈[ ， ]时，求 f(x)的最大值和最小值； 4 2 (2)求 f(x)的单调区间． π  π 2．已知 a>0，函数 f(x)＝－2asin 2x＋6＋2a＋b，当 x∈0，2时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数 a，b 的值； π (2)设 g(x)＝f x＋2且 lg g(x)>0，求 g(x)的单调区间． 答案与解析 1.【答案】同解析 π 【解析】(1)f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＋1＝2sin(2x－ )＋1. 3 π π π π π 2π ∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x≤π，∴ ≤2x－ ≤ ， 4 2 2 6 3 3 1 π π ∴ ≤sin(2x－ )≤1，∴1≤2sin(2x－ )≤2， 2 3 3 π 于是 2≤2sin(2x－ )＋1≤3， 3 ∴f(x)的最大值是 3，最小值是 2. π π π (2)由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z 2 3 2 π 5π 得 2kπ－ ≤2x≤2kπ＋ ，k∈Z， 6 6第 10 页∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 2.【答案】同解析【解析】(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .1. 已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，5()1f x -≤≤． (1)求常数,a b 的值；(2)设()()2g x f x π=+且lg ()0g x >，求()g x 的单调区间． 答案与解析1.【答案】见解析【解析】(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6．所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]， 又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5．(2)由(1)，得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ． 又当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z ． 所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ． 拔高。

三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。

2. 学会绘制三角函数的图像。

3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本概念正弦函数（sin）余弦函数（cos）正切函数（tan）余切函数（cot）正割函数（sec）余割函数（csc）2. 三角函数的图像正弦函数的图像余弦函数的图像正切函数的图像其他三角函数的图像3. 三角函数的性质周期性奇偶性单调性极值三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解三角函数的定义、图像和性质。

2. 利用数形结合法，引导学生通过观察图像来理解函数的性质。

3. 运用实例分析法，让学生通过实际问题来应用三角函数的性质。

四、教学步骤：1. 引入三角函数的概念，讲解三角函数的定义和基本性质。

2. 利用计算机软件或板书，绘制三角函数的图像，让学生观察和理解函数的图像。

3. 通过示例，讲解三角函数的性质，引导学生掌握如何判断函数的周期性、奇偶性、单调性和极值。

4. 布置练习题，让学生巩固所学内容，并能够应用三角函数的性质解决实际问题。

五、教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生对三角函数定义和基本概念的掌握程度。

3. 学生能够正确绘制三角函数的图像。

4. 学生能够运用三角函数的性质解决实际问题。

六、教学拓展：1. 探索三角函数的复合函数图像和性质。

2. 研究三角函数在科学和工程中的应用。

3. 引入三角恒等式，让学生了解三角函数之间的关系。

七、教学活动：1. 组织小组讨论，让学生共同探讨三角函数的性质和图像。

2. 开展数学竞赛，激发学生学习三角函数的兴趣。

3. 安排实地考察，让学生观察和理解三角函数在现实世界中的应用。

八、教学资源：1. 利用计算机软件，如GeoGebra或Matplotlib，绘制三角函数的图像。

2. 提供三角函数的图像和性质的参考资料，供学生自主学习。

3. 利用互联网资源，寻找实际问题，让学生应用三角函数的性质解决。

三角函数图像与性质教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2π
cos x
10
−1
0
1
y cos x -1 0
1
0
−1
引导 学生 思考
2、描点，作图 蓝色的是 Y=cosx 的图像
由两个函数关系式的区别，再观察两个图像的区别。 【目的】设置这两个例题，是要学生在掌握正余弦函数图像 的基础上，提高灵活解题的能力。
总结要点，凝炼知识 方法：小组讨论法。每个组写出本节课的主要内容、重点、 难点，你认为自己学到了哪些知识。 教师再进行总结、补充或修正。 本节内容是（1）五点法做正弦函数和余弦函数的图像 （2）同一坐标系中两种图像对比相同和不同之处，二者的 联系和区别。（3）作由两种函数延伸的函数图像时，要先从 解析式分析它和正弦函数或余弦函数的关系，然后再做图像
运用新知，提升能力 例题 1 利用五点法作函数 y=1+sinx 在[0,2π]上的图像。 【学生分析问题】：此函数与函数 y=sinx 有什么关系？ 作图并验证你的结论（学生列表，教师利用课件演示） 1、列表
例题 是培 养学
x sinx 1+sinx
π
3π
0
2
π
2
2π
01
0
-1
0
12
1
0
1
2、描点，作图
生的 解题 能力
Y=sinx
结论：
由图像可以看出， 两个函数的图像形状完全相同，只是 在坐标系中的位置不同。函数 y=1+sinx 的图像是将函数函数 y=sinx 的图像向上平移了一个单位。
例题 2 用“五点法”作出函数 y cos x 在0, 2π 上的图像
1、 列表
π
3π
x
0

课题：三角函数的图像和性质【教学目标】知识目标:理解正弦函数的图像和性质；理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；了解余弦函数的图像和性质.能力目标：认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；情感目标：通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力.【教学重点、难点】正弦函数的图像及性质；用“五点法”作出函数产sinx在［0,2句上的简图.周期性的理解.【教学设计】（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期：（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；（5）观察类比得到余弦函数的性质.【教学过程】1、概念：对于函数,，= /"）,如果存在一个不为零的常数丁，当x取定义域。

内的每一个值时.，都有x+TeO,并且等式f（x + T） = /（x）成立，那么，函数），= /（x）叫做周期函数，常数7叫做这个函数的一个周期。

通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期。

2、用“描点法”作函数），=$皿工在［0,2可上的图像.正弦函数＞'=sin x的定义域是实数集R .具有下面的性质：（1）是R内的有界函数，其值域为［-1,1］.当xW + 2"（丘Z）时，2〉'max = 1 ； " l x = -y + 2kn（k e Z）时，y min = -1.（2）是周期为2冗的周期函数.（3）是奇函数.（4）在每一个区间（-g + 2/（ + 2%兀）（AeZ）上都是增函数，其函数值由-1增大到1；在每一个区间己+ 2班3+ 2女兀）（丘2）上都是减函数，其函数值由1减2 2小到-1.3、例1利用“五点法”作函数y = l + sinx在［0.2句上的图像.分析y = sinx图像中的五个关键点的横坐标分别是0,四，兀，羽，2兀，这里 2 2 要求出y = l + sinx在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像.例2已知sinx = ”-4,求”的取值范围.例3求使函数,=砧］2、取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少.分析将2x看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换.课堂练习：（1）利用“五点法”作函数），=-sinx在［0,2可上的图像.（2）已知sin a = 3-a,求”的取值范围.4、用“描点法”作出余弦函数y = cosx在［0,2句上的图像.余弦函数y = cosx（xeR）的定义域是实数集R，余弦函数有如下性质：⑴ 是有界函数，其值域为［-1』.当x = 2日/eZ）时，y max = 1;当x = （2k+ 1）兀伏eZ）时，y niin =-1 .⑵是周期为2兀的函数.⑶是偶函数.（4）在区间（（2&T）兀,2E）（"Z）内是增函数,函数值从-1增加到1；在区间（2E,（2k + 1）冗）伏e Z）内是减函数，函数值从1减少到-1.5、例4用“五点法”作出函数y = —cosx在［0.2句上的图像. 分析y = cosx图像中的五个关键点的横坐标分别是0，兀，/，2兀，这里要求出y = -cosx在这五个关键点上的相应函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像.课堂练习：用“五点作图法”作出函数)，= l-cosx在［0,2句上的图像.6、课堂小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？7、课后作业：(1)读书部分：教材章节5. 6；⑵书面作业：学习与训练习题5. 6；⑶实践调查：探究其他作图的方法.【教后反思】。