第十六章 二次根式
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在下列各式中,不是二次根式的有( ) ①-10;②10a (a ≥0);③m n
(m ,n 同号且n ≠0);④x 2+1;⑤38. A .3个 B .2个 C .1个 D .0个
2.若代数式x +1
(x -3)2有意义,则实数x 的取值范围是( )
A .x ≥-1
B .x ≥-1且x ≠3
C .x >-1
D .x >-1且x ≠3
3.下列计算:(1)( 2)2=2;(2) (-2)2=2;
(3)(-2 3)2=12;(4)(2+3)(2- 3)=-1.其中结果正确的个数为
( )
A .1
B .2
C .3
D .4
4.下列式子中为最简二次根式的是( )
5.若75n 是整数,则正整数n 的最小值是( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6.一个直角三角形的两条直角边长分别为2 3 cm ,3 6 cm ,那么这个直角三角形的面积是( )
A .8 2 cm 2
B .7 2 cm 2
C .9 2 cm 2 cm 2
7.如果a -b =2 3,那么代数式(a 2+b 22a -b )·a a -b
的值为( ) B .2 3 C .3 3 D .4 3
8.甲、乙两人计算a +1-2a +a 2的值,当a =5的时候得到不同的答案,甲的解答是a +1-2a +a 2=a +(1-a )2=a +1-a =1;乙的解答是a +1-2a +a 2=a +(a -1)2=a +a -1=2a -1=9.下列判断正确的是( )
A .甲、乙都对
B .甲、乙都错
C .甲对,乙错
D .甲错,乙对
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.已知a<2,则(a-2)2=________.
10.计算:27-6 1
3
=________.
11.在实数范围内分解因式:x2-5=____________.
12.计算:18÷3×1
3
=________.
13.化简:(1)
1
3 2
=________;(2)
1
12
=________;(3)
10
2 5
=________;
(4)
2
3-1
=________.
14.一个三角形的三边长分别为8 cm,12 cm,18 cm,则它的周长是________
cm.
15.已知a是13的整数部分,b是13的小数部分,则ab=________.
16.我国南宋着名数学家秦九韶在他的着作《数书九章》一书中,给出了着名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式.即:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,那么
该三角形的面积为S=1
4
[a2b2-(
a2+b2-c2
2
)2].已知△ABC的三边长分别为5,2,
1,则△ABC的面积为________.
三、解答题(共52分)
17.(10分)计算:
(1)2(12+20)-3(3-5);
(2)(3-2 5)(15+5)-(10-2)2.
18.(10分)已知a=7+2,b=7-2,求下列代数式的值:
(1)a2b+b2a;(2)a2-b2.
19.(10分)先化简,再求值:
1
x2+2x+1
·(1+
3
x-1
)÷
x+2
x2-1
,其中x=2 5-1.
20.(10分)王师傅有一根长45米的钢材,他想将它锯断后焊成三个面积分别为2平方米、18平方米、32平方米的正方形铁框,王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由.
21.(12分)阅读材料:
小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方的形式,如3+2 2=(1+2)2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b2=(m+n2)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b2=m2+2n2+2mn2,所以a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b3=(m+n3)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=________,b=________;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:______+______3=(______+______3)2;
(3)若a+4 3=(m+n3)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
详解详析
1.B [解析] ①的被开方数是负数,不是二次根式.②符合二次根式的定义,是二次根式.③m ,n 同号,且n ≠0,则被开方数是非负数,是二次根式.④因为x 2≥0,所以x 2+1>0,被开方数是正数,是二次根式.⑤的根指数不是2,所以不是二次根式.
2.B [解析] 由题意得???x +1≥0,(x -3)2≠0,
解得x ≥-1且x ≠3.
3.D [解析] (1)根据“( a )2=a (a ≥0)”可知( 2)2=2成立;(2)根据“ a 2=||a ”可知 (-2)2=2成立;(3)根据“(ab )2=a 2b 2”可知,计算(-2 3)2,可将-2和 3分别平方后,再相乘,所以这个结论正确;(4)根据“(a +b )(a -b )=a 2-b 2”,( 2+3)( 2- 3)=( 2)2-( 3)2=2-3=-1.
4.A
5.B [解析] ∵75=25×3,∴使75n 是整数的正整数n 的最小值是3.故选B.
6.C
7.A [解析] 原式=(a -b )2
2a ·a a -b =a -b 2
,把a -b =2 3代入,原式=2 32
=3,故选A. 8.D [解析] ∵a =5,∴(1-a )2=|1-a |=a -1.
9.2-a
11.(x +5)(x -5)
13.(1)26 (2)36 (3)22 (4)3+1 14.(5 2+2 3) [解析] 8+12+18=2 2+2 3+3 2=(5 2+2 3)cm.
15.3 13-9 [解析] 根据题意,得a =3,b =13-3,所以ab =3()13-3=
3 13-9.
16.1 [解析] 把5,2,1代入三角形的面积公式得S=
1 4[5×4-(
5+4-1
2
)2]=
1
4
(20-16)=1,故填1.
17.解:(1)原式=2(2 3+2 5)-3 3+3 5
=4 3+4 5-3 3+3 5
=3+7 5.
(2)原式=3×15+5 3-2 5×15-10 `5-
[]
(10)2-2×10×2+(2)2
=3 5+5 3-10 3-10 5-10+4 5-2
=-3 5-5 3-12.
18.解:(1)原式=ab (a +b ).
当a =7+2,b =7-2时,原式=6 7.
(2)原式=(a +b )(a -b ).
当a =7+2,b =7-2时,原式=8 7.
19.解:原式=1(x +1)2·x +2x -1·(x +1)(x -1)x +2=1x +1
. 当x =2 5-1时, 原式=12 5-1+1=510
. 20.解:不够用.理由如下: 焊成三个面积分别为2平方米、18平方米、32平方米的正方形铁框所需的钢材的总长是4(2+18+32)=4(2+3 2+4 2)=32 2(米),(32 2)2=2048,452=2025.
∵2048>2025,∴王师傅的钢材不够用.
21.解:(1)m 2+3n 2 2mn
(2)答案不唯一,如:4 2 1 1
(3)根据题意,得?
??a =m 2+3n 2,4=2mn . ∵2mn =4,且m ,n 为正整数,
∴m =2,n =1或m =1,n =2,
∴a =7或a =13.
八年级下学期数学测试卷 一、选择题: 1.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≥0 B.x≠1 C.x>0 D.x≥0且x≠1 2. 下列各组数中,以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是() A 1.5,2,3 a b c === B 7,24,25 a b c === C 6,8,10 a b c === D 3,4,5 a b c === 3.如图,直线l上有三个正方形a b c ,,,若a c ,的面积分别为5和11,则b的面积为() A.4 B.6 C.16 D.55 4. 如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是() A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCD C.A B=CD D.A C⊥BD 5. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB的中点,EF交AC于点H ,则的值为() A.1B.C.D.6.0) y kx b k =+≠ (的图象如图所示,当0 y>时,x的取值范围是 () A.0 x< B.0 x> C.2 x< D.2 x> 7. 体育课上,20人一组进行足球比赛,每人射点球5次,已知某一组的进球总数为49个,进球情况记录如下表,其中进2个球的有x人,进3个球的有y人, 进球数0 1 2 3 4 5 人数 1 5 x y 3 2 A.y=x+9与y= 3 x+ 3 B.y=-x+9与y= 3 x+ 3 C.y=-x+9与y=- 2 3 x+ 22 3 D.y=x+9与y=- 2 3 x+ 22 3 8. 已知一次函数y=kx+b(k、b为常数且k≠0)的图象经过点A(0,﹣2)和点B(1,0),则k=,b= 9.已知:ΔABC中,AB=4,AC=3,BC=7,则ΔABC的面积是( ) A.6 B.5 C.1.57 D.27 10. 如图,已知一条直线经过点A(0,2)、点B(1,0),将这条直线向左平移与x轴、y 轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为. a b c
二次根式单元测试题一 一、 填空题(每题2分,共20分) 1、当a 时, 有意义 2、计算: 3、计算: 4、计算: (a >0,b >0,c >0) 5、计算: = = 6、 7、 则 2006个3 2006个4 8、 9、观察以下各式: 利用以上规律计算: 10、已知 二、 选择题(每题3分,共30分) 11、若32+x 有意义,则 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 12、化简 的结果是 ( ) A 、0 B 、2a -4 C 、4 D 、4-2a 13、能使等式 成立的条件是 ( ) A 、x ≥0 B 、x ≥3 C 、x >3 D 、x >3或x <0 14、下列各式中,是最简二次根式的是 ( ) A 、x 8 B 、b a 25 C 、2294b a + D 、 15、已知 ,那么 的值是 ( ) A 、1 B 、-1 C 、±1 D 、4 16、如果 ,则a 和b 的关系是 ( ) A 、a ≤b B 、a b 17、已知xy >0,化简二次根式 的正确结果为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 18、如图,Rt △AMC 中,∠C=90°, ∠AMC=30°,AM ∥BN ,MN=2 cm , BC=1cm ,则AC 的长度为 ( ) A 、23cm B 、3cm C 、3.2cm D 、 ()=-2 31)(a -1()=2232)(=??? ? ????? ??--2511)(==-?)()(273 11=73)1(a 38)2(=->2,0xy xy 化简如果=+=+= +222222444333443343,,= +22444333 =+-20062005)12()12(343412323112121-=+-=+-=+,,()= +??? ??++++++++120062005200613412311 21 = ??? ? ?-???? ??+-=+=x y y x 11111313,则,2 3-≥x 23-≤x 32-≥x 32-≤x 2)2 (2-+-a a 3 3-=-x x x x 2 y 51 =+x x x x 1-1212 2-=+-?-b ab a b a 2 x y x -y y -y -y --3M A N B C cm 32 3
八年级下期末数学试卷 班级 姓名 成绩 一、选择题(本大题10个小题,每小题4分,共40分) 1.下列式子是最简二次根式的是( ) A.21 B.8 C.4.0 D. 22- 2.下列计算正确的是( ) A .()332-=- B .632=? C .2332=- D .725=+ 3. 下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( ) A . 2,2,3 B . 3,4,5 C . 5,12,13 D . 1,2,3 4.若为实数,且,则y x -的值为( ) A .1 B . C .-4 D .4 5.菱形的两条对角线长分别为9与4,则此菱形的面积为( ) A .12 B .18 C .20 D .36 6. 下列说法中错误的是( ) A .两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; B .两条对角线相等的四边形是矩形; C .两条对角线互相垂直的矩形是正方形; D .两条对角线相等的菱形是正方形 7.如图,矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,AB 在数轴上,若以点A 为圆心,对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ,则点M 表示的数为( ) A .2 B .1-5 C .1-10 D .5 8.已知正比例函数y=kx (k≠0)的函数值y 随x 的增大而减小, 则一次函数y=x+k 的图象大致是( ) A . B . C . D . 9.如图象中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家,其中x 表示时间,y 表示张强离家的距离.根据图象提供的信息,以下四个说法错误的是( ) A 、体育场离张强家3.5千米 B 、张强在体育场锻炼了15分钟 C 、体育场离早餐店1.5千米 D 、张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 10.如图.矩形纸片ABCD 中,已知AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且EF=3.则AB 的长为( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
《二次根式》单元测试题 (一)判断题:(每小题1分,共5分) 1.ab 2)2(-=-2ab .…………………( )【提示】2)2(-=|-2|=2.【答案】×. 2.3-2的倒数是3+2.( )【提示】 2 31 -=4323-+=-(3 +2).【答案】×. 3.2)1(-x =2)1(-x .…( )【提示】2)1(-x =|x -1|,2)1(-x =x -1(x ≥1).两式相等,必须x ≥1.但等式左边x 可取任何数.【答案】×. 4.ab 、 3 1 b a 3、 b a x 2-是同类二次根式.…( )【提示】3 1 b a 3、 b a x 2- 化成最简二次根式后再判断.【答案】√. 5.x 8, 3 1 ,29x +都不是最简二次根式.( )29x +是最简二次根式.【答案】×. (二)填空题:(每小题2分,共20分) 6.当x __________时,式子 3 1 -x 有意义.【提示】x 何时有意义?x ≥0.分式何时有意义?分母不等于零.【答案】x ≥0且x ≠9. 7.化简- 8 15 27102 ÷3 1225 a =_.【答案】-2a a .【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. 8.a -12-a 的有理化因式是____________.【提示】(a -12-a )(________)=a 2-22)1(-a .a +12-a .【答案】a +12-a . 9.当1<x <4时,|x -4|+122+-x x =________________. 【提示】x 2-2x +1=( )2,x -1.当1<x <4时,x -4,x -1是正数还是负数? x -4是负数,x -1是正数.【答案】3. 10.方程2(x -1)=x +1的解是____________.【提示】把方程整理成ax =b 的形式后,a 、b 分别是多少?12-,12+.【答案】x =3+22. 11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简 2 2 22d c ab d c ab +-=______.【提 示】22d c =|cd |=-cd . 【答案】ab +cd .【点评】∵ ab =2)(ab (ab >0),∴ ab -c 2d 2=(cd ab +)(cd ab -).
八年级(下)期末数学试卷 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,满分30分) 1.下列二次根式中,是最简二次根式的是() A. B.C.D. A.94 B.96 C.113 D.113.5 3.在一个直角三角形中,已知两直角边分别为6cm,8cm,则下列结论不正确的是() A.斜边长为10cm B.周长为25cm C.面积为24cm2D.斜边上的中线长为5cm 4.如图,?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度为() A.4 B.3 C.2 D.1 x与方差S2: 平均数 ) A.甲B.乙C.丙D.丁 6.下列各命题的逆命题成立的是() A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.如果两个角都是90°,那么这两个角相等 7.已知直线y=kx+b与y=2x﹣5平行且经过点(1,3),则y=kx+b的表达式是() A.y=x+2 B.y=2x+1 C.y=2x+2 D.y=2x+3 8.已知正比例函数y=kx,且y随x的增大而减少,则直线y=2x+k的图象是() A. B. C. D. 9.如图,?ABCD中,AB=4,BC=3,∠DCB=30°,动点E从B点出发,沿B﹣C﹣D﹣A运动至A 点停止,设运动的路程为x,△ABE的面积为y,则y与x的函数图象用图象表示正确的是()
A . B . C . D . 10.在平面直角坐标系中,点A (0,4),B (3,0),且四边形ABCD 为正方形,若直线l :y=kx +4与线段BC 有交点,则k 的取值范围是( ) A .k ≤ B .﹣≤k ≤﹣ C .﹣≤k ≤﹣1 D .﹣≤k ≤ 二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 11.化简: = . 12.如图,?ABCD 中,∠DCE=70°,则∠A= . 13.如果菱形有一个内角是60°,周长为32,那么较短对角线长是 . 14.如图,?ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,E 为BC 边中点,已知AB=6cm ,则OE 的长为 cm . 15.直线l 1:y=x +1与直线l 2:y=mx +n 相交于点P (a ,2),则关于x 的不等式x +1≥mx +n 的解集为 . 16.如图,在矩形ABCD 中的AB 边长为6,BC 边长为9,E 为BC 上一点,且CE=2BE ,将△ABE 翻折得到△AFE ,延长EF 交AD 边于点M ,则线段DM 的长度为 .
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )
A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4
姓名:_______________ 班级:_ 一.选择题:(每小题3分,共15分) 学号: 成绩: 1 . 若3-m为二次根式,则m的取值为 2. A . m< 3 B. m v 3 以下运算错误的是( ) A. 、, 3 5 = , 3 ::」5 C. 2 2 = 2.2 3 . F列二次根式中,最简二次根式是 A. 、3a B . 4. F列式子中二次根式的个数有 ⑴:3 ;「_3;八丿 5 、C. m> 3 .16 9 = .16 .9 4a2b3二2ab , b C. 153J43 1 :⑷3 8 ;5) . (- 1) 若A—(a2?9)4,则、一A等于 () 3 B、(a2 3)2c、(a2 9)2 二、填空题: (每空2分,共22 分) 6?当x 时,式子■ x 1有意义,当X. 7.已知: ---------- 2 x x y 0,则 C. 4个 8.化简:24 = 9.比较大小: -3 2 -2 3; 10.若,3 -x -xy = ,32 ;⑹1 - x(x .1) ;7) . x22x 3 . a2 9 时,式子I?有意义; J2x -4 二"_2成立,则x满足; .3 -x 2 12.要切一块面积为6400 cm的正方形大理石地板砖,则它的边长要切成cm ; 三.解答题: 13. 3 3 ■ ? 2 -'2 2 -"2 3 14. 3-\3 2~i2 「3 一2
16?已知:x =2 一 ...3 , y = 2 ?3,求代数式 x 2 y 2 的值; 17.有这样一类题目:将 .a_2「b 化简,如果你能找到两个数 m 、n ,使m 2 ? n 2 = a 并且 mn = .b ,则将a _2-、b 变成m 2 ? n 2 _2mn 二m _ n ?开方,从而使得 、a _2 . b 化简。 例如:化简\3_2「2 2 2 :3 2.2=1 2 2、、2=12 .2 2&h]1 & ...3 2 :2=- 1 -; 2 i =1 仿照上例化简下列各式: 19.已知.x-2y-5与2x -3y -8或为相反数,求二次根 式...x-8y 的值. 20.把下列各式化成最简二次根式: 15. (..18-2.2). 16. (4b P +J9ab) ⑴ (1) 18.