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(3) 幂级数 an x n 的和函数s( x)在收敛区间
注：定理条件是充分非必要的。例 交错级数
(1)n 并不满足定理条却件收，敛但。
n2 n(1)n
说明： （1）条件是充分而非必要的
（2）判别 un un1的方法有三种。
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若 u n 收 敛 ,则 u n 收 敛 .
n 1
求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 .
(3)幂级数的运算
代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
(其中 cnanbn)
和函数的分析性质: (定理4)
其 中 an为 幂 级 数 系 数 .
(2) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
（1）幂级数 an x n 的和函数s( x)在其收敛域 I 上连
n0
续。
(2) 幂级数 an x n 的和函数s( x)在其收敛域 I 上
n0
可积,并有逐项积分公式
x s(x)d
0
x0x(anxn)d
x
n0
n0
x 0
an
xndx
an xn1.
n0 n1
(收敛半径不变)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
n1
(3) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设 n 1u n是 正 项 级 数 ,如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
(4) 根值审敛法 (柯西判别法)
设un是 正 项 级 数 ,
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
n0
设lim an1 n an
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
n 1
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n 1
n 0
若un发散,而un收敛, 则称un为条件收敛.
n1
n1
n1
做题思路:
un
n 1
正项级数 交错级数 任意项级数
比值 根值
其他
5、函数项级数
(1) 定义
设u1(x),u2(x),,un(x),是定义在I R上
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3) 和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
称 s(x)为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
6、幂级数
(1) 定义
形 如an(xx0)n的 级 数 称 为 幂 级 数 .
n0
当x00时, an xn n0
主要内容
1、常数项级数
定义
unu1u2u3un
n1
n
级数的部分和 snu1u2un ui
i1
级数的收敛与发散
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法 一般项级数 正 项 级 数
交错级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
v
n
都
是
正
项
级
数
,如
果
lim
n
un vn
l,
则(1) 当0 l 时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 v n 收敛 ,则 un 收敛 ;
n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
如 果 ln im nun(为数 ), 或
则 1 时 级 数 收 敛 ; 1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(
1
)
n
1u
或
n
( 1)nu n
n1
n1
(其u中 n0)
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un un1 (n1,2,3,);(ⅱ)nl im un 0,则 级数收敛,且其和su1,其余项rn 的绝对值 rn un1.
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
的函数,则 u1(x)u2(x)un(x)
n1
称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如 果x0I,数 项 级 数 un(x0)收 敛 ,
n1
则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 , 否则称为发散点.
n1
函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un, un 0
n1
审敛法 正项级 数 部收 分敛 和所sn有 成.界 的
(1) 比较审敛法
若un收 敛 (发 散 )且 vnun(unvn),
n1
则 vn收敛(发散).
n1
