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第十章 曲线积分和曲面积分1. 第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么关系？答：第二型曲线积分是借助于第一型曲线积分定义的，但是它与第一型曲线积分的一个主要区别是：它和曲线的方向有关，这是因为切向量)cos ,cos ,(cos γβα和曲线的方向有关，因此∫∫−++−=++LL Rdz Qdy Pdx Rdz dy Q Pdx ，其中−L 表示与L 方向相反的曲线。

这种区别在计算公式上的表现是：在光滑曲线L ：βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ),(),(),(上的第一型曲线积分为：dt t t t t t t f ds z y x f L 222)()()())(),(),((),,(ωψϕωψϕβα′+′+′=∫∫。

右边的定积分的上限总大于下限，而对于第二型曲线积分，如果取L 的方向与参数t 增加的方向一致，则有：∫++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ∫′=βαϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q +))(),(),((t t t ωψϕdt t t t t R t )}())(),(),(()(ωωψϕψ′+′ 而∫−++L Rdz Qdy Pdx∫′=αβϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q ++′)())(),(),((t t t t ψωψϕdt t t t t R )}())(),(),((ωωψϕ′ 即右端定积分的上下限与曲线的方向有关，下限对应于曲线的起点，上限对应于曲线的终点。

2.试判断下列结果是否正确，为什么？ 设∫=L xdy I ，L 是圆周：222a y x =+，取逆时针方向，由于积分曲线是关于y 轴对称，被函数x 是关于x 的奇函数，所以∫=Lxdy I 0=。

答：这是不对的，因为第二型曲线积分不能这样用“对称性”，事实上，2220220cos )sin (cos a d a a d a I πθθθθππ===∫∫这是因为第二型曲线积分（以及第二型曲面积分）涉及积分域的定向问题，奇偶对称性比较复杂. 设L 关于y 轴对称,（1L 为L 在y 轴右侧的部分）有∫∫=L L dy y x Q dy y x Q 为偶函数关于当为奇函数关于当x )y ,x (Q 0x )y ,x (Q ),(2),(1如图10-14设21L L L +=，1:(), :0L yx x a ϕ=→，2:(),:0L y x x a ϕ=−−→ 则∫∫∫+=LL L dy y x Q dy y x Q dy y x Q 12),(),(),( dx x x x Q dx x x x Q a a)())(,()())(,(00−′−−++′+=∫∫−ϕϕϕϕ对dx x x x Q a )())(,(0−′−−∫−ϕϕx t =−0(,())()a Q t t t dt ϕϕ′−∫ 则dx x x x Q x x Q dy y x Q La)())](,())(,([),(0ϕϕϕ′−−=∫∫=′=∫∫为偶函数关于为奇函数关于x y x Q x y x Q dy y x Q dx x x x Q a L ),(0),(),(2)())(,(201ϕϕ3.在与路径无关的等价命题中，为什么要限制D 为单连通区域？答：若D 不是单连通域，则与路径无关的等价命题可能不成立. 如,例：计算∫+−=L y x ydx xdy I 22，其中L 为一条分段光滑且不经过原点的连通闭曲线，L 的方向为逆时针方向。

第二章极限与连续第二讲极限运算的基本法则及其运用《高等数学》精品课程教学团队1一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则三、曲线的渐近线四、小结、思考题23定理若lim ƒ(x )= A, lim g (x )= B.则(1). lim [ƒ(x )±g (x )]=lim ƒ(x ) ±lim g (x )= A ±B ;(2). lim ƒ(x )·g (x ) = limƒ(x) ·lim g (x )= A ·B;一、极限的四则运算法则(3).当()lim ()0 ,lim .()lim ()f x f x AB g x g x B≠==时(1)、(2)的推广:1111lim ()lim(),lim ()lim().nni i i i nni i i i f x f x f x f x ======∑∑∏∏(2)中g (x ) = c 时, lim c ƒ(x ) = c limƒ(x ).(2)中ƒ(x ) = g (x ) 时,22lim ()[lim ()];f x f x =()lim ()[lim ()].nnf x f x n =再推广：其中为正整数4有理分式函数101(),n n n n P x a x a xa −=+++ 若1010101() ()()0,()n n n nm m m m m P x a x a x a F x Q x Q x b x b x b −−+++==≠+++ 若且从而有多项式函数0 lim ()().n n x x P x P x →=则000()()lim ()lim().()()nn x x x x m m P x P x F x F x Q x Q x →→===则5例求下列极限：21221221(1).lim (87);431(2).lim ;26432(3).lim ;2x x x x x x x x x x x x x →→−→+−−+−+−+−−222221221(4).lim();241(5).lim ;5453(6).lim .101x x x x x x x x x x x x →→→∞−−−−−++−+212111(1)lim (87)lim lim 8lim 7 1872x x x x x x x x →→→→+−=+−=+−=解62212121431(2)lim264lim (431)82 123lim (264)x x x x x x x x x x x →−→−→−−+−+−+===−+解 2212211lim(32)32(3)lim 02lim(2)x x x x x x x x x x x →→→−+−+==−−−−解 22222221(2)(4)lim()lim 244(2)(1)3lim (2)(2)4x x x x x x x x x x x x x →→→−+−=−−−−+==−+解722111(1)(1)2(5)lim lim (1)(4)354x x x x x x x x x →→−−+==−−−−+解 2222135531(6)lim lim .1210110x x x x x x x x→∞→∞+−+−==++解 对有理分式函数F (x ),在x →∞时极限有如下讨论:101101lim n n n m m x m a x a x a b x b x b −−→∞+++=+++ 000,a m n bm n m n⎧=⎪⎪⎪>⎨⎪∞<⎪⎪⎩000,0,,.a b m n ≠≠其中且为正整数8例设221 1(),512x x f x x x x x⎧+≤⎪=⎨+>⎪+⎩求10lim (),lim (),lim ().x x x f x f x f x →→→+∞解122(1)2,(1)2lim ()2;lim ()lim(1)1;5lim ()lim 0.2x x x x x f f f x f x x x f x x x+−→→→→+∞→∞==⇒==+=+==+9例求111lim (,);11lim 1nm x nx x m n x x x →→−−−−为正整数特殊地：1212111(1)(1)lim =lim 1(1)(1)nn n mm m x x x x x x nmx x x x −−−−→→−−+++=−−+++ 解1211(1)(1)lim 1(1)n n n x x x x x nx x −−→−−+++==−− 特殊地：10例30205099(21)(32)(1). lim ;(21)(2). lim (0) .(1)x m m x x x x x n n m n x x →∞→∞−−+=≠−+求若求常数与3020302020505020(21)(32)233(1)lim.(21)22x x x x →∞−−==+解 991(2)lim , 100100(1)m m x x n m n x x →∞===−−+解 常数11定理如果函数y =ƒ(u ) , u =φ(x )满足条件：(1)lim ()x x x a ϕ→=(2)lim () ;u af u A →=0lim [()]lim ()x x u af x f u Aϕ→→==00(,),x U x ∀∈且δ() ;x a ϕ≠皆有则复合函数ƒ[φ(x)], 当x →x 0时的极限也存在, 且二、复合函数的极限运算法则其理论证明(略). 但须指出以下两点：(1)也可将此定理中的极限过程改为x →∞,或者将φ(x )的极限a 改为∞(即只须外函数极限存在), 结论同样成立.12(2)此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是存在的, 同时也说明用变量替换的方法去计算复合函数的极限是可行的, 即ƒ(u )与u = φ(x )满足定理条件, 则通过变换0lim [()]x x f x ϕ→lim () lim ()u au f u f u →→∞或u = φ(x ),即可把求的问题转换为求例求下列极限：0111(1).lim arctan ;11(2).limarctan .1x xx x x e xe →→+−提示：0 01, lim 0x x u u x x −+→⎧−∞→==⎨+∞→⎩当时令则当时故应当考虑左、右极限.定义当曲线y = ƒ(x)上动点M沿着曲线无限远离原点移动时,若该动点M到某直线L的距离无限趋近于零(如右图),则称此直线L是曲线y = ƒ(x) 的渐近线.o x yy=ƒ(x)˘»ααMQL:y=ax+b•••三、曲线的渐近线曲线y = ƒ(x) 的渐近线按其与x轴的位置关系, 可分为以下三种:1314则称直线y = c 为曲线y = ƒ(x)的水平渐近线.lim () lim ()x x f x c f x c →−∞→+∞==或lim arctan ,lim arctan 22x x x x ππ→+∞→−∞==−因oxyy =arctan xy =π/2y = –π/21.水平渐近线如果曲线y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有所以曲线y = arctan x 有水平渐近线y= π/2与y = -π/2.问题:曲线是否有水平渐近线？分别是什么？11,,,,x x xy y e y e y e x−====152.垂直(铅垂)渐近线如果曲线y = ƒ(x)在x 0处无定义(或不连续), 且lim () lim ()x x x x f x f x −+→→=∞=∞或则称直线x=x 0为曲线y = ƒ(x )的垂直渐近线.因0011lim ,lim xx x x −+→→=−∞=+∞1y x=oxyxy 1=问题:曲线1,ln 2y y x x ==−, 所以曲线有一条垂直渐近线x =0.是否有垂直渐近线？分别是什么？163.斜渐近线-lim[()()]0 x f x ax b →∞−+=若或则称直线y = ax + b 为曲线y =ƒ(x )的斜渐近线. (如图)lim[()()]0 ,x f x ax b →+∞−+=0a b a ≠其中和为常数，且，oxyy =ƒ(x )˘»ααMQL :y =ax +b•••17分析:如果曲线y =ƒ(x )有斜渐近线y = ax+b , 则由定义知必有-lim[()] lim[()]x x f x ax b f x ax b →∞→+∞−=−=或两边同除以x 并取极限有x -x x -x ()()lim[]0 lim[]0()()lim lim f x f x a a x xf x f x a ax x→∞→+∞→∞→+∞−=−===或即或从而得到求曲线y = ƒ(x )的斜渐近线y = ax+b 的公式为x x x x ()() lim lim lim [()]lim [()]f x f x a a x x b f x ax b f x ax →−∞→+∞→−∞→+∞⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=−⎩⎩或18例求下列函数的渐近线221(1).();x x f x x +−=故垂直渐近线: x = 0; 斜渐近线: y = x +2.故斜渐近线: y = x + π/2及y = x –π/2.(2).()arctan f x x x=+20021lim ()lim , x x x x f x x→→+−==∞∵解(1)且()arctan lim lim 1x x f x x xa x x→∞→∞+===解(2)12lim[()],lim[()]22x x b f x x b f x x ππ→+∞→−∞=−==−=−x x () lim 1,lim[()]2f x a b f x x x →∞→∞===−=四、小结19。