单位圆与三角函数线PPT教学课件

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单位圆与三角函数线【课件】高中数学新教材课件

我们已经知道，如果的终边不在 y 轴上，且P（x,y）是

终边上异于原点的任意一点，则 tan = .你能仿照前面的

方法给出正切的一个直观表示吗？
引出定义
T（1，y）
A(1,0)
AT：角的正切线
随堂练习
练习：作出第二、三、四象限角的正切线
典型例题
例1
5

作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用
7.2.2单位圆与三角函
数线
必修第三册高一（下）
目录
01 正弦线与余弦线
02 正切线
正弦线与余弦线
尝试与发现
我们已经知道，如果P（x,y）是终边上异于原点的任意一

2
2点， = + ，则sin = ，cos = .

如果选取的P点坐标满足x2+y2=1，则上述正弦与余弦的表达式有什
6
4
三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切。
探索与研究
本课小结
感谢观看
么变化？
由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？
尝试与发现
如果x2+y2=1，则sin = ，cos = .
x2+y2=1
( − 0)2 + ( − 0)2 = 1
P(x,y)到原点(0,0)的距离为1
P(cos ,sin )
A(1,0)
引出定义
P
M A(1,0)
过角的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，
垂足为M
则OM可以直观地表示cos ：
OM的方向与x轴的正方向同向时，表示cos
α是正数，且cos α=|OM|；

课件4：1.2.2 单位圆与三角函数线

由三角函数的定义可知，点P的坐标为P(cos α， sin α).
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交
点的横坐标和纵坐标.又tan α=AT，我们把轴上向量OM 、
余弦线正弦线正切线
MP 和AT分别叫做角α的______、______和______.
当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，
4
C.
7
4
D.
3 7
或
4
4
2.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线都正确的是( C )
A.正弦线PM，正切线A′T′
B.正弦线MP，正切线A′T′
C.正弦线MP，正切线AT
D.正弦线PM，正切线AT
3.在[0,2π]上，满足sin x ≥
A.

0，
6
B.

5
，
6
6
C.

2
，
6
3
D.
5
，
1
1
则点P的纵坐标为 .在y轴上取一点(0， )，过此点作x轴的平行线，
2
2
交单位圆于点P1，P2，则OP1，OP2是角α的终边.因而角α的集合为
{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．
小结
作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要先确定已知角的
终边再画线，同时要分清所画线的方向，这对于以后研究三角函数
6
1
的x的取值范围为( B
2
)
4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：
2
4
(1)sin π > sin π；
3
5
(2)cos

课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线

得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线 .
【拓展延伸】理解三角函数线应注意的问题对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同向的为正值,反向的为负值.

7.2.2单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

【变式训练1】作出
9π
- 的三角函数线.
4
解:如图所示,
9π
- 的正弦线为,余弦线为,正切线为 .
4
探究二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
【例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2π
(1)sin 3 与
4π
sin 5 ;
2π
(2)tan 与
3
4π
tan .
5
分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较
与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦
线是 ,余弦线为,正切线为 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角
函数线.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)三角函数线的长度等于三角函数值.( × )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
故OM<MP<AT.
答案:B
√3
60°= 2 ,cos
1
60°= ,tan
2
60°=√3,
3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(
π
A.sin 6 =sin
B.cos
π
4
7π
6
=cos
π
3π
C.tan 8 >tan 8
D.sin
3π
4π
>sin
5
5
答案:BD
π
4
)
4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在
位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在
的区域写出角的取值集合.

1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt

π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ，则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
用途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P

详细版单位圆与三角函数线.ppt

.精品课件.
5
新课讲授
一、单位圆：
1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y
2、单位圆与x轴的交点：（1，0）和（-1，0）
N
PT
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
o
α
MA
x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别
是点P在X轴、Y轴上的正射影
.精品课件.
6
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则 cos x ，sin y 都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
.精品课件.
7
正弦线和余弦线问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，
此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M Ox
P（x，y）
.精品课件.
8
正切线问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
单位圆与三角函数线
.精品课件.
1
复习引入
初中锐角三角函数是如何定义的？
α O
P
┍ M
sinα=
cosα= tan α=
MP 当OP=1时，sinα=MP
OP
OM
cos α=OM

课件9：1.2.2 单位圆与三角函数线

题型三利用三角函数线证明三角不等式例3 已知α为第一象限角，求证：sinα＋cosα>1. 【证明】法一：设 P(x，y)为角 α 终边上一点，则由单位圆可知， x＋y>r>0，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2. ∵sinα＋cosα＝yr＋xr＝x＋r y>1，∴sinα＋cosα>1.
法二：如图，作出单位圆，在第一象限内任意作α的终边, 设α的终边交单位圆于点P,
2．比较大小：sin1________sinπ3(填“＞”或“＜”)．解析：因为π4＜1＜π3＜π2，如图所示，可得 sin1＜sinπ3.
答案：＜
3．已知 sinα＜ 23，cosα＞12，且 α∈(0,2π)，求角 α 的取值范围．解：如图，满足 sinα＜ 23，cosα＞12，且 α∈(0,2π)的 α 为图中阴影部分．因此，角 α 的取值范围为 0＜α＜π3，或53π＜α＜2π.
【思路点拨】作出满足 sinα＝ 23、cosα＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角 α 终边的范围．
【解】 (1)作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图①中的阴影部分)即为角 α 的终边的范围．
(3 分)
故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}．(6 分) (2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC 与 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 的终边的范围．
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
错误原因
先错误地确定了M点，致使P的位置也是错误的．实际上本题应该先找到角的终边与单位圆的交点P，然后再作垂线，进而找到正弦线.

7.2.2单位圆与三角函数线课件(人教B版)

Ｔ点是直线与α终边的交点．
y
P
AT 可以直观地表示,因此 AT 称为角
的正切线;若 AT 的方向与y轴正方向相同，则
为正，反之为负.
o
T
A
x
思考2：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向
量，使其数量为？
取T1的坐标为（-1，y1），则
y1
y1 ,
tanα=
5π
则的正弦线为，余弦线为，正切线
6
为 .

类似可得到的正弦线为，余弦线为，正
4
切线为 .
y

M

o

N
x

根据直角三角形的知识可知，
1
3
3
= , = , = ,所以，
2
2
3
5
1
5
3
5
3
in = , = − , = − .

正切线为 .

类似可得到的正弦线为 M P，余弦线为OM ，
4
正切线为
.
AT
2
in
3
3
2
1
2
= , = − , = − 3.
2
3
2
3
3
2
3
2
3
(− ) = − ,(− ) = − ,(− )
4
2
4
2
4
−
= 1.

例2 如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心
1
α的终边
y
·
T1（-1，y1 ）
追问：能否找到一个以Ａ点为起点在过A 的切

单位圆中的三角函数线PPT名师课件

y
第三象限
y
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为sin =y=MP，所以MP叫的正弦线!
单位圆中的三角函数线PPT名师课件
单位圆中的三角函数线PPT名师课件
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
P(x , y) P(x , y)
第二象限
O Mx
例题单位圆中的三角函数线PPT名师课件
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1）；
3
（2） 2 ．
3
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例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sin 1
2
5
6
-1
y
1
6
y1
12
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
3．三角函数线：
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
y
的终边
的终边 y
第一象限
第二象限
P(x , y) P(x , y)
O Mx
MO x
从P作x轴垂线，M为垂足，MP为所求．
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⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin的有向线段．
单位圆中的三角函数线PPT名师课件
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⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
T
y
第三象限
第四象限

单位圆中的三角函数线PPT完美课件

正切线不存在,此时角α的正切值不存在.
4、三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值.
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
例题单位圆中的三角函数线PPT完美课件
例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1）；
3
（2） 2 ．
3
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6
(2k|2k6,2k62＜kα2≤342k≤α＜223k2，k或 4131
,2k
，k
Z
11 6
)k
Z
3
6
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
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变式训练：
1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
；（2）
；
2、比较大小
sin 和tan
7
7
单位圆中的三角函数线PPT完美课件
2对教育来说，阅读是最基础的教学手段，教育里最关键、最重要的基石就是阅读。
3但是现在，我们的教育在一定程度上，还不够重视阅读，尤其是延伸阅读和课外阅读。
4. “山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵” 四句，简洁有力，类比“斯是陋室，惟吾德馨” ，说明陋室也可借高尚之士散发芬芳
y
第三象限
y
第四象限
M Ox
M
O
x
P(x , y)
P(x , y)
因为sin =y=MP，所以MP叫的正弦线!
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
y
的终边
的终边 y

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2020/7/7
练习：
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1）；（2） 2 ．
3
3
2020/7/7
练习2 比较下列各组数的大小
Sin1和 sin
3
cos 4 和 cos 5
7
7
2020/7/7
回顾小结：
1、用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要准确 2三角函数线凡含有原点的线段，均以原点为
2020/7/7
问题1、初中锐角三角函数是如何定义的？
α O
P
┍ M
sinα=
cosα= tan α=
MP 当OP=1时，sinα=MP
OP
OM
cos α=OM
OP
MP
OM
问题2、猜想可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？
2020/7/7
复习：任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
起点不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点
3、α终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点， α终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
2020/7/7
高一年级数学必修2 1.2空间几何体的直观图
18
复习巩固
1、如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
角α的终边
. P(x,y)
y
O
y
①比值 r 叫做的正弦，
记作sin，即 sin y ．
x
r
②比值叫做的余弦，
r
x 记作cos，即 cos x ．
y
r
③比值叫做的正切，
x
记作 tan，即 tan y ．
x
2020/7/7
结论：当P点在以原点为圆心，半径为1
的圆（称为单位圆）上时， r=1，而，
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F ME
A
O Dx
B NC
y
F M E
ALeabharlann OD xB N C
28
知识探究（一）水平放置的平面图形的直观图的作法
1.斜二测画法：画多边形
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交
于o点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
xOy=45 或135 ，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中
分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持
原长度不变；平行于y轴的线段，长度取半．
29
斜二测画法的基本步骤：（1）建坐标系，定水平面；（2）与坐标轴平行的线段保持平行；（3）水平线段等长，竖直线段减半.
35
3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
o
x
MA
4、过A点作 x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于T点
5、有向线段MP、OM、AT就为所求
归纳
1：凡含有原点的线段，均以原点为起点 2：不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点
2020/7/7
当α终边落在坐标轴上时，情况又如何？
α终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点， α终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
30
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
y
CEG
A O B
x
DFH
31
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
y
C EG
A OBx
D FH
32
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
例3.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.
33
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
的终边
y
T
o
A
1x
tanα=AT
探究活动：
当α终边落在第二象限时
tanα=AT
有向线段AT叫做正切线
2020/7/7
的终边
y
SP
Bo
A
1x
T
2020/7/7
步骤：
1、作直角坐标系和角的终边
2、作单位圆，圆与角的终边
的交点为P，与 x轴正半轴交
y
的终边点为A
PT
3、过P点作 x轴的垂线，垂足为M
sinα,cosα的函数值分别为点P的纵坐标y
和横坐标x。
的终边
y
P (x,y)
o
1x
2020/7/7
当α终边落在第一象限时
y
的终边
P (x,y)
o M 1x
2020/7/7
当α终边落在第二象限时
2020/7/7
的终边
y P (x,y)
Mo
1x
当α终边落在第一象限时
y
P
的终边
o Mx
Sinα=MP COSα=OM
23
1.2空间几何体的直观图
24
知识探究
探究1、画一个水平放置的平面图形的直观图.
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
25
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。
1 在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，
对称轴MN所在直线为Y轴,两轴交于点O。画相应
的X轴和Y轴，两轴相交于点O,使xOy=45
2020/7/7
当α终边落在第二象限时
Sinα=MP COSα=OM
2020/7/7
的终边
y
P
Mo
x
定义介绍：
有向线段MP的数量等于角的正弦，把有向线段MP叫做正弦线有向线段OM的数量等于角的余弦，把有向线段OM叫做余弦线
2020/7/7
正切线如何画？当α终边落在第一象限时
2020/7/7
正视
正视图
侧视图
俯视图
19
复习巩固 2、将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
20
3、说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
21
4、根据几何体的三视图，还原成几何体。
22
对于柱体、锥体、台体及简单的组合体，在平面上应怎样作图才具有强烈的立体感？这涉及空间几何体的直观图的画法问题.
y
y
F ME
A
O Dx
O
x
B NC
26
例１用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
2以O为中心,在X上取AD=AD，在y轴上取
MN= 1 MN.以点N为中心,画BC平行于x轴, 2
并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴,
并且等y于EF.
F ME
A
O Dx
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC 27
xOz 90 .
Z
y
O
x
34
2画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在
轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm;分别过点M 和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
D QC
MO N x
AP B