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第03章 刚体力学基础(转动定理新法)

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第3章刚体力学基础讲解

第3章刚体力学基础讲解

的转动惯量。
z
解：
dJ x2dm
dm o
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例3-2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并 与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：dJ r 2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
第三章 刚体力学基础
§３-1 刚体定轴转动 运动学
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动 1.平动 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
相加
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
i
i
i
F内力ri sini 0 令 F外力ri sini M
i
J miri2 i
i
M J
转动定律
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
三. 刚体定轴转动的描述
1.角坐标 (t)
从上往下看，逆时针为正，顺时针为负
2.角速度 d 单位： rad s 1或 s 1
dt
刚体定轴转动：转动方向用正负表示
刚d体非0 定轴0转逆动时z：r针用转矢v动量;
d0 表示
0 P
0
顺时针转动
参考平面
x 参考轴
3.角加速度

第3章刚体力学基础

第3章刚体力学基础

描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）

3.2刚体的转动定理

3.2刚体的转动定理
( ri rz ) ( F Fz ) ( ri F ) ( rz F ri Fz )
z Fz
Oi h
F
对于转轴z， M z ri F
ri
r

y
F
M z ri F sin Fh
讨论：A.力矩是使物体转动状态发生改变的 原因(相当于平动问题中的合外力)
(转动平面内)
z
Fi sin i f ij sin i mi ai mi ri
j
i
O
ri f ij
Fi
i
i
将上式两边同时乘以ri
i
y
j
Fi ri sin i f ij ri sin i mi ri
2 j
rj
x
利用矢量矢积的定义有
2 ri Fi ri f ij mi ri
M
R
0
m 2 r g 2 2rdr mgR R 3
转动惯量 于是得
1 I mR 2 2
M 4 g I 3R
o
r
水平桌面
dr
0 t 0，得
0 t 0
o 3 R O t 4 g
4g 3R
y
xi mi
x
例题1 (1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点m，此系 统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为
3 l) 3
I c 3 mr ml , ( r
2
2
m l l m
通过o点且垂直于三角形平面的 轴的转动惯量为
IO= m l
2 +3
mr
2

刚体力学基础第三章

刚体力学基础第三章

二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1

刚体力学基础

刚体力学基础


0
0t

1 t2
2
2

2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at

dv dt

r
z
a an r

at ve t
an

v2 r
2r a
ret

r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1

62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t

0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律

刚体力学基础

刚体力学基础

1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J＝ miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件：M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α

3-第3章 刚体力学基础

大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4

第3章 刚体力学基础

第i个质元的动能： Eki
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2

2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2

2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.

装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------

第03章 刚体定轴转动01-转动定律


作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M

第3章 刚体力学基础


刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
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M Fr sin Fd
M r F
M
O
z
r
F
*
d
P

Fi 0 , Mi 0
d F
: 力臂
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
2. 力不在转动平面内(不与转轴垂直）
M =r ×F = r × ( F1 +F2 ) = r × F1 + r × F2 = r × F2 r ×F1
对转动无贡献。
F1
转动 平面
F
r
F2
在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。
Fi
合力矩 转动 平面
F1
F
M ri Fi
i
ri
r
F2
合力矩等于各分力矩的矢量和
3 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
Law of rotation on Rigid body with fixed-axis
一
力矩---- 1. 力在转动平面内(与转轴垂直）
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 .
M
Z 的力矩 F 对转轴
b dw d 2 dt dt
2
(4) 角加速度
w 方向:

右手螺旋方向
6
定轴转动中角量与线量的基本关系
dS r d
w
O
rd d S v rw dt dt d( rw ) d v a rb dt dt
( rw )2 an rw 2 r v2
r
通过一个共同的角位移、角速度和角加速度 来描述刚体的转动
２. 刚体定轴转动的描述
(1) 角位置 定轴转动的运动方程
转轴 刚 体
( t )
单位： 弧度(rad) (2) 角位移 ( t t ) ( t )
(3) 角速度

p x
参考 方向

w lim d dt t 0 t
上一点的速度和加速度。
R 0.15m
t 0.5 s, n 10 rev / s
w0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
w b
a
（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；
t 0.5 s, n 10 rev / s , w 0 0 w w 0 bt (1) ω = 2 πn 解： n 2×3.14×10 2 ω ω π β = = = t t 0.5
§3-1 刚体运动的描述 §3-2 刚体定轴转动的转动定律 §3-3 刚体定轴转动的的功和能
§3-4 角动量定理 角动量守恒定律
质点力学中，我们把物体当作质点处
理，显然过于理想化。在很多实际问题中，
必须考虑物体的大小与形状，不能抽象为
质点。
刚体力学就是解决有大小、形状物体的运动 与动力学规律的。
一．刚体
任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的
作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动 中不起作用。
刚体力学的研究方法 质点质点系＝>刚体 刚体与一般质点系的区别 刚体不发生形变，所以各质元间的距离不 发生变化，因此刚体是一个不变的质点系 这样，就可以把质点的动力学规律用于每 个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体 整体所服从的规律．
2 2 0
w 0t bt , w w 2b
例3-1
一飞轮直径为0.30m, 质量为5.00kg，边缘绕
有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地
加速 ，经 0.50 s 转速达10rev／s。假定飞轮可看 作实心圆柱体，求： （1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； （2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘
解：ω =ω + β
t
2×10=1.26×103 (rad/s) 1.26 × 10 =
v = Rω = 0.15×1.26×103 2 (m/s) 1.89 × 10 = 2 an = R ω = 0.15×(1.26×103)2 5 (m/s2) 2.38 × 10 = a t = R β = 0.15×1.26×102 =18.9 (m/s2 )
d
dS
P
v rw
a rb 2 an rw
7
【比较】
x , v w, a b
1）匀加速度直线运动：
1 2 2
v v0 a t
2 2 0
x v0t at ， v v 2a x
2）匀角加速定轴转动：
1 2 2
w w0 b t
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体的定轴转动
１.定轴转动的特点
轴上所有各点都保持不动 Z
mi P
x
轴外所有各点都在转动平面 内做圆周运动 (转心、半径） 轴外所有各点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不同，但对转 心的位矢转过的角度都相等。
——适用于质点的圆周运动
o
转轴
定轴转动的研究方法：
1 2 β t = w 0t 2 1 2×(0.5)2 = 5π 1.26 × 10 × = 2 N=2 π = 2.5 (rev)
= 1.26×102 (rad/s2 )
（2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘
上一点的速度和加速度。 b 1.26 102 , R 0.15m
二．刚体的运动
1.平动：在运动时，刚体上任意两点的连线方向在 各个时刻的位置始终保持平行。
平动特点：其上各个质点的运动状态完全相同，故 可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。 B" 选哪个点来代表？ B
A A'
B'
A"
质心
通常用质心的运 动来代表整体的运动。
作平动的刚体可简化为质点 2
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
F ji i F
ij
rj
j
M ij M ji
M ij 0
j
二
定轴转动定律
1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
M rF sin rF
M
O
z
r
m
F F
Fn

F ma mr b
M mr b
2
质量元受外力F ，内力F 外j 内j 2 Mej Mij mj rj b