《2412垂直于弦的直径》课件

交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
所对的两条弧．
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d 2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
实际问题 垂径定理的应用
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它 的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
圆有哪些对称轴？ O
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． C
下图是轴对称图形吗？
大胆猜想
O
是轴对称图形．
A
E
B
D
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
垂径定理 C
O
E
A
B
CD是直径，AB是弦， D CD⊥AB
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②直径垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ③直径 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
点E就是所求A⌒B的中点． D
你能确定A⌒B的圆心吗？ C
作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 A
B
于点C．
3． 作AC、BC的 垂直平分线．
4． 三条垂直平分 线交于一点O．
O 点O就是A⌒B的圆心．
你
能
破
镜 重
A
圆
吗？
m
n
C
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
O
D
B N
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
∴MN⊥CD． 则A⌒M＝B⌒M，CM⌒＝D⌒M
A⌒M－C⌒M＝BM⌒－D⌒M
⌒⌒
∴AC＝BD
M D B
．O
N
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直弦． （ ）
（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（√ ）
小练习 C
已知：A⌒B．
求作：A⌒B的中点．
E
A
B
作法：
1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 平分线 C⌒D，交 AB于点E．
6． 在以O为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB交小圆
O．
于C，D两点．
A
E C
DB
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
7． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
求证：A⌒C＝B⌒D
C A
证明：作直径MN⊥AB．
∵AB∥CD，
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm．
4． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
则这弓形所在的圆的半径为_1__3__c_m__． 4
C
A
D
B
O
5． 已知在⊙O中，弦AB A 的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
AE 1 AB 1 8 4 22
在Rt AOE中
E
B
O·
AO2 OE2 AE2