2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4课件：第一章 1.2 极坐标系

7π 7π ∴θ＝ .∴点 B 的极坐标为2 2， 4 . 4
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， ∴点 C
3π 的极坐标为15， 2 .
(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ， y＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝x(x≠0)．在利用此公式时要注意 ρ 和 θ 的取值范围．
11π 答案：(1)3， 6
7π (2)3， 6
5π (3)3， 6
点的极坐标和直角坐标的互化
[例 2] 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．
5π 的极坐标为4， 3 ，求它的直角坐标；
(1)已知点 A
(2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
由题意可知|OO′|＝2 3， |OP|＝4， π π ∠POx＝ ，∠O′Ox＝ ， 3 6 π ∴∠POO′＝ . 6 π 在△POO′中，ρ ＝4 ＋(2 3) －2· 4· 2 3· cos ＝16＋12－24 6
2 2 2
＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.
∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2， π ∠OO′P＝ . 2 π ∴∠OPO′＝ . 3 π π π ∴∠OP′P＝π－ － ＝ . 3 3 3 2π 2π ∴∠PP′x＝ .∴∠PO′x′＝ . 3 3 ∴P
2π 点的新坐标为2， 3 .
(2)如图，设 P 点新坐标为(ρ，θ)， π π π 则 ρ＝4，θ＝ ＋ ＝ . 3 6 2 ∴P
π 点的新坐标为4，2 .
建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位； ④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端 点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角 θ 的始 边是极轴，它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位置；θ 的正方向通常取逆时针方向，θ 的值一般是以弧度为单位的量 数； 点 M 的极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|， 因此 ρ≥0； 但必要时，允许 ρ＜0.
(1)将极点移至
O′2
π 3， 处，极轴方向不变，求 P 点的新坐标； 6
π (2)极点不变，将极轴顺时针转动 ，求 P 点的新坐标． 6
[思路点拨] 坐标．
本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答
本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系， 然后求相应的点的极
[精解详析]
(1)设 P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
理解教材新知
1.2
第 一 章
极 坐 标 系
考点一 把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
1.2
极坐标系
[读教材· 填要点] 1．平面上点的极坐标 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，由 O 点出发 的一条射线 Ox， 一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时
极轴 ． 针方向)， 合称为一个极坐标系． O 点称为 极点 ， Ox 称为_____
ρsin θ x＝_______， ρsin θ ； y＝_______
2 x ＋y ， ρ ＝______ 或 y tan θ ＝ x
2 2
x

0 .
[小问题· 大思维]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的 点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多 个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ， θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中 n∈Z)．
2．若 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点 M(ρ，θ)与平面内 的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平 面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平 面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？
提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对 称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点 的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的 对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
极坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ概念
[例 1] 已知定点
π P4，3 .
[思路点拨]
本题考查极坐标和直角坐标的互化． 解答此题只
需将已知条件代入相关公式即可．
[精解详析]
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos ＝2， 3
5π y＝ρsin θ＝4sin ＝－2 3， 3 ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， －2 tan θ＝ ＝－1，且点 B 位于第四象限内， 2
1．在极坐标系中，点 A
π 的极坐标是3，6 ，则
(1)点 A 关于极轴的对称点是________； (2)点 A 关于极点的对称点的极坐标是________； π (3)点 A 关于直线 θ＝ 的对称点的极坐标是________．(规 2 定 ρ>0，θ∈[0,2π))
解析： 如图所示， 在对称的过程中极径的长度始终没有变化， 主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以 x 轴正 向为始边，按照逆时针方向得到的．
(2)点的极坐标：平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的 长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画， 这两个数组成的有序数
(ρ，θ) 称为点 M 的极坐标，ρ 称为_____ 极径 ，θ 称为______ 极角 ． 对________
2．极坐标与直角坐标的关系 (1)极坐标和直角坐标变换的前提条件： ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与 x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式：