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第05章__刚体力学基础补充

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大学物理第5章 刚体力学基础ppt课件

大学物理第5章 刚体力学基础ppt课件
转轴的力臂。
z
or
d
F
P
Mz的方向平行于转轴，由右手螺旋定则确定。
2、F不在转轴平面内 把F分解为三个分量 Fz, Fr, Ft, Fr的力矩为零, Fz的力矩不为零， 但不影响刚体的定轴转动， Ft的力矩沿轴向， 它对角动量有贡献。
z
Fz
F
r
o
P Fr
Ft
3、多个力作用于刚体 各外力作用点各不相同，外力对转轴
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。 2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，β 小， 转速不宜
改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
M J 类比 F ma
3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题： ① 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。
M
r
m1
对重物应用牛顿第二定律，得
T f m 2 g si n m 2 a
N
T
对滑轮应用转动定律，得
f
• o
T
MTrJ
m2g
关联方程为： a r
J
1 2
m1r 2
TT fN m 2gco s
联立得：
Mm2grsinm2gcos
1 2m1r2m2r2
由于 为常量，故滑轮作匀变速转动．则
2 2
an
l2
9gcos
4
例题5-10 一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上，滑轮的半径为r,
质量为m1，质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边
缘，重物沿倾角为α的斜面上升．重物与斜面间的摩擦系数为μ。
求：轮子由静止开始转过角 后获得多大的角速度？

《刚体力学基础》课件

《刚体力学基础》课件

2
刚体在作用力学和运动学中的应用
说明刚体在作用力学和运动学研究中的应用，如力的分析和刚体的运动分析。
3
刚体力学与其他学科的关系
探讨刚体力学与其他学科的关系，如力学、工程学和物理学等的联系。
六、总结
1 刚体力学基础的重要性
总结刚体力学基础的重要性，强调其在物体运动研究中的价值。
2 接下来的深入研究方向
介绍刚体力学研究中所采用 的基本假设和运动条件，以 便准确描述刚体的运动。
二、刚体的运动学
1
刚体的平动运动和定点运动
讲解刚体的平动运动和定点运动，包括平移和旋转的概念以及运动轨迹。
2
刚体的旋转运动和欧拉角
解释刚体的旋转运动和欧拉角的概念，阐明旋转的自由度和描述方法。
3
刚体的复合运动
讲述刚体的复合运动，即平动和旋转运动的组合，展示不同运动方式的例子。
ห้องสมุดไป่ตู้
刚体静力学的经典问题
介绍刚体的平衡和力的平衡条件， 解释如何使刚体保持静止。
探讨刚体静力学中的经典问题， 如杠杆原理和平衡木问题。
牛顿第三定律在刚体上的 应用
讲解牛顿第三定律在刚体运动中 的应用，如碰撞和反作用力。
五、实际应用
1
刚体在机械和结构工程中的应用
展示刚体在机械和结构工程中的应用案例，如建筑物和机械装置。
提出刚体力学研究中的深入方向，如刚体动力学和非线性刚体力学。
3 刚体力学研究的意义
归纳刚体力学研究的意义，展示其对工程和科学领域的贡献。
三、刚体的动力学
牛顿第二定律在刚体 上的应用
探讨牛顿第二定律在刚体力学 中的应用，包括力和加速度的 关系。
刚体的角动量和角动 量定理

第05章刚体力学基础学习知识补充

第05章刚体力学基础学习知识补充

第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。

［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。

［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A 端并嵌入其内。

那么碰撞后A 端的速度大小：(A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。

［ B ］难度：中L5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。

如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。

［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v < (C) B A v v > (D)无法判断。

［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。

05.刚体力学

05.刚体力学

全加速度——即切向、法向加速度的矢量和. 全加速度——即切向、法向加速度的矢量和 ——即切向 矢量和
6.4 如图 已知某瞬时曲柄的角速度 ω = 4rad / s, 如图. 角加速度 ε = 2rad / s2 ；曲柄长为 r = 20cm 。 托架上重物重心G的轨迹 速度、加速度。 的轨迹、 求：托架上重物重心 的轨迹、速度、加速度。
F 1
z
F 2
r
dF t
dm
ω
ε
F n
F i
M z = I zε
—— 刚体定轴转动 刚体定轴转动 动力学基本方程 基本方程. 的动力学基本方程
作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 刚体 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。
ρ dm b C θx
（推导用图） 推导用图）
y
Iz = Ix + I
z r
——无限薄刚体板对任一垂直 无限薄刚体板 无限薄刚体 的转动惯量， 于它的坐标轴 z 的转动惯量， 等于该薄板 薄板刚体对另两坐标轴 等于该薄板刚体对另两坐标轴 的转动惯量之和。 的转动惯量之和。
x
y
x
y
（推导用图） 推导用图）
ω
B
如图: 曲柄作 平面运动. 连 如图: OA曲柄作定轴转动,也是平面运动.AB连 曲柄 定轴转动,也是平面运动 杆作平面运动 平面运动. 活塞作直线运动,也是平面运动 活塞作直线运动 平面运动. 杆作平面运动 B活塞作直线运动,也是平面运动
在刚体上有无限多 平面图形始终作平面 个平面图形始终作平面 运动, 这样的一个 一个平面 运动 这样的一个平面 图形的运动 的运动， 代表了 图形的运动，就代表了 平面运动。 整个刚体的平面运动 整个刚体的平面运动。 因此, 因此 只需研究其中的 一个平面图形的运动. 平面图形的运动 一个平面图形的运动 2. 平面运动的分解 平面运动的分解 将复杂的平面运动, 分解成简单的 平动” 成简单的“ --- 将复杂的平面运动, 分解成简单的“平动” 转动（定轴） 应用合成运动的概念, 合成运动的概念 与“转动（定轴）” ；应用合成运动的概念 求刚体上各点的速度 加速度. 速度和 求刚体上各点的速度和加速度 如上: 杆的运动可分解成“ 如上: AB杆的运动可分解成“平动” 与“转 杆的运动可分解成 平动” 动”.

第5章 刚体力学

第5章 刚体力学

F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2


a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F

作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴

>0
z

z

<0

d dt

定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移

大学物理：第 05 章 刚体力学基础

大学物理：第 05 章 刚体力学基础

j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理

刚体力学基础 ppt课件

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14
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图55所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2
2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
图5-5
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15
例题5-2 质量连续分布刚体: J r 2dm
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理。
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9
M=J
(5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动 惯量与刚体角加速度的乘积。
(5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
PPT课件
12
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
Jo d Jc
o
C M
图5-3
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13
例题5-1 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
fij ) 0
i
j( i j )
得
i
d ri Fi dt
i

( ri mii )
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7
i
d ri Fi dt
i

刚体动力学的基本概念

刚体动力学的基本概念

刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。

2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。

3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。

4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。

5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。

6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。

7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。

二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。

在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。

2）刚体：在力作用下不变形的物体。

刚体是静力学中的理想化力学模型。

3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。

在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。

约束对非自由体施加的力称为约束反力。

约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。

4）力：物体之间的相互机械作用。

其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。

前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。

力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。

5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。

按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。

8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。

9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。

第五章 刚体力学基础

第五章 刚体力学基础

§5.1
刚体和刚体的基本运动
一、什么是刚体？
橡皮泥
不锈钢
刚体：受力时形状和体积都不发生改变的物体
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体可以看作是由许多质 点组成的，每一个质点叫 做刚体的一个质元，刚体 这个质点系的特点是： 在外力作用下各质元之间 的相对位置保持不变。
mj
mi
w w0 t 4π rad/s
飞轮边缘上一点 线速度：
v rw 2.5m/s
2
切向加速度：a r 0.105m s
2 2
法向加速度：an v / r rw 31.6m s
大学物理 第三次修订本
2
15
第5章 刚体力学基础 动量矩
例2 设圆柱型电机转子由静止经300s后达 18000r/min已知转子的角加速度α与时间成 正比。 求: 转子在这段时间内转过的圈数。 解： 因角加速度α 随时间而增大, ct 设
在刚体转动过程中，如果转轴固定不动，则称这种 转动为定轴转动。
特点：
① 各质元的线速度、加速度 不同。 ② 由于各质元的相对位置保持 不变，且都绕同一转轴作圆 周运动，因此具有相同的角 速度和角加速度；在相同的 时间内有相同的角位移。
大学物理 第三次修订本
第5章 刚体力学基础 动量矩 大小： 方向：
大学物理 第三次修订本
h θ
F Fn
F
23
第5章 刚体力学基础 动量矩
力不在垂直于轴的平面内
z
r
F//
M z ( F ) F r sin F h Fτ r
2.力对点的力矩
h θ
F

大学物理第五章刚体力学1

大学物理第五章刚体力学1
详细描述
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用，则其动能和势能之和保持不变。这意味着，如果刚体的动
能增加，则其势能必定减少，反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相角。
THANK YOU
感谢聆听
转动惯量的计算
对于细长均匀杆，转动惯量I=mr^2/2；对于质量均匀分布的圆盘， I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体， 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型， 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述，其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度，用矢 量表示，单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外，刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ，刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能

刚体力学基础课件

刚体力学基础课件

2π Θ J人 (2π ) J台
2πJ人 4πm2 J台 J人 m1 2m2
例 如图，一根长为l, 质量为m1的均质细杆,可绕其一端的水平轴 O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧
下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小 球（m2<< m1）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它
dJ
J2
J1（角动量定理积分形式）
z
ri
v
Pmi
z
定轴转动刚体所受合外力矩的 冲量矩等于其角动量的增量
Or
3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
dLz 0
Jω 常量
O' r' A
v
讨论：质点系角动量守恒 M zdt dLz
变形体绕某轴转动时，则变形体对该轴的动量矩
Lz rimivi ri2mii Jii C
g
2k
总伸长量为
x0
Δx
g 2k
m1
m2
m2
1
24kh
4m1 3m2
g
x l m2vl
2(J球 J杆 )
v 2gh
x0
m1g 2k
本章小结
1.刚体绕定轴转动运动学描述
(1) 角坐标
(t)
(2) 角速度 (3) 角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
(4) 线量和角量的关系
s r v r
力矩，则系统角动量守恒。设系统绕轴转动的角速度为
，则有
m2v
l 2
(J
球
J
杆
)ω
J球
m2
l 2
2

大学物理第5章刚体

大学物理第5章刚体
Ar
B C
分析受力和力矩情况
第一篇 力 学
解：由ABC和绳子组成系统为研究对象，分析受力和力矩情况。
系统受到的合力矩： M m2 gr m3gr
对整个系统列出角动量定理积分形式
t
Mdt Lt L0
t0
分别计算，有 Mdt (m2gr m1gr)t
L0 0
0
L

LA
若质量连续分布 J r2dm
一维
二维
三维
dm
dl
线密度 dm dl
J r2dl
面密度 dm dS
J r2dS
体密度 dm dV
J r2dV
第一篇 力 学
例1．求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx
J A
L x2dx mL2 / 3
0
L
JC
2 L
x2dx

mL2
/12
2
A L
A
C
L/2
B X
B L/2 X
例2．求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂
直并通过圆心。
解：
J R2dm R2 dm mR2
O
R
dm
第一篇 力 学
例3．求长求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂 直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr 的薄圆环
dm 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
dr rR
J dJ R 2r3dr 1 R4
0
2


m
R 2

05刚体的定轴转动习题解答

05刚体的定轴转动习题解答

05刚体的定轴转动习题解答05刚体的定轴转动习题解答第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。

2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C 。

简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2 Mr J =。

3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有：（）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。

简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：JFra /21=(2) 受力分析得：===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。

得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。

4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为：（）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m 解：答案是A 。

简要提示：由定轴转动定律：α221MR FR =，得：mRFt 4212==?αθ 所以：mFM W /42=?=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为：（）A ．0211ωJJ J+ B ．0121ωJJJ + C ．021ωJ JD ．012ωJ J解：答案是A 。

理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]

理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]

dv v2 τ n dt
a
r
O
`
v vτ
r
dv 2 v2 ) ( )2 dt ρ
tan
aτ an
1
例5-2 汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线 y=4fx(L–x)/L2, f=1m,求车到桥最高点时的加速度。
解： aτ
例5-3 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺旋 立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=30° 时，销钉 A的切向和法向加速度。 解: 建立弧坐标s和直角坐标Oxy如图。 因 s=Rθ,
销钉A的加速度为
aτ v sin θ v0 θ cos θ
2 2 sin θ v0 12.32m/s 2 R cos3 θ
an
2 v2 v0 21.33m/s 2 R R cos 2 θ
例5-4
判别下图示曲线中加速度、速度矢量是否正确。
§5-4 刚体的基本运动平动，转动

则vＤ＝vＡ＝２rω
aＤn＝aＡn＝２rω２ aＤτ＝aＡτ＝２ra
0 dt
0
t
y x

θ θ0 ω0t
t
0 0

t
αdtdt
角加速度为常量：
两个独立方程
0 t,
1 θ θ0 ω0 t t 2 2
1 θ θ0 (ω0 ω)t , 2
t 0
'2 1 1 y " k y

切线
v r S M* + M
dτ s v lim n d t lim t 0 t t 0 s t
an

第5章 刚体力学基础 动量矩

第5章 刚体力学基础 动量矩

5.2.2 刚体绕定轴转动微分方程
第 k个质元 Fk f k mk ak
切线方向
rk
fk
Fk
Fk f k mk ak
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
k k k
Fr f r
刚体的总动能
z

O
rk
vk
P
• Δmk
1 1 1 2 E Ek Δmk rk 2 Δmk rk 2 2 J 2 2 2 2 结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半
Xi’an Jaotong University


第5章 刚体力学基础
本章内容：
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 动能定理
动量矩
5.3 绕定轴转动刚体的动能 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 5.1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
Xi’an Jaotong University
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度
_____
刚体转动
z
f (t )
d f ' (t ) dt

05.刚体力学

05.刚体力学

a at R
联立四式解得：
---- （4）
m1 g
m2 g
Mf m2 m1 g R a 1 m1 m2 m 2
Mf m2 m1 g R a 1 m1 m2 m 2 m1 M f m 2 m 2 m1 g 2 R T1 m1 g a m m1 m 2 2 m2 M f m 2 m1 m 2 g 2 R T2 m 2 g a m m1 m 2 2
P
vP
4
y
单位均为cm s
3
o
x
2 k rad s1
z
5

rP 3i 4 j 5 k cm
该时刻P点的速度为： 3
rP
P
vP
4
y
o
v r 0 3
i
j 0 4
k 2 5
x
-1 v 25.1i 18.8 j (cm s )
* 简化为研究转动平面内的运动
* 用角量作整体描述
* 在轴上选正方向，各角量均表示为代数量

四.角速度矢量
角速度:

旋转方向 O
d lim t 0 t dt

角速度矢量


R
P
v
方向：右手螺旋法则 垂直于运动平面，沿轴
o
r
v r
2 3L 4
z
A L4
m o
L
C
B
解1：
解2： J z J C m L 1 mL2 m L 7 mL2 48 4 12 4

刚体力学补充内容ppt

刚体力学补充内容ppt
p p

y
C
q mg O x
1 2 2 cos q m l q m glcosq m l cosq l sin q q q 3 2 cosq sin q mglcosq ml2q 1 g 2 cos q q sin q cosq q cosq 0 3 l
5 v0 0 2R
此后，质心速度为负，质心后退，但角速度仍沿原方向 质心向左加速，球转动继续减慢 摩擦力方向不变 到某个时刻t2，A点速度为零，球开始做纯滚动
5m g vA vC R v0 m gt2 0 t2 R 0 2R 2v0 R0 t2 7 mg 3 此时 vC v0 m gt2 v0 7 1 v0 R0 4
0 m
R
v0
球相对P点角动量守恒
P
(2)
2 2 mR 0 mv0 R 0 (1) 5 2 v0 R0 5 2 2 2 2 mR 0 mv0 R mvR mR 5 5 3v0 3 代入即得 以 v v0 7 7R 1 v0 R0 4
刚体力学补充内容
若外力为保守力，则机械能守恒： 不是独立方程！
上海交通大学物理系高景jgao@
刚体力学补充内容
一圆柱质量为m，半径为R。静 止地放在摩擦系数为 m 的粗糙水平面上。若沿水平方 向过质心加恒定外力F， 求其运动。
F
[分析] 受力：外力F，重力mg，支持力N，摩擦力f
如何运动与F、f 有关，而f 又与运动情况有关
x
若应用运动定理
为
y px y qx 型方程
通解
ye
pdx
qe pdx dx c

第05章__刚体力学基础补充

第05章__刚体力学基础补充

第05章__刚体⼒学基础补充第五章刚体⼒学基础⼀、选择题1 甲⼄两⼈造卫星质量相同，分别沿着各⾃的圆形轨道绕地球运⾏，甲的轨道半径较⼩，则与⼄相⽐，甲的：(A)动能较⼤，势能较⼩，总能量较⼤； (B)动能较⼩，势能较⼤，总能量较⼤； (C)动能较⼤，势能较⼩，总能量较⼩；(D)动能较⼩，势能较⼩，总能量较⼩；［ C ］难度：易2 ⼀滑冰者，以某⼀⾓速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)⾓速度增⼤，动能减⼩； (B)⾓速度增⼤，动能增⼤；(C)⾓速度增⼤，但动能不变；(D)⾓速度减⼩，动能减⼩。

［ B ］难度：易3 两⼈各持⼀均匀直棒的⼀端，棒重W ，⼀⼈突然放⼿，在此瞬间，另⼀个⼈感到⼿上承受的⼒变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w ； (D) 4w 。

［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为⽔平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，⼀质量为m 的⼦弹以⽔平速度0v 击中杆的A端并嵌⼊其内。

那么碰撞后A 端的速度⼤⼩： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) M m mv +0； (D) Mm mv +330。

［ B ］难度：中5 ⼀根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其⼀端且与棒垂直的⽔平光滑固定轴转动．抬起另⼀端使棒竖直地⽴起，如让它掉下来，则棒将以⾓速度ω撞击地板。

如图将同样的棒截成长为2l的⼀段，初始条件不变，则它撞击地板时的⾓速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。

［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的⼩球，A 球⽤⼀根不能伸长的绳⼦拴着，B 球⽤橡⽪拴着，把它们拉到⽔平位置，放⼿后两⼩球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)⽆法判断。

［ C ］难度：中7 ⽔平圆转台上距转轴R 处有⼀质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。

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第五章 刚体力学基础一、选择题1 甲乙两人造卫星质量相同，分别沿着各自的圆形轨道绕地球运行，甲的轨道半径较小，则与乙相比，甲的：(A)动能较大，势能较小，总能量较大； (B)动能较小，势能较大，总能量较大； (C)动能较大，势能较小，总能量较小；(D)动能较小，势能较小，总能量较小；［ C ］难度：易2 一滑冰者，以某一角速度开始转动，当他向内收缩双臂时，则： (A)角速度增大，动能减小； (B)角速度增大，动能增大； (C)角速度增大，但动能不变；(D)角速度减小，动能减小。

［ B ］难度：易3 两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一个人感到手上承受的力变为：(A)3w ； (B) 2w (C) 43w； (D) 4w 。

［ D ］难度：难4 长为L 、质量为M 的匀质细杆OA 如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 的子弹以水平速度0v 击中杆的A端并嵌入其内。

那么碰撞后A 端的速度大小： (A)M m mv +12120； (B) Mm mv +330；(C) Mm mv +0； (D) M m mv +330。

［ B ］难度：中5 一根质量为m 、长为l 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒竖直地立起，如让它掉下来，则棒将以角速度ω撞击地板。

如图将同样的棒截成长为2l的一段，初始条件不变，则它撞击地板时的角速度最接近于：(A)ω2； (B)ω2； (C) ω； (D) 2ω。

［ A ］难度：难6 如图：A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球L的线速度：(A)B A v v = (B) B A v v <(C) B A v v > (D)无法判断。

［ C ］难度：中7 水平圆转台上距转轴R 处有一质量为m 的物体随转台作匀速圆周运动。

已知物体与转台间的静摩擦因数为μ，若物体与转台间无相对滑动，则物体的转动动能为： (A)mgR E k μ41≤(B) mgR E k μ21≤ (C) mgR E k μ≤ (D) mgR E k μ2≤ ［ B ］难度：中8 一匀质细杆长为l ，质量为m 。

杆两端用线吊起，保持水平，现有一条线突然断开，如图所示，则断开瞬间另一条绳的张力为： (A)mg 43 (B) mg 41 (C) mg 21(D) mg ［ B ］难度：难9 一根均匀棒AB ，长为l ，质量为m ，可绕通过A 端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由摆动，已知转动惯量为231mgl ．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆到θ角时，B 端速度的大小为：(A)θsin gl (B) θsin 6gl(C)θsin 3gl (D) θsin 2gl［ C ］难度：中10 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为(A)2ωmR J J+． (B) ()02ωR m J J +． (C) 02ωmRJ． (D) 0ω． ［ A ］难度：中11 一质量为M 、半径为r 的均匀圆环挂在一光滑得的钉子上，以钉子为轴在自身平面内作幅度很小的简谐振动．已知圆环对轴的转动惯量22Mr J =，若测得其振动周期为π21s ，则r 的值为 (A) g /32． (B) 216g ．(C)16/2g ． (D) g /4．［A ］难度：中 12、质量和长度都相同的均匀铝细圆棒A 和铁细圆棒B ，它们对穿过各自中心且垂直于棒的轴的转动惯量各为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．(C) J A ＝J B ． (D) J A 、J B 哪个大，不能确定．［ C ］难度：易13、两个质量和厚度相等的均匀木质圆盘A 和均匀铁质圆盘B ，设两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J B ＞J A ．(C) J A ＝J B ． (D) J A 、J B 哪个大，不能确定．［ A ］难度：易14、两根细棒的质量、长度均相同，且都半截木质、半截钢质，一根的转动轴木质端，另一根的转动轴在钢质端。

今在棒的另一端施相同的力F ，两细棒得到的角加速度满足：(A) βA ＞βB ． (B) βB ＞βA ．(C) βA ＝βB ． (D) 无法确定． ［B ］难度：易15、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上，圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘的角速度为0ω，当圆盘角速度变为2ω所需时间为（SI 制）：(A)gRμω0． (B) g R μω20．(C)gRμω830． (D) g R μω40．［C ］难度：中16、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，开始时自然悬挂于竖直位置若给棒一水平冲力，则棒在绕轴转动过程中： (A) 角速度逐渐增大，角加速度逐渐减小； (B) 角速度和角加速度都逐渐增大； (C) 角速度和角加速度都逐渐减小；(D) 角速度逐渐减小，角加速度逐渐增大。

［ D ］难度：易17、一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，则圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间（SI 制）：(A)21． (B) k J． (C) k J 2ln ． (D) k 21．A B［C ］难度：中18、一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，则圆盘的角速度从ω0变为021ω时，阻力距所作的功（SI 制）：(A) 420ωJ ． (B) 8320ωJ -．(C) 420ωJ -． (D) 820ωJ ．［B ］难度：中19、一花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时以转动动能220ωJ 旋转，当他向内收缩双臂时，他的转动惯量减少为31J ．这时他转动动能变为：(A) 220ωJ ． (B) 620ωJ ．(C) 2320ωJ ． (D) 2920ωJ ．［ C ］难度：中20、一人双手握着重物伸开双臂站在可绕中心轴无摩擦转动的平台上，系统的转动惯量为J ，角速度为ω．当此人突然将两臂收回，使系统的转动惯量减少为31J 0．则该系统： (A) 机械能和角动量守恒，动量不守恒． (B) 机械能守恒，动量和角动量不守恒． (C) 动量和机械能不守恒．角动量守恒． (D) 机械能不守恒．动量和角动量守恒．［ C ］难度：易21、一质量为M 的水平匀质圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，圆盘边缘站着一个质量为m 的人.把人和圆盘取作系统，开始时，该系统的角速度为ω0，接着此人沿着半径走到圆盘中心，在走动过程中（忽略轴的摩擦），此系统的(A) 转动惯量不变； (B) 角速度减小； (C) 机械能不变； (D)角动量不变。

［ D ］难度：易22、一质量为M 的水平匀质圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，圆盘边缘站着一个质量为m 的人.把人和圆盘取作系统，开始时，该系统的角速度为ω0，接着此人沿着半径走到圆盘中心，此系统的角速度将为： (A)02ωMm；(B) 0)21(ωM m+； (C) 0)21(ωM m+；(D) 02ωMm。

［ B ］难度：中23、一飞轮从静止开始作均加速转动，飞轮边上一点的法向加速度n a 和切向加速度t a 值的变化为：(A) n a 不变，t a 为零； (B) n a 不变，t a 不变； (C) n a 增大，t a 为零； (D) n a 增大，t a 不变；。

［ D ］难度：中24、一根均匀棒，长为l ，质量为m ，一端固定，由水平位置可绕通过其固定端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由摆动．则在水平位置时其质心C 的加速度为（已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为231ml ） ：(A)g ． (B)0． (C)g 43． (D) g 21． ［C ］难度：中25、一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒在地上竖立着，如果让其以下端与地的接触处为轴自由倒下，当上端到达地面时，上端的速率为（已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为231ml ） ：(A)gl 6． (B)gl 3．(C)gl 2． (D)23gl． ［B ］难度：中 26、一根长为l 、质量为m 的的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一质量为m 、速度为0v 的子弹从与水平方向成角处飞来，击中杆的中点且留在杆中，则杆的中点C 的速度为：(A)20v ． (B) ϕcos 730v ．(C) ϕcos 430v ．(D) ϕsin 730v ． ［B ］难度：中27、在经典力学中，下列哪个说法是错误的：(A) 质点的位置、速度、加速度都是矢量． (B) 刚体定轴转动的转动惯量是标量． (C) 质点运动的总机械能是标量． (D) 刚体转动的角速度是标量．［ D ］难度：易1 一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度为ω，则0ωω＝__________________． 答案：31 难度：中2 一电唱机的转盘以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，则转盘上与转轴相距r = 15 cm 的一点P 的线速度v ＝__________________． 答案：8.17srad难度：中3 一电唱机的转盘以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，则转盘上与转轴相距r = 15 cm 的一点P 的法向加速度a n ＝__________________． 答案：102s m难度：中4 一电唱机的转盘开始以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，在电动机断电后，转盘在恒定的阻力矩作用下减速，并在t = 15 s 内停止转动，则转盘在停止转动前的角加速度β＝__________________． 答案：-0.5452s rad难度：中5 一电唱机的转盘开始以n = 78 rev/min 的转速匀速转动，在电动机断电后，转盘在恒定的阻力矩作用下减速，并在t = 15 s 内停止转动，则转盘在停止转动前转过的圈数N ＝__________________． 答案：9.75rev 难度：难6 如图所示，半径为r 1＝0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2＝0.75 m 的B 轮带动，B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．则A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间t ＝__________________s ． 答案：40 难度：中7、圆柱体以80srad的角速度绕中心轴转动，对该轴转动惯量为42m kg ⋅，由于恒力矩的作用，在10s 内其角速度变为40srad ，则力矩的大小为__________________m N ⋅。