高等数学同济第三版--
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同济-高等数学-第三版课件光盘介绍
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
同济第三版-高数-(8.1) 第一节 多元函数的基本概念解析
• 作定义域的图形 定义域由三个不等式表出。其中， 不等式 0 < x 2a 表示介于 y 轴和直线 x = 2a 间的平
面区域，它不含 y 轴，但包含直线 x = 2a . 不等式 0 < y 2 2ax 表示抛物线 y 2 = 2ax 下方、x 轴
上方的区域，它包含该抛物线，但不含 x 轴。 结合前两组不等式，不等式 0 2ax x2 y 可改
1
2ax x 2 y
1,
可解得
2ax x 2 y ,
y 0.
x 2a x 0.
由
1
y2 2ax
1,
可解得
0
y2
2ax ,
x 0 .
0 x.
综合两不等式组求得函数定义域为
D f x, y 0 x 2a, 0 y2 2ax, 0 2ax x 2 y .
知，它们之间具有联系
R
R1R2 . R1 R2
R1
R
R2 在这一问题中，当 R1、R2 在集合
{( R1, R2 )R1> 0 , R2 > 0 }
内取定一组值( R1, R2 )时，R 的对应值就随之确定。
以上三个问题的具体意义虽各不相同，但都有共同 性质，即一个变量的变化受到两个变量的影响和制约， 抽像出这些共同性质就得出以下二元函数的定义。
写成 x > 0 ，y > 0 ,( x - a )2+ y 2 a 2，因此该表示圆周 ( x - a )2 + y 2 = a 2 的外部位于 x 轴上方的区域，且包含 圆周，但不含 x 轴。
y
y2 2ax
D
0 y2 2ax
x a2 y2 a2
Df
:
高等数学同济第三版教材
高等数学同济第三版教材高等数学是大学数学中的一门重要课程，对于理工类专业的学生来说尤为关键。
同济大学的高等数学第三版教材是在前两版基础上进一步改进和完善的，本文将对该教材进行全面介绍和评价。
第一部分：教材概述高等数学同济第三版教材共分为七个章节，内容涵盖了微积分、多元函数微分学、级数、曲线积分、曲面积分、常微分方程和矢量代数。
每个章节都以实例引入概念、理论和方法，并配有大量的例题和习题供学生练习。
第二部分：教材特点1. 结构合理：教材按照知识递进的方式组织，从基础的微积分开始，逐步引入更复杂的概念和方法，确保学生能够渐进地掌握知识。
2. 内容详尽：教材对每个概念都进行了详细的解释和推导，给出了充分的例题和习题，帮助学生加深理解和掌握。
3. 理论与实践结合：教材在理论部分注重给出具体的实例，将抽象概念与实际问题相结合，帮助学生理解数学的实际应用价值。
4. 清晰的图示和表格：教材配有清晰的图示和表格，以帮助学生更好地理解和记忆概念、定理和公式。
第三部分：教材优点1. 完善的练习题：教材除了提供例题外，还给出了大量的习题供学生练习。
习题的难度和类型有所变化，以帮助学生巩固和拓展相关知识。
2. 精选典型例题：教材中选取了一些典型的例题，这些例题既能展示出数学方法的美妙之处，又能培养学生的分析和解决问题的能力。
3. 知识扩展和延伸：教材在每个章节的末尾都给出了一些扩展和延伸内容，旨在培养学生的创新思维和能力。
第四部分：教材改进意见尽管高等数学同济第三版教材在很多方面都有突出的优点，但也有一些可以改进的地方。
比如，在一些较为复杂的定理和推导过程中，可以增加更多的步骤和解析，以帮助学生更好地理解。
此外，可以增加一些与实际应用相关的例题和思考题，以更好地激发学生对数学的兴趣。
总结高等数学同济第三版教材是一本经典而优秀的教材，它系统地讲解了高等数学的基本概念和方法，并通过大量的例题和习题帮助学生巩固和应用所学知识。
同济第三版-高数-(8.7) 第七节 多元函数的极值及其求法
f xy( x ,y )= - 2 .
• 求驻点
f x x , y 4 x 3 2 x 2 y 0 , 令: 3 f 4 y 2x 2 y 0 . x , y y <1> 式 - < 2 > 式得 y 3 = x 3，求得 y = x .
因为，在点( 0 ,0 )的邻域U( O , )内
若取 y = x，则有 f( x ,x )= x 2 > 0， 若取 y = - x ，则有 f( x ,-x )= - x 2 < 0 , 由极值定义知，点( 0 ,0 )不是 f( x ,y )= xy 的极值点。
z f x, y x y
f( x1,y1)在区域 D 内部有唯一的驻点( x 2,y2 )=( 2,1 ).
• 讨论函数在区域 D 边界上的变化 逐段考察 f( x,y)在区域 D 边界上的取值情况： y 在 L1: y = 0 ，0 x 6 上，
f( x , 0 )= x 2 0 ( 4 - x - 0 )= 0 .
• 此必要条件不会是充分条件
定理1是假定函数取得极值的条件下导出的，因而
是取得极值的必要条件，但这一条件不会是充分条件。 反例：函数 z = f( x ,y )= x y 在点( 0 ,0 )处满足: fx( 0 ,0 )= yy = 0 = 0 ，fy( 0 ,0 )= xx = 0 = 0 . 但点( 0 ,0 )却不是 f( x ,y )= xy 的极值点。
讨论，即闭区域上多元函数的最值
可归结为区域内部极值点的讨论和 区域边界曲线上极值点的讨论。
多元函数的极值问题关键是要讨论多元函数极值的 判别问题。由于多元函数取得极值可分为在区域内部取 得的极值和在区域边界上取得极值两种情形，相应地多
同济第三版高数(3.1)第一节中值定理同济第三版高数资料
使得曲线在该点处的
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论 定理 拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数 对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题， 而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值 定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点 处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性 质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分 学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成， 它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中 值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些 定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间 内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系 列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起 着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式 不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性， 每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式 的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样 的
曲
线
y f x
弧
没
f a
同济高等数学教材第三版
同济高等数学教材第三版同济高等数学教材是国内一套权威的高等数学教材，已出版到第三版。
本教材系统全面地介绍了高等数学的基本理论、方法和应用。
它包含了微积分、数学分析、线性代数、概率论与数理统计等内容，是大学高等数学课程的重要教材之一。
一、微积分微积分是数学的重要分支，也是同济高等数学教材的核心内容之一。
本教材通过引入极限、导数和积分等概念，系统地介绍了微积分的基本理论与方法。
在微积分的学习过程中，同学们将逐步掌握函数的连续性、可导性、积分计算等基本技巧，培养数学建模和问题求解能力。
二、数学分析数学分析是微积分的基础，也是同济高等数学教材的重要内容。
数学分析的主要内容包括数列与级数、函数列与泛函、函数极限与连续、多元函数微积分等。
通过学习数学分析，同学们将更深入地理解微积分的概念与原理，掌握更多的计算方法与技巧。
三、线性代数线性代数是现代数学的重要分支，也是同济高等数学教材的一部分。
线性代数主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量等内容。
在线性代数的学习中，同学们将学会矩阵的运算、线性方程组的解法，为后续的高等数学和工程数学课程打下坚实的基础。
四、概率论与数理统计概率论与数理统计是同济高等数学教材的另一部分，也是大学数学中重要的内容之一。
概率论主要研究随机事件的概率和随机变量的统计规律，而数理统计则侧重于利用样本数据推断总体特征。
通过学习概率论与数理统计，同学们将掌握随机事件的描述与分析方法，以及常见统计推断的原理与应用。
五、应用数学同济高等数学教材还涵盖了应用数学的知识与方法。
应用数学将高等数学的理论与方法应用于现实生活和各个领域，包括物理学、力学、天文学、经济学等。
同学们通过学习应用数学，将能够将数学知识应用到实际问题中，提高问题解决能力与创新思维。
总结：同济高等数学教材第三版是一本系统而全面的高等数学教材，涵盖了微积分、数学分析、线性代数、概率论与数理统计等内容。
通过学习该教材，同学们将培养数学建模和问题求解能力，为未来的学业和职业发展打下坚实的数学基础。
同济第三版-高数-(7.5) 第五节 空间直线及其方程
1 2 n1 n2
z
n1
n2
1
O
2
y
L A1 x B1 y C 1z D1 0 ， 1 L: A2 x B2 y C 2 z D 2 0 . 2
x
• 直线一般式方程的形式不唯一 由方程组理论知，线性方程组经非奇异线性变换后 变为同解方程组。从几何上看，就是同一条直线 L 可由 不同的平面组表出，且过给定直线的任意两个不相平行 的平面均可表示该直线。
由点 M0( -3,2,5 )及向量 s 4 , 3 , 1 , 按直线的 点向式方程的一般形式可写出所求直线的方程为
y2 x 3 L: z 5 . 4 3 1
(2) 各类直线方程的互化
各种直线方程形式均有其自身的特点，对问题的讨
论也各有便利之处。为讨论的需要，常需进行不同形式 的直线方程间的转化。 不同形式直线方程间 的转化关键是确定所要导
i s n1 n2 1 2
j 0 1
• 点向式化为参数式 问题形式
(1) 建立直线方程 多种直线方程形式实际也就给出了多种建立直线方 程的方法。直线的点向式方程对应点向式方程法，即求 直线方程可考虑确定直线上一点及其方向向量，并按点
向式方程形式写出直线方程。一般式方程对应一般式方
程法，即求直线方程可考虑确定
通过所求直线的两个平面。
根据问题条件选择合适的 方程形式求直线方程是讨论直 线问题的基础。
z
z z0
O
y
nx my nx0 my0
又如，m ,n = 0，p 0，此时对应直线方程为
y y0 x x 0 L: z z0 0 0 p
同济大学 高等数学(本科少学时)第三版第一章
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a }称为点a的邻域 ,
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x2
解
f (x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
同济第三版-高数-(7.6) 第六节 旋转曲面与二次曲面
应的母线及旋转轴。
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。
由上讨论求得旋转曲面 的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规 则
O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为
O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。
由上讨论求得旋转曲面 的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规 则
O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为
O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而
同济-高等数学-第三版(5.4) 第四节 平面图形的面积
简洁，因此需考虑在极坐标
系下计算平面图形面积问题。
(1) 极坐标系的建立
极坐标系用方向角和相应的距离来确定平面上的点
的位置，通过如下定义的方式建立二元有序实数组与平 面上点的“1-1对应”的关系： 在平面内取一个定点 O，由点 O 引一条射线 OA， 并确定长度单位及度量角度的正方向( 通常取逆时针方
此时相应的面积元素为两曲边扇形面积之差，即 2 2 d 1 12 d 1 2 12 d . dA 1 2 2 2 2 于是曲线 r = ( )所围成的区域的面积为 1 A d A r22 r12 d . 2
是分段函数；
• 积分区域尽量不分块或少分块。
为直观和理论叙述的方便，微积分的讨论主要是在
直角坐标系下进行的，但直角坐标系并不是确定位置的
唯一形式，极坐标系就是另一种常用确定位置的方法。
从实际应用角度看，在直角坐标系下表示点的位置 及函数关系或曲线方程并非总是 最方便的，有些函数关系或曲 线方程在极坐标系下表示更为
向 )就构成了极坐标系。定点 O 叫做极点，射线 OA 叫
做极轴。
点 P → 一组有序实数( r, ) 一组有序实数( r, )→ 点 P .
P
r
O
A
11 r , P
11 曲线 r
(2) 曲边扇形的概念
和直角坐标系下化平面图形为曲边梯形的情形相类
A
O
A
(3) 曲边扇形面积的计算 设有曲边扇形 r = ( ), [ , ]，试计算其面积。
对于极坐标系下的平面图形，容易求得的是圆
心在极点、半径为 R、圆心角为 的圆扇形面积。
同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数
n 因此，上述假设就是幂级数 a n x x 0 在区间 I
n0
内的和函数为 f( x )，即
f x lim S n x lim
n n n k 0
n0
k a k x x 0 , I U x 0, .
记: Rn( x )= f( x )- S n( x )，I = U( x 0 , )，则有
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称
这种方法为直接法。
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。 用直接法求 f( x )的马克劳林展开式
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 f x a n x x 0 n.
n0
函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：
• 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数；
• 如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； • 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数 f( x ). (1) 分析函数展开为幂级数的条件
由归纳法可求得
f ( 2k- 1 )( x )= 2 2k -2 sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ]
= 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )( k-1 ) 2 2k -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k -1 sin[ 2 x + k - /2 ] =( - 1 ) =( - 1 )
n0
内的和函数为 f( x )，即
f x lim S n x lim
n n n k 0
n0
k a k x x 0 , I U x 0, .
记: Rn( x )= f( x )- S n( x )，I = U( x 0 , )，则有
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称
这种方法为直接法。
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。 用直接法求 f( x )的马克劳林展开式
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 f x a n x x 0 n.
n0
函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：
• 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数；
• 如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； • 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数 f( x ). (1) 分析函数展开为幂级数的条件
由归纳法可求得
f ( 2k- 1 )( x )= 2 2k -2 sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ]
= 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )( k-1 ) 2 2k -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k -1 sin[ 2 x + k - /2 ] =( - 1 ) =( - 1 )