最新26332简单的线性规划1

简单的线性规划1简单的线性规划1简单的线性规划1教学目标(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.三、教法建议(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念。

简单的线性规划（一）知识点1 线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。

（1）目标函数：要求再一定条件下求极大值或极小值问题的函数叫做目标函数，目标函数式变量的一次解析式，又叫做线性目标函数。

（2）约束条件：在规划中，变量必须满足的条件叫做约束条件，关于变量时一次不等式（等式）表示的条件叫线性约束条件。

（3）可行解：在线性规划中，满足线性约束条件的解叫做可行解；（4）可行域：在线性规划中，有所有的线性可行解组成的的集合叫可行域；（5）最优解：可行解中使目标函数取得最大值或最小值得解叫做最优解。

【例题1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥++=001710732,53y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最小值，使求【变式2】的最大值和最小值。

求满足条件式中变量设z x y x y x y x y x z ,1255334,,2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=知识点2 解答线性规划问题的两个误区解答线性规划问题容易有以下两个类型的错误：（1）平移直线时失误；（2）扩大可行域。

由于作图的误差使我们很难确定哪个点最先和目标函数相交，所以需要检验，常用的以下方法检验：（1）顶点检验法：（2）斜率检验法：【例题3】的最大值。

求已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,04276355744411【变式3】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥+=.6325400,98y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最大值，式中求【例题4】的取值范围。

求且设)2(,4)1(2,2)1(1,)(22-≤≤≤-≤-+=f f f b ax f x x【变式4】的取值范围。

，求，满足已知函数)3(5)2(11)1(4)(2f f f c a x f x ≤≤--≤≤--=。

高二数学教·学案【学习目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【学习重点】用图解法求线性目标函数的最值问题。

【学习难点】准确求得线性规划问题的最优解。

【授课类型】新授课【学习方法】诱思探究2x ＋y 中的x ，y 对应的点(x ，y)所在平面区域．问题2. 目标函数z =2x ＋y 具有怎样的几何意义？答：若把z =2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则它表示斜率为－2，在 y 轴上的截距为z ，且与函数y ＝－2x 平行的一族直线．问题3. 如何根据目标函数的几何意义，求出其最大值和最小值？ 答：由目标函数的几何意义，求目标函数的最大值和最小值，即求目标函数在 y 轴上的截距的最大值和最小值.当直线 y =−2x 向上平移时，所对应的z 随之增大；当直线 y =−2x 向下平移时，所对应的z 随之减小.如图，在把向上平移的过程中，直线与平面区域首先相交于顶点A(13，1) 时所对应的z 最小，最后相交的顶点B(245，1)所对应的z 最大.因而只需平移直线y =－2x ，在其与图中阴影部分有公共点时，找到它在 y 轴上的最小截距和最大截距．问题4. 在上述分析的基础上，尝试求出 z =2x ＋y 的最小值和最大值.答：由方程组{y =3x y =1 ，得A 点坐标为(13，1)；由方程组{5x +6y =30y =1 ，得B 点坐标为(245，1)．从而得到z min =2×13＋1=53；z min =2×245＋1=535.【总结】如果两个变量x ，y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作线性规划问题．(2) 在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．在可行解中，能分别使目标函数取得最小值和最大值的点(x1，y1)，(x2，y2)称为这个问题的最优解．例1. 已知 x，y 满足{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，求z=2x－y 最大值和最小值．解：z=2x－y可化为y=2x－z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y=0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5，2)时，z max=2×5－2=8.当l 移动到l2，即过点C(1，4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4 .【解题反思】如何求解简单的线性规划问题？答：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键是利用几何直观，平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式 1. 已知 x，y 满足线性约束条件{0≤x≤40≤y≤3x+2y≤8，则目标函数z=2x+4y 取最大值的最优解为（）A．16B．(2，3)C．(4，2) D．线段M1M2上每一个点的坐标【答案】D【解析】首先，线性规划中，目标函数的最优解是点的坐标，因而选项A错误；其次，根据线性约束条件，得线性可行域，如下图1阴影部分所示. 把z=2x+4y 变形为y=−12x+z4，得到斜率为−12，截距为z4，且随着 z的变化的一族平行线.又直线M1M2的斜率也为−12，由下图2易知，当直线y=−12x+z4与直线M1M2重合时，z4最大，因而 z 也最大.所以，线段M1M2上每一个点的坐标都是z=2x+4y 的最优解，故选D.图1 图2 【解题反思】线性规划问题中，目标函数数的最优解在何处取到？答：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．如果顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解．若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有无数多个．探究二. 线性规划在生活中的应用例2．下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素 A，B 的含量及单价：甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素A 不少于4400单位，维生素B 不少于4800 单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解：设购买甲种食物 x 千克，乙种食物 y 千克，则购买丙种食物10－x－y 千克，又设总支出为 z元，依题意得z=7x＋6y＋5(10－x－y)，化简得z=2x＋y＋50.x，y 应满足的约束条件{400x+600y+400(10−x−y)≥4400 800x+200y+400(10−x−y)≥4800x≥0，y≥0 10−x−y≥0，化简得{y≥22x−y≥4x+y≤10x≥0，根据此不等式组，作出表示可行域的平面区域，如下图阴影部分所示．画直线l0：2x＋y=0，平行移动 l0到直线 l 的位置，使 l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在 l 的不包含直线 l0的另外一侧，该点到直线 l0的距离中小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点 M符合上述条件，点 M 是直线y=2与直线2x－y=4 的交点．由方程组{y=22x−y=4，得点M(3，2)．因此，当x=3，y=2 时，z 取得最小值z min=2×3＋2＋50=58，此时，10－x－y=5.所以，购买甲食物3 千克，乙食物2 千克，丙食物 5 千克时，付出的金额最低为 58 元．变式2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4 单位铁质，售价2 元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z，则{5x +7y ≥3510x +4y ≥40x ≥0，y ≥0，目标函数为z =3x ＋2y ，作出可行域如下图所示：把z =3x ＋2y 变形为y =－32x ＋z2，得到斜率为－32 ，在 y 轴上的截距为z2 ，随 z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线 y =－32x ＋z2 经过可行域上的点 A 时，截距 z2 最小，即 z 最小． 由 {10x +4y =405x +7y =35 得 A(145，3)， ∴ z min =3×145＋2×3=14.4.∴ 甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，费用最省． 【课时小结】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 【作业】同步学案3.5.2（1）【课后反思】。

7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域. 2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3， A.5 B.10 C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为3.不等式组 表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43.∴α≠3π.答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________. 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32.答案：t ＞325.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3 ●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.∴面积S =21×4×4=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.或 或 或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围； （2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围. 解：（1）依题意得v =y50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xy O1492.53910142+3=38y x （2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小. 此时，v =12.5，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为A BC D解析：可转化为x+2y+1≥0，x+2y+1≤0，或x－y+4≤0 x－y+4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．x ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）.x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.由 得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件设z =xy ，则z 的最小值为_______，最大值为由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min =3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），4所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小.故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）.●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心 教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】 已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5，4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.x y +3由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40，2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max =20，解方程组。

简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y －1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为AB C D3.设x 、y 满足约束条件x ≥0，x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.5.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.6.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，? 4.变量x 、y 满足条件 设z =x y ，则z 的最小值为_______，最大值为。