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简单的线性规划1简单的线性规划1简单的线性规划1教学目标(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.三、教法建议(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念。
简单的线性规划（一）知识点1 线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。
（1）目标函数：要求再一定条件下求极大值或极小值问题的函数叫做目标函数，目标函数式变量的一次解析式，又叫做线性目标函数。
（2）约束条件：在规划中，变量必须满足的条件叫做约束条件，关于变量时一次不等式（等式）表示的条件叫线性约束条件。
（3）可行解：在线性规划中，满足线性约束条件的解叫做可行解；（4）可行域：在线性规划中，有所有的线性可行解组成的的集合叫可行域；（5）最优解：可行解中使目标函数取得最大值或最小值得解叫做最优解。
【例题1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥++=001710732,53y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最小值，使求【变式2】的最大值和最小值。
求满足条件式中变量设z x y x y x y x y x z ,1255334,,2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=知识点2 解答线性规划问题的两个误区解答线性规划问题容易有以下两个类型的错误：（1）平移直线时失误；（2）扩大可行域。
由于作图的误差使我们很难确定哪个点最先和目标函数相交，所以需要检验，常用的以下方法检验：（1）顶点检验法：（2）斜率检验法：【例题3】的最大值。
求已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,04276355744411【变式3】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥+=.6325400,98y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最大值，式中求【例题4】的取值范围。
求且设)2(,4)1(2,2)1(1,)(22-≤≤≤-≤-+=f f f b ax f x x【变式4】的取值范围。
，求，满足已知函数)3(5)2(11)1(4)(2f f f c a x f x ≤≤--≤≤--=。
高二数学教·学案【学习目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【学习重点】用图解法求线性目标函数的最值问题。
【学习难点】准确求得线性规划问题的最优解。
【授课类型】新授课【学习方法】诱思探究2x ＋y 中的x ，y 对应的点(x ，y)所在平面区域．问题2. 目标函数z =2x ＋y 具有怎样的几何意义？答：若把z =2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则它表示斜率为－2，在 y 轴上的截距为z ，且与函数y ＝－2x 平行的一族直线．问题3. 如何根据目标函数的几何意义，求出其最大值和最小值？ 答：由目标函数的几何意义，求目标函数的最大值和最小值，即求目标函数在 y 轴上的截距的最大值和最小值.当直线 y =−2x 向上平移时，所对应的z 随之增大；当直线 y =−2x 向下平移时，所对应的z 随之减小.如图，在把向上平移的过程中，直线与平面区域首先相交于顶点A(13，1) 时所对应的z 最小，最后相交的顶点B(245，1)所对应的z 最大.因而只需平移直线y =－2x ，在其与图中阴影部分有公共点时，找到它在 y 轴上的最小截距和最大截距．问题4. 在上述分析的基础上，尝试求出 z =2x ＋y 的最小值和最大值.答：由方程组{y =3x y =1 ，得A 点坐标为(13，1)；由方程组{5x +6y =30y =1 ，得B 点坐标为(245，1)．从而得到z min =2×13＋1=53；z min =2×245＋1=535.【总结】如果两个变量x ，y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作线性规划问题．(2) 在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．在可行解中，能分别使目标函数取得最小值和最大值的点(x1，y1)，(x2，y2)称为这个问题的最优解．例1. 已知 x，y 满足{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，求z=2x－y 最大值和最小值．解：z=2x－y可化为y=2x－z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y=0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5，2)时，z max=2×5－2=8.当l 移动到l2，即过点C(1，4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4 .【解题反思】如何求解简单的线性规划问题？答：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键是利用几何直观，平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式 1. 已知 x，y 满足线性约束条件{0≤x≤40≤y≤3x+2y≤8，则目标函数z=2x+4y 取最大值的最优解为（）A．16B．(2，3)C．(4，2) D．线段M1M2上每一个点的坐标【答案】D【解析】首先，线性规划中，目标函数的最优解是点的坐标，因而选项A错误；其次，根据线性约束条件，得线性可行域，如下图1阴影部分所示. 把z=2x+4y 变形为y=−12x+z4，得到斜率为−12，截距为z4，且随着 z的变化的一族平行线.又直线M1M2的斜率也为−12，由下图2易知，当直线y=−12x+z4与直线M1M2重合时，z4最大，因而 z 也最大.所以，线段M1M2上每一个点的坐标都是z=2x+4y 的最优解，故选D.图1 图2 【解题反思】线性规划问题中，目标函数数的最优解在何处取到？答：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．如果顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解．若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有无数多个．探究二. 线性规划在生活中的应用例2．下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素 A，B 的含量及单价：甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素A 不少于4400单位，维生素B 不少于4800 单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解：设购买甲种食物 x 千克，乙种食物 y 千克，则购买丙种食物10－x－y 千克，又设总支出为 z元，依题意得z=7x＋6y＋5(10－x－y)，化简得z=2x＋y＋50.x，y 应满足的约束条件{400x+600y+400(10−x−y)≥4400 800x+200y+400(10−x−y)≥4800x≥0，y≥0 10−x−y≥0，化简得{y≥22x−y≥4x+y≤10x≥0，根据此不等式组，作出表示可行域的平面区域，如下图阴影部分所示．画直线l0：2x＋y=0，平行移动 l0到直线 l 的位置，使 l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在 l 的不包含直线 l0的另外一侧，该点到直线 l0的距离中小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点 M符合上述条件，点 M 是直线y=2与直线2x－y=4 的交点．由方程组{y=22x−y=4，得点M(3，2)．因此，当x=3，y=2 时，z 取得最小值z min=2×3＋2＋50=58，此时，10－x－y=5.所以，购买甲食物3 千克，乙食物2 千克，丙食物 5 千克时，付出的金额最低为 58 元．变式2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4 单位铁质，售价2 元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z，则{5x +7y ≥3510x +4y ≥40x ≥0，y ≥0，目标函数为z =3x ＋2y ，作出可行域如下图所示：把z =3x ＋2y 变形为y =－32x ＋z2，得到斜率为－32 ，在 y 轴上的截距为z2 ，随 z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线 y =－32x ＋z2 经过可行域上的点 A 时，截距 z2 最小，即 z 最小． 由 {10x +4y =405x +7y =35 得 A(145，3)， ∴ z min =3×145＋2×3=14.4.∴ 甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，费用最省． 【课时小结】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 【作业】同步学案3.5.2（1）【课后反思】。
