人教版简单的线性规划_1

第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。

简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。

2. 理解线性规划问题的求解过程。

3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。

所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。

2. 多个线性规划问题的案例。

教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。

探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。

4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。

5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。

实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。

7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。

8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。

9. 学生分享并讨论解决过程和结果。

巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。

11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。

拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。

13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。

评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。

2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。

教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。

高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：简单的线性规划二. 重点、难点：1. 二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋y －1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。

{}（）集合表示的图形是直线右上方的所有点。

210(,)|x y x y +-> {}（）集合表示的图形是直线左下方的所有点。

310(,)|x y x y +-<一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

注意：在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时画成实线。

（4）区域判断方法是：特殊点法。

2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x 、y 满足的一组条件叫做对变量x 、y 的约束条件，如果约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。

（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做目标函数。

如果解析式是x 、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。

（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

（4）可行域：满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。

3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。

（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。

（3）准确作图，准确计算。

【典型例题】例1. 画出不等式表示的平面区域。

-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240 取原点（，），代入O x y 0024-+-因为，所以原点在表示的平面区域内。

简单的线性规划典型例题「_x +y _2 兰0,例1画出不等式组」x+y—4兰0,表示的平面区域.x -3y 3 _ 0.分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分.解：把x=0 , y=0 代入-x y-2中得-00-2：：：0二不等式-x * y-2乞0表示直线-X，y-2=0下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示.说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.例2画出2x-3：m表示的区域，并求所有的正整数解（x,y）.分析：原不等式等价于'而求正整数解则意味着x , y "3. '上>0, y >0,x € z y w z有限制条件，即求；y J .j y〉2x-3,yg解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x-3：：：八3表示的区域如下图:x>0, y >0,对于2x-3曲空3的正整数解，先画出不等式组.X Z ，r Z，所表示y>2x-3,八3.的平面区域，如图所示.容易求得，在其区域内的整数解为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）. 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来.y 环+1 _1例3求不等式组< ''所表示的平面区域的面积.“兰-x+1分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论.解：不等式y A|x+1| -1 可化为y X x（x 兰-1）或y 二-x~2（x v -1）；不等式y _ _x 1 可化为y - -x 1（x 一0）或y 1（x ：： 0）.在平面直角坐标系内作出四条射线AB: y =x（x _ -1），AC : y - -x-2（x ：： -1）DE : y = —x 1（x 亠0），DF : y = x 1（x ：： 0）则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形.根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为2和注.2 2所以其面积为3.2‘2x + y -12 喳0,例4 若x、y满足条件』3x-2y+10^0,求z = x+ 2y的最大值和最小值.x -4y +10 兰0.分析：画出可行域，平移直线找最优解.解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示. 作直线I:x2y = z，即y = -1x -z，它表示斜率为一丄，纵截距2 2 2为2的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，Z取得最大值，当I过点B时，z取得最小值.二Z max = 2 28 = 18二Z min _ -2 22 =2说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值.例5用不等式表示以A(1,4) , B(-3,0) , C(-2,-2)为顶点的三角形内部的平面区域.分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。