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第五章 方差分析

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第5章方差分析

第5章方差分析

5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2

j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1

r
nj
x j x
2

j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：

5章 方差分析

5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2

1 nA

1 nB

a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2

第五章方差分析

第五章方差分析

单因素方差分析单因素方差分析也称作一维方差分析。

它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。

还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。

One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。

如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。

如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measure过程。

[例子]调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表5-1所示。

表5-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数数据保存在“DATA5-1.SAV”文件中，变量格式如图5-1。

图5-1分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。

1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。

建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图5-1所示。

或者打开已存在的数据文件“DATA5-1.SAV”。

2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统打开单因素方差分析设置窗口如图5-2。

图5-2 单因素方差分析窗口3）设置分析变量因变量:选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。

本例选择“幼虫”。

因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。

本例选择“品种”。

4）设置多项式比较单击“Contrasts”按钮，将打开如图5-3所示的对话框。

该对话框用于设置均值的多项式比较。

图5-3 “Contrasts”对话框定义多项式的步骤为：均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。

例如图5-3中显示的是要求计算“1.1×mean1-1×mean2”的值，检验的假设H0：第一组均值的1.1倍与第二组的均值相等。

方差分析

方差分析

Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56



随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理



因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19

第五章方差分析

第五章方差分析

5.1.3方差分析的原理
方差分析认为，如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响，那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动；反之， 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响，那么观测变量 值的变动就不明显，其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上，方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述，方差分析从对观测变量的方差分解入手，通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异，分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响，进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析；根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析（单因 变量方差分析）和多元方差分析（多因变量方差分析）。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中，选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法，单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮，出现上图对话框，在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000，即 协变量对青年教师现工资的影响显著；“教师 级别”的相伴概率为0.997，大于0.05，即对青 年教师的工资影响不显著；“政策实施”的相 伴概率0.029，小于0.05，对青年教师工资影响 显著；两因素的交互作用的相伴概率为0.551， 大于0.05，即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设：协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ；在扣除协变量的影响条件下，控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平 ，则应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。

第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。

当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。

•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。

•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。

•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。

•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。

将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。

若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。

当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。

5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。

方差分析

X i ~ N (i , 2 ), i 1,2,3,4
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni


j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000

第5章 方差分析


F检验
若实际计算的F值大于 F 0 . 0 5 ( d f , d f ) ，则 F 值在 α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 2 2 St代表的处理间方差大于Se 代表的处理内方差。
1 2
这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差 是否相等的方法称为 F检验。
F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根 ,F 据df1=dft 和df2=dfe查表所得的临界F值F 相比较作出统计推断的。
1 1
k
n
x ) n (x i x )
2 2 1
k
(x
1 1
k
n
xi )
2
上式可简写成：SST=SSt+SSe 分别表示总 平方和，处理间平方和，处理内平方和。 即：总平方和=处理间平方和+处理内平
方和。
C=T2/kn：
SST

x C
2
1 2 SS t Ti C n SS e SS T SS t
P ( F F ) 1 F ( F )
F


f (F )d F
F表列出的是不同df1和df2下， P(F≥Fα)=0.05和P(F≥Fα)=0.01时的F值， 即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F 值，一般记作F0.05(df1,df2), F0.01(df1,df2) 。
所以 d f T d f t d f e 综合以上各式得：
df T kn 1 df t k 1 df e df T df t
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS )。组 间均方和组内均方的计算公式为 :

第五章 方差分析和正交试验


r
i 表示组内理论均值, eij 表示随机误差, eij ~ N (0, 2 ), i 称为效应值. ni i 0.
单因素方差分析的数学模型为 : Yij i eij (i 1, 2, , r; j 1, 2, , ni ) 2 e ~ N ( 0 , ), eij 互相独立; ij n n 0. i i i 1
•步骤2:表头设计.见下表:一般至少安排有一个空列.
17
结束
•步骤3:制订试验方案, 见下表:
18
结束
•步骤4:作试验得到得率 yi .填入表中.作试验时采用随机顺序. •步骤5:计算统计量,填入表5.4.5中.
水平数r 3, 每水平在 1列中出现次数 m 3, 试验数n rm 9, 试验结果为Y1 , Y2 , , Yn , K jl为j列中水平为l (l 1,2, , r )的试验结果之和 . 这里K11 y1 y2 y3 , K 23 y3 y6 y9 . 记K K jl , 显然, K Yi , 与j无关.
l 1 i 1 n 1 2 1 r 2 2 2 P K , Q j K jl , S j Q j P, Q Yi 2 , ST Q P. n m l 1 i 1 r n
S Yi Y
2 T j 1
r


2
1 2 2 2 2 S , Y K , 这里, ST S12 S 2 S3 S4 . n j 1
EYi i , EY ,
2 总离差平方和 ST Yij Y , r ni 2 i 1 r j 1
组间差平方和 S 组内差平方和 S

6第五章 方差分析


x
x
1.总变异 1.总变异
将4组综合起来看，40只小鼠的瘤重 组综合起来看，40只小鼠的瘤重 有差异，称为总变异 总变异， 有差异，称为总变异，用总的离均差 2 平方和表示。 平方和表示。
( SS总 = ∑∑ xij − x)
i j
2.组间变异 2.组间变异
• 从表中可见，4组小鼠瘤重的均数有差别，称 从表中可见， 组小鼠瘤重的均数有差别 组小鼠瘤重的均数有差别， 组间变异，用离均差平方和(SS 表示。 为组间变异，用离均差平方和 组间)表示。 表示 • 造成组间变异的原因是：①处理差异：即药 造成组间变异的原因是： 处理差异： 物及其不同剂量对瘤重有影响造成了各组均 数不同。 个体差异： 数不同。 ②个体差异：即小鼠的个体因素造 成各组均数不同。 成各组均数不同。
例题
将40只接种肿瘤的小白鼠随机分 只接种肿瘤的小白鼠随机分 为4组，给予不同剂量的三菱莪术 组 注射液，半月后称量瘤重，其数 注射液，半月后称量瘤重， 据见下表。表中1组为接种后不加 据见下表。表中1组为接种后不加 任何处理， 、 、 组分别为接种 任何处理，2、3、4组分别为接种 后注射0.5ml、1.0ml和1.5ml三菱 后注射 、 和 三菱 莪术液。 莪术液。试比较各组瘤重间有无 差别？ 差别？
四、F 检验的基本思想
• F 检验的基本思想 是分析变异 ， 即 检验的基本思想是分析变异 是分析变异， 将所有测量值间的总变异按照其变 异的来源分解为多个部分， 异的来源分解为多个部分 ， 通过比 较不同来源的变异推断各处理组间 的差异有无统计学意义。 的差异有无统计学意义。 • 实质上是关于观测值变异原因的数 量分析。 量分析。
SS组 = ∑ i ( xi − x) n 间
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5.2.1 方差分析的假定 （1）对每个总体，响应变量服从正态分布。 例题中，每组学生的考试成绩必须服从正态 分布。 （2）响应变量的方差，对所有总体都相同。 例题中，每组学生的考试成绩的方差必须相 同。 （3）观察值必须是独立的。例题中，每组的 考试每个学生的考试成绩都与其他学生的考 试成绩独立。
2 302.4667 4.256098
12 71.06667 14
练习：某项研究报告得出这样的结论：个体经营 者感受到的工作压力要比非个体经营者大。在该 项研究中，为了度量一些模棱两可和容易混淆的 方面，设计了15个问题来评估工作压力。这15 个问题的选择范围都是从强烈同意到强烈反对， 等级分为1-5分。对每个人，15个问题的等级分 之和在15-75之间，等级分越高表明工作压力越 大。假设在一项类似的研究中，有20个这样的 选择题，等级分为1-5分。随机选取了15名房地 产代理商、15名建筑商和15名股票经纪人，对 他们的工作压力进行了度量。数据资料见 stress.xls。对于显著水平0.05，检验三种职业之 间的工作压力是否存在显著差异。
第五章 方差分析
5.1 方差分析的基本概念
5.2 方差分析的基本原理
5.3 方差分析：k个总体均值相等性检验
5.1 方差分析的基本概念
在实际应用中常常要探讨不同实验条件 或处理方法对结果的影响。通常是比较不同 实验条件下总体均值间差异。方差分析是检 验多个总体均值间差异是否显著的一种统计 方法。 简言之，方差分析是k个总体均值相等性 的检验 。
5.3 方差分析：k个总体均值相等性检验
H 0 : 1 2 k H1 : k 个总体的均值不全相等 式中
j 第j个总体的均值
我们假定从k 个总体或处理中的每一个选取一个 容量为n j的简单随机样本。 对于所得样本数据，令 xij 第j个处理的第i个观测值 n j 第j个处理的观测值个数 x j－第j个处理的样本均值 s 2 第j个处理的样本方差 j s j 第j个处理的的样本标准差
例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响， 取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地， 分成16块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥 料施在四块土地上，得亩产量如下：
实验指标
肥料品种A
A1 A2 A3 A4

亩产量 981，964，917，669 607，693，506，358 791，642，810，705 901，703，792，883
图1 零假设为真时，样本均值的抽样分布
现在，我们计算例题中每组的样本均值，以 及上面关于样本均值的抽样分布的均值和方 差。 如果当零假设为真时，此时总体方差的处理 间估计值是什么呢？总体方差的处理内估计 值是什么呢？
图1 零假设为假时，样本均值的抽样分布
当零假设为真时，处理间估计方法才是总 体方差σ2的一个好的估计量；如果零假设为 假，处理间估计方法将高估总体方差，如图2， 样本均值之间的变异性变大，此时用处理间 估计方法得到的总体方差的估计值将变大。 但，在两种情形下，处理内估计都是总 体方差σ2的一个好的估计量。 因此，如果零假设为真，则两个估计量 应该很接近，即它们的比值接近于1；如果零 假设为假，则处理间估计将大于处理内估计， 且，它们的比值将比较大。
第j个处理的样本均值和样本方差：
xj
x
i 1
nj
ij
nj ( xij x j ) 2
i 1 nj
s2 j
nj 1

x
x
j 1 i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k
nj
ij
nT
nT n1 n2 nk
5.3.1 总体方差的处理间估计
总体方差σ2的处理间估计量称为处理均方 (mean square due to treatments)，记为MSTR.
方差分析中常用的术语有： （1）实验指标（响应变量或因变量）：将要考 察的结果，用大写字母X、Y等表示。 （2）实验因素（自变量或因子）：影响实验指 标的条件，常用大写字母A、B、 C等表示。 （3）因素水平（因子水平或处理）：因素所处 的某种特定状态，常用代表该因素 的字母加下 标表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。 （4）方差分析：对于影响一个指标的众多因素， 若仅使一个(或一个以上)因素发生变化，而其他 因素均保持不变 (或控制在一定范围内)，分析这 一个(或一个以上)因素对指标的影响是否显著， 称为单因素(或多因素)方差分析。
MSTR
n j ( x j x )2
j 1
k
k 1
SSTR k 1
SSTR为处理平方和（sum of squares due to treatments);分母k-1表示与SSTR相联系的自 由度。
5.3.2 总体方差的处理内估计
总体方差σ2的处理内估计量称为误差均方(mean square due to error)，记为MSE.
B2
607，358 981，964 810，705 657，703
B3
实验因素
810，705
因素水平
792，883 843，766 901，703
问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。
两因素方差 分析
5.2 方差分析的基本原理
例：一位教师采用3种不同的教学方法进行教 学，现在想要检查3种不同的教学方法的效果， 为此随机地选取了水平相当的15位学生。把 他们分成3组，每组5个人，每一组用一种方 法教学，一段时间后，这位教师给这15位学 生进行统考，统考成绩(单位：分)见表1。试 检验这3种教学方法的效果有没有显著差异。
MSE
(n
j 1
k
j
1) s
2 j
nT k
SSE nT k
SSE为误差平方和（sum of squares due to error); 分母表示与SSE相联系的自由度。MSE是以每个 处理内部的变异为基础的，它不受零假设是否为 真的影响。因此，MSE永远给出σ2的无偏估计。

表1 学生的考试成绩
方法
A1 1 A2 2 A3 3
实验指标 X
统考成绩
75 81 73 62 85 79 71 68 60 58 92 75 73 90 81
5.2.2 推理思路： 总体方差的处理间估计与处理内估计 如果零假设为真，样本均值的变异性 “小”；如果样本均值的变异性“大”则支 持备择假设。 当零假设为真时，可以利用样本均值间的 变异性建立σ2的一个估计，这一估计称为总 体方差σ2 的处理间估计。 同时，每个样本方差都给出了σ2的一个无 偏估计。可以将σ2的个别估计组合或合并成 一个总的估计。这一估计为σ2的合并或处理 内估计。它不受总体均值是否相等的影响。
实验因素
因素水平
问施肥品种对小麦产量有无影响。
单因素方差分析
例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的 影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为B1， B2，B3每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下：
土壤种类 肥料品种 A1 A2 A3 A4
实验指标
B1
693，506 810，705 791，642 917，669
5.3.3 方差估计量的比较：F检验

5.3.4 ANOVA表
总平方和：
SST ( xij x )
j 1 i 1
k
nj
2
它的自由度是多少？
SST = SSTR + SSE
表2 教学方法例子的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F
处理
误差 总计
604.9333
852.8 1457.733