统计学第5章 方差分析

第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。

当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。

•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。

•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。

•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。

•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。

将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。

若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。

当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。

5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。

统计学中的方差分析在统计学中，方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用的数据分析方法，用于比较两个或更多个样本均值之间的差异。

它可以帮助研究人员确定这些差异是否是由于随机变异导致的，或者是否存在其他因素对样本均值产生显著影响。

方差分析的基本理念是将总体方差分解为不同来源的方差，以评估各个因素对总体方差的影响程度。

一般情况下，将总体方差分解为组内方差和组间方差两部分。

组内方差反映了同一组内个体之间的差异程度，而组间方差则反映了不同组之间的差异程度。

方差分析的数学模型可以通过以下公式表示：$$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$$其中，$Y_{ij}$表示第i组中第j个个体的观测值，$\mu$为总体均值，$\alpha_i$为第i组的固定效应，$\epsilon_{ij}$为误差项。

通过方差分析可以检验组间因素（$\alpha_i$）对于总体均值是否具有显著影响。

在进行方差分析之前，需要满足以下几个前提条件：1. 独立性：样本观测值彼此之间应独立，即每个观测值的产生不会受到其他观测值的影响。

2. 正态性：每个组内的观测值应呈正态分布，这样才能保证方差分析的结果准确性。

3. 方差齐性：每个组内的观测值应具有相同的方差，即不同组之间的方差应该相等。

方差分析有两种常见的类型：单因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量（或因素）的情况下，用于比较不同水平（或处理）之间的均值差异。

例如，一个研究人员想要比较不同药物治疗方法对疾病恢复时间的影响，可以使用单因素方差分析。

多因素方差分析适用于具有两个或更多个自变量（或因素）的情况。

它可以帮助研究人员分析多个因素之间的相互作用效应。

例如，一个研究人员想了解不同年龄、性别和教育程度对于工资水平的影响，可以使用多因素方差分析。

方差分析的结果可以通过计算统计量F值来判断不同因素对于总体均值的显著影响。

第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。

（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。

（3）方差分析的应用条件。

2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。

（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。

（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。

（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。

（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。

二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1．基本思想方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。

通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。

2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。

k 表示处理组数。

统计学——方差分析概念和方法方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。

它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。

方差分析主要包括以下几个概念和方法：1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和自变量。

因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。

2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有显著差异，即为零假设（H0）。

然后，我们通过方差分析来检验零假设是否成立。

3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。

4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。

在方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。

通过比较F值与给定的显著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。

5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假设检验：a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本的均值存在显著差异）；b.计算各个组的均值；c.计算组间方差和组内方差；d.计算统计量F值；e.判断结果：通过比较F值和临界值来判断是否拒绝零假设。

6. 方差分析的扩展：在方差分析中，我们可以进行一些扩展的分析，如多重比较和建模。

多重比较是用来判断哪些组之间存在显著差异，常用的方法有Tukey法、Duncan法和Scheffe法等。

建模则是通过增加其他变量（如交互效应）来更好地解释因变量的变化。

第五章方差分析思考与练习参考答案1.试述方差分析的基本思想。

解答：方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受或拒绝原假设的判断的。

2.方差分析有哪些基本假设条件？如何检验这些假设条件? 解答：（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；（2 ）在各个总体中因变量的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。

正态性检验：各组数据的直方图/峰度系数、偏度系数/Q-Q图，K-S检验*等方差齐性检验：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。

最大值和最小值的比例等于 1.83<2。

也可以采用Levene检验方法。

独立性检验：检查样本数据获取的方式，确定样本之间无相关性。

3.对三个不同专业的学生的统计学成绩进行比较研究，每个专业随机抽取6人。

根据数据得到的方差分析表的部分内容如表5-21。

请完成该表格。

如果显著性水平a=0.05，能认为三个专业的考试成绩有显著差异吗？表5-21不同专业考试成绩的方差分析表解答：表不同专业考试成绩的方差分析表查f分布可知，p（F< 0.9067964）= 0.7952296，在显著性水平a=0.05时，不能拒绝原假设，认为三个专业的成绩无显著差异。

根据以下背景资料和数据回答4-7题。

为测试A、B、C、D、E五种节食方案，一位营养学家选择了50名志愿者随机分成五组，每组采用一种方案测量两个月后每个人的降低的体重，得到的实验数据如表5-22。

表5-22不同节食方案的降低的体重（公斤）序号 万案A 万案B 万案C 万案D 万案E1 6.5 2.9 8 5.1 11.52 11.6 5.5 11.9 2.5 13.23 7.7 4.3 8.5 1.5 114 8.7 3.6 8.9 2.2 13.15 8.4 3.9 9.1 1.4 13.86 4.1 6.7 11.4 3.1 12.8 7 8.7 4.5 12.6 5.4 12 8 6.6 1.7 12.4 1.9 11.5 9 7.1 6.59.4 4.1 14.6 108.9 5.4 10.6 3.6 13.74.不同节食方案的实验效果的描述统计资料如表5-23。