20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.17 函数真题再现(解析版)

（一）函数与导数中的高考热点问题[命题解读] 1.函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点．2．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等．3．涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．【例1】(2018·天津高考节选)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]的最小值h (a )． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9.所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32和(3，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知，g (x )＝f (x )－2x ＝a ln x ＋x 2－ax －2x .g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数， h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数， h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1， a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．【例2】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[信息提取] 看到(1)求单调区间，想到导数与单调性的关系； 看到(2)f (x )只有一个零点，想到f (x )的单调性及函数有零点的条件． [规范解答] (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.2分当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0. 4分故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增，在(3－23，3＋23)上单调递减.5分(2)证明：由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0. 7分设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2(x2＋2x＋3)(x2＋x＋1)2≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点. 9分又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点.11分综上，f(x)只有一个零点. 12分[易错与防范]易错误区：(1)把单调增区间用“∪”连接．(2)作第(2)问时，直接求f′(x)，导致无法求解．(3)无法找到区间(m，n)，使得f(m)f(n)＜0.防范措施：(1)单调区间不能用“∪”连接．(2)求函数零点时，常利用f(x)＝0，转化函数的表现形式．(3)在寻找m，n使得f(m)f(n)＜0时，可通过多次尝试获得．[通性通法]利用导数研究函数零点的两种常用方法(1)用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图象求解零点问题．(2)将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．(2019·武汉模拟)已知f(x)＝ln x－x3＋2e x2－ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝e处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝1x－3x2＋4e x－a，f′(e)＝1e＋e2－a＝e2，∴a＝1e.(2)由ln x－x3＋2e x2－ax＝0，得ln xx－x2＋2e x＝a.记F(x)＝ln xx－x2＋2e x，则F′(x)＝1－ln xx2－2(x－e)．当x∈(e，＋∞)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．当x∈(0，e)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，∴F(x)ma x＝F(e)＝1e＋e2，而x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，F(x)→－∞.故a＜1e＋e2.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题．【例3】设函数f(x)＝a ln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<aa－1，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<aa －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>aa －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＜1时，证明：对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )＜－ln xx －(1＋a )x 2－a ＋1. [解] (1)由题知f ′(x )＝－2(1＋a )x 2－x ＋1x(x ＞0)，当a ≠－1时，由f ′(x )＝0得2(1＋a )x 2＋x －1＝0且Δ＝9＋8a ， x 1＝－1－9＋8a 4(1＋a )，x 2＝－1＋9＋8a 4(1＋a )，①当a ＝－1时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ②当a ＞－1时，f (x )在(0，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减； ③当a ≤－98时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；④当－98＜a ＜－1时，f (x )在(0，x 2)和(x 1，＋∞)上单调递增，在(x 2，x 1)上单调递减． (2)当a ＜1时，要证f (x )＜－ln xx－(1＋a )x 2－a ＋1在(0，＋∞)上恒成立，只需证ln x －x ＜－ln xx －a ＋1在(0，＋∞)上恒成立，令F (x )＝ln x －x ，g (x )＝－ln xx －a ＋1，由F ′(x )＝1x －1，易得F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故F (x )≤F (1)＝－1，由g (x )＝－ln xx －a ＋1得g ′(x )＝－1－ln x x 2＝ln x －1x 2(x ＞0)． 当0＜x ＜e 时，g ′(x )＜0；当x ＞e 时，g ′(x )＞0. 所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 所以g (x )≥g (e)＝－1e ＋1－a .又a ＜1，所以－1e ＋1－a ＞－1e ＞－1，即F (x )ma x ＜g (x )min ， 所以ln x －x ＜－ln xx－a ＋1在(0，＋∞)上恒成立， 故当a ＜1时，对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )＜－ln xx －(1＋a )x 2－a ＋1恒成立．[大题增分专训]1．(2019·武汉模拟)(1)求函数f (x )＝ln xx 的最大值；(2)若函数g (x )＝e x －ax 有两个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)对f (x )＝ln xx 求导得，f ′(x )＝1－ln x x 2.易知当0＜x ＜e 时，f (x )为增函数，当x ＞e 时，f (x )为减函数， ∴f (x )≤f (e)＝1e ，从而f (x )的最大值为1e .(2)①当a ＝0时，g (x )＝e x 在R 上为增函数，且g (x )＞0，故g (x )无零点． ②当a ＜0时，g (x )＝e x －ax 在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a －1＜0，故g (x )在R 上只有一个零点． ③当a ＞0时，由g ′(x )＝e x －a ＝0可知g (x )在x ＝ln a 处取得唯一极小值，g (ln a )＝a (1－ln a )．若0＜a ＜e ，则g (x )极小值＝a (1－ln a )＞0，g (x )无零点， 若a ＝e ，则g (x )极小值＝0，g (x )只有一个零点， 若a ＞e ，则g (x )极小值＝a (1－ln a )＜0，而g (0)＝1＞0，由(1)可知，f(x)＝ln xx在x＞e时为减函数，∴当a＞e时，e a＞a e＞a2，从而g(a)＝e a－a2＞0，∴g(x)在(0，ln a)与(ln a，＋∞)上各有一个零点．综上知，a＞e时，f(x)有两个零点．故实数a的取值范围为(e，＋∞)．2．(2019·济南模拟)设函数f(x)＝x－2x－a⎝⎛⎭⎪⎫ln x－1x2，a＝R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＞0时，记f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)＜1. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－a⎝⎛⎭⎪⎫1x＋2x3＝x2＋2x2－x2＋2x3a＝(x2＋2)(x－a)x3，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，f(x)min＝f(a)＝a－2a－a⎝⎛⎭⎪⎫ln a－1a2＝a－a ln a－1a.即g(a)＝a－a ln a－1 a.要证g(a)＜1，即证a－a ln a－1a＜1，即证1－ln a－1a2＜1a，令h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1，则只需证h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1＞0，h′(a)＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝(a－2)(a＋1)a3，当a∈(0,2)时，h′(a)＜0，h(a)单调递减；当a∈(2，＋∞)时，h′(a)＞0，h(a)单调递增．∴h(a)min＝h(2)＝ln 2＋12＋14－1＝ln 2－14＞0，∴h(a)＞0，即g(a)＜1.3．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝(x＋b)(e x－a)(b＞0)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为(e－1)x＋e y＋e－1＝0.(1)求a，b；(2)若m≤0，证明：f(x)≥mx2＋x.[解](1)由题意知f(－1)＝0，f′(－1)＝－1＋1e，所以f(－1)＝(－1＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1e－a＝0，又f′(x)＝(x＋b＋1)e x－a，所以f′(－1)＝be－a＝－1＋1e，若a＝1e，则b＝2－e＜0，与b＞0矛盾，故a＝1，b＝1.(2)由(1)可知f(x)＝(x＋1)(e x－1)，f(0)＝0，f(－1)＝0，由m≤0，可得x≥mx2＋x，令g(x)＝(x＋1)(e x－1)－x，则g′(x)＝(x＋2)e x－2，令t(x)＝g′(x)，则t′(x)＝(x＋3)e x，当x＜－3时，t′(x)＜0，g′(x)单调递减，且g′(x)＜0；当x＞－3时，t′(x)＞0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝0.所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g(0)＝0.故g(x)≥g(0)＝0，所以(x＋1)(e x－1)≥x≥mx2＋x.故f(x)≥mx2＋x.。

第十讲 函数的综合运用考向一 新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( ) A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二 函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。

第四节函数的图象1．描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．“左加右减，上加下减”．左加右减只针对x本身，与x的系数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.2．函数图象的变换(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象．(3)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．[熟记常用结论]1．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 2．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√二、选填题1．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：选D与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x∈(2,8]．答案：(2,8]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意得a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，其图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一个解，则a >0.答案：(0，＋∞)考点一 函数图象的识别[全析考法过关][考法全析]考法(一) 知式选图[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为( ) [解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e ＜12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] (2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为() [解析] 令f (x )＝－x 4＋x 2＋2，则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22， 则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增；f ′(x )＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )在⎝⎛⎭⎫－22，0，⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递减，结合图象知选D. [答案] D考法(二) 借助动点探究函数图象[例3] 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )[解析] 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，∵|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→ |＝2，θ＝x －π，∴y ＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，∴y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→与OO 1―→的夹角为α，|OP―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π2＝2π－12x ，∴y ＝|O 1P |2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.[答案] A考法(三) 图象变换问题[例4] 已知函数y ＝f (1－x )的图象如图，则y ＝|f (x ＋2)|的图象是( )[解析] (1)把函数y ＝f (1－x )的图象向左平移1个单位得y ＝f (－x )的图象；(2)作出f (－x )关于y 轴对称的函数图象得y ＝f (x )的图象；(3)将f (x )向左平移2个单位得y ＝f (x ＋2)的图象；(4)将y ＝f (x ＋2)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折到x 轴上方得到|f (x ＋2)|的图象．[答案] A[规律探求] 看个性考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是()解析：选B易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x ＞1时，y＞0.故选B.2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.3．已知函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )解析：选A 先作出函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象，故选A.考点二 函数图象的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 研究函数的性质[例1] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C考法(二) 研究不等式的求解问题[例2] (1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式(x －1)2＜log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2]B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[解析] (1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x＜0可化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．故选A.[答案] (1)D (2)A考法(三) 研究方程根的问题[例3] (2019·沈阳质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A．1B．2C．3D．4[解析]因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.[答案] C[规律探求]交点的横坐标找共性求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：1．(2019·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|＜g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：选D 函数f (x )的图象如图所示．f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|，则f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.3．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出其图象，如图所示．此曲线与y 轴交于点(0，a )，最小值为a －14，要使直线y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ， 所以1＜a ＜54. 答案：⎝⎛⎭⎫1，54。

第课 利用导数研究函数的单调性
【自主学习】
第课利用导数研究函数的单调性
(本课时对应学生用书第页
)
自主学习回归教材
. (选修例改编)函数()的单调减区间为.
【答案】(，)
【解析】'()()()，由()()<，得单调减区间为(，).亦可填写闭区间或半开半闭区间.
. (选修练习()改编)函数 的单调减区间为. 【答案】10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
【解析】' ，令'<，即 <，解得<<1e ，故所求的单调减区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.
. (选修练习改编)若函数()在上是增函数，则实数的取值范围是.
【答案】[，∞)
【解析】'()，
因为()在(∞，∞)上是增函数，
所以'()≥恒成立，所以≥.
. (选修练习改编)若函数()在区间(，∞)上单调递增，则实数的取值范围是.
【答案】(∞，]
【解析】由'()>，得<.若函数在(，∞)上单调递增，则<在区间(，∞)上恒成立，所以≤.
. (选修例改编)方程1
3在区间(，)上恰好有个根.
【答案】
【解析】设()1
3，则'()()，当∈(，)时，'()<，()在(，)上为减函数，又()()×
8
-121
3
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
<，所以()在区间(，)上恰好有个根.
.用导数研究函数的单调性。

第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】---千里之行始于足下一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

第十讲 函数的综合运用考向一 新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b . 设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞- 【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二 函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。

第十六讲 定积分与微积分一．定积分的概念 （1）定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分()d baf x x⎰的几何意义. （3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：；()d bak f x x ⎰②1212[()()]d ()d ()d b bbaaaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bcb aacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）.二．微积分基本定理【套路秘籍】---千里之行始于足下一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()d ()()baf x x F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰.考向一 利用定积分的几何意义求曲线的面积 【例1】（1）定积分∫√1−x 210的值等于 。

函数真题再现1．（2018•全国）f（x）＝ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（，+∞）D．（2，+∞）2．（2018•新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）3．（2018•新课标Ⅲ）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．4．（2017•全国）函数y＝f（x）的图象与函数y＝ln（x﹣1）的图象关于y轴对称，则f（x）＝（）A．﹣ln（x﹣1）B．ln（﹣x+1）C．ln（﹣x﹣1）D．ln（x+1）5．（2017•全国）函数f（x）的定义域（﹣∞，+∞），若g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（2）＝f（4）D．f（3）＝f（5）6．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]7．（2017•新课标Ⅲ）函数y＝1+x+的部分图象大致为（）A． B．C．D．8．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（2017•新课标Ⅰ）函数y＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称11．（2016•全国）曲线y＝1+的对称轴的方程是（）A．y＝﹣x与y＝x+2 B．y＝x与y＝﹣x﹣2C．y＝﹣x与y＝x﹣2 D．y＝x与y＝﹣x+212．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y＝与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）＝（）A．0 B．m C．2m D．4m13．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i＝（）A．0 B．m C．2m D．4m14．（2016•新课标Ⅰ）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．15．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣16．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3 B．6 C．9 D．1217．（2015•新课标Ⅰ）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝x+C．y＝2x+D．y＝x+e x19．（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数20．（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．21．（2018•新课标Ⅲ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b22．（2017•全国）设0＜a＜1，则（）A．B．C．D．23．（2016•全国）函数y＝log2（x∈（1，+∞）的反函数是（）A．y＝2﹣x+1（x∈R）B．y＝﹣2x﹣1（x∈（1，+∞））C．y＝21﹣x（x∈R）D．y＝2（x∈R，x≠1）24．（2016•新课标Ⅲ）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b25．（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b26．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝27．（2018•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）28．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）29．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．﹣B．C．D．130．（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）31．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2．32．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是，33．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．34．（2016•全国）设函数f（x）＝（ax+b）4（b＞a＞0）．若f（1）＝16f（﹣1），则＝．35．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，则f（25）＝．36．（2015•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．37．（2015•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝．38．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝cos（3x+）在[0，π]的零点个数为．39．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．40．（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是。

专题：利用常见函数的奇偶性解题知识梳理：1、掌握高中常见函数的奇偶性，单调性可提高解题速度2、加强知识的归纳整理工作，由知识点构建知识块3、常见的奇，偶函数类型（10≠>a a 且）：①指数型奇函数：f(x)＝11+-±x x a a ，f(x)＝）（x x a a --±， ②对数型奇函数：f(x)＝±lgx b xb +-，f(x)＝±lg(x x ++12)，③幂函数奇函数：f(x)＝m x （为奇数m ），f(x)＝xb x ±④常见偶函数：f(x)＝m x （为偶数m ） f(x)＝|x| 典型例题：例1：已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>1) (1)判断f(x)奇偶性 (2)求函数f(x)的值域变式：已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .变式1：【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例2：(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )变式：已知函数f (x )＝e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．例3：判断并证明函数f(x)=lg x x +1-1的奇偶性 （思考f(x)=lg xx-+11的奇偶性？）例4：判断并证明函数f(x)=lg(x x ++12)的奇偶性 （思考f(x)=lg(x x -+12的奇偶性？)变式1：已知函数xxa x f +-=1log )(3为奇函数，则实数a 的值为________.变式2：设函数f(x)=1)1ln(1222+++++x x x x ）（的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值变式3：函数())lnf x kx =的图象不可能是（ ）A． B ．C ．D ．例5：已知，，则（ ） A ． B ． C ． D ．例6：已知函数2111)(x x x f +-+=，则满足f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 取值范围是（ ） A ．11(,)33- B ．]31,31[- C ．24(,)33D ．]34,32[课后作业：1、已知函数f(x)=xxa a 22+-是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-31B.3C.-31或3D.31或32、（2022年华美月考，多选）已知函数()1212xxf x -=+，())lg g x x =，则（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()g x 为奇函数C ．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和为01()1f x x x=+-()2f a =()f a -=4-2-1-3-D ．设()()()F x f x g x =+，则()()210F a F a +--<的解集为()1,+∞ 3、(2019·金版创新)已知函数f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫⎝⎛21-的值为________． 4、(2019·海淀联考)已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(3)若f (k ·3x)＋f (3x－9x＋2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．专题：利用常见函数的奇偶性解题典型例题： 例1：【答案】（1）奇函数（2）（-1，1） 【解析】(1)()f x 的定义域为R ．又()()11111111xxx x xxa a a f x f x a aa ------====-+++，所以()f x 为奇函数． （2）11211,2120<+-<-∴<+<x x a a ，即值域为（-1，1） 变式：【答案】（∞+-，21） 【解析】0313113132131321313)()(=+-++-=-+-+++-=-+--xxx x x x x x x x x f x f 所以x x f x x 21313)(++-=为奇函数，因为1313)(+-=x x x f 在定义域上单调递增，又f(x)=2x 在定义域上单调递增，所以x x f xx 21313)(++-=在定义域上是增函数 2123)23()(->⇒-->⇒-->∴a a a a f a f例2：【答案】B 【解析】依题意，注意到函数的定义域是}0|{≠∈x R x ，且)()()(22x f xe e x e e xf x x x x -=--=--=---，因此)(x f 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，选项A 不正确，且当x>0时，)(x f >0,选项D 不正确，又+∞→+∞→)(,x f x ，结合选项知B 正确，故选B变式：【答案】]21,1[-【解析】函数f (x )＝e x－1e x 是常见的奇函数，且在定义域内是单调递增的，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0a a a f a f a f -≤⇒-=--≤∴12)1()1()2(22解得：211≤≤-a例3：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为11<<-x 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lgx x +1-1+lg x x -+11=0，即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg xx-+11也是奇函数 例4：【答案】奇函数【解析】由条件知：函数的定义域为R 关于原点对称 所以f(x)+f(-x)=lg(x x ++12)+lg(x x -+12)=lg1=0即函数f(x)是奇函数，同理f(x)=lg(）x x -+12也是奇函数变式1：【答案】1【解析】由条件知：奇函数的定义域要关于原点对称，所以分母1-≠x ，为了对称，分子a=1变式2：【答案】2【解析】由已知得1)1ln(21)(22+++++=x x x x x f 因为)1ln())(1)(ln(22x x x x ++-=-++-，所以)1ln(2x x y ++=是奇函数，进而可判定，函数1)1ln(2)(22++++=x x x x x g 为奇函数，则)(x g 的最大值1M 和最小值1N ，满足1M+1N =0，因为1,111+=+=N N M M ，所以M+N=2变式3：【答案】C 【解析】因为A,B 选项中，图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，f(x)+f(-x)=0 1010)1ln()1ln(2222±=⇒=-⇒=+++-+k x k kx x kx x ）（即当K=1时，f(x)的图像为选项A,当K=-1时，f(x)的图像为选项B 而C,D 选项中，图像关于Y 轴对称，所以f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)00)1ln()1ln(22=⇒=⇒++=-+k kx kx x kx x 即当K=0时，0)(≥x f 故f(x)的图像为选项D ，故f(x)的图像不可能为C例5：【答案】A 【解析】设xx x f x g 11)()(+=+=则)(1)()(x g x f x g -=+-=-，所以)(x g 是奇函数，31)()(=+=a f a g 因为)(x g 是奇函数，所以31)()(-=+-=-a f a g 所以4)(-=-a f ，故选A例6：【答案】C 【解析】函数2111)(xx x f +-+=在[)∞+，0上为增函数，所以不等式f （x －1）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 等价为 f （|x －1|）<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 所以|x －1|）<31⇒3432<<x课后作业：1、【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x xa a 22+-是奇函数，所以f(-x)=-f(x)整理得：02,02)22(2122>=-=+-x x x x a a a 因为））（（，所以1±=a 代入选C2、【答案】BCD 【解析】函数xx x f 2121)(+-=是奇函数，所以A 错，函数g(x)=lg ）x x -+12是奇函数，所以B 正确，．函数()()()F x f x g x =+在区间[]1,1-上是奇函数，在对称区间上，最大值最小值之和为0，C 正确;是减函数xx f 2121)(++-=,010ln 11)()1lg()(2'2<+-=⇒-+=x x g x x x g 故F （x ）=f(x)+g(x)是减函数，a a a F a F a F a F +>⇒+<⇒<--+12)1()2(0)1()2(所以1>a ，D 正确3、【答案】2【解析】函数)(x f 是奇函数，所以0)21()21(=+-f f ，令xx h 212)(+=，则22112212)21()21(=+++=-+h h ，所以g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋g ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-=2 4、【答案】（1）奇函数（2）在R 上单调递增函数（3）），（34∞-【解析】略。