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1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n nn j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
同济大学线性代数第六版线性相关与线性无关的判定方法在线性代数中，线性相关和线性无关是对于向量组的性质进行判断的重要概念。
在同济大学线性代数第六版教材中，针对线性相关和线性无关的判定方法进行了详细的阐述和说明。
本文将根据该教材的内容，对线性相关和线性无关的判定方法进行介绍和解释。
1. 向量组及其线性组合在线性代数中，向量组指的是由一系列向量组成的集合。
对于一组向量A = (a_1, a_2, ..., a_n)可以通过线性组合的方式生成新的向量。
线性组合的定义如下：对于任意实数k_1, k_2, ..., k_n，向量b可以表示为：b = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n2. 线性相关与线性无关的定义在线性代数中，向量组A中的向量线性相关指的是存在一组不全为零的实数k_1, k_2, ..., k_n，使得：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0反之，如果向量组A中的向量线性相关的话，则称其线性无关。
3. 线性相关的判定方法方法来判定一个向量组是否线性相关：3.1 行列式法行列式法是线性代数中常用的判定线性相关的方法之一。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，如果存在一个n阶行列式|A| = 0，则向量组A线性相关；如果|A| ≠ 0，则向量组A线性无关。
3.2 线性方程组法线性方程组法是另一种常用的判定线性相关的方法。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，将其表示为线性方程组的形式：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0如果线性方程组存在非零解，则向量组A线性相关；如果线性方程组只有零解（即只有全部系数均为0的解），则向量组A线性无关。
3.3 列向量线性组合法列向量线性组合法是通过列向量的线性组合判定线性相关的方法。
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a aa a a a a a 1)(∑-=n n 2211n nn 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n21=n21λλλ n2121)n(n λλλ1)( --=6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
同济大学线性代数第六版特征值与特征向量的求解方法特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们与矩阵的性质密切相关。
在同济大学线性代数第六版中，特征值与特征向量的求解方法被详细地介绍和讲解。
本文将结合该教材内容，对特征值与特征向量的求解方法进行阐述。
一、特征值与特征向量的定义特征值与特征向量是矩阵的重要性质，它们与矩阵的相似性、对角化以及矩阵的特征分解等概念密切相关。
在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X和一个标量λ，使得满足AX=λX，那么λ就是矩阵A的一个特征值，而X就是对应于特征值λ的特征向量。
二、特征值和特征向量的求解方法在同济大学线性代数第六版中，介绍了几种常见的特征值和特征向量的求解方法，包括特征多项式法、Jacobi迭代法、幂法和反幂法等。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种常用的求解特征值和特征向量的方法。
给定n阶方阵A，我们可以通过求解特征多项式方程det(A-λI)=0来得到A的所有特征值λ，其中I为单位矩阵。
通过解特征方程我们可以得到全部的特征值。
2. Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种通过迭代计算逼近特征值和特征向量的方法。
该方法通过不断迭代A的近似特征值和特征向量来逼近精确解。
它的基本思想是通过不断地对矩阵进行相似变换，使得变换后的矩阵的非对角线元素逐步趋近于零，从而得到特征值和特征向量的近似解。
3. 幂法和反幂法幂法和反幂法是求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法。
幂法通过不断迭代矩阵A的一个向量序列，逐步逼近主特征值和主特征向量。
反幂法则是对幂法的改进，可以求解特征值接近于零的矩阵，并且具有更快的收敛速度。
除了以上介绍的求解特征值和特征向量的方法，还有其他一些方法，如QR迭代法、Givens变换、Householder变换等，它们在同济大学线性代数第六版中也进行了详细的讲解。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值。
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质正交向量和正交矩阵是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
在同济大学线性代数教材的第六版中，正交向量和正交矩阵的性质被详细地介绍和讲解。
本文将围绕这一主题展开，探讨正交向量和正交矩阵的性质及其应用。
一、正交向量的性质正交向量是指两个向量的内积为零，也就是说它们的夹角为九十度。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交向量的性质。
首先，正交向量的数量不会超过向量空间的维数。
这一性质被称为正交向量的基本定理，它对于解决线性方程组和矩阵的特征值问题非常重要。
其次，同济大学线性代数第六版还介绍了正交向量组和正交补空间的概念。
正交向量组是指一组两两正交的向量，它们张成的子空间被称为正交子空间。
而正交补空间是指与一个向量空间正交的向量构成的子空间。
正交补空间的概念在矩阵和线性方程组的求解中经常出现，可以帮助我们简化问题，降低计算难度。
二、正交矩阵的性质正交矩阵是指方阵的转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交矩阵的性质及其应用。
首先，正交矩阵的行向量组和列向量组都是正交向量组。
这一性质使得正交矩阵具有很好的几何意义，可以用来描述旋转和镜像。
其次，同济大学线性代数第六版介绍了正交矩阵的特殊形式——正交对角矩阵。
正交对角矩阵的对角线上的元素都是1或-1，其余元素都是0。
正交对角矩阵具有简单的性质和运算规则，在计算中比较方便。
另外，同济大学线性代数第六版还介绍了正交复合矩阵的概念。
正交复合矩阵是由多个正交矩阵相乘得到的，具有一些特殊的性质。
例如，正交复合矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可以保证矩阵乘法的可逆性。
三、正交向量和正交矩阵的应用正交向量和正交矩阵在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在几何学中，正交向量可以用来描述平面和空间中的垂直关系，例如描述直线的法向量，计算投影和距离等。
其次，在物理学中，正交向量和正交矩阵经常用于描述旋转、镜像和坐标变换等问题。
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
（P11页例7） 8. 行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记 A ij = ( −1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。
②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。
2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9. 利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组： ①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。
等于0，则无解其中 D j (j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。
第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由 m ×n 个数 a ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。
行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。
同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。
零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。
对角矩阵：对角线元素为12,,,nλλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，()1212diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Λ 111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E2. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。
A+B 等于对应元素相加起来。
满足交换律和结合律in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= njnj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= j i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ j i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ 或 0a a a a a a a a a D nn n2n12n22211n1211≠= D D x ,,D D x ,D D x n n 2211=== n.,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n1j 2,21j 2,211n1j 1,11j 1,11j ==+-+-+-2）数与矩阵相乘①，②()λμλμ+=+A A A ，③()λλλ+=+A B A B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；A m×s ×B s×n乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；C m×n即：乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。
注意：一般情况下：AB ≠ BA 。
但是满足结合律和分配律。
EA = AE = A4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：A 2=AA A 3=AA 2 …… A k =AA k−1 显然：3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T . 如：性质：设A 为n 阶方阵，如果满足 A = A T ，即a ij =a ji ，则A 为对称阵如果满足 A = −A T ，即a ij =−a ji ，则A 为反对称阵4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A |或det A .性质：①T||||=A A ，②||||nλλ=A A ，③||||||=AB A B 。
5. 伴随矩阵：其中A ij 是a ij 的代数余子式，*A 称为A 的伴随矩阵。
（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆， B 为A 的逆矩阵，记为A −1。
且A 的逆矩阵是唯一的。
判断方阵A 是否可逆：|A | ≠ 0⇔ A 可逆，且逆矩阵A −1= 1|A |A ∗推论：若|A | ≠ 0，则|A −1|= 1|A ∗|。
此时称A 为非奇异矩阵。
若|A |=0，则称A 为奇异矩阵。
二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。
单位矩阵E 是可逆的 E = E −1。
零矩阵是不可逆的。
()()A A λμλμ=11221si j i j is ij sj k k k i jc a b a b a b a b ==+++=∑22222()()2 ()()k k kAB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-A 、B 可交换时才成立, ()k l k l k l klA AA A A +==122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28TA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1) ();T T A A =(2) ();T T T A B A B +=+(3) ();T T A A λλ=(4) ().T T T AB B A =112111222212n n n nnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意：元素a ij 的代数余子式A ij 是位于A ∗的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：AA ∗= A ∗A = |A |E111212122211n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ A = (a b c d) -----> A −1=1ad−bc (d −b−c a )对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。
推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么A −1、A T 、 λA (λ≠0)、AB 也可逆 且：用逆矩阵求解线性方程组：已知 AXB =C ，若AB 可逆，则 X = A −1CB −1（A 在X 左边，则A −1必须在C 左边，B 也如此） 7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致） 1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的) 2）分块矩阵A 的转置A T ：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
8. 分块对角矩阵： 设 A 是 n 阶矩阵，若：①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， ②其余子块都为零矩阵 ③对角线上的子块都是方阵则称A 为分块对角矩阵。
