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1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n nn j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a aa a a a a a 1)(∑-=n n 2211n nn 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n21=n21λλλ n2121)n(n λλλ1)( --=6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
线代知识点总结同济1. 向量与向量空间在线性代数中，向量是最基本的概念之一。
向量可以用于表示空间中的点、运动方向等物理量，是一种有向线段。
向量有大小和方向两个属性，可以进行加法、数乘等运算。
向量之间的关系以及它们在空间中的性质非常重要。
向量空间是由一组向量构成的集合，它是由满足一定条件的向量组成的线性空间。
向量空间具有一些性质，例如封闭性、交换律等，可以用来描述线性方程组、矩阵等概念。
2. 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它由行列元素组成的矩形数组。
矩阵可以用来表示线性变换、方程组等，是线性代数中的一个重要工具。
矩阵有加法、数乘等运算，还有转置、逆矩阵等重要性质。
行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种排列形式。
行列式可以用来判断矩阵的性质，例如是否可逆、是否奇异等。
行列式的计算方法有多种，通常可以使用展开式、矩阵对角化等方法。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要内容，它由一组线性方程组成。
线性方程组的解可以用向量表示，可以使用矩阵与行列式的方法来求解。
线性方程组的解有唯一解、无解、有无穷解等情况，这些都与矩阵和行列式的性质有关。
4. 特征值与特征向量对于一个矩阵或者一个线性变换，它的特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值是一个数，它表示一个线性变换的重要性质。
特征向量是一个非零向量，它表示在特征值对应的线性变换下不改变方向的向量。
特征值与特征向量的计算方法有多种，例如可以使用特征多项式、特征分解等方法来求解。
特征值和特征向量可以用来研究矩阵的对角化、相似矩阵等重要性质。
5. 线性变换与线性映射线性变换是线性代数中的一个基本概念，它表示一个向量空间到另一个向量空间的映射。
线性变换有很多重要性质，例如它保持向量空间的运算、保持线性组合等。
线性映射是数学分析中的一个重要概念，它表示一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且保持线性关系。
线性映射有一些重要性质，例如它的核和像空间的性质、线性映射的基本定理等。
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质正交向量和正交矩阵是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
在同济大学线性代数教材的第六版中，正交向量和正交矩阵的性质被详细地介绍和讲解。
本文将围绕这一主题展开，探讨正交向量和正交矩阵的性质及其应用。
一、正交向量的性质正交向量是指两个向量的内积为零，也就是说它们的夹角为九十度。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交向量的性质。
首先，正交向量的数量不会超过向量空间的维数。
这一性质被称为正交向量的基本定理，它对于解决线性方程组和矩阵的特征值问题非常重要。
其次，同济大学线性代数第六版还介绍了正交向量组和正交补空间的概念。
正交向量组是指一组两两正交的向量，它们张成的子空间被称为正交子空间。
而正交补空间是指与一个向量空间正交的向量构成的子空间。
正交补空间的概念在矩阵和线性方程组的求解中经常出现，可以帮助我们简化问题，降低计算难度。
二、正交矩阵的性质正交矩阵是指方阵的转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交矩阵的性质及其应用。
首先，正交矩阵的行向量组和列向量组都是正交向量组。
这一性质使得正交矩阵具有很好的几何意义，可以用来描述旋转和镜像。
其次，同济大学线性代数第六版介绍了正交矩阵的特殊形式——正交对角矩阵。
正交对角矩阵的对角线上的元素都是1或-1，其余元素都是0。
正交对角矩阵具有简单的性质和运算规则，在计算中比较方便。
另外，同济大学线性代数第六版还介绍了正交复合矩阵的概念。
正交复合矩阵是由多个正交矩阵相乘得到的，具有一些特殊的性质。
例如，正交复合矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可以保证矩阵乘法的可逆性。
三、正交向量和正交矩阵的应用正交向量和正交矩阵在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在几何学中，正交向量可以用来描述平面和空间中的垂直关系，例如描述直线的法向量，计算投影和距离等。
其次，在物理学中，正交向量和正交矩阵经常用于描述旋转、镜像和坐标变换等问题。
同济大学线性代数第六版行列式的定义与性质行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在同济大学线性代数教材的第六版中，对行列式的定义和性质进行了详细的介绍和讲解。
本文将按照该教材的要求，对行列式的定义和性质进行论述，以便帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、行列式的定义在同济大学线性代数第六版中，行列式的定义如下：给定一个n阶方阵 A = (a[i][j])，其中1≤i, j ≤ n，我们定义A的行列式为Det(A)，记作|A|。
对于一阶方阵来说，其行列式即为该方阵的唯一元素。
对于二阶方阵来说，其行列式的计算公式为：Det(A) = a[1][1]·a[2][2] -a[1][2]·a[2][1]。
对于三阶及以上的方阵，行列式的计算通过递推公式进行。
二、行列式的性质同济大学线性代数第六版还介绍了行列式的一系列性质，我们将逐一进行论述。
性质1：互换行（列）则行列式变号行列式Det(A)中，如果将A中的两行（列）进行互换，则行列式的值会发生变号。
性质2：行/列与常数相乘，则行列式乘以相应的常数行列式Det(A)中，如果将A的某一行（列）的所有元素都乘以一个常数k，则行列式的值也会乘以k。
性质3：行/列成比例，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的某行（列）的元素之间成比例，则行列式的值为0。
性质4：两行（列）相同，则行列式为0行列式Det(A)中，如果A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
性质5：行列式的任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合行列式Det(A)中，任意一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。
性质6：行列式的行（列）元素交换，行列式变号行列式Det(A)中，如果将A的两行（列）进行交换，则行列式的值会发生变号。
除了以上性质，同济大学线性代数第六版中还介绍了更多关于行列式的性质，这里不再一一列举。
三、行列式的应用行列式在线性代数中具有广泛的应用。
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a =O M M n...λλλλλλ21n 21=O n21λλλNn2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM MMM ΛΛΛΛ+++n nn j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛM M M M ΛΛΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a ΛΛΛM M MM ΛΛΛΛΛΛ+++n nn j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a ΛΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛ=7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
1。
二阶行列式——-----—对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n!逆序数:对于排列…，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列:逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。
4. 其中： 是1，2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5。
下三角行列式： 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6。
行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。
（转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 :两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行:③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如:333231232221131211a a a a a a aa a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a aa b a a⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上:7。
重要性质:利用行列式的性质或,可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。
（P11页例7)8. 行列式按行（列)展开法则（＊＊＊重要*＊＊） ①重要概念：余子式：在 n 阶行列式中,把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的（ n −1 )2个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij代数余子式：记 A ij = （ −1 ) i+jM ij 为元素 a ij 的代数余子式 . ②重要性质，定理1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。
2）行列式按行（列)展开法则：行列式等于它的任意一行（列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即:推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9。
利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组：①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。
等于0,则无解其中（j=1,2…n ） 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解,若D = 0，则存在非零解.n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= njnj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= j i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ j i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ 或 0a a a a a a a a a D nn n2n12n22211n1211≠= D D x ,,D D x ,D D x n n 2211=== n.,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n1j 2,21j 2,211n1j 1,11j 1,11j ==+-+-+-第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵:由 m ×n 个数(i=1，2，…,m ； j=1，2，…，n ）排成的 m 行 n 列的数表（是一组数）。
行（列)矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列)向量。
同型矩阵:行数，列数均相等的两个矩阵A=B : 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等.零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的. 对角矩阵:对角线元素为12,,,nλλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵,()1212diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Λ111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E2. 矩阵的运算1）加法:只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算。
A+B 等于对应元素相加起来.满足交换律和结合律 2）数与矩阵相乘①()()A A λμλμ=，②()λμλμ+=+A A A ，③()λλλ+=+A B A B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；11221si j i j is ij sj k k k i jc a b a b a b a b ==+++=∑即:乘积矩阵的第i 行，第j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。
注意:一般情况下：AB ≠ BA. 但是满足结合律和分配律。
EA = AE = A4）矩阵的幂:若 A 是 n 阶方阵,则：显然:22222()()2()()k k kAB A B A B A AB B A B A B A B =+=+++-=-3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T. 如：A 、B 可交换时才成立, ()k l k l k l klA A A A A +==122,458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1425;28TA ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭111212122211nn m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭性质：设A 为n 阶方阵,如果满足 ，即，则A 为对称阵如果满足，即，则A 为反对称阵4。
方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式，记作|A ｜或det A .性质：①T||||=A A ,②||||nλλ=A A ,③||||||=AB A B .5. 伴随矩阵：其中是的代数余子式,*A 称为A 的伴随矩阵.（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆，B 为A 的逆矩阵，记为。
且A 的逆矩阵是唯一的. 判断方阵A 是否可逆: ≠ 0A 可逆，且逆矩阵推论：若 ≠ 0，则。
此时称A 为非奇异矩阵.若，则称A 为奇异矩阵. 二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调,副对角线两数反号。
单位矩阵E 是可逆的。
零矩阵是不可逆的。
对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数.推论：如果 n 阶方阵A 、B 可逆，那么、、 λA (λ≠0)、AB 也可逆且：用逆矩阵求解线性方程组：已知，若AB 可逆，则（A 在X 左边，则必须在C 左边，B 也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块;每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的运算：(其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵,且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的)2）分块矩阵A 的转置：除了A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
8. 分块对角矩阵： 设 A 是 n 阶矩阵，若：①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， (3) ();T T A A λλ=(4) ().T T T AB B A =112111222212n n n nnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意：元素的代数余子式是位于的第j 行第i 列（类似于转置） 性质：A = ----->11(),A A --=11()(),T T A A --=111(),A A λλ--=111().AB B A ---=（5）12A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪②其余子块都为零矩阵③对角线上的子块都是方阵则称A 为分块对角矩阵.性质:①｜ A | = | A 1 | ｜ A 2 | … ｜ A s |②若｜ A s ｜ ≠0，则 | A ｜ ≠0,并且分块副对角矩阵:A = O 的充分必要条件:第三章1. 初等行变换：(运算符号：）—-—— 注意与行列式的运算加以区分①互换两行，记做②第i 行乘以非0常数k ，记做③第j 行的k 倍加到第i 行上,记做2。
若矩阵A 经过有限次初等变换成矩阵B ，则称A 与B 等价，记做的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B3。
矩阵之间等价关系的性质：①反身性: ②对称性：若,则 ③传递性：若，,则4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线,线的下方全为零; 2）每个台阶只有一行;3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1；5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5。
初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
（是可逆的） 1）单位矩阵对换i ，j 行，记作2）以常数 k ≠0 乘单位矩阵第 i 行(列）， 记作3)以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行,记作性质1：左行右列设A 是一个 m ×n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.性质2:方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P 1, P 2， …, P l ,使 A = P 1 P 2 …, P l ．推论：方阵 A 可逆的充要条件是如果 ，则存在可逆矩阵P,使PA = B.⇔ ：即当A 变换成B 是时，E 变为P(求P)求方阵A 的逆矩阵 方法总结：方法1：①判断A 可不可逆：若⇔ A 可逆 --— 书中P41页111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪⎪⎝⎭~rA E r r②：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A 可不可逆的条件，即 ⇔ A 可逆 -—— 书中P64页例2：即对矩阵 (A,E) 进行初等行变换，当A 变成E 时，E 就变成了所求的求：该方法用来求方程组⇔ -—— 若，可先化为方法: ：即对矩阵 （A ，B ） 进行初等行变换，当A 变成E 时，B 就变成了所求的二、 矩阵的秩1. k 阶子式:在 m ×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列（ k ≤ m ,k ≤ n )，位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．m ×n 矩阵A 的k 阶子式共有 个2。
