矩阵的相似变换

相似变换矩阵相似变换矩阵是指两个基向量组在空间内所表示的二维或多维矢量之间的一种变换，即将一组基向量映射到另一组基向量的变换。

它的一般矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。

一、定义1、相似变换矩阵是指一种从基向量空间向原始空间的线性变换，它把一组基向量映射到另一组基向量，称为相似变换矩阵。

2、它的矩阵形式表示为A=SDT，S是一个对角正交变换，D是一个不变的正定矩阵，T是一个正交矩阵。

二、特点1、相似变换矩阵可以进行圆锥剪裁变换，表示出将原空间的单位向量映射到投影空间的单位向量；2、它可以表示出空间中某一点由点A变换到点B的映射；3、它可以改变空间中的几何图形的形状或大小；4、它可以改变空间中的点的坐标；5、它可以改变空间矩阵中的一部分元素，而影响行列式的值；6、它还可以表示空间中一个方向向量从一点经过变换后在另一点的变换矩阵。

三、应用1、相似变换矩阵可以用来描述投影变换、旋转变换、拉伸变换等变换；2、它可以用于计算图形变换，包括缩放、旋转、平移、膨胀、板块变换/平面变换等；3、在计算机图形学中，可以利用它来变换几何图元的坐标；4、在数字图像处理中，也可以利用它来实现图像的缩放、旋转及镜像等操作；5、在非线性控制算法研究中，可以利用它实现控制器空间中的各种变换；6、在天文学中，可用它描述宇宙学中的物理量的变换；7、在量子力学中，可以利用它来描述量子系统的运动。

四、总结相似变换矩阵是一种将一组基向量映射到另一组基向量的线性变换。

它的矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n 的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。

它可以用于各种类型的图形变换、数字图像处理等操作，也可用于非线性控制算法等研究方面。

线性代数中矩阵的相似变换及其应用线性代数是一门研究线性空间及其上的线性变换的数学分支。

在这门学科中，矩阵是一个极为重要的概念，因为它可以将线性变换转化为更加容易处理的代数形式。

而其中的一种基本操作——矩阵相似变换，更是在许多领域都得到了广泛的应用。

一、矩阵相似变换矩阵相似变换在线性代数中是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，也方便了我们进行矩阵的运算和求解。

矩阵相似变换指的是对一个矩阵A进行"相似变换"之后得到另一个矩阵B的过程，其中相似变换指的是将矩阵A按照特定的方式变换之后得到的矩阵B，即B=PAP^(-1)。

其中，P是一个可逆矩阵，也就是说，矩阵A和B具有相同的特征值和特征向量。

矩阵相似变换有如下的性质：1. 若A和B相似，则它们的特征值和特征向量相同。

2. 若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。

3. 若A相似于B，则A^k相似于B^k，Aⁿ相似于Bⁿ。

4. 若A与B相似，则它们的行列式和迹相同。

5. 若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。

二、矩阵相似变换的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是指将某个矩阵转化为对角矩阵的过程，这个过程通常是通过矩阵相似变换来实现的。

对角化之后的矩阵易于计算，也便于我们理解矩阵的特征和性质。

2. 特征值和特征向量的求解矩阵相似变换可以将一个矩阵转化为与之相似的矩阵B，使得B具有与A相同的特征值和特征向量。

因此，通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解一个矩阵的特征值和特征向量。

3. 线性微分方程组的求解在求解线性微分方程组时，矩阵相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，使得求解过程更加简单明了。

因此，线性微分方程组的求解中矩阵相似变换得到了广泛的应用。

4. 特征空间的求解特征空间指的是某一矩阵的所有特征向量张成的空间。

通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解出一个矩阵的特征向量，从而得到它的特征空间，进而解决许多实际问题。

矩阵的相似变换及其应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，它被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

在矩阵中，相似变换是一种常见的操作，它可以将一个矩阵转化为另一个相似的矩阵，从而方便求解问题。

一、什么是相似变换相似变换指的是将一个矩阵A通过一个线性变换P变为另一个矩阵B的过程。

这种变换需要满足两个条件：一是变换矩阵P可逆；二是A和B具有相同的特征值。

具体来说，假设A和B都是n阶方阵，它们的特征值为λ1，λ2，…，λn。

若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，这种变换叫做相似变换。

这个定义显然比较抽象，下面我们用一个例子来说明相似变换的具体含义。

假设有如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以求出它的特征值和特征向量：λ1 = -0.3723，v1 = [-0.8246, 0.5658]Tλ2 = 5.3723，v2 = [-0.4159, -0.9090]T将特征向量组成的矩阵P=[v1, v2]，则有：P = [-0.8246 -0.41590.5658 -0.9090]由于特征向量的性质，我们有：P-1AP = Λ = [-0.3723 00 5.3723]其中Λ是由特征值构成的对角矩阵。

这就是相似变换的应用，我们可以通过这种变换将一个矩阵A转化为一个对角矩阵Λ，从而更方便地求解问题。

二、相似变换的特性相似变换有一些重要的特性，这些特性可以帮助我们更深入地理解它的应用。

首先，相似变换是可传递的。

也就是说，如果矩阵A与B相似，B与C相似，那么A与C也相似。

这个特性可以通过变换矩阵的乘积来证明，即P-1AP=Λ，Q-1BQ=Λ，则有：(PQ)-1A(PQ) = Q-1P-1APQ = Q-1ΛQ = Λ'其中Λ'是由特征值构成的对角矩阵，证明了A与C相似。

其次，相似变换保留了矩阵的秩和行列式。

具体来说，如果矩阵A与B相似，则它们的秩和行列式相等。

这个特性可以通过排列特征值的乘积来证明，即有：|A| = λ1 * λ2 * … * λn|B| = μ1 * μ2 * … * μn由于A与B相似，则它们的特征值相同，因此有μ1 * μ2 * … * μn = λ1 * λ2 * … * λn，从而有|A| = |B|。

★ 1、求下列矩阵的Jordan 标准形：⑴ -101120-403A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ；⑵；⑵31-1-202-1-13A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：⑴解：⑴ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值101det(I A)1243λλλλ+−−=−−− 第一行乘以3λ−并加上第三行并加上第三行+10-1=-1-20(3)(1)40λλλλ−++ 这里变换行列式列使其变为上三角行列式这里变换行列式列使其变为上三角行列式 2210121(1)(2)0(1)λλλλλ−+=−−−=−−− 所以A 的特征值为12==1λλ ，3=2λ ，对应的2重特征值12==1λλ解方程组(I-A)x =0，由2131122201201201110110011/2402000000r r r r I A +−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦121×, 2101/2011/2000r r −−⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10021002x y z x y z ⎧+−=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 设x 为1，依次可以解出112x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩ 得基础解系：T T1(1,1,2)p =−只有一个线性无关特征向量，故A 的Jordan 标准形为：标准形为：1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑵ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值2311211det(I A)2202113213211211020202400(44)/λλλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−=−=−−−−−−−−−=−−+−⑴ 7543192864A A A A A I −−++−⑵ 1A − ⑶ 100A解：解：2322110102210()det(I A)43110011124343210011(1)(2)45200(1)/(1)λλλψλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−=−=−=+−=+−−−−−−−=+−=−−=−+−−+⑴ 令7543()192864g λλλλλλ=−−++−，需要计算g(A)，用()/g()ψλλ 得到：得到：4322()(41032)()3228g λλλλλψλλλ=+++−−+−由Hamilton-Cayley 定理知(A)O ψ= ，于是：，于是：221160(A)3A 22A 8I 6443019324g −⎡⎤⎢⎥=−+−=−⎢⎥−⎣⎦⑵ 由32(A)A 4A 5A 2I O ψ=−+−= 得21(A 4A 5I)2A I ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦故得到：故得到：123101(A 4A 5I)41023/21/21/2A −−⎡⎤⎢⎥=−+=−⎢⎥−⎣⎦⑶ 设100210()()b 2b b q λλψλλλ=+++ 注意到(2)(1)'(1)0ψψψ=== ，分别将2λ=和1λ= 代入上式，再对上式求导数后将1λ=代入得到：代入得到：1002102102124211002b b b b b b b b ⎧=++⎪=++⎨⎪=+⎩ 解得到解得到 100010111002220023022101b b b ⎧=−⎪=−+⎨⎪=−⎩故得到：故得到：100221010010010019910004002010201221012A b A b A b I −⎡⎤⎢⎥=++=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦31122113λλλ−−−+−-21-1-2-21-1-2+1λλλ211221122λλ−−−−−−1122162616p i p ⎥⎥==−⎥⎥22212012p ⎤−⎥==33213313i p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111623263111623ii ⎤−⎥⎥−⎥⎥⎥⎥⎦则称A 是Hermite 正定矩阵（半正定矩阵）。

第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。

对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。

矩阵相似变换矩阵相似变换是线性代数中一个重要的概念，它在很多领域中都有广泛的应用。

本文将从基本概念、相似矩阵的性质以及实际应用等方面对矩阵相似变换进行解读。

一、基本概念矩阵相似变换是指对一个矩阵进行线性变换，使得变换后的矩阵与原矩阵有相同的特征值。

具体来说，对于一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，那么矩阵B与矩阵A相似。

二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值：相似矩阵不仅特征值相同，对应的特征向量也相同。

这一性质在矩阵的谱分解、对角化等问题中有广泛的应用。

2. 相似矩阵的迹相等：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和，相似矩阵的迹相等。

这一性质在矩阵的特征值求和、矩阵的迹运算等问题中有重要的应用。

3. 相似矩阵的行列式相等：矩阵的行列式是指矩阵的特征值的乘积，相似矩阵的行列式相等。

这一性质在矩阵的特征值求积、矩阵的行列式运算等问题中有重要的应用。

三、实际应用1. 特征值分析：通过矩阵相似变换，可以将一个复杂的矩阵转化为对角矩阵，从而更方便地进行特征值分析。

这在物理、化学、生物等领域中有广泛的应用，例如求解量子力学中的能级问题。

2. 线性方程组求解：通过矩阵相似变换，可以将一个线性方程组转化为一个更简单的形式。

这在工程、经济学等领域中有广泛的应用，例如求解电路中的电流和电压分布问题。

3. 图像处理：矩阵相似变换在图像处理中起着重要的作用。

通过对图像矩阵进行相似变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作，从而达到图像处理的目的。

四、总结矩阵相似变换是线性代数中的一个重要概念，它在特征值分析、线性方程组求解、图像处理等领域中有广泛的应用。

通过矩阵相似变换，可以将复杂的问题转化为简单的形式，从而更方便地进行分析和求解。

同时，相似矩阵具有一些重要的性质，如相同的特征值、相等的迹和行列式等，这些性质在实际应用中也起到了重要的作用。

因此，熟练掌握矩阵相似变换的概念和性质，对于理解和应用线性代数具有重要意义。

矩阵的相似变换和特征向量的应用矩阵是现代数学中一个十分重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

其中，矩阵的相似变换和特征向量的应用是矩阵理论中的两个重要概念，有着极其重要的数学实践应用。

本文将主要讨论这两个概念的数学意义和应用。

1. 矩阵的相似变换矩阵的相似变换是指，对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP^-1=B，则称矩阵A和B相似。

这个概念在矩阵理论中有着非常重要的地位，因为相似矩阵有许多相同的性质和特征，在矩阵的计算和分析中有着非常重要的作用。

例如，对于矩阵A，如果我们需要求它的n次幂，可以将其分解成相似矩阵的形式，即A=PBP^-1，其中B是对角矩阵，它可以很容易地进行幂的计算。

这个方法被称为矩阵的对角化，是线性代数中一个重要的理论。

除此之外，相似矩阵还有着其他的性质和应用。

例如，相似矩阵的行列式、迹、特征根都是相等的，即A和B的行列式、迹、特征根都是相等的。

因此，当我们需要计算这些指标的时候，可以通过矩阵相似的方式，进行更加简便的计算。

2. 特征向量的应用特征向量是指矩阵A满足方程Ax=λx的非零解x。

其中，λ被称为特征根，x被称为特征向量。

特征向量和特征根在矩阵理论和应用中具有非常重要的作用。

首先，特征向量和特征根可以帮助我们对矩阵进行对角化。

当一个矩阵拥有n个线性无关的特征向量时，可以将其对角化为对角矩阵，方便进行矩阵的计算和分析。

其次，特征向量和特征根也有着广泛的应用。

例如，在图像处理领域中，矩阵的特征向量和特征根被广泛应用于图像的压缩和恢复。

另外，在数据分析中，特征向量和特征根也被用来进行数据降维和分类分析。

总结矩阵的相似变换和特征向量的应用是矩阵理论中的两个重要概念，有着极其重要的数学实践应用。

相似矩阵具有许多相同的性质和特征，在矩阵的计算和分析中有着非常重要的作用。

特征向量和特征根则被广泛应用于图像的压缩和恢复、数据降维和分类分析等领域。

因此，我们需要深入理解这些概念的数学意义和应用，以便更好地应用它们进行各类问题的研究和解决。