相似变换矩阵p的求法

相似变换矩阵p的求法相似变换矩阵是指在线性代数中，将一个矩阵通过一定的变换操作转化为与之相似的另一个矩阵的过程。

相似变换矩阵的求法涉及到特征值与特征向量的概念。

下面将详细介绍相似变换矩阵的求法。

首先，我们需要了解特征值与特征向量的概念。

对于矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为一个实数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于这个特征值的特征向量。

特征值与特征向量是矩阵在相似变换下的关键性质。

下面是求解相似变换矩阵p的步骤：步骤一：求解矩阵A的特征值。

1. 找到齐次线性方程组的非零解。

2. 求解特征多项式的根，即为矩阵A的特征值。

步骤二：求解矩阵A的特征向量。

1. 对于每个特征值λ，解齐次线性方程组(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵。

2. 对于每个特征值λ，得到的非零解，即为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

步骤三：构造相似变换矩阵p。

1. 将特征向量组成一个矩阵P，P的每一列对应一个特征值对应的特征向量。

2. 若特征值λ有重复，可选择线性无关的特征向量作为P的列。

3. 构造对角矩阵D，D的对角线元素为矩阵A的特征值。

4. 相似变换矩阵p的求法为p=P^(-1)AP，其中P^(-1)为矩阵P的逆矩阵。

步骤四：验证相似变换矩阵p的正确性。

1. 将矩阵p与原矩阵A相乘，得到的结果应该与D相乘的结果相同。

通过上述步骤，我们可以求解相似变换矩阵p。

利用相似变换矩阵，我们可以找到一种变换方式，将原矩阵转化为与之相似的另一个矩阵。

这种相似性质在多个领域中有着广泛的应用，如矩阵对角化、特征分解等。

值得注意的是，在求解相似变换矩阵过程中，需要用到矩阵的特征值与特征向量。

特征值与特征向量是线性代数中的重要内容，对于理解相似变换矩阵的求法有着重要的作用。

特征值与特征向量的求解方法有多种，如雅可比迭代法、幂法等，可以根据具体情况选择合适的方法。

总结：相似变换矩阵的求法是通过求解矩阵的特征值与特征向量，构造相似变换矩阵p，将原矩阵转化为与之相似的另一个矩阵。

证明矩阵相似的五种方法矩阵是线性代数中重要的概念之一，相似矩阵则是矩阵理论中的一个重要概念。

相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一定的变换关系相互转化，具有相同的特征值和特征向量。

在实际应用中，相似矩阵具有很多重要的应用，如矩阵对角化、线性变换等。

本文将介绍证明矩阵相似的五种方法。

一、定义法定义法是最基础的证明方法。

根据相似矩阵的定义，如果矩阵A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。

证明矩阵A 和B相似，只需要找到一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1即可。

例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7 8]。

首先，求出矩阵A的特征值和特征向量，得到λ1=5，λ2=-1，v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]。

由于矩阵A有两个不同的特征值，因此A可以对角化为A=PDP^-1，其中D是A的特征值构成的对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵。

令P=[v1 v2]，则P^-1=[1/5 -1/15; -2/5 1/15]。

将A和P代入A=PDP^-1中，得到B=P^-1AP=D=[5 0; 0 -1]。

因此，A和B相似。

二、特征值法特征值法是证明矩阵相似的另一种常用方法。

根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征值。

因此，可以通过求解两个矩阵的特征值来证明它们相似。

例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。

求解矩阵A和B的特征值，得到A的特征值为λ1=5，λ2=-1，B的特征值为λ1'=5，λ2'=-1。

由于A和B具有相同的特征值，因此它们相似。

三、特征向量法特征向量法是证明矩阵相似的另一种常用方法。

根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征向量。

因此，可以通过求解两个矩阵的特征向量来证明它们相似。

例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。

求解矩阵A和B的特征向量，得到A的特征向量为v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]，B的特征向量为v1'=[1; 2]，v2'=[-2; 1]。

线性代数中矩阵的相似变换及其应用线性代数是一门研究线性空间及其上的线性变换的数学分支。

在这门学科中，矩阵是一个极为重要的概念，因为它可以将线性变换转化为更加容易处理的代数形式。

而其中的一种基本操作——矩阵相似变换，更是在许多领域都得到了广泛的应用。

一、矩阵相似变换矩阵相似变换在线性代数中是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，也方便了我们进行矩阵的运算和求解。

矩阵相似变换指的是对一个矩阵A进行"相似变换"之后得到另一个矩阵B的过程，其中相似变换指的是将矩阵A按照特定的方式变换之后得到的矩阵B，即B=PAP^(-1)。

其中，P是一个可逆矩阵，也就是说，矩阵A和B具有相同的特征值和特征向量。

矩阵相似变换有如下的性质：1. 若A和B相似，则它们的特征值和特征向量相同。

2. 若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。

3. 若A相似于B，则A^k相似于B^k，Aⁿ相似于Bⁿ。

4. 若A与B相似，则它们的行列式和迹相同。

5. 若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。

二、矩阵相似变换的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是指将某个矩阵转化为对角矩阵的过程，这个过程通常是通过矩阵相似变换来实现的。

对角化之后的矩阵易于计算，也便于我们理解矩阵的特征和性质。

2. 特征值和特征向量的求解矩阵相似变换可以将一个矩阵转化为与之相似的矩阵B，使得B具有与A相同的特征值和特征向量。

因此，通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解一个矩阵的特征值和特征向量。

3. 线性微分方程组的求解在求解线性微分方程组时，矩阵相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，使得求解过程更加简单明了。

因此，线性微分方程组的求解中矩阵相似变换得到了广泛的应用。

4. 特征空间的求解特征空间指的是某一矩阵的所有特征向量张成的空间。

通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解出一个矩阵的特征向量，从而得到它的特征空间，进而解决许多实际问题。

★ 1、求下列矩阵的Jordan 标准形：⑴ -101120-403A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ；⑵；⑵31-1-202-1-13A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：⑴解：⑴ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值101det(I A)1243λλλλ+−−=−−− 第一行乘以3λ−并加上第三行并加上第三行+10-1=-1-20(3)(1)40λλλλ−++ 这里变换行列式列使其变为上三角行列式这里变换行列式列使其变为上三角行列式 2210121(1)(2)0(1)λλλλλ−+=−−−=−−− 所以A 的特征值为12==1λλ ，3=2λ ，对应的2重特征值12==1λλ解方程组(I-A)x =0，由2131122201201201110110011/2402000000r r r r I A +−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−−⎯⎯⎯→−−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦121×, 2101/2011/2000r r −−⎡⎤⎢⎥⎯⎯⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10021002x y z x y z ⎧+−=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 设x 为1，依次可以解出112x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩ 得基础解系：T T1(1,1,2)p =−只有一个线性无关特征向量，故A 的Jordan 标准形为：标准形为：1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑵ 求A 的特征多项式并得到特征值的特征多项式并得到特征值2311211det(I A)2202113213211211020202400(44)/λλλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−=−=−−−−−−−−−=−−+−⑴ 7543192864A A A A A I −−++−⑵ 1A − ⑶ 100A解：解：2322110102210()det(I A)43110011124343210011(1)(2)45200(1)/(1)λλλψλλλλλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−=−=−=+−=+−−−−−−−=+−=−−=−+−−+⑴ 令7543()192864g λλλλλλ=−−++−，需要计算g(A)，用()/g()ψλλ 得到：得到：4322()(41032)()3228g λλλλλψλλλ=+++−−+−由Hamilton-Cayley 定理知(A)O ψ= ，于是：，于是：221160(A)3A 22A 8I 6443019324g −⎡⎤⎢⎥=−+−=−⎢⎥−⎣⎦⑵ 由32(A)A 4A 5A 2I O ψ=−+−= 得21(A 4A 5I)2A I ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦故得到：故得到：123101(A 4A 5I)41023/21/21/2A −−⎡⎤⎢⎥=−+=−⎢⎥−⎣⎦⑶ 设100210()()b 2b b q λλψλλλ=+++ 注意到(2)(1)'(1)0ψψψ=== ，分别将2λ=和1λ= 代入上式，再对上式求导数后将1λ=代入得到：代入得到：1002102102124211002b b b b b b b b ⎧=++⎪=++⎨⎪=+⎩ 解得到解得到 100010111002220023022101b b b ⎧=−⎪=−+⎨⎪=−⎩故得到：故得到：100221010010010019910004002010201221012A b A b A b I −⎡⎤⎢⎥=++=−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦31122113λλλ−−−+−-21-1-2-21-1-2+1λλλ211221122λλ−−−−−−1122162616p i p ⎥⎥==−⎥⎥22212012p ⎤−⎥==33213313i p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111623263111623ii ⎤−⎥⎥−⎥⎥⎥⎥⎦则称A 是Hermite 正定矩阵（半正定矩阵）。

证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。

在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。

本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。

方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。

因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。

例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。

假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。

方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。

因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。

例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。

矩阵的相似与对角化求解矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个关键的概念。

本文将为您介绍矩阵的相似性和对角化求解方法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的相似性矩阵的相似性是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。

当两个矩阵相似时，它们的性质也会类似。

在数学中，我们用矩阵P表示可逆矩阵，如果矩阵A和B满足P^-1AP=B，那么我们称A和B是相似矩阵。

矩阵的相似性具有以下三个性质：1. 相似性是一种等价关系。

即对于任意的矩阵A，A与自身相似；若A与B相似，则B与A相似；若A与B相似，B与C相似，则A 与C相似。

2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。

这意味着相似矩阵在行列式、迹和秩等方面具有相似的性质。

3. 相似矩阵具有相似的特征值和特征向量。

这是矩阵相似性的核心概念，相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。

二、矩阵的对角化求解方法对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。

对角化的求解可以简化矩阵的运算，方便研究矩阵的性质。

下面介绍一种常用的对角化求解方法——特征值分解。

特征值分解是将一个n阶矩阵A分解为A=PDP^-1的形式，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，D的主对角线上的元素是A的n个特征值。

特征值分解的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值。

特征值可以通过求解特征方程det(A-λI)=0来获得，其中λ是特征值，I是单位矩阵。

2. 根据特征值求出对应的特征向量。

对于每一个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0来获得对应的特征向量x。

3. 构造可逆矩阵P。

将所有的特征向量按列组成矩阵P，即P=[x1,x2,...,xn]。

4. 构造对角矩阵D。

将特征值按照对应的特征向量顺序放在D的主对角线上。

5. 得到对角化的矩阵A。

通过A=PDP^-1可以得到矩阵A的对角化形式。

三、应用示例矩阵的相似性和对角化在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 线性系统求解：矩阵的相似性可以将一个复杂的线性方程组转化为一个简单的对角形式，从而求解线性系统变得更加方便。

矩阵的相似变换首先，对矩阵的相似变换可以概括为：它是将一个矩阵变换为另一个矩阵的自变量和因变量的变换形式，使得两个矩阵的形状、行列式的值相等。

它是一种用来描述线性变换的抽象概念，它能够将特定的线性映射应用于任意的矩阵，实现两个矩阵之间的等价转换，并实现相应的几何变换。

1. 概述矩阵的相似变换是一种类似于线性变换的特殊变换，它能够将一个矩阵M和一个特定矩阵P变换为相同的形状和行列式值，实现矩阵M与P的等价转换，从而实现几何变换的效果。

2. 形式由于矩阵的相似变换是一种线性变换的抽象概念，它可以用一个特殊的矩阵P，实现一种类似于线性变换的方式，使得一个矩阵M变换为一个另外一个矩阵P，实现两者之间的等价转换。

因此，矩阵的相似变换可以定义为：若存在一个m×n矩阵M和一个n×n非奇异矩阵P，且满足P-1MP=P*P-1，则称矩阵M受相似变换P的影响，变换后得到一个n×n矩阵Q，称M和Q受相似变换P的影响，记为M~P=Q。

3. 特点矩阵的相似变换有几个特点：（1）由于是线性变换的抽象概念，因此矩阵的相似变换是可逆的，即可以从结果求原矩阵；（2）矩阵的相似变换可以实现两个矩阵之间等价的变换，实现形式和行列式的指定；（3）在实现矩阵的相似变换的过程中，其结果的矩阵的元素值并不会发生变化，只是形式的变换；（4）相似变换也可以通过调整元素的位置、行与列的变换等方式实现，只要最终的结果是和原矩阵的行列式值一致即可。

4. 应用矩阵的相似变换可以应用在各种线性变换中，如几何变换、线性代数运算等，都可以使用矩阵的相似变换实现。

此外，由于矩阵的相似变换能够实现可逆的结果，并且形式、行列式值不变，因此也可以用于数据安全加密以及数据处理中。

相似变换矩阵p的求法相似变换矩阵P指的是将一个矩阵A通过一系列相似变换变为另一个矩阵B的变换矩阵。

相似变换矩阵的求法可以通过以下步骤进行。

1. 计算矩阵的特征值和特征向量。

首先，通过求解特征方程来计算矩阵A的特征值。

特征方程为det(A-λI)=0，其中A是待求矩阵，λ是特征值。

解出特征值后，将每个特征值代入方程(A-λI)x=0中，求解得到对应的特征向量x。

这些特征向量可以组成一个矩阵P，其中每一列都是一个特征向量。

2. 归一化特征向量。

矩阵P中的特征向量通常是按列排列的，为了保持其正交性和单位长度，需要对矩阵P进行归一化。

对于每个特征向量x，在保持其方向不变的前提下，将其缩放为单位向量。

即将每个特征向量除以其模长，使得其长度为1。

3. 构建相似变换矩阵P。

将归一化后的特征向量按列排列成一个矩阵P，即可得到相似变换矩阵P。

P的每一列都是一个特征向量，这些特征向量张成的空间是矩阵A所在的向量空间。

相似变换矩阵P的求法可以应用于一系列应用中，例如主成分分析（PCA），其中使用特征值和特征向量来提取样本数据的主要成分。

此外，相似变换矩阵还可以用于矩阵的对角化和可逆性判断。

需要注意的是，这里所描述的方法是针对方阵A的相似变换矩阵P的求法。

如果A是一个非方阵，则需要考虑广义特征值和广义特征向量的概念，并且可能需要使用SVD（奇异值分解）等方法来求解相似变换矩阵P。

总结起来，求解相似变换矩阵P的主要步骤包括计算矩阵的特征值和特征向量、归一化特征向量以及构建相似变换矩阵。

相似变换矩阵的求法是线性代数中的重要内容，对于理解矩阵的特征和性质有着重要的意义。

矩阵的相似和对角化的性质和应用矩阵的相似和对角化是线性代数中比较基础的概念，也是常常用到的重要工具。

在本文中，我将介绍矩阵相似的定义及其一些性质，探讨矩阵对角化的方法和应用。

一、矩阵相似1.1 定义设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在一个可逆矩阵 $P$，使得$B=P^{-1}AP$，则称 $B$ 与 $A$ 相似，$P$ 叫做相似变换矩阵。

1.2 性质（1）相似关系是一种等价关系。

对于任意的 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $A\sim A$。

若 $A\sim B$，则$B\sim A$。

若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。

（2）相似关系保持一些矩阵的特性。

若 $A$ 是一个对称矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是对称矩阵。

若$A$ 是一个正定矩阵，则 $B=P^{-1}AP$ 也是一个正定矩阵。

（3）相似矩阵有相同的特征值和相同的秩。

若 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 有相同的特征值。

即它们的特征多项式相同。

并且相似矩阵有相同的秩。

二、对角化2.1 定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵。

若存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 $D$ 是一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化，$D$ 叫做 $A$ 的一个对角化矩阵，$P$ 叫做对角化矩阵。

2.2 对角化的必要条件若$A$ 可对角化，则$A$ 必须有$n$ 个线性无关的特征向量。

即存在一组线性无关的向量$\{\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_n}\}$，使得$A\vec{v_i}=\lambda_i\vec{v_i}$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。

2.3 对角化的方法（1）在求解 $A$ 的特征值 $\lambda$ 和特征向量 $\vec{v}$ 后，将特征向量按列组成矩阵 $P$，得到 $D=P^{-1}AP$。

向量的相似变换和对角化在向量的研究中，相似变换和对角化都是非常重要的概念。

相似变换是一种通过矩阵相乘使得两个矩阵拥有相同的特征值的变换，而对角化则是将一个矩阵变换成对角矩阵的过程。

这篇文章将讨论这两个概念的基本原理、应用以及相关定义。

一、相似变换的定义与性质相似变换是指将一个矩阵 A （n阶）通过一系列的矩阵变换 P ，即 A' = P-1AP ，使得它与另一个拥有相同特征值的矩阵 B 相似（即 A' 和 B有相同的特征多项式）。

这里的矩阵 P 即为相似变换矩阵，通常都可以通过 A 和 B 的特征向量和特征值求得。

相似变换有以下两个基本性质：1. 相似变换保持矩阵的行列式、秩、特征值和特征向量不变。

2. 对于任意两个矩阵 A、B ，如果它们的相似变换矩阵 P 存在，则 P 可逆，即 P-1 存在。

二、相似变换的应用相似变换在矩阵和向量等领域中应用广泛，常见应用有：1. 矩阵的对角化：若一个矩阵 A 相似于对角矩阵 D ，即 A=P-1DP，则矩阵 A 可以通过相似变换 P 对角化，从而更好的理解和研究它的特性。

2. 矩阵的相似识别：通过相似变换，可以将一个矩阵 A 与另一个已知矩阵 B 相似，从而判断它们是否拥有相似的特征，常用于矩阵的求逆、等价化简等问题。

3. 矩阵的变换：相似变换矩阵 P 可以看成一个对矩阵 A 进行的线性变换，从而产生新的矩阵 A' 。

通过不同的相似变换，可以产生多个不同的矩阵，进而找到一些特殊的矩阵规律。

三、对角化的定义与性质对于一个 n 阶矩阵 A ，如果存在一个可逆矩阵 P ，使得 A'=P-1AP 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。

这里的对角矩阵 D 是一个只有对角线元素非零，其他元素均为零的矩阵。

对角化的过程是通过寻找矩阵 A 的 n 个线性无关的特征向量，将这些特征向量构成的矩阵作为相似变换矩阵 P ，得到对角矩阵 D 的过程。

矩阵的相似变换和特征向量的应用矩阵是现代数学中一个十分重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

其中，矩阵的相似变换和特征向量的应用是矩阵理论中的两个重要概念，有着极其重要的数学实践应用。

本文将主要讨论这两个概念的数学意义和应用。

1. 矩阵的相似变换矩阵的相似变换是指，对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP^-1=B，则称矩阵A和B相似。

这个概念在矩阵理论中有着非常重要的地位，因为相似矩阵有许多相同的性质和特征，在矩阵的计算和分析中有着非常重要的作用。

例如，对于矩阵A，如果我们需要求它的n次幂，可以将其分解成相似矩阵的形式，即A=PBP^-1，其中B是对角矩阵，它可以很容易地进行幂的计算。

这个方法被称为矩阵的对角化，是线性代数中一个重要的理论。

除此之外，相似矩阵还有着其他的性质和应用。

例如，相似矩阵的行列式、迹、特征根都是相等的，即A和B的行列式、迹、特征根都是相等的。

因此，当我们需要计算这些指标的时候，可以通过矩阵相似的方式，进行更加简便的计算。

2. 特征向量的应用特征向量是指矩阵A满足方程Ax=λx的非零解x。

其中，λ被称为特征根，x被称为特征向量。

特征向量和特征根在矩阵理论和应用中具有非常重要的作用。

首先，特征向量和特征根可以帮助我们对矩阵进行对角化。

当一个矩阵拥有n个线性无关的特征向量时，可以将其对角化为对角矩阵，方便进行矩阵的计算和分析。

其次，特征向量和特征根也有着广泛的应用。

例如，在图像处理领域中，矩阵的特征向量和特征根被广泛应用于图像的压缩和恢复。

另外，在数据分析中，特征向量和特征根也被用来进行数据降维和分类分析。

总结矩阵的相似变换和特征向量的应用是矩阵理论中的两个重要概念，有着极其重要的数学实践应用。

相似矩阵具有许多相同的性质和特征，在矩阵的计算和分析中有着非常重要的作用。

特征向量和特征根则被广泛应用于图像的压缩和恢复、数据降维和分类分析等领域。

因此，我们需要深入理解这些概念的数学意义和应用，以便更好地应用它们进行各类问题的研究和解决。

矩阵相似的若干判别法及应用本科生毕业论文矩阵相似的若干判别法及应用学号： 2011562010姓名：邵坷年级： 2011级本科班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：由金玲完成日期： 2015 年4月30日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第一章基本概念 (2)1.1 矩阵 (2)1.1.1 矩阵的概念 (2)1.1.2 矩阵的性质 (2)1.2 矩阵相似 (3)1.2.1矩阵相似的概念 (3)1.2.2 矩阵相似的性质 (4)第二章矩阵相似的判别 (5)2.1 特征值与特征向量法判定 (5)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 ............................................. 错误!未定义书签。

2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5)2.2用初等变法换判定 (8)2.3 应用分块矩阵相似判定 (11)第三章矩阵相似的应用 (14)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (14)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (15)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2)成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A .引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有 *11A dA =- (0≠=A d ). (1-3)定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩.定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]nm P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合[]{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类. 1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么 有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1） 由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.（1）相似矩阵的行列式相等;（2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;（4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1) 或者0)(=-x A E λ(1-2)那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量.求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤：第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组0)(=-A E i λ(1-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理2.1[6] 设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似.证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ 21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A 记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=-可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1）并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 定理2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2）有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似.必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3）当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100*********112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则 ⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1) 有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的充分必要条件.证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3)我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4)通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5)那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AX X Y X 0000001又由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E X Y E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B . 定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P （3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例 3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511 化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是 .5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A （2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值. 因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328.[2] 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解[J].西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.[3] 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Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。

解题技巧第一章 矩阵的相似变换1.判断矩阵A 是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

理论依据：（1）A 酉相似于对角矩阵的充要条件是A 为正规矩阵（即：HH AA A A =）。

（2）Hermite 矩阵（A A H=)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。

注：酉矩阵A （H A A=-1，1det =A ），HA ：先转置，再共轭（虚部取反）。

结论：所以判断矩阵A 是否是正规矩阵，只需判断A AH=是否成立，若A A H =成立，则存在酉矩阵U ，使AU U 1-为对角矩阵。

（当矩阵A 中都为实数时，THA A =)解题步骤：（1）由A 为Hermite 矩阵（A AH=)或实对称矩阵，推出A 为正规矩阵。

（2）由()A I -λdet 求得矩阵的特征值i λ，并求出相应的特征向量i p 。

（3）对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。

只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。

正交化公式：()()量）为重根的另一个特征向为重根的一个特征向量21111222111(,,)(x y x x x x x y x x y -== (4)得酉矩阵U(为单位化之后的向量321,,q q q 组成的矩阵），对角矩阵AU U 1-（为特征值所组成的对角矩阵)。

（注：内积计算公式：()x y y x H=,，尤其注意虚数的计算）2.求解矩阵的最小多项式()λA m 。

理论依据：（1）最小多项式()λA m 包含A 的所有互不相同的特征多项式的因式。

（2）特征多项式必须是零化多项式。

（3）设nn CA ⨯∈，i λλλ ，，2是A 所有互不相同的特征值，则：()()()()t mi mmA m λλλλλλλ---= 2121，其中i m 是A 的标准型J 中含i λ的Jordan 块的最高阶数。