初一数学相似变换的复习资料

相似变换【中考要求】1． 基本要求了解图形的位似2． 略高要求会依据要求按比例放、缩图形【知识点讲解】1． 位似以及位似中心：如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，像这样的相似叫做位似，这个交点叫做位似中心。

2． 位似图形与相似图形的区别与联系：位似图形一定是相似图形，而相似图形却不一定是位似图形。

因此，位似图形是相似图形的特例。

3． 位似中心的选取：可在两个图形的同侧、可在两图形之间、可在多边形内、也可在多边形的一条边上、也可取在多边形的某一顶点。

【重点与难点】重点：（1） 了解图形位似变换的特点（2） 能够利用位似变换将一个图形放大或缩小难点：（1） 根据比例画好相似图形（2） 位似图形在解决实际问题过程中的应用（3） 理解相似与位似的关系，从具体操作中体会位似图形的特有特点，加深图形相似的认识【例题讲解】1（东营）、如图1，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）答案：A2（宁波）、如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为2：3，已知AB=4，则DE 的长等于（ ） A.6 B.5 C.9 D.83(A)(B)(C)(D)AB 图1答案：A3（常州）、如图，在ABC ∆中，1=BC ，2=AC ，090=∠C ．（1）在方格纸①中，画'''C B A ∆，使'''C B A ∆∽ABC ∆，且相似比为2︰1；（2）若将（1）中'''C B A ∆称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O 为对称中心，并且以直线l 为对称轴的图案．【巩固练习】1（宁安）、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上D 任意位置答案：D2（2006广东）、图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A’B’C’是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1） 画出位似中心点O ；（2） 求出△ABC 与△A’B’C’的位似比；（3） 以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5。

相似【知识脉络】【基础知识】Ⅰ . 相关相似形的见解(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2) 假如两个边数同样的多边形的 对应角相等，对应边成比率， 这两个多边形叫做相似多边形。

．．．．．．．．．．．．．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) 。

Ⅱ . 比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以为 0）（ 1）基天性质：① a : b c : dad bc ；② a : b b : c b 2 a c ．注：由一个比率式只可化成一个等积式， 而一个等积式共可化成八个比率式， 如 adbc ，除了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d c : d a : b b : d a : c b : a d : c。

， ， ，a b，互换内项)c d (（ 2）换比性质 ( 互换比率的内项或外项 ) ：ac d c ，互换外项 ( )bdbadb．(同时互换内外项 ) c aⅢ . 平行线分线段成比率定理基础图形：定理：如上图，三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率．Ⅳ . 相似三角形（ 1）见解：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽” 表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 。

注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边；② 次序性：相似三角形的相似比是有次序的；③ 两个三角形形状同样，但大小不用然同样；④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形。

两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率。

（ 2）判断：依据相似图形的特点来判断。

（对应边成比率，对应角相等）①. 平行于三角形一边的直线 ( 或两边的延伸线 ) 和其余两边订交 , 所组成的三角形与原三角形相似；② . 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；③. 假如两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似；④ . 假如两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似；直角三角形相似判判断理 ：直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似注：射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。

初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。

了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。

一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。

相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。

即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。

2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。

即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。

3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。

即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。

4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。

即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。

二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。

全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。

即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。

2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。

即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。

3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。

若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。

4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。

相似变换是数学中的一个重要概念，它在几何学、图像处理和人工智能等领域中都有广泛的应用。

相似变换可以将一个图形缩放、旋转或平移，而保持其形状不变。

本文将从逐步思考的角度介绍相似变换的基本知识点。

1. 相似性和相似变换的定义相似性是指两个物体在形状上相似的程度。

相似变换是指对一个图形进行缩放、旋转或平移，而保持其形状不变。

相似变换可以用数学公式表示，例如：•缩放变换：T(x,y)=(kx,ky)，其中 k 是缩放因子。

•旋转变换：T(x,y)=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，其中θ 是旋转角度。

•平移变换：T(x,y)=(x+a,y+b)，其中 (a, b) 是平移向量。

2. 相似变换的性质相似变换具有以下几个重要性质：•形状不变性：相似变换不改变图形的形状，只改变图形的大小、位置和方向。

•距离比例性：在相似变换中，图形上的两点之间的距离比例保持不变。

•角度保持性：在相似变换中，图形上的两条线段之间的夹角保持不变。

3. 相似变换的应用相似变换在几何学、图像处理和人工智能等领域中有广泛的应用。

下面将介绍其中几个重要的应用。

3.1 几何学中的相似变换在几何学中，相似变换被广泛应用于图形的测量和构造。

例如，通过相似变换，我们可以计算两个三角形之间的相似性，从而得到它们的边长比例和角度关系。

3.2 图像处理中的相似变换在图像处理中，相似变换常用于图像的缩放、旋转和平移。

通过相似变换，我们可以改变图像的大小和位置，从而实现图像的放大、缩小和剪裁等操作。

相似变换还可以用于图像的配准和校正，提高图像的质量和准确性。

3.3 人工智能中的相似变换在人工智能中，相似变换常用于图像识别和模式识别。

通过相似变换，我们可以将不同尺寸和方向的图像转化为统一的表示，从而方便进行图像特征的提取和比较。

相似变换还可以用于图像的分类和检索，提高人工智能系统的视觉能力和识别准确性。

4. 相似变换的计算方法要进行相似变换的计算，我们需要知道变换前后的对应点。

初中数学中的图形的相似变换在初中数学的广阔领域中，图形的相似变换是一个极为重要的概念，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解和解决许多几何问题的大门。

相似变换，简单来说，就是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同。

这种相似关系在我们的生活中随处可见。

比如，不同尺寸的照片、放大或缩小的地图，这些都是相似图形的实际应用。

相似变换包括了三种基本的操作：平移、旋转和缩放。

平移，就是将图形沿着某个方向移动一段距离，移动后的图形与原图形的形状和大小完全相同，只是位置发生了改变。

想象一下，你把一本书从桌子的左边移到右边，书的形状和大小没有任何变化，这就是平移。

旋转则是围绕一个固定的点，将图形按照一定的角度进行转动。

像是公园里的旋转木马，每匹马在围绕中心轴转动的过程中，其形状和大小始终保持不变，只是方向发生了改变。

而缩放，就是将图形按照一定的比例放大或缩小。

比如说，用放大镜看一幅画，画中的图案就被放大了，但其形状依然不变。

在数学中，判断两个图形是否相似，主要依据是它们的对应角相等，对应边成比例。

这是相似图形的核心特征。

相似三角形是相似图形中的一个重要类型。

对于相似三角形，我们有着许多重要的定理和性质。

比如，“两角分别相等的两个三角形相似”，如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。

再比如“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，如果两个三角形的两组对应边的比值相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形也是相似的。

相似三角形的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

例如，在测量物体的高度时，我们常常利用相似三角形的原理。

假设我们要测量一棵大树的高度，但是直接测量是很难做到的。

这时，我们可以在同一时间、同一地点，测量一根直立的小木棍的长度以及它的影子长度，同时测量大树的影子长度。

因为太阳光线是平行的，所以大树和它的影子、小木棍和它的影子构成了相似三角形。

通过小木棍和它的影子的长度比例，以及大树影子的长度，就可以计算出大树的高度。

苏教版初中数学《相似》总复习在初中数学的学习中，相似是一个重要的知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。

相似图形的性质和判定方法，以及相似三角形的相关定理，都是我们需要重点掌握的内容。

接下来，让我们一起对苏教版初中数学中的《相似》进行一次全面的总复习。

一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

两个相似图形的对应角相等，对应边的比相等。

比如，两个正方形、两个等边三角形都是相似图形。

相似多边形的对应边的比叫做相似比。

当相似比为 1 时，两个相似多边形全等。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

当两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等时，这两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

四、位似图形如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量物体的高度、宽度、距离等。

例如，要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时刻，测量出一根直立的标杆的高度和它的影长，以及大树的影长。

因为在同一时刻，太阳光线是平行的，所以大树和标杆构成的三角形与它们各自的影长构成的三角形相似。

根据相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算出大树的高度。

再比如，在地图上，我们可以利用相似三角形的知识来计算实际距离。

第27章《相似》复习资料（一）知识要点（考点重点）1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。

对应边的比叫做相似比。

三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。

相似三角形的基本图形：说明：对于双垂图5有：1、AB 2=BD •BC ；2、AC 2=CD •BC ；3、AD 2=BD •CD 。

对于拓展图6只有：AC 2=CD •BC 。

判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。

⑤相似三角形的传递性：如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2（二）相似三角形的应用求物体的长或宽或高；求有关面积等。

（1）利用阳光下的影子测量物体的高度时：被测物体的影长被测物体的实际高度该物体的影长某物体的实际高度=。

（2）利用标杆测物体的高度时，人与标杆及被测物体均与地面垂直，因此三者是平行的。

（3）利用镜子的反射测物体的高度时，人与被测物体都与地面垂直，光的入射角等于反射角。

(三) 位似图形（1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

（2）位似图形与相似图形的关系：位似图形是特殊的相似图形；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形也必定是相似图形；两个相似图形却不一定是位似图形。

2．5 相似变换【知识提要】1．认识相似图形和相似变换的概念．2．理解相似变换的性质：（1）相似变换不改变图形中的每一个角的大小；（2）图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．3．会按要求作出简单平面图形经过相似变换后的像．【学法指导】1．相似变换必须指明放大和缩小的倍数．2．作相似图形的关键是先按要求确定原图形一些特殊点变换后的位置，•再将它们按原图形的形状用线段连结起来．3．相似变换中图形中每条线段都按要求扩大（或缩小）相同的倍数．4．相似变换后图形的形状不变，图形的大小、周长、面积都改变．范例积累【例1】如图，（1）在方格纸上作下列相似变换：把△ABC的每条边扩大到原来的2倍；（2）放大后的图形的周长是原图形周长的多少倍？（3）放大后的图形的面积是原图形面积的多少倍？【分析】（1）△ABC的三个顶点在1×3的方格上，它的像应在2×6的方格上，因此先找一个2×6的网格；其次，确定三个顶点的对应点的位置；最后画出图形．（2）每条边扩大了2倍，因此周长扩大2倍．（3）每条边扩大了2倍，对应边上的高也扩大了2倍，因此面积扩大了4倍．【解】（1）如图，△DEF就是所求的像；（2）放大后的图形的周长是原图形周长的2倍；（3）放大后的图形的面积是原图形面积的4倍．【注意】（1）•图形相似变换中图形各边和周长都扩大（或缩小）相同的倍数；而面积扩大（或缩小）了它的平方倍；（2）图形的形状保持不变，•位置和方向可以改变．【例2】如图，小明同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1．5米的同学的影长为1米，•求旗杆的高度是多少？【分析】在相同的时刻，物高与影长成相似变换．【解】设旗杆的高度为x米，由题意得x：8=1．5：1解得x=12答：旗杆的高度为12米．【注意】（1）在同一时刻阳光下，影子与它的实物一般不成相似变换；（2）地图也可以看作实际版图通过相似变换所得的像．比例尺＝图上距离：实际距离．基础训练1．图形中的相似变换不改变_________，图形中的每条线段都____________．2．如图1，从左到右的变换是________．(1)3．如图2，△ABC经相似变换后所得的像是△DEF．（1）则线段AB与DE、BC与EF、AC与DF的大小关系是____________．（2）∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F的大小关系是_____________．（3）变换后所得的图形面积是原图形面积的多少倍？4．如图3，德清到温州的实际距离约400千米，请你量出地图中德清到温州的长度，则此地图的比例尺是_________．(3) (4)5．竹竿长为6米，在阳光照射下，影子的长为4米，某人在此时的影长为1．2米，•则此人的实际身高为_________米．6．（1）顶角为20°的等腰三角形放大2倍后所得的三角形（）A．其顶角为40° B．其底角为80° C．周长不变 D．面积为原来的2倍（2）下列哪组图形为相似图形（）A．两个长方形 B．两个直角三角形 C．两个平行四边形 D．两个正方形（3）一多边形各边长为5、6、7、8、9，另一个相似图形和6对应的边长为9，则这个相似图形的周长为（）A．35 B．40．5 C．45 D．52．57．如图4，先把△ABC作相似变换，放大到原来的2倍，且保持B点不动；再把所得的像向上平移6格，再向右平移2格．8．如图，已知从△ABC到△DEF是一个相似变换，OD与OA的长度之长为1：3，（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知△ABC的周长是24cm，面积是36cm2，分别求△DEF的周长和面积．9．如图，在方格纸上作下列相似变换：保持A点不动，把图形F的每条边都扩大到原来的2倍．10．如图2，一长方形的长为12，宽为8，（1）将它往内各减少1，得一新的小长方形，则原长方形与新长方形是相似图形吗？为什么？（2）如果将宽增加1，则长增加多少后，所得长方形与原长方形为相似图形？提高训练11．观察图中的图形（a）-（g），其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的？12．要做甲、乙两个形状相同（两者为相似图形）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种应用拓展13．在沙漠中，一位旅行者带着罗盘和计程器从营地A出发，向北偏西47°的方向走了5千米，到达B地，然后从B地出发，向正东方向行走7千米，到达C地，•问旅行者从C 地按什么方向返回营地的路程最短？最短路程是多少？（1）画出线路图；（2）你所画出的线路图与实际路线图经过了哪一种图形变换？缩小的倍数是多少？（3）量出图中线段的长度，再算出实际路程．答案:1．图形的形状扩大（或缩小）相同的倍数2．相似变换3．（1）•AB=•2DE，•BC=2EF，AC=DF（2）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（3）14倍.4．略 5．1．8 6．（1）B （•2）D （3）D7．略8．（1）1：3 （2）8cm，4cm29．略10．（1）不是（2）1．5 11．（1）与（a）（2）与（d）（3）与（g）12．C13．略。

数学知识点归纳形的相似变换与对称变换数学知识点归纳: 形的相似变换与对称变换相似变换与对称变换是数学中常见的概念，在几何学和代数学等领域中起到重要的作用。

本文将对相似变换与对称变换的定义、性质以及应用进行详细的归纳和解释。

一、形的相似变换形的相似变换是指在平面上或空间中，通过比例尺的变换将一个图形缩放成另一个相似的图形。

具体来说，相似变换满足以下三个条件：1. 相同形状：两个图形的对应部分是相似的，即它们的内角度量相等。

2. 比例关系：两个图形中对应线段的比例相等。

3. 形状保持：相似变换并不改变图形的形状，只是改变了图形的尺寸和位置。

相似变换常见的类型有平移、旋转和缩放。

平移是指通过向量将图形移动到新的位置，旋转是指将图形按照一定角度旋转，而缩放则是指通过比例因子改变图形的大小。

相似变换的应用广泛，例如在地图的绘制过程中，需要考虑到地图的比例尺以保证真实地反映地理位置。

此外，相似变换还被应用于计算机图形学、建筑设计等领域。

二、对称变换对称变换是指将一个图形通过一条线、一个点或一个面的变换使得图形在变换前后保持不变。

对称变换可以分为以下几种类型：1. 线对称：也称为镜像对称，是指图形和它的镜像是相等的。

镜像是通过以一条直线为轴将图形对折而得到的。

2. 点对称：图形中的任意一点与它的对称轴上的点互相映射，得到的图形与原图形相等。

3. 面对称：通过将图形绕某个中心旋转180度得到的图形与原图形相等。

对称变换是一种保持图形不变的变换方式，常见于几何学中的对称性问题。

在艺术设计、几何建模和密码学等领域中都有对称变换的应用。

综上所述，相似变换和对称变换是数学中重要的概念。

相似变换通过比例尺的变换保持图形的形状，对称变换则通过某种线、点或面的变换保持图形不变。

它们在几何学、代数学和应用数学中都扮演着重要的角色，对于理解和解决复杂问题具有重要意义。

初中相似知识点总结归纳在初中阶段学习中，有许多知识点是彼此相似的。

这些相似知识点有助于学生建立知识体系，深入理解相关概念。

下面将总结归纳几个常见的相似知识点。

数学：1. 直线和曲线在几何学中，直线和曲线是基本的图形概念。

直线是由两个点确定的最短路径，而曲线则是由多个点组成的弯曲路径。

学生需要了解直线和曲线的基本特征和性质，比如直线的斜率和曲线的曲率。

2. 平行和垂直平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线，而垂直线则是形成90度角的直线。

学生需要学会辨别平行和垂直线，掌握它们的判定方法和性质。

3. 折线和多边形折线是由多条线段首尾相接而成的线段，而多边形则是由多条线段首尾相接而成的封闭图形。

学生需要掌握折线和多边形的构造方法和性质，以及它们之间的关系。

物理：1. 导体和绝缘体在电学中，导体是能够传导电流的物质，而绝缘体则是不能传导电流的物质。

学生需要了解导体和绝缘体的特性和应用，以及它们在电路中的作用。

2. 静止和运动在力学中，静止和运动是物体在空间中的两种基本状态。

学生需要理解静止和运动的定义和判定条件，以及它们之间的关系和物理规律。

化学：1. 酸和碱酸和碱是化学物质中常见的两种性质。

酸具有酸性，能与碱中和；碱具有碱性，能与酸中和。

学生需要了解酸和碱的性质和特征，以及它们在化学反应中的作用和应用。

2. 氧化和还原氧化和还原是化学反应中常见的两种类型。

氧化是指物质失去电子，还原是指物质获得电子。

学生需要掌握氧化和还原的定义和规律，以及它们在化学反应中的作用和原理。

生物：1. 植物和动物细胞植物细胞和动物细胞是生物体中的基本单位。

植物细胞具有细胞壁和叶绿体，而动物细胞则没有。

学生需要了解植物细胞和动物细胞的结构和功能，以及它们在生物体中的作用和差异。

2. 有性繁殖和无性繁殖有性繁殖是通过生殖细胞的结合产生新个体，而无性繁殖是通过体细胞的分裂产生新个体。

学生需要了解有性繁殖和无性繁殖的过程和特点，以及它们在生物世界中的作用和意义。

初一数学平面形的相似与全等总结几何形状的变换在初中数学学习中，我们经常会接触到平面形的相似与全等的概念。

相似与全等是几何形状的重要变换方式，通过了解和掌握这些概念，我们可以更好地理解和分析几何形状的性质。

本文将对初一数学平面形的相似与全等进行总结和讨论，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、相似和全等的概念相似和全等都是几何中形状的变换方式，通过一定的变换规则，可以将一个图形变换为另一个图形。

相似与全等是基于变换规则而言的，下面我们分别来讨论这两个概念。

1. 相似相似是指两个图形在形状上相似，但是大小不同。

具体来说，如果两个图形的对应部分所对应的角度相等，并且对应边的比值是相等的，那么这两个图形就是相似的。

相似的记作"∽"。

例如，如果有一个三角形ABC和三角形DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF相似，记作∆ABC ∽ ∆DEF。

2. 全等全等是指两个图形在形状和大小上完全相同。

具体来说，如果两个图形的对应部分所对应的边长和角度都相等，那么这两个图形就是全等的。

全等的记作"≡"。

例如，如果有一个三角形ABC和三角形DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF全等，记作∆ABC ≡ ∆DEF。

二、相似与全等的性质和应用相似与全等在几何形状的研究中具有重要的性质和应用。

下面我们将介绍几个与相似与全等相关的重要性质和应用。

1. 形状相同对于相似和全等的图形，它们的形状是相同的。

也就是说，通过相似和全等的变换规则，我们可以得到与原图形形状相同的新图形。

2. 比例关系对于相似的图形，它们的对应边的比值是相等的。

这个比值叫做相似比。

相似比可以用来计算图形的线段长度比例。

教师：学生：年级：日期：时间：〔〕课题目标重难点教学内容1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。

对应边的比叫做相似比。

三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS〞)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS〞)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等〔类似于直角三角形全等判定“HL〞〕。

相似三角形的根本图形：判断三角形相似，假设一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角〔等角〕的余角〔或补角〕相等，假设找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；假设无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。

4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

〔三〕考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、〔2021广东肇庆〕如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，那么BF ＝〔〕A． 7 B C． 8 D．abcA BC DE Fm n例2〔2021•福州〕 如图，△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，那么AD 的长是 ，cosA 的值是 ．〔结果保存根号〕练习： 1．〔2021湖南怀化，6，3〕如下图：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，那么CE 的值为〔 〕A ．9B ．6C ．3D ．4ECDB A2．〔2021山东泰安，15 ，3分〕如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，那么以下结论错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BCBE AE= 3．〔2021•孝感〕如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，假设AC=2，那么AD 的长是〔 〕 A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+考点二：相似三角形的判定例3、〔2021湖北荆州〕如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，那么图中相似三角形有〔 〕A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例4、〔2021江苏泰州〕一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段〔允GEADB CP F许有余料〕作为另外两边．截法有〔 〕 种 B. 1种 C. 2种 D. 3种例5〔2021•徐州〕如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC= 14BC ．图中相似三角形共有〔 〕 A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对例6〔2021•资阳〕〔1〕如图〔1〕，正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ：EB 的结果〔不必写计算过程〕；〔2〕将图〔1〕中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图〔2〕，求HD ：GC ：EB ； 〔3〕把图〔2〕中的正方形都换成矩形，如图〔3〕，且DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此时HD ：GC ：EB 的值与〔2〕小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果〔不必写计算过程〕．练习： 1．〔2021江苏无锡，7，3分〕如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．假设OA ∶OC = OB ∶OD ，那么以下结论中一定正确的选项是 ( )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似2．〔2021新疆乌鲁木齐，10，4分〕如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且1BP =，点D 为AC 边上一点假设60APD ∠=︒，那么CD 的长为A B CDO① ②③④〔第7题〕A ．12B ．23C ．34D ．13. 〔2021•攀枝花〕如图，△ABC ≌△ADE 且∠ABC=∠ADE ，∠ACB=∠AED ，BC 、DE 交于点O ．那么以下四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE ；③△ABD ∽△ACE ；④A 、O 、C 、E 四点在同一个圆上，一定成立的有〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4. 〔2021•义乌市〕在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．〔1〕如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；〔2〕如图2，连接AA 1，CC 1．假设△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；〔3〕如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．考点三：相似三角形的性质 例7、〔2021山东烟台〕如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，那么以下结论一定正确的选项是〔 〕 A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD 例8、〔2021浙江嘉兴〕如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，那么四边形BCED 的面积为〔 〕 〔A 〕32〔B 〕33AB D C〔例5〕ABCDE〔C 〕34〔D 〕36例9〔2021•重庆〕△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，那么ABC 与△DEF 的面积之比为 ．练习 1．〔2021青海西宁，10，3分〕如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，那么△ABC 的边长为 A ．9 B ．12 C ．16 D ．182．〔2021四川雅安，9,3分〕如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，那么以下说法中不正确的为〔 〕A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．ABC ADE S S △△41=D ．DF=EF 3．〔2021四川内江，加试2，6分〕如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．假设△ADE 的面积为S ，那么四边形BOGC 的面积= ． 4．〔2021辽宁丹东，16，3分〕：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．Q PECDBA考点四 位似例10〔2021•玉林〕如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，ABCDE G FO正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，AC=32，假设点A′的坐标为〔1，2〕，那么正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是〔〕A．16B．13C．12D．23考点四：相似三角形的应用例6、〔2021安徽芜湖〕如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,那么_______m．例7、〔2021青海〕如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．练习：1．〔2021湖北黄石，13，3分〕有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图〔4〕.将这两张纸条穿插重叠地放在一起，重合局部为四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系为。

《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）撰稿：赵炜审稿：杜少波【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．知识点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

初等几何变换之相似变换
相似变换它是平面上点的一一对应，使对于任意两点A、B与它的对应点A′、B′间有A′B′＝λAB，(λ是正常数），当λ＝1时，即为全等变换。

相似变换的特殊情况是位似变换，即平面上点的一一对应，使任意点A及其对应点A′对于定点S，总有①S、A、A′三点共线；②SA′＝｜λ｜SA（λ≠0），称之为以S为位似中心，λ为位似比的位似变换（图5)。

当λ＞0时，A 与其对应点A′在位似中心S的同侧；当λ＜0时，A与A′在点S的两侧。

当｜λ｜＞1时，原图形被放大；当｜λ｜＜1时，原图形被缩小。

特别地，当λ＝1时，即为以S为中心，旋转角为π的旋转变换。

图片
图片
图片
图片。