函数的极值(1)

函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。

本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。

一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。

极值分为两种情况：局部极值和全局极值。

1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。

设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。

其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。

2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。

设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。

其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。

二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。

首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。

这些点就是可能的极值点。

接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。

当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。

2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。

首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。

然后，通过比较函数值得出极值。

例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。

三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。

例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。

2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。

导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点； (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值； (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 3．极值与最值的区别与联系 (1)区别①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； ②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( )(2)导数为零的点不一定是极值点．( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√(教材习题改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A .导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个．所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e解析：选C .函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1x －1＝1－x x ，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2. 答案：2(教材习题改编)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得x ＝π6， 则当x ∈⎣⎡⎫0，π6时，y ′＞0；当x ∈⎝⎛⎤π6，π2时，y ′＜0，故函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值π6＋ 3. 答案：π6＋ 3函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度： (1)由图判断函数极值的情况； (2)已知函数解析式求极值； (3)已知函数极值求参数值或范围．[典例引领]角度一 由图判断函数极值的情况(优质试题·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【解析】 原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D . 【答案】 D角度二 已知函数解析式求极值(优质试题·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x ，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点． 当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x ，令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈(0，1a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(1a ，＋∞)时，g ′(x )＜0.因为g (x )在(0，1a )上是增函数，在(1a，＋∞)上是减函数．所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g (1a )＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a .综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．角度三 已知函数极值求参数值或范围(优质试题·高考山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； 当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为a >12.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]1．(优质试题·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表．故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a ＞0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数在x ＝1a 处有一个极大值点．函数的最值问题[典例引领](优质试题·高考浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x (x ≥12)．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围． 【解】 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x )′＝－e －x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e－x(2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e －x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[通关练习]1．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎡⎦⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B.23 C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x 2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎡⎦⎤－13，1，当f ′(x )＝0时，x ＝0； 当f ′(x )<0时，－13≤x <0；当f ′(x )>0时，0<x ≤1.所以f (x )在⎣⎡⎭⎫－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，f (1)＝13. 所以f (x )的最大值与最小值的和为13.2．(优质试题·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1e ，e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，所以f ′(x )＞0⇒0＜x ＜1，f ′(x )＜0⇒x ＞1，所以f (x )＝1－1x －ln x 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在[1e ，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f (1e )＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f (1e )＜f (e)．所以f (x )在[1e ，e]上的最小值为f (1e )＝2－e.所以f (x )在[1e，e]上的最大值为0，最小值为2－e.函数极值与最值的综合应用[典例引领](优质试题·福州市综合质量检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间；(2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a 3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝（2x －3）（x －3）x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为(0，32)，(3，＋∞)，单调递减区间为(32，3)．(2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在[1，a 2)上为减函数，在(a 2，e]上为增函数，h (a )＝g (a2)＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e.（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．。

极值为1的函数介绍函数是数学中的一种基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。

在数学中，我们经常研究各种不同类型的函数。

本文将讨论一个特殊的函数，即极值为1的函数。

所谓极值为1的函数，是指函数的最大值和最小值都等于1。

在数学中，这样的函数有很多种形式，我们将对其进行探讨和研究。

部分示例以下是一些常见的极值为1的函数的示例：1. 三角函数三角函数是最常见的函数之一，它描述了角度和边长之间的关系。

其中，正弦函数(sin x)和余弦函数(cos x)是典型的极值为1的函数。

它们的图像在幅度为1的范围内上下波动。

2. 指数函数指数函数是由常数e（自然对数的底数）的幂所组成的函数。

例如，y = e^x 是一个极值为1的指数函数。

这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。

3. 对数函数对数函数是指以常数b（底数）为底，自变量x的对数。

其中，以底数为e的自然对数函数(ln x)是一个极值为1的对数函数。

这个函数在自变量x逐渐增大时，其值也逐渐增大，但增长速率会逐渐减慢。

4. 反比例函数反比例函数是指两个变量之间的关系为互为倒数的函数。

例如，y = 1/x 是一个极值为1的反比例函数。

当自变量x逐渐增大时，因变量y逐渐减小，而且二者之间的乘积始终等于1。

结论极值为1的函数在数学中扮演着重要的角色。

这些函数在各个领域有着广泛的应用，包括物理学、工程学和经济学等。

它们的性质和特点使得它们在描述事物的变化规律时非常有用。

在实际问题中，我们可以通过研究这些函数的图像、导数和性质，来更好地理解和解决问题。

对于学生而言，了解和掌握极值为1的函数对于数学学习的深入和应用都是非常重要的。

通过学习这些函数可以提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决的能力。

同时，它们也是后续学习其他更复杂函数的基础，为进一步的数学学习打下坚实的基础。

总结起来，极值为1的函数是一类特殊的函数，在数学中具有重要的地位和作用。

极值为1的函数极值为1的函数是指函数在某个点处取得最大值或最小值为1的函数。

这种函数在数学中有着重要的应用，特别是在优化问题中。

下面将介绍一些常见的极值为1的函数。

1. 反正切函数反正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-π/2,π/2)。

反正切函数在x=0处取得最小值为-1，在x=±∞处取得最大值为1。

反正切函数的图像呈现出一条对称轴为y=0的S形曲线，具有单调递增和奇函数的性质。

2. 双曲正切函数双曲正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-1,1)。

双曲正切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±∞处取得最大值为1。

双曲正切函数的图像呈现出一条对称轴为y=0的S形曲线，具有单调递增和偶函数的性质。

3. 正切函数正切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-∞,∞)。

正切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±(π/2)处取得最大值为1。

正切函数的图像呈现出一条对称轴为x=π/2的周期性曲线，具有单调递增和奇函数的性质。

4. 余切函数余切函数是一种常见的极值为1的函数，它的定义域为实数集，值域为区间(-∞,∞)。

余切函数在x=0处取得最小值为0，在x=±π处取得最大值为1。

余切函数的图像呈现出一条对称轴为x=π的周期性曲线，具有单调递减和奇函数的性质。

总之，极值为1的函数在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。

以上介绍的反正切函数、双曲正切函数、正切函数和余切函数都是常见的极值为1的函数，它们的图像都呈现出一条对称轴的曲线，具有单调性和奇偶性的特点。

3.7 函数的极值课时安排2课时从容说课从函数图象出发讲述函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义.在教法上，让学生从解题过程中概括出利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这一点处连续.教学时，可以安排这样的例题来加以说明，加深理解.在求可导函数的极值时，应要求学生注意如下几点：（1）可导函数的极值点一定是它的驻点（即f′（x0）=0），注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0，可是f（x）在x=0处不可导.（2）可导函数的驻点可能是极值点，也可能不是极值点，例如函数y=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0，即点x=0是f（x）=x3的驻点，但不是极值点.（3）求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.但是值得注意的是不能忘记定义域的作用.在教学时要采用主动学习模式，让学生积极参加，主动建构，不能被动接受.教师的作用就是调节、策划.增加一些新的教学内容，可以让学生自主编拟题目，或者分组编题、解题.培养学生良好的数学素养和个性品质.第十三课时课题3.7.1 函数的极值（一）教学目标一,教学知识点1.极大值的定义和判别方法.2.极小值的定义和判别方法.3.极值的概念.4.求可导函数f（x）的极值的步骤.二,能力训练要求1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤.三,德育渗透目标1.加深学生对局部与整体之间的理解.2.培养学生数形结合的数学思想.3.培养学生自己归纳、总结的能力.教学重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明,并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.观察图象得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.教学方法建构主义观点下的高中数学教学实践，让学生通过观察图象，得到极大、极小值的定义，并让他们比较其与最大、最小值的区别.让学生自己观察图象得到判别极大、极小值的方法，并通过例1，自己归纳、总结解题的步骤.教具准备幻灯片三张第一张：极大、极小值的定义（记作3.7.1A）1.极大值.一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）,x0是极大值点.2.极小值.一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）,x0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.第二张：判别f（x0）是极大、极小值的方法（记作3.7.1 B）当函数f（x）在点x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f′（x）＞0,右侧f′（x）＜0,那么f（x0）是极大值.（2）如果在x0附近的左侧f′（x）＜0,右侧f′（x）＞0,那么f（x0）是极小值.第三张：求可导函数f（x）的极值的步骤（记作3.7.1 C）求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）.（2）求方程f′（x）=0的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上节课利用学过的导数这个有力工具研究了函数的一种性质——单调性，怎么来判断函数的单调性呢？［生］先对函数进行求导.如果f′（x）＞0,那么函数f（x）为增函数；如果f′（x）＜0,那么函数f（x）为减函数.［师］比较一下，以前判断函数单调性的方法和现在的判断方法，哪个比较简单？［生齐答］现在的.［师］那么，我们再利用导数这种先进有效的工具，再来研究一下函数的另一种性质——函数的极值.Ⅱ.讲授新课图3-17图3-18［师］我们观察一下两张图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么关系？［生］从图3-17可以看出，点a处的函数值f（a）比点a附近的点的函数值大；而从图3-18可以看出，点b处的函数值f（b）比点b附近的点的函数值小.［师］我们把如图3-17情况的点a的函数值f（a）称极大值，把如图3-18情况的点b的函数值f（b）称极小值，那么能给极大值,极小值下个定义吗？［生］如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0）,那么f（x0）是函数f（x）的一个极大值.如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极小值.［师］下定义时，要更准确一点，有f（x0）存在，且与附近点的函数值比较.那么首先f（x）在点x0附近有定义，把极大值、极小值统称为极值.（打出幻灯片3.7.1 A）［师］我们看一下极大值、极小值的概念和学过的最大值、最小值的概念有什么区别？［生］极大、极小值是对于点x0附近的点而言的，而最大、最小值是对于整个定义区间上的点而言的.［师］最大、最小值可以有几个？极大、极小值呢？［生］最大、最小值只有1个，极大、极小值可以有多个.（板书）（一）函数的极值1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这点处连续.［师］我们继续观察图3-17和图3-18，点a、b处的切线与点a、b附近的点处的切线有什么特点？［生］点a、b处的切线都与x轴平行，所以点a、b处的切线的斜率为0，即f′（a）=0,f′（b）=0.在点a的左侧的点处的切线的斜率为正，右侧为负；而在点b的左侧的点处的切线的斜率为负，右侧为正.（一开始画图,f′（a）=0,f′（b）=0,f′（x）＞0,f′（x）＜0，可不必标上去，等学生回答后再在图上标出）［师］那么如果函数f （x ）在点x 0处连续，是否可以总结一下判别f （x 0）是极大或极小值的方法.［生］如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＞0,右侧f ′（x ）＜0,那么f （x 0）是极大值.如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＜0,右侧f ′（x ）＞0,那么f （x 0）是极小值.（打开幻灯片3.7.1 B ）［师］我们知道，可导函数如果x 0是极值点，那么f ′（x 0）=0，所以可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？［生］不是.［师］举个例子.（学生举例，老师板书）（板书）y =x 3,在x =0处.∵y ′=（x 3）′=3x 2,y ′｜x =0=0,当x ＞0时，y ′＞0,当x ＜0时，y ′＞0,∴由极大、极小值的定义知,x =0不是极值点.［师］再来看一个例子.（板书）y =｜x ｜,在x =0处.∵⎩⎨⎧<-≥=,0 ,0x x x x y ∴⎩⎨⎧<->=',0 1,01x x y ∴y =｜x ｜在x =0处不可导.当x ＜0时y ′＜0,当x ＞0时y ′＞0,∴x =0是y =｜x ｜的极小值点.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点的导数为0，而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，即可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点，且对于一般的函数，函数的不可导点也可能是极值点.（二）课本例题［例1］求y =31x 3-4x +4的极值.解：y ′=（31x 3-4x +4）′=x 2-4=（x +2）（x -2）, 令y ′=0,解得x 1=-2,x 2=2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-2）-2 （-2,2）2 （2,+∞）y ′ + 0 -0 +y↗极大值328↘极小值-34 ↗∴当x =-2时，y 有极大值且y 极大值=328；当x =2时，y 有极小值且y 极小值=-34.［例2］求y =（x 2-1）3+1的极值.解：y ′=6x （x 2-1）2=6x （x +1）2（x -1）2，令y ′=0,解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-1）-1 （-1,0）0 （0,1） 1 （1,+∞）y ′ - 0 - 0 + 0 + y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x =0时，y 有极小值且y 极小值=0.［师］这就是我们解极值问题的一般解法，对于可导函数，能否总结一下，求极值的具体步骤呢？［生］第一，求导数f ′（x ）.第二，令f ′（x ）=0求方程的根.第三，列表,检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f （x ）在这个根处无极值.［师］这位同学回答得很好，他把无极值的情况也总结了一下.而书本上的总结只是针对例1的情况，我们可以根据例1、例2，把所有的情况都总结一下.但这个解法的前提是对可导函数而言的.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.（打出幻灯片3.7.1 C ） （三）精选例题［例1］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10,求f （2）的值.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +b , 又∵在x =1处有极值为10,∴⎩⎨⎧==',10)1(,0)1(f f∴⎩⎨⎧=+++=++.101,0322a b a b a两式相减得a 2-a -12=0,∴a =4,a =-3.当a =4时,b =-11; 当a =-3时,b =3.当f （x ）=x 3+4x 2-11x +16时,f （2）=8+4×4-11×2+16=18;当f （x ）=x 3-3x 2+3x +9时,f （2）=8-3×4+3×2+9=11.［例2］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+（a +6）x +1有极大值和极小值,求实数a 的取值范围.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +a +6,令f ′（x ）=0,∴3x 2+2ax +a +6=0有两个不同的解.∴Δ＞0.∴4a 2-12（a +6）＞0.∴a 2-3a -18＞0. ∴a ＞6或a ＜-3,即所求a 的取值范围是（-∞,-3）∪（6,+∞）.Ⅲ.课堂练习 求下列函数的极值.（1）y =x 2-7x +6;（2）y =x 3-27x .解：（1）y ′=（x 2-7x +6）′=2x -7,令y ′=0，解得x =27.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,27） 27 （27,+∞） y ′ - 0 + y↘极小值-425 ↗∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=-425.（2）y ′=（x 3-27x ）′=3x 2-27=3（x +3）（x -3）,令y ′=0,解得x 1=-3,x 2=3.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,-3）-3 （-3,3）3 （3,+∞）y ′ + 0 - 0 + y↗极大值54↘极小值-54↗∴当x =-3时，y 有极大值，且y 极大值=54;当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=-54.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课我们主要学习了函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f （x ）的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.Ⅴ.课后作业（一）课本P 130习题3.7 1.（二）复习并总结这节的内容.板书设计3.7.1 函数的极值（一）画图举例:y=x3,在x=0处.y=｜x｜,在x=0处.课本例题1x3-4x+4的极值.例1.求y=3例2.求y=（x2-1）3+1的极值.1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大（极小）值，且函数要在这点处连续.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点导数为0，充分条件是这点两侧的导数异号.精选例题例1.例2.课堂练习求下列函数的极值:（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.课时小结课后作业 备课资料关于9sin x +16csc x 值域的研究王思俭第五届“希望杯”高二第二试二4:函数y =9sin x +16csc x ,x ∈（0, 2π］,则函数的最小值为__________.1.挖掘多种解法，揭示解题思想思路1:本题不能直接使用均值不等式求最小值,因为虽然有9sin x +16csc x ≥2x x csc 16sin 9⋅=24,但等号成立的充要条件是9sin x =16csc x ,即sin x =34∉（0,1］,但可借助函数y =9t +t16,t ∈（0,1］的单调性来求解.解：令sin x =t ∈（0,1］,则y =9t +t 16,易证函数y 在（0,1］上是单调递减的，所以当t =1，即x =2π时,y m in =25.思路2：虽然不能直接使用均值不等式求最小值，但只要对xsin 16进行分析就可以利用了.解：y =9（sin x +xsin 1）+x sin 7≥9·2x x sin 1sin ⋅+x sin 7=18+x sin 7≥18+17=25，两处不等式中等号成立的充要条件都是sin x =1. 故y m in =25.思路3：令sin x =t ∈（0,1］,于是问题转化为关于t 的一元二次方程9t 2-yt +16=0在（0,1］中至少有一个根时，求参数y 的取值范围，利用二次函数图象就可求得.解：令sin x =t ,原式化为9t 2-yt +16=0, t ∈（0,1］，（*） 此方程在（0,1］内至少有一个解.首先应有Δ≥0,即y ≥24.由于二次函数f （t ）=9t 2-yt +16的对称轴t =18y＞1,所以有⎪⎩⎪⎨⎧>≤≥∆.0)0(,0)1(,0f f 解得y ≥25.思路4：可从原式中解出sin x ，再利用正弦sin x ∈（0,1］求解.解：原式化为9（sin x ）2-y sin x +16=0,当Δ≥0,即y ≥24时，sin x =1816362⋅-±y y .而y ≥24,0＜sin x ≤1,所以0＜1816362⋅--y y ≤1.解得y ≥25,故y m in =25.2.挖掘试题内涵，培养揭示能力引申1：函数y =ax +xb 的性质（ab ≠0）. （如下表）条件图象与性质项 目⎩⎨⎧>>00b a ⎩⎨⎧><00b a ⎩⎨⎧<<00b a ⎩⎨⎧<>0b a图 象奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数奇函数 极 值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 图象极值点极大值点：（-a b,-2ab ） 极小值点：（ab,2ab ） 无极大值点：（ab,-2ab ） 极小值点：（-ab,2ab ） 无渐近线方程 x =0及y =ax x =0及y =ax x =0及y =axx =0及y =ax 递增区间（-∞,-ab］和［ab,+∞） 无［-ab ,0）和（0,ab ］ （-∞,0）和（0,+∞）递减区间（-a b ,0）和（0，ab ） （-∞,0）和（0,+∞） （-∞,-ab）和（ab,+∞） 无引申2：函数y =x b a x n m sin sin +（a ＞0,b ＞0,m 、n ∈N ,0＜x ＜2π）.（1）若abn ≥m ，当且仅当sin x =1时，有最小值y m in =a1+b .（2）若abn ＜m ,当且仅当sin x =nm mabnf +时，有最小值y m in =（m +n ）nm nn m ma n mb +.证明：（1）y =axm sin +xa n sin 1+xa n sin 1+…+xa n sin 1≥a1（ab +1）1)sin 1(+-ab mabn x，因为abn -m ≥0,而xsin 1≥1, 所以y m in =a 1（ab +1）=a1+b .取等号的充要条件为sin x =1.（2）y =na x m sin +na x m sin +na x m sin +…+na x m sin +x m b n sin +x m b n sin +…+xm bn sin≥（m +n ）n m mn nm n n m m x x a n m b +⋅)(sin )(sin =（m +n ）nm nn m m a n m b +.3.挖掘应用功能，提高解题能力赛题及引申给出了这类问题的一般图象和性质.引导学生应用这些性质解题，尤其是高考和竞赛题，可以培养灵活解题的能力.［例1］（1988年全国高考,文6）解不等式lg （x -x1）＜0.解：原不等式为0＜x -x1＜1,由函数y =x -x1的图象（如图3-19），知不等式解集为（-1,x 1）∪（1,x 2）（x 1,x 2为方程x -x1=1的两个根,即251±）.图3-19［例2］（1986年上海市高中数学竞赛）设a ＞1,a 、θ均为实数，求当θ变化时，函数θθθsin 1)sin 4)(sin (+++=a y 的最小值.解：令1+sin θ=t ∈（0,2］，则y =tt a t )3)(1(+-+=t +ta )1(3-+2+a ,∵a ＞1,∴a -1＞0. 故u =t +ta )1(3-（a ＞1,0＜t ≤2）的图象是位于第一象限的曲线段（如图3-20）.图3-20根据函数的性质，极小值点为（)1(3-a ,)1(32-a ）. 于是当0＜)1(3-a ≤2,即1＜a ≤37时，y m in =)1(32-a +a +2.当)1(3-a ＞2,即a ＞37时，函数y 在（0,2］上是减函数，所以在t =2时，有最小值y m in =2)1(5+a .［例3］（1990年上海市高三数学竞赛题）设抛物线y =x 2+mx +2与两端点为（0,1）,（2,3）的线段有两个相异的交点，则m 的取值范围是__________.略解：联立方程组⎩⎨⎧≤≤+=++=)20(1,22x x y mx x y化为1-mx =x 2-x +2,易知x =0时不成立.所以1-m =x +x1（0＜x ≤2）.方程的解的问题转化为两函数u =1-m ,u =x +x1（0＜x ≤2）有两个相异交点的问题（如图3-21），其充要条件为2＜1-m ≤u（2）=25,即-23≤m ＜-1.图3-21［例4］（1991年上海高考压轴题）在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,BA =c ,∠ACB =θ,现将△ABC 分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴旋转一周，设所得的三个旋转体的体积依次为V 1、V 2、V 3.（1）求T =213V V V +（用a 、b 、c 、θ表示）;（2）若θ为定值，并令cba +=x ,将T 表示为x 的函数，写出这个函数的定义域，并求这个函数的最大值u ;（3）当θ在［3π,π）内变化时，求u 的最大值.略解：（1）在△ABC 中，设BC 、AC 、AB 上的高依次为h 1、h 2、h 3,则h 3=cab θsin , h 1=b sin θ,h 2=a sin θ.而V 1=3πa 2b sin 2θ,V 2=3πb 2a sin 2θ,V 3=31cb a 22sin 2θ,所以T =cb a ab)(+.（2）因为c 2=a 2+b 2-2ab cos θ=（a +b ）2-2ab （1+cos θ），而a +b =cx ,所以ab =)cos 1(2)1(22θ+-c x .故T =)cos 1(21θ+（x -x1）.又因为c2=（a +b ）2-2ab （1+cos θ）≥（a +b ）2-2)(2b a +（1+cos θ）=2)(2b a +（1-cos θ）,所以1＜x 2≤θcos 12-,即1＜x ≤θcos 12-.又因为函数y =x -x1在x ＞0时为增函数,所以当x =θcos 12-时，T max =2sin41 =u .（3）因为3π≤θ＜π,所以21≤sin θ＜1,故u max =21. （原文发表在《数理天地》北京1998年第1期）。

典例在线（1）已知函数e 3,xy a x x =+∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为 A ．(3,0)-B ．(,3)-∞-C ．(3,)-+∞D ．(,0)-∞ （2）设函数e sin cos ()()()04x f x x x x =-≤≤π，则函数()f x 的所有极大值之和为A ．4e πB ．2e e ππ+C ．3e e ππ-D ．3e e ππ+ 【参考答案】（1）A ；（2）D【试题解析】（1）e 3x y a '=+，显然当0a ≠时e 3xy a '=+是单调函数，由题意可得e 30x a +=在(0,)+∞上有解，即e 3x a =-在(0,)+∞上有解， 因为e 1x >，所以30a -<<．故选A ．（2）∵函数e sin cos ()()()04x f x x x x =-≤≤π，∴2e s n )i (x f 'x x =， ∵当2,2()x k k ∈ππ+π时，0()f 'x >，当)2(22x k k ∈π+ππ+π，时，0()f 'x <， ∴()f x 在2,2()k k ππ+π上单调递增，在22()2k k π+ππ+π，上单调递减， 故当2x k =π+π时，函数()f x 取得极大值，且极大值为222()[()(2e sin 2cos 2e [0(1)]e )]k k k f k k k π+ππ+ππ+ππ+π=π+π-π+π=⨯--=，又04x ≤≤π，∴函数()f x 的各极大值之和为3e e ππ+．故选D ．【名师点睛】求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f 'x ；（3）解方程()f 'x ＝0，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验()f 'x 在()f 'x ＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取得极小值．学霸推荐1．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①x =−2是函数()y f x =的极值点；②1x =是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在1x =-处取得极大值；④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增.则正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④ 2．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a =A ．4或−3B ． 4或−11C ．4D ．−3 3．已知函数32()28f x x ax =-+．（1）若()0f x ≥在[1,2]上有解，求实数a 的取值范围；（2）是否存在整数a ，使得函数223()()41238g f ax a x x a x =+-+-在区间(0,2)上存在极小值？若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．1．【答案】D【解析】根据导函数()y f x '=的图象可得，()y f x '=在（﹣∞，﹣2）上小于零，在（﹣2，2），（2，+∞）上大于零，且f ′（﹣2）=0，故函数()f x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，2），（2，+∞）上【名师点睛】本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．导函数的正负代表了原函数的单调性，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念.解本题时，由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．2．【答案】C【解析】∵()322f x x ax bx a =+++，∴()232f x x ax b =++'．由题意得()()213201110f a b f a b a ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩． 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()22363310f x x x x =-+=-≥'，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．【名师点睛】（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．3．【答案】（1）(,10]-∞；（2）存在整数1a =，使得函数()g x 在区间(0,2)上存在极小值．（2）3223()23123g x ax a x x a =+-+，∴22()66126()(2)g'x ax a x a x a x =+-=-+， ①当0a =时，()0g'x ≥，()g x 单调递增，无极值；②当0a >时，若2x a <-或x a >，则()0g'x >；若2a x a -<<，则()0g'x <， ∴当x a =时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴02a <<，此时整数1a =；③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g'x >；若2a x a <<-，则()0g'x <， ∴当2x a =-时，()g x 有极小值．()g x 在(0,2)上有极小值，∴022a <-<，即10a -<<，此时整数a 不存在．综上，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间(0,2)上存在极小值．。