24.2.2切线的判定和性质

A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ． 几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的 ，OA 是 ， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。

几何符号语言表达： ∵ OA 是 ，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的 。

归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证 （应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明 （方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ． （1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径 。

▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有 公共点的直线是圆的切线。

2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（ ）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图 第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 时与⊙O 相切.第4题图 第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ． 求证:AD 是⊙O 的切线．。

24.2.2(4)---切线的性质定理一．【知识要点】1.切线的性质定理：连切点得垂直;2.知切线连切点，过圆心作弦的垂线得矩形.二．【经典例题】1.如图,△ABC内接于圆☉O,CT切☉O于点C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB=_______.2.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M、N 两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是( )A．(2，－4) B．(2，－4.5)C．(2，－5) D．(2，－5.5)3.如图,△ABC为⊙O的内接于三角形,过A作⊙O的切线PA,若∠C=35°,求∠PAB的度数.4.如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°.O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一个交点，连结DF并延长交CB的延长线于点G，则CG＝________.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE 。

（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）求证：△PCF 是等腰三角形；（3）若∠BEC=30°,求证：以BC 、BE 、AC 为边的三角形是直角三角形。

的O 外一点，切O 于点A ，是O 的弦，AB 连接PB ，则PB=______________.7.如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是_________.8.如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 与⊙O 相切于点T ，过A 点作AC ⊥PQ 于C 点，交⊙O 于D 点. (1) 求证:AT 平分∠BAC;(2) 若2,AD TC ==求⊙O 的半径.9.已知AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 切线，BE ⊥CD 于C. (1)如图1，若CD=4，BE=6，求⊙O 的半径; (2)如图2，若CE=2，BE=6，求CD 的长; (3)如图3，若CE=1，CD=2，求BD 的长.10.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD交⊙O 于E ，若10,AB BC ==求AE 的长.11.如图，点O 是△ABC 的边AB 上的一点，以OB 为半径的⊙O 交BC 于D ，过点D 的切线交AC 于E,且DE ⊥AC.（1）求证：AB=AC.（2）若EC=1，AB=10，DC=OB ，求⊙O 的半径。

24.2.2“切线的判定和性质”教学设计赵峰Ⅰ、教材分析切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用，是中考的重要考点之一，除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。

Ⅱ、教学目标（1）知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定和性质定理，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

（2）过程与方法：培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。

（3）情感、态度与价值观：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯。

Ⅲ、教学重点与难点重点：①理解圆的切线的判定和性质；②会运用切线的判定和性质解决简单的数学问题。

难点：利用切线的判定和性质解决几何问题的技巧——辅助线的添加。

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞教学过程：一、回顾与思考（多媒体显示问题）1、直线和圆有哪几种位置关系？判断的标准什么？2、三种位置关系填表.3、什么叫圆的切线？观察表格，怎样判断一条直线是不是圆的切线？通过以上检复，我们发现可以用切线的定义来判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。

反过来，如果一条直线是圆的切线，又能产生哪些作用和效果呢？为此，我们有必要学习切线的判定和性质定理。

（板书课题）：切线的判定和性质二、探索和发现1、上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”这一定义。

下面请同学们按我口述的步骤作图（两名同学板演）。

画出⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作⊙O的切线l（完成后让学生回顾作图过程，并多媒体展示画图过程，观察切线是如何画出来的，它满足哪些条件？）。