2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案：第二章 2.1合情推理与演绎推理 Word版含解析

2.1合情推理与演绎推理（教学设计）（3）§2.1.2演绎推理教学目标：知识与技能目标：了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。

过程与方法目标：能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。

培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳，挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力。

情感、态度与价值观目标：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质。

教学重点：正确地运用演绎推理，进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学过程：一、复习回顾：1、合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想二、创设情境，新课引入：情景创设1：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。

由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。

但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？情景创设2：完成下列填空并观察下列推理有什么特点？1.马有四条腿,因为白马是马, 所以2.学生要遵守校规校纪,因为小刚是学生,所以tan是三角函数，所以3.三角函数都是周期函数, 因为4.鱼类、贝类，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里，因为喜马拉雅山上发现它们的化石,所以三、师生互动，新课讲解：1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．2、演绎推理的特点：是由一般到特殊的推理；3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．4、三段论的基本格式M—P（M是P）（大前提）S—M（S是M）（小前提）S—P（S是P）（结论）5、三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P. 练习1：请分别说出下列三段论的大小前提和结论？（1）所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电←――结论（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，←————大前提天王星是太阳系的大行星，←――小前提因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行←―――结论（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，←——大前提所以一个标准大气压下把水加热到100°C, ←――小前提水会沸腾←――结论例1.用三段论的形式写出下列演绎推理1.三角形内角和180°，等边三角形内角和是180°2.所有的循环小数都是有理数，233.0是有理数小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。

高中数学人教版选修1-2全套教案第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标1、知识与技能目标 认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程； （2）能正确理解回归方程的预报结果. 3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k g② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学目标：1知识与技能：会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析） 2过程与方法：通过学习会求上述的相关指数3情感态度价值观：从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。

第1课时合情推理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P22～P29的内容，回答下列问题．(1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出现反例．于是提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．(2)观察教材P24～P25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？提示：这几个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．2．归纳总结，核心必记(1)归纳推理①归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．②类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理①含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．②合情推理的过程：从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想[问题思考](1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)23<2＋13＋1，23<2＋23＋2，23<2＋33＋3，… 由此猜想：23<2＋m3＋m (m 为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？提示：归纳推理．(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？提示：类比推理．[课前反思](1)归纳推理的定义和特征各是什么？(2)类比推理的定义和特征各是什么？(3)归纳推理和类比推理有什么不同？角度一：数(式)中的归纳推理讲一讲1．(1)观察下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(链接教材P 23－例2)若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的表达式．[尝试解答] (1)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数 1→1， 1,2→3， 1,2,3→6， 1,2,3,4→10，由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般性结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.(2)∵a n ＝1(n ＋1)2，∴a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116.∴f (1)＝1－a 1＝34，f (2)＝⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19＝46， f (3)＝34×89×1516＝58.∴推测f (n )＝n ＋22n ＋2.[答案] (1)13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．(2)数列中的归纳推理的方法：①通过所给的条件求得数列中的前几项；②观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明． 练一练1．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为 ___________________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2角度二：图形中的归纳推理 讲一讲2．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[尝试解答](1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．练一练2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：选C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.讲一讲3．三角形与四面体有下列共同的性质：(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：[尝试解答]三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质．③实数满足的运算律与向量满足的运算律．④等差数列与等比数列的定义及性质．⑤圆锥曲线的定义及性质．练一练3．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别为△P AB，△PBC，△P AC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面P AB，侧面PBC，侧面P AC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)数(式)中的归纳推理，见讲1；(2)图形中的归纳推理，见讲2；(3)类比推理的应用，见讲3.课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1数(式)中的归纳推理1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是() A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2 014到2 016的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓解析：选B观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.3．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.4．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n题组2图形中的归纳推理5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：选A由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：选A∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．猜想：在圆内画n (n ≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？解：设圆内两两相交的n 条线段，彼此最多分割成的线段为f (n )条，将圆最多分割为g (n )部分．f (1)＝1＝12，g (1)＝2； f (2)＝4＝22， g (2)＝4＝2＋2； f (3)＝9＝32， g (3)＝7＝2＋2＋3； f (4)＝16＝42，g (4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f (n )＝n 2，g (n )＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋(1＋n )n 2＝n 2＋n ＋22.即圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割为n 2条线段，将圆最多分割为n 2＋n ＋22部分．题组3 类比推理8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC BC ，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC 类比成V A -CDEV B -CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故ACBC 类比成S △ACD S △BDC. 故有V A -CDE V B -CDE ＝S △ACD S △BDC .答案：V A -CDEV B -CDE＝S △ACD S △BDC10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1， 证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.[能力提升综合练]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07 D ．49解析：选A 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 016＝4×504，所以72 016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4) D ．(1)，(4)解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 85．将正整数排成下表： 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 016出现在第________行，第________列．解析：第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 016＜2 025， ∴2 016在第45行． 又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字， ∴2 016在第89－9＝80列． 答案：45 806．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上， 所以m 2a 2－n 2b2＝1，得n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a 2x 2－b 2，则y 2－n 2＝b 2a2(x 2－m 2)． 所以k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1) (n ＋2)，n ∈N *. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．第2课时 演 绎 推 理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 30～P 33的内容，回答下列问题．阅读教材中的5个推理(如下所示)，并回答问题：①所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；②太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；③一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；④三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tanα是周期函数；⑤两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.(1)以上五个推理有什么共同特点？提示：都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？提示：第一段称为“大前提”，第二段称为“小前提”，第三段称为“结论”．2．归纳总结，核心必记(1)演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[问题思考](1)“三段论”就是演绎推理吗？提示：不是．三段论是演绎推理的一般模式．(2)演绎推理的结论一定正确吗？提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．[课前反思](1)演绎推理的定义是什么？；(2)“三段论”的内容是什么？；(3)演绎推理与合情推理有什么区别？..[思考]如何将演绎推理写成三段论的形式？名师指津：三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．讲一讲1．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切偶数都能被2整除，256是偶数，所以256能被2整除；(3)函数y＝x＋5的图象是一条直线．[尝试解答](1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切偶数都能被2整除，大前提256是偶数，小前提256能被2整除．结论(3)因为一次函数的图象是一条直线，大前提y＝x＋5是一次函数，小前提所以y＝x＋5的图象是一条直线．结论将演绎推理写成三段论的方法(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．练一练1．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有a n＝pn＋q(p，q是常数)的形式，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论(2)所有导体通电时发热，大前提铁是导体，小前提铁通电时发热．结论(3)一次函数都是单调函数，大前提函数y＝2x－1是一次函数，小前提y＝2x－1是单调函数．结论(4)等差数列的通项公式具有a n＝pn＋q的形式，大前提数列1,2,3，…，n是等差数列，小前提数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．结论讲一讲2．(链接教材P31—例6)如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[尝试解答]因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论(1)用“三段论”证明命题的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．练一练2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论讲一讲3．(链接教材P 32—例7)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．[尝试解答] 对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在该区间上是增函数．大前提设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－x 2x 1＋x 2＋，∵a ＞1，且x 1＜x 2， ∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0. 又∵x 1＞－1，x 2＞－1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．小前提∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)． ②定理引入和应用错误(大前提错)． ③推理过程错误等． 练一练3．已知等差数列{a n }的各项均为正数且lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n ＝1,2,3，…)．求证：数列{b n }为等比数列．证明：因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4， 即a 22＝a 1a 4.设等差数列{a n }的公差为d ， 则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 1d ＝d 2， 从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，数列{a n }为常数列，故数列{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数、公比为1的等比数列． ②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ， 所以b n ＝1a 2n ＝12n d.所以当n ≥2时，b nb n －1＝12n d 12n －1d＝12.所以数列{b n }是以12d 为首项、12为公比的等比数列．综上，数列{b n }为等比数列．———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————1．本节课的重点是三段论，难点是用三段论证明有关问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)用三段论表示演绎推理，见讲1；(2)用三段论证明几何、代数问题，见讲2和讲3.3．在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题．在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等，这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活应用，并能进行恰当的等价转化．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1 用三段论表示演绎推理1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理答案：A2．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形答案：B3．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *) C ．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选A A 是演绎推理，B 是归纳推理，C ，D 是类比推理.题组2 用三段论证明几何问题4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A“直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝2 3.∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．证明：如图，连接BO，CO，DO.∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，又AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心．题组3用三段论证明代数问题7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的解析：选A这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f (x )为减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最大值为f (－3)，最小值为f (3)．因为f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6，所以函数f (x )在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.[能力提升综合练]1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．2．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故该奇数(S )是3的倍数(P )．”上述推理是( )A ．小前提错误B ．结论错误C ．正确的D ．大前提错误答案：CA ．直角梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形4．设⊕是R 内的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集解析：选C A 错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、。

归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．[典例1](1)观察下列不等式1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________．(2)如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：(1)第n (n ＝1,2,3)个不等式的左边为前n ＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n ＋1，分子为2n ＋1，故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.(2)设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋(n －1)[6＋(6n －6)]2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．答案：(1)1＋122＋132＋142＋152＋162<116(2)3n 2－3n ＋1 [对点训练]1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．解析：设第n 个图形中小正方形的个数为S n ，观察图形，当n ＝1时，S 1＝2＋1； 当n ＝2时，S 2＝3＋2＋1； 当n ＝3时，S 3＝4＋3＋2＋1； 当n ＝4时，S 4＝5＋4＋3＋2＋1； 当n ＝5时，S 5＝6＋5＋4＋3＋2＋1； …，可得S n ＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1 ＝[1＋(n ＋1)]·(n ＋1)2＝n 2＋3n ＋22.答案：n 2＋3n ＋22类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等． [典例2] 在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D .则1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，类比以上结论写出四面体ABCD 中，类似的命题，并给出证明．解：猜想：在四面体A -BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两垂直，且AE ⊥平面BCD ，E 为垂足， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 故猜想正确． [对点训练]2．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面3．如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 运用类比猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．解：如图，设O 为四面体V -BCD 内任意一点，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O -BCDV V -BCD＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O -VCD V B -VCD ＝OB ′BB ′，V O -VBD V C -VBD ＝OC ′CC ′，V O -VBCV D -VBC ＝OD ′DD ′，所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O -BCD V V -BCD ＋V O -VCD V B -VCD ＋V O -VBD V C -VBD ＋V O -VBCV D -VBC＝1.综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．[典例3] 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明：法一：(分析法) 要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵1－cos α＞0，∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立，∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二：(综合法)∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号，∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴4sin αcos α≤sin α1－cos α，∴2sin 2α≤sin α1－cos α .[对点训练]4．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1＞0得a x ＞1.①当a ＞1时，x ＞0，函数图象在y 轴右侧； ②当0＜a ＜1时，x ＜0，函数图象在y 轴左侧． 故综上所述，函数总在y 轴一侧． (2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，又由x 1＜x 2，故只需证y 2－y 1＞0即可．因为y 2－y 1＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log a ax 2－1ax 1－1.①当a ＞1时，由0＜x 1＜x 2得a 0＜ax 1＜ax 2， 即0＜ax 1－1＜ax 2－1，故有ax 2－1ax 1－1＞1，log a ax 2－1ax 1－1＞0，即y 2－y 1＞0.②当0＜a ＜1时，由x 1＜x 2＜0得ax 1＞ax 2＞a 0， 即ax 1－1＞ax 2－1＞0，故有0＜ax 2－1ax 1－1＜1，∴y 2－y 1＝log a ax 2－1ax 1－1＞0，即y 2－y 1＞0.综上，直线AB 的斜率总大于零.(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题． [典例4] 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎨⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二：交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0.整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上． [对点训练]5．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由已知a ＋b ＝c ＋d ＝1，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd . 又ac ＋bd ＞1，而a ，b ，c ，d 都是非负数， 所以ad ≥0，bc ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＞1，矛盾． 所以假设不成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值 f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：选B由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n－1)＋n＝10n－9.3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○解析：选A由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．199解析：选C记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47;f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.6．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定解析：选B 要比较a 与b 的大小，由于c >1， 所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c ＝c ＋1＋c ，1b＝1c －c －1＝c ＋c －1，显然1a >1b，从而必有a <b .7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.8．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1367B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112 解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.故选D.9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( )A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1) 解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确． 又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C. 10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33； ∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 016等于( ) A.12B ．－1C ．2D ．3 解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n， ∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2， a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1， a 6＝1－1a 5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)，∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332. 因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332. 答案：33216．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n .答案：n 2＋n三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a＜ 3. 证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0，所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立，故原不等式成立．18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾．∴假设不成立，原命题成立．∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列． (1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．解：(1)b a ＜c b. 证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥21ac， ∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．21．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝an2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列．证明：(1)因为S n ＋1＝4a n ＋2，所以S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因为b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，所以b n ＋1＝2b n ，由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1，得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3.故b n ＝3·2n －1.因为c n ＝a n 2n (n ＝1,2，…)， 所以c n ＋1－c n＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n 2n ＋1， 将b n ＝3·2n －1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)． 由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列． 22．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1；32－22＝2×2＋1；42－32＝2×3＋1；…(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1，…(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n＋1)3－1－n－3×n(n＋1)2＝n(n＋1)(2n＋1)6.。

《合情推理》教学设计●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。

为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。

数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a =b ⇒a 2=b 2;等等。

(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。

等差数列 等比数列a n -a n -1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=-a n =a 1+(n -1)d a n =a 1⋅q n -1a n =211+-+n n a a (n ≥2,n ∈N) a n 2=11-+⋅n n a a (n ≥2,n ∈N) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f -设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。

第2课时分析法及其应用1．了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2．理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P38～P39“例4”以上内容，完成下列问题．1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．()【解析】(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]已知a>b>0，求证：8a<2－ab<8b.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．【自主解答】要证(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b，只需证(a－b)28a<(a－b)22<(a－b)28b.∵a>b>0，∴同时除以(a－b)22，得(a＋b)24a<1<(a＋b)24b，同时开方，得a＋b2a<1<a＋b2b，只需证a＋b<2a，且a＋b>2b，即证b<a，即证b<a.∵a>b>0，∴原不等式成立，即(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．[再练一题]1．已知a＞0，b＞0，求证ab＋ba≥a＋b.【证明】要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)，只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，只需证(a－b)2≥0，(a－b)2≥0显然成立，故原不等式成立．x＝－p2相切．【精彩点拨】【自主解答】如右图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝12|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需证|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－p2相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．[再练一题] 2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【证明】 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12. ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．[探究共研型]探究1【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．【自主解答】由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by .消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c 2b ， 且a >0，b >0，c >0.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a ≥b ＋c . 由于2a ＝b 2c ＋c 2b ， 故只需证b 2c ＋c 2b ≥b ＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2＋c 2－bc )≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.[再练一题]3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c.【导学号：81092022】【证明】要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2ac cos B，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c成立．1．要证明2＋7>23，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】 B2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．a≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【解析】∵a＋b＝2≥2ab，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】 C3.3a－3b<3a－b成立的充要条件是()A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b C．ab<0且a<b D．ab(b－a)<0【解析】3a－3b<3a－b⇔(3a－3b)3<(3a－b)3⇔a－b－33a2b＋33ab2<a－b⇔3ab2<3a2b⇔ab2<a2b⇔ab(b－a)<0.【答案】 D4．设n∈N，a＝n＋4－n＋3，b＝n＋2－n＋1，则a，b的大小关系是________．【解析】要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小，即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1)＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号，∵(n＋4＋n＋1)2－(n＋3＋n＋2)2＝2[(n＋4)(n＋1)－(n＋3)(n＋2)]＝2(n2＋5n＋4－n2＋5n＋6)＜0，∴n＋4－n＋3＜n＋2－n＋1.【答案】a＜b5．已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).【证明】(分析法)①当ac＋bd≤0时，显然成立．②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.即证2abcd≤b2c2＋a2d2.即证0≤(bc－ad)2.因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是()A．ab>0 B．b>aC．a<b<0 D．ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0.∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件．【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】 A3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0， ∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 【解析】 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2 ⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. 【答案】 C二、填空题6．设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝(a＋b)2－4ab2ab(a＋b)＝(a－b)22ab(a＋b)≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________. 【导学号：81092024】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b 应满足a>b>0.【答案】a>b>08．如图2-2-4，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图2-2-4【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43 S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则()A.ab<a＋cb＋d<cd B.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD．以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵ab<c d，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足ab<a＋cb＋d<cd.∴B，C不正确．要证ab<a＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证ab<cd.而ab<cd成立，∴ab<a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d<cd.故A正确，D不正确．【答案】 A2．下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>2 6【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3 <a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a(a－3)<2a－3＋2(a－2)(a－1)，即a(a－3)<(a－2)(a－1)，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10 <26，故D错误．【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p成立的正整数p的最大值是________.【导学号：81092025】【解析】由3＋22>1＋p，得p<3＋22－1，即p<(3＋22－1)2，所以p<12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】124．证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.【证明】∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.要证b2－aca＜3，只需证b2－ac＜3a，即证b2－ac＜3a2.因为b＝－a－c，故只需证(a＋c)2－ac＜3a2，即证2a2－ac－c2＞0，即证(2a＋c)(a－c)＞0.∵2a＋c＞a＋b＋c＝0，a－c＞0，∴(2a＋c)(a－c)＞0成立．∴原不等式成立．。