平面向量

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量的所有公式平面向量是数学中一种常见的概念，用于表示平面上的有向线段。

在几何学、物理学以及工程学中都有广泛的应用。

以下是一些与平面向量相关的重要公式：1.向量定义：平面上的向量可以由两个坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，如AB→。

向量的起点和终点分别是A和B，表示从A指向B的有向线段。

2.向量的平移：平面向量可以进行平移。

设有向线段AB→，向量CD→是向量AB→平移后的结果，则CD→=AB→。

平移后向量的大小和方向保持不变。

3.向量的负向量：向量AB→的负向量是-AB→，即大小相等但方向相反的向量。

如果向量AB→的坐标表示为(a,b)，则-AB→的坐标表示为(-a,-b)。

4.共线向量：如果两个向量的大小和方向相同或相反，则这两个向量是共线的。

即对于向量AB→和CD→，如果存在实数k，使得AB→=kCD→，则两个向量共线。

5.向量的加法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的和为AB→+CD→=(a+c,b+d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。

6.向量的减法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的差为AB→-CD→=(a-c,b-d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。

7. 数量乘法：给定一个向量AB→和一个实数k，则k乘以向量AB→为kAB→ = (ka, kb)，其中a、b为向量AB→的坐标。

8.向量的数量积（点积）：给定向量AB→和CD→，它们的数量积为AB→·CD→=a*c+b*d，其中a、b、c、d为相应向量的坐标。

数量积的结果是一个实数。

9. 向量的夹角：给定两个非零向量AB→和CD→，它们的夹角为θ，则夹角的余弦值可以通过数量积计算：cos(θ) = (AB→ · CD→) / (，AB→，，CD→，)，其中，AB→，和，CD→，分别为向量AB→和CD→的长度。

10.向量的叉积（向量积）：给定向量AB→和CD→，它们的叉积为AB→×CD→=(b*d-a*c)k，其中a、b、c、d为相应向量的坐标，k为单位向量。

平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。

在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。

1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。

数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。

点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。

5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。

平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。

向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。

模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。

模为1的向量叫做单位向量。

2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。

例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。

字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。

3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

若a=b，则a=b且a与b方向相同。

例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定零向量与任意向量平行。

若a与b是平行向量，则记作ab。

例如，在梯形ABCD中，ADBC。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。

例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。

平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。

运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。

三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。

平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。

2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。

3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。

三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。

2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。

3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。

5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。

四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。

2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。

五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。

2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。

六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。

2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。

通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。

什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。

平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。

一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。

实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。

二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。

以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。

三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。

即向量的加法满足“三角形法则”。

2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。

即向量的数乘改变了向量的方向或长度。

3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。

即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。

四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。

2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。

4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。

5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。

五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。

在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。

总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。

它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。

平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。

平面向量与空间向量在数学中，向量是一种有大小和方向的量，常用于描述物理力、速度、位移等等。

根据向量所处的维度，向量可以分为平面向量和空间向量两种类型。

本文将探讨平面向量和空间向量的特点和应用。

一、平面向量平面向量是指位于同一个平面内的向量。

平面向量通常用箭头在笛卡尔坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量可以用坐标形式表示为：<x, y>，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量具有以下特点：1. 平面向量可以进行加法和乘法运算。

向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量乘法包括数量乘法和点乘法。

数量乘法是指用一个标量乘以一个向量的每个分量，得到一个新的向量。

点乘法是指将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加，得到一个标量。

2. 平面向量可以用几何方法进行表示。

向量的起点可以任意选择，终点与起点之间的位移即为向量的大小和方向。

3. 平面向量之间可以进行运算性质的证明和推导。

例如，向量加法满足交换律和结合律，向量乘法满足分配律等等。

平面向量在几何、物理等学科中有广泛的应用。

例如，在几何中，平面向量可以用于研究线段的长度和方向。

在物理学中，平面向量可以用于描述力、速度等物理量的大小和方向。

此外，在计算机图形学等领域，平面向量也被广泛应用于三维模型的表示与计算。

二、空间向量空间向量是指位于三维空间中的向量。

与平面向量类似，空间向量也可以用箭头在三维坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量可以用坐标形式表示为：<x, y, z>，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

空间向量具有以下特点：1. 空间向量可以进行加法和乘法运算，运算规则与平面向量相似。

向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量乘法包括数量乘法和点乘法，运算规则与平面向量一致。

2. 空间向量可以用几何方法进行表示。

1．向量的有关概念2．向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 1．与向量a 共线的单位向量为±a |a |.2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．3．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任一点，则OA→＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1.4．若AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．5．P 为线段AB 的中点⇔OP →＝12(OA →＋OB →)． 6．G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)(O 是平面内任意一点)．7．P 为△ABC 的外心⇔|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.8．||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.9．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底❶. 2．平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘 已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)3.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B.1C ．2D ．32．给出下列命题：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D ．14AB ―→＋34AC ―→(2)在四边形ABCD 中，BC ―→＝AD ―→，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A ．AF ―→＝13AC ―→＋23BD ―→ B.AF ―→＝23AC ―→＋13BD ―→C ．AF ―→＝14AC ―→＋23BD ―→ D ．AF ―→＝23AC ―→＋14BD ―→3.已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→ B.－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→D ．－13OA ―→＋23OB ―→4．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B.－13a －23b C ．－13a ＋23b D ．13a －23b5.P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C ．4D ．86.△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝( )A.12 B.－12C ．2D ．－27. (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |8若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝ .9若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为 .10.在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( )A.2B.－2C.1D.－110.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足x P A →＋y PB →＋z PC →＝0则x y z s s s BPCAPC APB ::::=∆∆∆22.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，已知△ABC 的面积为6，则△P AC的面积为( )A.92 B ．4C ．3 D.12523.已知P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，记△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于 ( )A ．1∶2∶3 B ．1∶4∶9 C ．6∶1∶2 D ．3∶1∶2。

初中数学平面向量一、引言数学中的向量是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。

在初中数学中，学习平面向量是数学教学的一个重要内容。

平面向量在几何图形的运动、力的合成以及解析几何中都有广泛的应用。

本文将介绍初中数学中平面向量的定义、性质、运算及应用。

二、平面向量的定义平面向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头形式。

假设有向量AB，其中A和B为向量的起点和终点，用→ AB表示。

平面向量可由坐标表示或单位向量表示，坐标表示为(AB) = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。

单位向量表示为ā，即平面上的一个长度为1的向量。

三、平面向量的性质1. 平行性质：若两个向量的方向相同或相反，则它们平行；若两个向量的方向垂直，则称它们垂直。

2. 大小性质：向量的大小由向量的模表示，模记作|AB|。

向量的大小与其坐标的绝对值相关。

3. 零向量：零向量记作o，表示起点和终点相同的向量。

4. 逆向量：若向量AB的模为a，则向量BA的模为a，称其为向量AB的逆向量。

5. 直角三角形法则：若有两个向量AB和AC，则向量AB与向量AC的合向量为向量AD，其中D为以AC为一边，高为AB的直角三角形的顶点。

四、平面向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即，若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量CD+向量AB。

2. 向量的减法：若有向量AB和向量CD，则向量AB-向量CD = 向量AB+向量DC。

3. 数乘：数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

若有向量AB和实数k，则k倍的向量AB表示为kAB。

4. 向量的共线与共点：向量AB与向量CD共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB = k向量CD。

向量AB与向量CD共点的充分必要条件是向量AB-向量CD为零向量。

5. 平移向量：平移向量是指一个向量加上同一个平移向量后仍保持平行关系。

若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量AD，其中AD代表向量AB平移向量CD得到的新向量。