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第七章 5空间曲线及其方程

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7-7空间曲线及其方程

7-7空间曲线及其方程

y
.
x
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2、球坐标系
设 M(x, y,z) 为空间内一点，则点M 可用
一个三元有序数组( r,,) 来确定，其中r 为原 点O 与点M 间的距离， 为从正z 轴来看自x
轴按逆时针方向转到向有线段 ON 的角，这里
N 为点M 在 xoy面上的投影， 为有向线段
z
y y
N
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柱面坐标的坐标面
动点M(ρ, , z)
ρ =常数： 柱面S
z =常数：平面
S
z
zρ
M
0 y
x
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柱面坐标的坐标面
动点M(r, , z)
ρ =常数： 柱面S
z =常数：平面 =常数: 半平面P

S
z
zρ
M
P
0

y 0
| x| 3; 2
（3）同理在 yoz面上的投影也为线段.
z

1 2,
x 0
| y| 3. 2
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例5 求抛物面 y2 z2 x与平面 x 2 y z 0的截线
在三个坐标面上的投影曲线方程.
解
截线方程为
y2z2 x
zz(t)
0t 2
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例：
x 1 求直线: y t
z 2t
绕 z 轴旋转，所得旋转曲面的方程为：
x 1 t2 cos

y

1 t2 sin
z 2t
消去参数得旋转曲面的直角坐标方程为：

大学课件高等数学空间曲线及其方程

大学课件高等数学空间曲线及其方程
(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x

上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程

空间曲线及其方程

空间曲线及其方程

§7.6 空间曲线及其方程
一空间曲线的一般方程
(1)
面上。

所以，它的坐标不满足方程组(1)。

由上述两点可知：
由方程组
方程组(1)称作空间曲线的一般方程。

二空间曲线的参数方程
(2)
(2)叫做空间曲线参数方程。

【例1
)，
螺旋线，试建立其参数方程。

以
螺旋线有一个重要性质：
螺距。

空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。

【例2表示成参数方程。

(1)
(2)
则曲线又可表示成为
一般来说：
1、空间曲线总可以用参数形式给出它的方程；
2、随着参数选取的不同，方程的形式会发生变化。

三空间曲线在坐标面上的投影
(1)
(2)
因(2)(1)
(2)
点都在由(2)表示的曲面上。

同理，消去方程组( 1) 中的变量
或
有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，因此，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域。

投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定。

【例4】求上半球面
解：上半球面与锥面的交线为。

高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程

高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程

0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50

高等数学 -空间曲线及其方程

高等数学 -空间曲线及其方程
高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

空间曲线方程

空间曲线方程
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程

空间曲面曲线方程

我们可以用上述平面截痕法画出单叶双曲面：
双叶双曲面 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
x2 a2
y2 b2
的图形（如图） 的图形（如图） 的图形（如图）
（返回）
三、空间曲线及其在坐标上的投影 1. 空间曲线其方程： 任何一条空间曲线都可以 成是两个曲面的交线 。 设
垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程
解：M1M2 1,0, 2，设所求平面的法向量为 n
因 M1M2 在所求平面上，故 n M1M2
面垂直于平面 X+Y+Z=0， 所以
，又所求平
i jk
n 1,1,11,0, 2 1 1 1 2,1,1
1 0 2
所求平面方程为
2(x 1) ( y 1) (z 1) 0, 即 2x y z 0
z
F(x,y,z)=0
y 0 x
例1） 求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹 解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 M1M M2M 将其写为坐标形式有
(x 2)2 ( y 1)2 z2 (x 1)2 ( y 3)2 (z 6)2
两边平方并整理得
解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为：
x2 a2
y2 z2 b2
1
绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面
x2 z2 y2 1
a2
b2
例5．求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面 方程
解：在z=ky中，把 y 换成 x2 y2 得到所求方程为
z k x2 y2 即 z2 k2(x2 y2)

空间曲线及其方程


n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1

空间曲线及其方程


平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i

空间曲线及其方程28372PPT学习教案


四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y) 0 R( y, z) 0 T ( x, z) 0
z
0
x
0
y
0
第17页/共20页
思考题
求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 x2 z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
2
4
交线如图.
表示怎样的曲线
第3页/共20页
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t )
意义：动点的轨迹
第4页/共20页
空间曲线——圆柱螺线
路边竖着一个圆柱形的大水泥管。有一只苍蝇停 在上面。在苍蝇左下方爬着一只壁虎。壁虎一动也 不动，两只眼睛盯住上面的苍蝇。为了不让苍蝇逃 走，只见壁虎以最短的时间、最快的速度跑了过去， 一口就把苍蝇咬住了。
第18页/共20页
思考题解答
2 y2 x2 z
交线方程为
2
x2
z
,
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在xoy 面上的投影
x2 y2 1
.
为
z 0
第19页/共20页
y

第12页/共20页
x2 y2 z2 1
例1 影.
求曲线
z
1 2
解 消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在xoy 面上的投影
为
x2
y2
3 4,
z 0
在xoy坐标面上的投
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2 2
思考题解答
2 y 2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
2 2 消去 z 得投影柱面 x y 1,
x2 y2 1 在 xoy面上的投影为 . z 0
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 v 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 z v 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
2 2 2
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
z 4 x2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ),
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
2,
上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z oy 面上的投影为
x 2 y 2 1.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
2 2
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x2 y2 1 2 x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2 例2 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ 2 ( x ) y 2 4
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 2 5 y 2 4 xy x 0 , （1）消去z 得投影 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去 y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去 x 得投影 x 0
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.
z
S1
S2
o
x
C
y
x y 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
思考题
求椭圆抛物面2 y x z 与抛物柱面 2 2 x z 的交线关于 xoy 面的投影柱面和 在 xoy 面上的投影曲线方程.
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
t
o
x A
M

x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
螺旋线的重要性质：
x a cos y a sin v z b ( t , b )
上升的高度与转过的角度成正比． 即 z : b 0 b 0 b , : 0 0 ,