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1.1.3导数的几何意义第三课时

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1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT

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(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．

导数的几何意义课件

导数的几何意义课件
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2

1.1.3导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义

时, 割线 PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
P4 P
T
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f (x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那
x0 的几何意义是什么呢 ?
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn
y f x
y
y f x
P1
P2
T P
O
T
n 1, 2, 3, 4
沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
x
O
x
1
y
y f x
2
y
y f x
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C

1.1.3导数的几何意义 课件3

1.1.3导数的几何意义 课件3
y
P M o Q
x
Q
割线与切线的斜率有何关系呢？
y f ( x x ) f ( x ) k PQ ＝ x x y=f(x)
y Q(x1,y1)
△y
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
f ( x0 x) f ( x0 ) y 所以：k＝lim lim x x 0 x x 0
o
h
L1
t0
t1
t2 t
L2
切线L1的倾斜程度小于切线L 2的倾斜程度， 这说明曲线在t 1附近比在t 2附近下降的 缓慢
例题应用
根据图像，请描述、比 较曲线ht 在t 3、t 4附近的变化情况。
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位： m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
附近的曲线f x 。因此，在点P附近， 近似代替。这是微积分 中的重要思
x
想方法－－以直代曲！
新授课例题
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位： m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 根据图像，请描述、比 较曲线ht 在t 0、t 1、t 2附近的变化情况。 解：我们用曲线在三点处的切线来刻画 曲线在上述三个时刻附近的变化情况。 h 1当t＝t 0时 切线l 0平行于x轴，所以在 t 0附近曲线
函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0，所以在两 点附近曲线上升，即函 数在两点附近单调递增。
h
o
t 3t 4
t

最新 (人教A版)数学【选修2-2】1-1-3《导数的几何意义》ppt课件

最新 (人教A版)数学【选修2-2】1-1-3《导数的几何意义》ppt课件
Δx→0
lim
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么 称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构 成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的 ________，记为________，简称为________．今后，如不特别 指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． Δy ∵y′＝ lim Δx Δx→0 x＋Δx3－x3 ＝ lim Δx Δx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 ＝ lim Δx Δx→0 ＝ lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
Δx→0
∴y′|x＝1＝3. ∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.
x2 0－6 ∴ ＝2x0，即x2 0－5x0＋6＝0，解得 5 x0－ 2 x0＝2，或x0＝3. 即切线经过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
故切线方程分别为 y－4＝4(来自－2)，y－9＝6(x－3)， 即4x－y－4＝0，或6x－y－9＝0为所求的切线方程．
规律技巧
求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处
规律技巧 已知切线的斜率求切点坐标的方法步骤： (1)设出切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程得x0； (5)点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将点(x0，y0)代入求y0，从 而得切点坐标.
四
的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点 的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然 后求解.

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用

新人教版选修2-2第1.1.3节导数的几何意义课件

x0
lim
1 1 1 x 1 2
1 y ' x1 2
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
练习2：求函数y x在x 1处的导数。
解：y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
这个概念:(1)①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
y
y=f(x)
Q
割 线
T P
切 线
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.

导数的概念及其几何意义

则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
O P
β
y=f(x) Q
Δy M x
Δx
斜 率!
16
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P

x
o
17
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s). 当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接 s 近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
课前测练
5.已知物体运动的速度与时间的关系式v(t ) = t 2 + 2t + 2
4 Δt 则(1)在时间间隔[1,1 + Δt ] 内的平均加速度为_______;
1 x0 y . 1 x 0
例1：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2)
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
1.1.3导数的概念
回顾复习
1.平均速度近似反映了物体运动时的快慢程度,但要精 确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运 动的快慢程度,要通过瞬时速度来反映. 设物体作直线运动的运动方程为s=s(t). 以 t0 为起 始时刻，物体在t时间内的平均速度为

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义


例1 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)
作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在
点P的切线的斜率．
栏 目 链 接
Δy 分析：割线 PQ 的斜率是 ，曲线在点 P 的切线的斜 Δx Δy 率为 tan α＝Δ lim . x→0 Δx
解析： ∵Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ (1 ＋ Δx)3 － 1 ＝ 3Δx ＋ 3(Δx)2＋(Δx)3， ∴割线 PQ 的斜率 Δy Δx ＋3Δx ＋3Δx ＝ ＝(Δx)2＋3Δx＋3. Δx Δx 当 Δx＝0.1 时，割线 PQ 的斜率为 Δy tan β＝ ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. Δx Δy 曲线在点 P 的切线的斜率为 tan α＝Δ lim ＝3. x→0 Δx
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：曲线 f(x) ＝x2＋ 1 在 x＝2 处的导数 f′(2)＝
4 4 ________ ，在点 P(2,5)处的切线的斜率为__________ ．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是 变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又 有密切关系，f′(x0)是其导数 y＝f′(x)在 x＝x0 处的一个 函数值，求函数在一点处的导数，一般先用公式求出函数 的导数，再计算这一点处的导数值．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2 1．曲线 f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程是________．
2 2 解析：因为点(－2，－1)在曲线 y＝x上，所以曲线 y＝x在点(－2， 2 －1)处的切线斜率就等于 y＝x在 x＝－2 处的导数．所以 k＝f′(－2) 栏 目 2 2 接 － －2＋Δx －2 f－2＋Δx－f－2 1 1 ＝Δ lim ＝ lim ＝ lim ＝－ ， x→ 0 Δx→0 Δx→0 －2＋Δx Δx Δx 2 2 1 所以曲线 y＝x在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－ (x＋2)， 2 整理得 x＋2y＋4＝0. 答案：x＋2y＋4＝0

新湘教版高中数学选择性必修第二册1.1.3导数的几何意义

x
解析：设切点为Q(x0，y0)，
因为
f x0 +d −f x0
d
则f′(x0)＝−
4
4
−
x0 +d x0
＝
d
＝−
4
，所以当d→0时，
20+x0
−
4
20+x0
→－
4
4
4
4
，又f(x
)＝
，所以切线方程为y－
＝−
(x－x0)，
0
02
x0
x0
02
4
4
切线过点(2，0)，所以－ ＝− 2 (2－x0)，解得x0＝1，
4．已知函数f(x)在x0 处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x＝x0 处切线
的倾斜角为________．
答案：
π
4
解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，
π
4
又α∈[0，π)，所以α＝ .
题型探究·课堂解透
题型1 导数的几何意义
例1 函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)
C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
答案：C
)
方法归纳
曲线在某点处切线的斜率就是该点的导数值，此时该点既在曲线上
又在切线上．
巩固训练1
方法归纳
求曲线在某点处的切线方程的一般步骤
巩固训练2 曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝
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1.1.3 导数的几何意义
班级：____________姓名：_____________学号：___________
【学习目标】 1．通过作函数)(x f 图像上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。

2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。

3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。

一、知识要点填空：
1．对于函数)(x f 的曲线上的定点),(00y x P 和动点))(,(n n n x f x P ，直线n PP 称为这条函数曲线上过P 点的一条__________；其斜率n k ＝_________________；当P P n →时，直线n PP 就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过P 点的__________；其斜率k ＝________________=___________________（其中0x x x n -=∆），切线方程为________________________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条。

2．函数的平均变化率的几何意义是___________________________；函数的导数的几何意义是______________________________。

3．当函数)(x f 在0x x =处的导数0)(0/>x f ，函数在0x 附近的图像自左而右是__________的，并且)(0/x f 的值越大，图像上升的就越________；当函数)(x f 在0x x =处的导数0)(0/<x f ，函数在0x 附近的图像自左而右是__________的，并且)(0/x f 的值越小，图像下降的就越________；0)(0/
=x f ，函数在0x 附近几乎______________________。

二、知识点实例探究：
例1． 如图（见课本11p .5），试描述函数)(x f 在1,0,2,4,5---=x 附近的变化情况。

变式 根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状：
（1）1)1(,5)1(/-=-=f f ；（2）15)5(,10)5(/==f f ；（3）0)10(,20)10(/==f f 。

例2．如图（见课本11p .6）已知函数)(x f 的图像，试画出其导函数)(/x f 图像的大致形状。

变式：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。

（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
例3．已知曲线331x y =上的一点)38,2(P ，求（1）点P 处切线的斜率；（2）点P 处的切线方程。

变式：已知曲线33
1x y =
，求与直线084=++y x 垂直，并与该曲线相切的直线方程。

作业：1．曲线2x y =在0=x 处的（ ）
A 切线斜率为1
B 切线方程为x y 2=
C 没有切线
D 切线方程为0=y
2．已知曲线22x y =上的一点A （2，8），则点A 处的切线斜率为（ ）
A 4
B 16
C 8
D 2
3．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/x f 的几何意义是（ ）
A 在点0x x =处的函数值
B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值
C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率
D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率
4．已知曲线3x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（ ）
A －1
B 1
C －2
D 2
5．若3)(0/-=x f ，则h
h x f h x f h )3()(lim 000--+→＝（ ） A －3 B －6 C －9 D －12 6．设)(x f 为可导函数，且满足条件12)1()1(lim 0
-=--→x x f f x ，则曲线)(x f y =在点 （1，1）处的切线的斜率为（ ）
A 2
B －1
C 2
1 D －
2 7． 已知曲线12-=x y 上的两点A （2，3），)3,2(y x B ∆+∆+，当1=∆x 时，割线AB 的斜率是__________，当1.0=∆x 时，割线AB 的斜率是__________，曲线在点A 处的切线方程是________________________。

8．．如果函数)(x f 在0x x =处的切线的倾斜角是钝角，那么函数)(x f 在0x x =附近的变化情况是__________________。

9．在曲线2x y =上过哪一点的切线，（1）平行于直线54-=x y ；
（2）垂直于直线0562=+-y x ；（3）与x 轴成
135的倾斜角；
（4）求过点R （1，－3）与曲线相切的直线。

自 助 餐
1．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为28
1t s =，则2=t 秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为（ ） A 2 B 1 C 21 D 4
1 2． 已知曲线2212-=x y 上一点P )2
3,1(-，则过点P 的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 135 D 165
3．曲线23-+=x x y 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则此切线方程为（ ）
A x y 4=
B 44-=x y
C 84+=x y
D x y 4=或44-=x y
4．已知曲线x y 4=
在点P （1，4）处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为（ ）
A 094=+-y x 或0254=+-y x
B 094=+-y x
C 094=++y x 或0254=-+y x
D 以上都不对
5．曲线x y 1=
与2x y =在他们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为_______。

6．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6
1，则a 的值为___________。

7．已知曲线3
:x y C =。

（1）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与C 是否还有其它的公共点。

8．已知曲线x t y -=1上两点)2
1,1(),1,2(--Q P 。

求：（1）曲线在P 点、Q 点处的切线的斜率；
（2）曲线在P 、Q 点的切线方程。

9．已知点M （0，－1），F （0，1），过点M 的直线l 与曲线443
13+-=x x y 在2=x 处的切线平行。

（1）求直线l 的方程；（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程。

10．判断下列函数在0=x 的切线是否存在，若存在，求出切线方程，否则说明理由。

（1）3x y =；（2）3x y =；（3）||x y =；（4）x y =。

1－4 CBDC 5．
4
3 6．1± 7．（1）023=--y x （2）有 8．（1）在P 、Q 两点的斜率分别为1，41；（2）在P 处的切线方程为03=--y x ；（2）在Q 处的切线方程为034=+-y x 。

9．（1）1-=y ；（2）y x 42=；10（1）0,0==y k ；（2）在0
=x 处不可导，但切线为0=x ；（3）在0=x 处不可导，没有切线；（4）在0=x 处不可导，但切线为0=x 。