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=-4 lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
=-4f'(x0)=-8.
.. 导. 学 固思
求切线方程 已知曲线 y=
1
t -x
上两点 P(2,-1),Q(-1, ).
1 2
(1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
【解析】将 P(2,-1)代入 y= ,得 t=1,∴y=
.. 导. 学 固思
如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点
P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
.. 导. 学 固思
问题1 根据创设的情境,割线 PPn 的变化趋势是
点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线 .
问题4
问题3
曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线 有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 瞬间变化 情况,体现的是数形结合, 以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反, 不止一个 有些切线与曲线的交点 .
.. 导. 学 固思
1
下列说法正确的是( D ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若 f'(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处无 D.若 y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则 f'(x0)不一定
【解析】由 x+2y-3=0 知斜率 k=- ,∴f'(x0)=- <0.
3
设 P0 为曲线 f(x)=x +x-2 上的点,且曲线在 P0 处的切线平行 (1,0)或(-1,-4) 于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 .
【解析】f'(x)= lim = lim
Δ x →0 Δx (x+Δ x)3 +(x+Δ x)-2-(x 3 +x-2) Δx Δ x →0 (3x 2 +1)Δ x+3x(Δ x)2 +(Δ x)3
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
【解析】由已知得: lim 当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
h →0
=2,
lim
f(x 0 -4h)-f(x 0 ) h
= lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
=2.
.. 导. 学 固思
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= lim
3
=3x2+1,
由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,所以 2 f(x)在 P0 处的导数值等于 4,设 P0(x0,y0),有 f'(x0)=3x0 +1=4,解得 x0=±1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).
.. 导. 学 固思
4
函数 y=3x+2 上有一点(x0,y0),求该点处的导数 f'(x0).
=
1 (1-x)2
.
=1,曲线在点 Q 处的
(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0,曲线在点 Q 处的切线方程为 y- = [x-(-1)],即 x-4y+3=0.
Δy h →0 Δ x
= lim
f(x 0 +h)-f(x 0 ) h
h →0
= lim
f(x 0 +ah )-f(x 0 ) ah
h →0
(其中 a 为非零
常数). 于是,正确解答为:
h →0
lim
f(x 0 -4h)-f(x 0 ) h
=-4 lim
f(x 0 -Байду номын сангаасh)-f(x 0 ) -4h
h →0
切线 存在
【解析】当切线平行于 y 轴时,切线斜率不存在,则 f'(x0)不存在.
.. 导. 学 固思
2
如果曲线 y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( B ). A.f'(x0)>0 C.f'(x0)=0 B.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在
1 2 1 2
【解析】f'(x0)= lim = lim
Δ x →0 Δx f(x 0 +Δ x)-f(x 0 ) Δx
Δ x →0 3(x 0 +Δ x)+2-(3x 0 +2)
=3.
.. 导. 学 固思
导数概念的理解 已知
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) f'(x0)=2,求 lim . h h →0
所以求导数的步骤为: (1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
Δ y f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) (2)算比值: = ; Δx Δx Δy (3)求极限:y' x=x = lim . 0 Δ x →0 Δ x
.. 导. 学 固思
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δy x=x0 处的切线的斜率 lim = lim Δx Δ x →0 Δ x Δ x →0 k=f'(x0)= . 相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
第2课时 导数的概念与几何意义
.. 导. 学 固思
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点
的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.
3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数 学思想方法.
t-x 1 1 1-x
.
1
∴ lim
1 1 1-(x +Δ x ) 1-x
Δ x →0
Δx
= lim
Δx
Δ x →0 [1-(x+Δ x)](1-x)Δ x
= lim
(1)曲线在点 P 处的切线斜率为 y'|x=2= 切线斜率为 y'|x=-1= .
4 1
Δ x →0 (1-x-Δ x)(1-x) 1 (1-2)2
问题2 导数的概念与求法:
我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim 为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有 f'(x0)= lim
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx
Δ x →0
称
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δy = lim , Δ x Δ x Δ x →0 Δ x →0
