1.1.2导数的概念及其几何意义_图文.ppt - 副本

解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3×32+2×3= 33.故选D.
10
2.曲线y=x3在原点处的切线( B ) (A)不存在 (B)有1条,其方程为y=0 (C)有1条,其方程为x=0 (D)有2条,其方程为x=0和y=0
11
3.函数 y= 1 在区间[1,2],[2,3],[3,4]的平均变化率分别为 k1,k2,k3,则( A )
13
5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3, 所以f(5)+f′(5)=3-1=2. 答案:2
14
6.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为
.
答案: 1 e
15
2
知识链条完善
网络构建
把散落的知识连起来
一、函数的平均变化率
1.概念:对于函数 y=f(x), f x2 f x1 = y ,叫做函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的
x2 x1
x
平均 变
化率.
2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的 斜率 . 3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2] 上的 平均 速度.
高频考点突破
6
2.与导数几何意义有关的结论 (1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程. (2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线 斜率存在(即f(x)在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线 斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0. (3) 已 知 曲 线 f(x) 的 切 线 斜 率 为 k, 则 切 点 (x0,f(x0)) 的 横 坐 标 x0 就 是 方 程 f′(x0)=k的解. (4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.

(3)ΔS＝S(0.5)－S(0) ＝3×0.5－0.52－0＝1.25， Δt＝0.5－0＝0.5. ∴－v ＝ΔΔSt ＝10.2.55＝2.5. ∴从 t＝0 到 t＝0.5 的平均速度为 2.5.
(4)物体在 t＝0 的平均变化率
ΔΔSt ＝SΔtΔ－t S0＝3×ΔtΔ－t Δt2＝3－Δt.
∴lim
Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
(3－Δt)＝3.
即物体在 t＝0 的瞬时速度为 3.
[规律技巧] 物体在 t＝0 时的瞬时速度也叫做物体的初 速度，当 t＝0 时，初速度 v0 不一定为 0.
【变式训练1】 求函数y＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率，并分别求函数在x0＝1,2,3，附近Δx取
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝ lim Δx→0
Δy Δx.
典例剖析
题型一 平均变化率与瞬时速度 【例1】 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度； (3)求t＝0到t＝0.5的平均速度； (4)求在t＝0时的瞬时速度．
当这段时间很短，即 Δt 很小时，这个平均速度就接近时
刻 t0 的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻 t0 的速度，当 Δt→0
时，这个平均速度的极限
v＝lim Δt→0
ΔΔSt ＝Δlit→m0
St0＋ΔΔtt－St0就
是物体在时刻 t0 的速度即为________．
3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 lim Δx→0
当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为 k2 ＝6×2＋3×0.5＝13.5；

的切线的斜率
点 处 的切 线方 程 .(数学
导函数的概念
抽象、直观想象、数学运
算)
激趣诱思
知识点拨
跳水运发动的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会
、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构
分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成
4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,
不同?
提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求
出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)
的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是
切点.
激趣诱思
知识点拨
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
D.0
)
2

(2)求函数 f(x)=- 的导数.
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
(1)解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
(Δ)2 -3Δ
=
= lim (Δx-3)=-3.
Δ
Δ→0
x→0
答案:C
y
(2)解:f'(x)= lim x
Δ→0
= lim
Δ→0
2·Δ
-x
Δ→0
x→0
(0 +Δ)-(0)
f(x)在 x0 处可导,所以由导数的定义得
=f'(x0),故
Δ
x→0
(0 -Δ)-(0 )
lim
=-f'(x0).

孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
孔子和孟 子作为凡 人的一面
综合性学习 我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
▪ 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
息。
孔子和孟子 作为圣人体现 出的思想光辉
寓学于乐
让我们用游戏的方式体会他们的不平凡
看故事 猜成语 明事理 学做人
孔子在齐国,有机会欣赏到 他认为最美妙的韶乐. 谓其 “尽善矣,又尽美也!”（极动 听优美）而后大受感动,一 连好多天老是想着它,吃肉 也没有味道了.
尽善尽美:
形容做事情力求完美, 毫无缺陷
▪ 孔子为人，有时很豪放，他说他自己是“发愤忘食，乐以忘 忧，不知老之将至”的人；可是有时又很拘谨，循规蹈矩不 敢超越古代的礼仪一步，他走进朝廷的门，那种谨慎的样子，
好像自己没有容身之地一般。
▪ 孔子不懂农业生产， 也鄙视劳动。
▪ 孔子也有被难倒的 时候，并非“万事 通”。

要点二 导数的几何意义
对于曲线 y＝f(x)上的点 P0(x0，f(x0))和 P(x，f(x))，当 点 P0 趋 近于点 P 时，割线 P0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为点 P0 处的___切__线___．割线 P0P 的斜率是__k_＝__f_xx_－－__fx_0x_0___．当 点 P 无限趋近于点 P0 时，k 无限趋近于切线 P0T 的斜率．因此，函 数 f(x) 在 x ＝ x0 处 的 导 数 就 是 切 线 P0T 的 __斜__率__k__ ， 即 k ＝ _l_iΔ_mx_→0__f_x_0_＋__ΔΔ_xx_－__f_x_0_ ____.
∴a＝－5.
答案：(2)－5
题型二 求曲线的切线方程——师生共研 例 2 已知曲线 y＝13x3，求曲线在点 P(3,9)处的切线方程．
解析：由 y＝13x3，
得 y′＝li m Δx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
13x＋Δx3－13x3 Δx
＝13liΔmx→0 3x2Δx＋3xΔΔxx2＋Δx3＝13liΔmx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
解析：设切点坐标为(x0，y0)．
f′(x)＝li m Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝li m Δx→0
x＋Δx2＋6－x2＋6 Δx
＝li m (2x＋Δx)＝2x. Δx→0
∴过(x0，y0)的切线的斜率为 2x0.
(1)∵切线与直线 y＝4x－3 平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝x20＋6＝10，
(1)先由已知求出 l1 的斜率，再由 l1⊥l2，求出 l2 的斜率，进而 求出切点坐标，得出 l2 的方程．
(2)求出 l1 与 l2 的交点坐标，l1，l2 与 x 轴的交点，求出直线 l1， l2 和 x 轴围成的三角形的面积．

栏目 导引
利用导数求切线的方程
已知曲线 C：y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4. ∴切点 P(2,4)． ∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43 ＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3， ∴ΔΔxy ＝4＋2Δx＋13(Δx)2， 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋13(Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝2 处 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x －y－4＝0.
也称为 y＝f(x)在 x0 点的__导__数____．
(2)记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝_xl_1i→m_x_0 _f_x_x1_1_－ －__fx_0x_0__＝_Δl_ixm→_0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0___.
2．导数的几何意义 函数y＝fx在x0处的导数;是曲线y＝fx在点_______x_0_;f_x_0__处的 切线的______斜__率．函数y＝fx在点x0;fx0处切线的斜率反映了 导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝St在点t0处的导数S′t0;就是 当物体的运动方程为S＝St时;物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v; 即v＝S′t0；函数v＝vt在点t0处的导数v′t0;就是当物体的运动 速度方程为v＝vt时;物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a;即a＝ v′t0．
方法归纳 求函数y＝fx在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数fx＝x2＋3在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝f a＋Δx －f a

()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，

x
1 3*22*x 3*2*(x)2 (x)3
lim
3 x0
x
1 lim[3*22 3*2*x (x)2 ] 4 3 x0
k y |x2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2.求与直线x 直线方程.
4
y
一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的
切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜
率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
k切线
f
'
(x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0)
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲 线上.
作业 1 导练案B面 ：练习二十四（101页）
2 课外练习题 已知曲线 y＝x2，求曲线过点
切线方程. 提示:点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，怎样求切线?
谢谢大家
看书和学习是思想的经常 营养，是思想的无穷发展.
课外练习题 已知曲线 y＝x2，求曲线过点 P(3,5)的切线方程.
解 点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0) ∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
0
易知，y′|x＝x ＝2x0，
由 P(3,5)在所求直线上得
5－y0＝2x0(3－x0)
①
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，物理

1.1.2 导数的概念
情境导入 中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界 上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运 营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．
同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的 瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
知识梳理 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(3)v＝Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)． 规律总结 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平 均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋 向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．
跟踪练习 1
某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系
2．设 f(x)＝2ax＋4，若 f ′(1)＝2，则 a 等于 ( C )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】 f ′(1)＝lxi→m1f(xx)－－f1(1)＝lxi→m12a＝2a＝2.
∴a＝1.
3．设函数 f(x)可导，则Δlxi→m0f(1＋Δ3Δx)x－f(1)等于 ( C )
A．f ′(1)
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规律总结 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有 关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来． 由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率， 它在现实生活中的作用是比较广泛的．
跟踪练习 3 若一物体运动方程如下：(位移 s：m，时间 t：s) s＝f(t)＝239t2＋＋32(，t－t≥33).2，0≤t<3， 求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．

y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x