11.2 离散型随机变量的期望与方差

期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。

它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。

本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。

一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。

对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。

对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。

2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。

方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。

二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。

对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。

2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。

总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。

对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。

对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。

岚山一中导学学案学习改写人生，反思启迪智慧离散型随机变量的期望和方差【怎么考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题． 【知识梳理】1、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 的 ，其 为随机变量X 的标准差． 2、三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝n MN. 3、六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数)(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数)(3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2(4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X ) 【基础自测】1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 2、已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73 B ．4 C ．－1 D ．13、(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.94．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 【考向透析】【例1】（2012济南一模）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率; （2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξE .【例2】（2012日照一模）某校高二年级甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名乒乓球选手，学校计划从甲、乙两班各选2名选手参加体育交流活动。

离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。

期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。

在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。

期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。

离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。

方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。

运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。

可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。

总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。

以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。

离散随机变量的期望与方差离散随机变量是概率论中的一个重要概念，它在描述随机现象中的离散取值时起到了关键作用。

离散随机变量的期望与方差是两个重要的统计量，对于揭示随机变量的特征及其分布有着重要意义。

本文将详细介绍离散随机变量的期望与方差的计算方法及其应用。

一、离散随机变量的期望离散随机变量的期望指的是随机变量取各个值时的加权平均值，也可以理解为该变量的平均值。

假设离散随机变量X的取值为{x1, x2, x3, ..., xn}，相应的概率为{p1, p2, p3, ..., pn}，则离散随机变量的期望可用以下公式表示：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + x3*p3 + ... + xn*pn其中，E(X)表示离散随机变量X的期望值。

举个例子来说明，假设X表示一枚均匀骰子的点数，它可以取1、2、3、4、5、6这六个值，并且每个值的概率都是1/6。

那么X的期望为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5这意味着，如果我们不断地进行均匀骰子的试验，并记录每次试验的点数，那么这些点数的平均值会接近于3.5。

二、离散随机变量的方差离散随机变量的方差是用来衡量随机变量的取值对其期望的偏离程度。

方差的计算方法如下：Var(X) = E((X-E(X))^2) = (x1-E(X))^2*p1 + (x2-E(X))^2*p2 + ... + (xn-E(X))^2*pn其中，Var(X)表示离散随机变量X的方差。

继续以均匀骰子的点数为例，我们计算其方差：Var(X) = (1-3.5)^2*(1/6) + (2-3.5)^2*(1/6) + (3-3.5)^2*(1/6) + (4-3.5)^2*(1/6) + (5-3.5)^2*(1/6) + (6-3.5)^2*(1/6) ≈ 2.92方差的平方根被称为标准差，它度量了离散随机变量的取值波动程度。

1． 离散型随机变量的期望公式是什么，它反映了什么？1122()n n E x x p x p x p =+++L ，离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2． 离散型随机变量的方差公式是什么，它反映了什么？2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．3． 二项分布的的期望与方差分别是什么？若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．离散型随机变量的期望与方差1． 离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++L ，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2． 离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L 叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． ()D X ()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3． X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，；4． 典型分布的期望与方差：离散型随机变量的期望与方差知识讲解知识回顾（1）二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．（2）二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．（3）超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．题型一 选择填空【例1】 下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的期望()E ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了ξ取值的概率的平均值【例2】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例3】 已知随机变量X 的分布列为则()D X A ．0B ．0.8C ．2D ．1【例4】 随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若.3E ξ=则D ξ的值是 ．【例5】样本共有五个个体，其值分别为0123a，，，，若该样本的均值为1,则样本方差为（）AＢ．65Ｄ．２【例6】某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望()Eξ的值为________．题型二、综合题【例7】编号123，，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X．⑴求随机变量X的概率分布；⑵求随机变量X的数学期望和方差．【例8】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；E X．（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()【来源】（2011天津理）【例9】某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0．6，答对第二题的概率是0．5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【来源】（2011年丰台区期末理）【例10】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例11】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【来源】（2008福建）【例12】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A；（2）求η的分布列及期望Eη．【例13】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．（1）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（2）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（3）设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数学期望EX．【例14】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：（1）X的概率分布；（2）X的期望．【例15】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例16】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【来源】（2013北京高考）【例17】甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【来源】（2013山东卷理）随堂练习【练1】某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【来源】（2013西城一模理）【练2】 某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.C ．{}35，D ．{}45，【来源】（2013东城一模理）【练3】 在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【来源】（2013海淀一模理）【练4】 一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率； （Ⅲ）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.B ．I A B =UC ．()I I B A =U ðD ．()I I A B =Uð 【来源】（2011昌平二模理16）【题1】同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则Eξ=，Dξ=__________．【题2】已知离散型随机变量X的分布如下表．若()0E X=,()1D X=,则a=________,b=________．X-10 1 2P a b c112【题3】在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．【来源】（2010朝阳一模理）课后作业【题4】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数 的分布列及数学期望．。

离散型随机变量期望与方差引言离散型随机变量是概率论与统计学中的重要概念之一。

在处理离散型随机变量时，我们经常需要计算其期望与方差，以帮助我们了解变量的分布特征。

本文将详细介绍离散型随机变量的期望与方差的定义及其计算方法。

期望的定义与计算离散型随机变量的期望表示了该随机变量可能取值的加权平均。

如果离散型随机变量X的取值为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn，那么随机变量X的期望可以通过以下公式计算：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn其中E(X)表示变量X的期望。

下面以一个简单的例子来说明期望的计算过程。

假设某班级有10个学生，他们的考试成绩（以百分制计）分别为60、70、80、90、90、80、70、80、90、60，对应的概率分别为0.1、0.2、0.1、0.2、0.1、0.05、0.1、0.1、0.05、0.1。

现在我们来计算这些考试成绩的期望。

60 * 0.1 + 70 * 0.2 + 80 * 0.1 + 90 * 0.2 + 90 * 0.1 + 80 * 0.05 + 70 * 0.1 + 80 * 0.1 + 90 * 0.05 + 60 * 0.1 = 79所以，这些考试成绩的期望为79。

方差的定义与计算离散型随机变量的方差反映了该变量的取值相对于其期望的离散程度。

方差的计算公式如下所示：Var(X) = E((X - E(X))²) = (x1 - E(X))² * p1 + (x2 - E(X))² * p2 + … + (xn - E(X))² * pn其中Var(X)表示变量X的方差。

方差的计算比较繁琐，但仍然是可行的。

我们可以利用先前计算得到的X的期望，将其带入方差计算公式中，即可求得方差的值。

继续以前面的例子进行说明，我们已经计算得到班级考试成绩的期望为79。