2010中考数学试题分类汇编--圆的基本概念性质

2010年中考数学试题分类汇编——圆的基本概念性质（2010哈尔滨）１．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 （2010珠海）２．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）解：∵弦AB 和半径OC 互相平分 ∴OC ⊥ABOM=MC=21OC=21OA 在Rt △OAM 中，sinA=21=OA OM ∴∠A=30°又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形＝33601120ππ=⋅⋅（2010珠海）３．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=55，求PA 的长. 解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2 过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝21AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55=PA AE ∴PA=5（1） （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC（ A ） A.30° B.40°C.50°D.60°（2010年镇江市）11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则线段OE 的长为 3 .（2010年镇江市）26．推理证明（本小题满分7分）如图，已知△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连结OE ，CD=3，∠ACB=30°.（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）分别求AB ，OE 的长；（3）填空：如果以点E 为圆心，r 为半径的圆上总存在不同的两点到点O 的距离为1，则r 的取值范围为 .（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90° （1分）,)2(.//,.,BC DE BC OD BO AO CD AD BC AB ⊥∴==∴= 分又又 ∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线. （3分） （2）在 30,3,=∠=∆ACB CD CBD Rt 中，.2,223330cos =∴===∴AB CDBC（4分）)6(.27)23(1,)5(.2332121,30,3,2222分中在分中在=+=+=∆=⨯==∴=∠=∆OE OD OE ODE Rt CD DE ACB CD CDE Rt（3）.127127+<<-r （7分）(2010遵义市)如图,△ABC 内接于⊙O,∠C=40,则∠ABO= ▲ 度.答案：50、(2010台州市)如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 (▲)A ．25°B ．30°C ．40°D ．50° 答案：A（玉溪市2010）11. 如图6，在半径为10的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ，AB ＝16，则CD 的长是 4 ．（2010年兰州）4.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 答案 B2010年兰州）7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒A BCO D 图6 （第5题）ABOCDA第7题图 答案 B（2010年无锡）15．如图，AB 是O 的直径,点D 在O 上∠AOD=130°,BC ∥OD 交O于C,则∠A= ▲ ． 错误！未指定书签。

图2EDCB Ao（2010哈尔滨）１．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B（A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 （2010珠海）２．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）解：∵弦AB 和半径OC 互相平分∴OC ⊥ABOM=MC=21OC=21OA 在Rt △OAM 中，sinA=21=OA OM ∴∠A=30°又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30° ∴∠AOB=120° ∴S 扇形＝33601120ππ=⋅⋅（2010珠海）３．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=55，求PA 的长. 解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝21AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55=PA AE ∴PA=51. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 （ A ） A.30° B.40°C.50°D.60°（2010年镇江市）11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10，CD=8，则线段OE的长为 3 .（2010年镇江市）26．推理证明（本小题满分7分）如图，已知△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连结OE ，CD=3，∠ACB=30°.（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）分别求AB ，OE 的长；（3）填空：如果以点E 为圆心，r 为半径的圆上总存在不同的两点到点O 的距离为1，则r 的取值范围为 .（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90° （1分）,)2(.//,.,BC DE BC OD BO AO CD AD BC AB ⊥∴==∴= 分又又 ∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线. （3分） （2）在 30,3,=∠=∆ACB CD CBD Rt 中，.2,223330cos =∴===∴AB CDBC（4分）)6(.27)23(1,)5(.2332121,30,3,2222分中在分中在=+=+=∆=⨯==∴=∠=∆OE OD OE ODE Rt CD DE ACB CD CDE Rt（3）.127127+<<-r （7分）(2010遵义市)如图,△ABC 内接于⊙O,∠C=40,则∠ABO= ▲ 度.答案：50、(2010台州市)如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 (▲)A ．25°B ．30°C ．40°D ．50° 答案：A（玉溪市2010）11. 如图6，在半径为10的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ，AB ＝16，则CD 的长是 4 ．（2010年兰州）4.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 答案 B2010年兰州）7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒第7题图 答案 B（2010年无锡）15．如图，AB 是O 的直径,点D 在O 上∠AOD=130°,BC ∥OD 交O 于C,则∠A= ▲ ．A BCO D 图6 （第5题）ABOCDABO · C第16题（2010年兰州）22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC 中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．第22题图答案（本题满分6分）(1)（本小题满分4分）用尺规作出两边的垂直平分线 …………………2分 作出圆 …………………………3分 ⊙O 即为所求做的花园的位置.（图略） ……………………………4分 （2）（本小题满分2分） 解：∵∠BAC=90,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米∴ △ABC 外接圆的半径为5米 ……………………………………5分 ∴小明家圆形花坛的面积为25 平方米 . …………………………… 6分（2010年连云港）16．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AB ∥CD ，∠B ＝22°，则∠A ＝________°． 答案 44（2010宁波市）24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若DE ＝23，∠DPA ＝45°．（1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．（第15题）OC BDA6. （2010年金华）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ▲ ）DA . 20°B . 40°C . 60°21．（2010年金华）(本题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ▲ ，CE 的长是 ▲ ．解：(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ﹦90° 又∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A ﹦∠1(第6题图)ACBO ACBD(第21题图)EF O 12又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2,∴ CF ﹦BF ﹒ …………………4分 (2) ⊙O 的半径为5 ， CE 的长是524﹒ ………4分（各2分）8．（2010年长沙）如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是 D A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C ．AC BC = D ．∠BAC =30°24．（2010年长沙）已知：AB 是⊙O 的弦，D 是AB 的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．（1）求证：AD ＝DC ；（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝EC ，求sin C ．证明：连BD ∵BD AD =∴∠A ＝∠ABD ∴AD ＝BD …………………2分 ∵∠A +∠C ＝90°，∠DBA +∠DBC ＝90°∴∠C ＝∠DBC ∴BD ＝DC∴AD ＝DC ………………………………………………………4分 （2）连接OD ∵DE 为⊙O 切线 ∴OD ⊥DE …………………………5分 ∵BD AD =，OD 过圆心 ∴OD ⊥AB又∵AB ⊥BC ∴四边形FBED 为矩形∴DE ⊥BC ……………………6分 ∵BD 为Rt △ABC 斜边上的中线∴BD ＝DC ∴BE ＝EC ＝DE∴∠C ＝45° …………………………………………………7分 ∴sin ∠C =22………………………………………………………………8分 BOA C O A C B第8题图B ECD A O OADB EC 第24题图（2010年湖南郴州市）7.如图，AB 是O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ， 则下列结论中不成立．．．的是 Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD = 答案D(2010湖北省荆门市)16．在⊙O 中直径为4，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A 、B 的点，那么∠ACB 度数为___▲___． 答案60°或120°（2010年毕节）20．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．20．64．(10重庆潼南县)如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )BA ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°20．(10湖南怀化)如图6，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA=40°，则∠ADC=______．25（2010陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，ABCO题图4Ay要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个（2010陕西省）14、如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米， 则这条管道中此时最深为 0.4 米（2010年天津市）（7）如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， 若30A ∠=︒，70APD ∠=︒，则B ∠等于（C ）（A ）30︒ （B ）35︒ （C ）40︒ （D ）50︒1.（2010宁德）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）．D A.17° B.34° C.56° D.68°2.（2010黄冈）如图，⊙O 中，MAN 的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝____________.20°1．（2010山东济南）如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．第5题图AOCB 第（7）题BCA DPO答案13（2010年常州）16.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .16.60°，100°.（2010株洲市）21．（本题满分8分）如图，AB 是O e 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=︒，O e 过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ． 求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ∆≌ODB ∆．21．（1）∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，由30ABC ∠=︒，∴60CAB ∠=︒又OB OC =，∴30OCB OBC ∠=∠=︒∴60BOD ∠=︒，∴CAB BOD ∠=∠．…… 4分 （2）在Rt ABC ∆中，30ABC ∠=︒，得12AC AB =，又12OB AB =，∴AC OB =．由BD 切O 于点B ，得90OBD ∠=︒． 在ABC ∆和ODB ∆中，CAB BODACB OBD AC OB ∠=∠∠=∠⎧=⎪⎨⎪⎩∴ABC ∆≌ ODB ∆ …… 8分（2010河北省）6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经 过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M（2010年安徽）13. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝____︒40__M RQ 图3A BCP DCBOA1、（2010山东烟台）如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是A 、2B 、3C 、4D 、5答案：B2．（2010山东青岛市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC= °． 答案：48（2010·浙江温州）20．(本题8分)如图，在正方形ABCD 中，AB=4，0为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙02． 。

第29讲 圆的基本性质1. (2012，某某)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC ＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，某某)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】 只有△ACF 的三个顶点不都在⊙O 上，故外心不是点O 的是△ACF .3. (2016，某某)如图所示的为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是(B)第3题图A. △ACD 的外心B. △ABC 的外心C. △ACD 的内心D. △ABC 的内心【解析】 由网格图，知点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O 是 △ABC 的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】 能完全重合的两条弧是等弧，所以A 选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B 选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C 选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D 选项正确.针对训练1 如图，半圆O 是一个量角器，△AOB 为一纸片，AB 交半圆于点D ，OB 交半圆于点C .若点C ，D ，A 在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B 的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接OD ，则∠DOC ＝70°－45°＝25°，∠AOD ＝160°－70°＝ 90°.∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝∠A ＝45°.∵∠ADO ＝∠B ＋∠DOB ，∴∠B ＝45°－25°＝ 20°.训练1答图针对训练2 如图，点P 在线段AB 上，PA ＝PB ＝PC ＝PD .当∠BPC ＝60°时，∠BDC 的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，某某)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∴OC2OC＝ 3.故点C的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】 对于甲，易知ED ＝EC ，∴△DEC 为等腰三角形．进而易知EM 为CD 的垂直平分线．∴点O 为两垂直平分线的交点，即点O 为△CDE 的外心．∴点O 为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC ＝90°，∠DCB ＝90°，∴PC ，QD 为此圆的直径．∴PC 与QD 的交点O 为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，某某裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】 如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，某某模拟)如图，在半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD .若DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】 如答图，作直径CF ，连接BF ，则∠FBC ＝90°.∵∠BAC ＋∠EAD ＝180°，∠BAC ＋∠BAF ＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF .∴弧DE ＝弧BF .∴BF ＝DE ＝6.∴BC ＝CF 2－BF 2＝8.训练5答图 针对训练6 (2018，某某)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，某某，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C)A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm 或4 5 cmD. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝ 4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝ 25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、 选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC . 若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是(D)第1题图A. 25°° C. 30° D. 35°【解析】 ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°. ∴∠AOC ＝2∠B ＝50°.∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为弧AB 的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为(D)第2题图A. 12B. 5C. 532D. 53 【解析】 如答图，连接OA ，OC ，OC 与AB 相交于点E .∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝ 60°.由AB 为弦，C 为弧AB 的中点，易知OC ⊥AB ，AE ＝BE .在Rt △OAE 中，AE ＝OA · sin ∠AOC ＝5×32＝532，∴AB ＝2AE ＝5 3.第2题答图3. (2018，某某)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接DC .∵C (3，0)，D (0，1)，∴∠DOC ＝90°，OD ＝1，OC ＝ 3.∴∠DCO ＝30°.∴∠OBD ＝∠DCO ＝30°.第3题答图4. (2018，某某)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，某某)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】 由圆周角定理，得∠ABC ＝∠ADC ＝35°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝55°.7. (2018，某某)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC 上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】 ∵∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝180°－40°＝140°.∴∠D ＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，某某)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°° D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，某某)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE ＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、 填空题11. (2018，某某)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】 由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，某某模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，某某)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．第13题图【解析】 如答图，连接AB ，CB ，作AB ，CB 的垂直平分线，相交于点D .所以点D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心．所以点D 的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，某某)如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（ 533）cm.第14题图【解析】 如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切．理由：如答图，连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD.∴直线ED与⊙O相切．第15题答图16. (2018，某某，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE . ∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15. ∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】 如答图．∵OA ⊥BC ，∴CH ＝BH ，弧AB ＝弧AC .∴∠AOB ＝2∠CDA ＝60°.∴BH ＝OB ·sin ∠AOB ＝ 3.∴BC ＝2BH ＝2 3.第1题答图2. (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DFA ＝30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，某某，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC . ∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为（）A．2 B．C．D．【答案】B【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （）A．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A和PB与⊙O相切，根据切线长定理，可知：P A=PB=3，故选B．12．（2019·烟台）如图，AB是Oe的直径，直线DE与Oe相切于点C，过点A，B分别作AD DE⊥，BE DE⊥，垂足为点D，E，连接AC，BC．若AD=3CE=，则»AC的长为（）．A．3B．3C．2D．3【答案】D【解题过程】连接OC，因为AD DE⊥，BE DE⊥，所以90ADC CEB∠=∠=︒所以90DAC ACD∠+∠=︒因为AB是Oe的直径，所以90ACB∠=︒，所以90BCE ACD∠+∠=︒，所以BCE DAC∠=∠，在△ADC与△CED,因为90ADC CEB∠=∠=︒，BCE DAC∠=∠所以△ADC∽△CED,所以BC CEAC AD===在Rt△ACB中，sin BCBACAC∠==所以60BAC∠=︒，OD EBA第12题答图又因为OA OC=，所以△AOC是等边三角形，所以60ACO∠=︒，因为直线DE与Oe相切于点C，所以OC DE⊥，因为AD DE⊥，OC DE⊥，所以AD//OC，所以60DAC ACO∠=∠=︒，所以9030ACD DAC∠=︒-∠=︒，所以2AC AD==，所以△AOC是等边三角形，所以OA AC==，60AOC∠=︒，所以»AC的长为601803π⨯⨯=．12．（2019·威海）如图，⊙P与x轴交与点A（—5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C，若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为A.B.. .2【答案】D【解题过程】连接PA、PB、PC,过点P分别作PF⊥AB，PE⊥OC，垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE为矩形，∴PE＝OF,PF＝OE.∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°.∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.cos30°＝AFAP，∴PFAP＝∴OEPC＝在RT△PEC中，CE＝＝∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，AC BD分别与⊙O相切于点D.若AC= BD = 4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.πB. 2πC D.4π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=π⨯=2∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，»CD=904180π，故选B.9．（2019·益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB 于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD＝∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO 的延长线交圆O于点D，∴PA=PB，∠BPD＝∠APD，故A、B正确；∵PA=PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD平分AB，但AB不一定平分PD，故C正确，D错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是»AB的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m.则这段弯路所在圆的半径为（）A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD，由垂径定理可知O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB，设半径为r，则OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－CD＝r－10，在Rt△ADO，由勾股定理知：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C【解析】作AB 的垂直平分线，交圆与点C ，D ，设圆心为O ，CD 与AB 交于点E ，∵AB=OA ，∴AE=2，∴2sin 2OE AOE OA OA ∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠ASB=45°， 故选：C ．1.（2019·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD 都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE ＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=3，DF=5，则BC5的长为（）A ．8B ．10C ．12D ．16 【答案】C 【解析】连接BD ．∵AD =CD ，∴∠DAC =∠ACD ．∵AB 为直径，∴∠ADB =∠ACB =90°．∴∠DAB +∠ABD =90°． ∵DE ⊥AB ，∴∠DAB +∠ADE =90°．∴∠ADE =∠ABD ． ∵∠ABD =∠ACD ，∴∠DAC =∠ADE ．∴AF =DF =5． 在Rt △AEF 中，sin ∠CAB =35EF AF = ∴EF =3，AE =4．∴DE =3+5=8．由DE 2=AE ▪EB ，得228164DE BE AE ===． ∴AB =16+4=20．在Rt △ABC 中，sin ∠CAB =35BC AB = ∴BC =12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为B．C．6 D．12A．【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，OC＝CD=2CE=∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP ＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.8.9.10.11.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为（）A．2 B．C．D．【答案】B【解析】连接OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= （）A．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB=3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）． A．3B．3C．2D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ODEBA 第12题答图因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒， 所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒， 所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B.. .2 【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E.由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，∴∠P AB＝∠PBA＝30°.∵PF⊥AB，∴AF＝BF＝3.∴PE＝OF＝2.，cos30°＝AFAPAP＝∴PF∴OE PC＝在RT△PEC中，CE＝＝∴OC＝CE＋EO＝＋2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB经过⊙O的圆心，AC BD分别与⊙O相切于点D.若AC= BD = 4,∠A=45°，则圆弧CD的长度为A.πB. 2πC D.4π【答案】B【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D，所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=π⨯=2∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，»CD=904180π，故选B.16．（2019·娄底）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴112122AD AB==⨯=．17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝12BC＝33，∴BC＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．A第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO，因为CO⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

中考数学圆试题分类汇编（含答案）一、选择题1、一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B（A ）9π（B ）18π（C ）27π（D ）39π2、如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB ∠为120，OC 长为8cm ，CA 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ） A ．264πcmB ．2112πcmC ．2144πcmD ．2152πcm解：S ＝212020360π⨯－21208360π⨯＝2112πcm选（B ）。

3、如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC交于点D ，则AD 的长为（ ）。

AA 、552B 、554C 、352 D 、3544、如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）DA ．40︒ B. 50︒ C. 80︒ D. 100︒5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C（A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切6、⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．CA ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 7、如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB ∠的度数为（ ）DA ．34B ．56C ．60D ．688已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）。

CA 、πB 、3πC 、4πD 、7π9、如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ）。

AA 、52°B 、60°C 、72°D 、76°ACOB图（5）O CBA的半径长10、如图2，O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O为（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cmC11、如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB ＝2 cm ，BC ＝8cm ，则PA 的长等于（ ）A ．4 cmB ．16 cmC ．20 cmD ．25cmD12、（如图，已知圆心角∠BOC=100°、则圆周角∠BAC 的大小是（ ） A ．50° B ．100° C ．130° D ．200° A13、如图，O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） Ａ．40° Ｂ．55° Ｃ．65° Ｄ．70° B二、填空题1、如图1，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC =5，DC =3，AB =24，则⊙O 的直径等于 。

OCBA2010年部分省市中考数学试题分类汇编圆的有关性质1．（2010年山东省青岛市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °． 【关键词】圆周角与圆心角的关系【答案】482、(2010年安徽省B 卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是 AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ， AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是 m ． 【关键词】圆的性质 勾股定理 【答案】2501、（2010福建德化）如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角B A C ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒ 答案：D11．(2010年北京崇文区) 如图，A B 是O 的直径，C D 是O 的弦，D A B ∠=48︒,则A C D ∠= ︒．【关键词】圆的有关性质 【答案】4210．（2010年门头沟区）如图，C D AB ⊥于E ，若60B ∠=，则A ∠=度．【关键词】圆的有关性质【答案】30OAB C第10题图·1.（2010年台湾省）如图(二)，AB 为圆O 的直径，C 、D 两点均在圆上，其中OD 与AC 交于E 点，且OD ⊥AC 。

若OE =4，ED =2，则BC 长度为何？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。

【关键词】垂径定理 【答案】C24、（2010年宁波）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连结EF 、EO ，若32=DE ，︒=∠45DPA 。

（1）求⊙O 的半径;（2）求图中阴影部分的面积。

24、解：（1）∵直径AB ⊥DE ∴321==DE CE∵DE 平分AO ∴OE AO CO 2121==又∵︒=∠90OCE∴︒=∠30CEO 在Rt △COE 中，223330cos ==︒=CE OE∴⊙O 的半径为2。

圆的基本概念与性质圆是几何学中重要的图形之一，具有独特的形态和性质。

本文将介绍圆的基本概念以及与圆相关的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本概念圆是平面上的一个封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆心和半径圆心是圆上所有点的中心点，通常用字母“O”表示。

半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母“r”表示。

圆心和半径是圆的两个重要元素。

2. 直径直径是通过圆心的一条直线段，它的两个端点在圆上。

直径是圆的最长线段，长度等于半径的两倍。

3. 弦弦是圆上连接两个点的线段。

弦可以是直径，也可以是除了直径以外的线段。

4. 弧弧是圆上的一部分，它是由两个端点和连接这两个点的圆弧组成。

弧的长度可以是圆周长度的任意部分。

5. 圆周角圆周角是圆上位于圆心的角，它的两条边是以圆心为顶点的两条弧。

圆周角的度数是圆上所占有的弧的度数。

6. 切线切线是与圆只有一个公共点的直线。

切线与半径的夹角是90度。

7. 弦切角弦切角是一条直线与弦相交所形成的角。

夹在圆上同一弧的两个弦上的切角，称为弦切角。

8. 弦弧关系对于圆上的弦和弧，如果弦的长度与它所夹的圆心角相等，则这个弦所对应的圆周弧的长度也相等。

这是弦和弧之间的一个重要的关系。

9. 圆的面积圆的面积由半径决定，面积的大小等于π乘以半径的平方，其中π是一个固定的无理数，约等于3.14159。

10. 圆的周长圆的周长由半径决定，周长等于半径乘以2π，即2πr。

总结圆的基本概念与性质对于几何学的学习和应用具有重要意义。

掌握了圆的基本概念，我们能够准确理解圆的形态和特点；而掌握了圆的性质，我们能够灵活应用这些性质解决与圆相关的问题。

因此，加深对圆的基本概念与性质的理解与掌握，有利于我们在几何学中取得更好的学习成果。

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。

初中数学圆的基本性质
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆的中心叫圆心，用O表示。

连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。

在同一个圆中，圆的直径d=2r。

扩展资料
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

顶点在圆心上的`角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

圆周角定理：相同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

圆的周长计算公式：C=πd=2πr，半圆的周长C=πr+2r，圆的面积S=πr2。

圆和圆的位置关系：无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

有两个公共点的叫相交。

圆和圆的位置关系由圆心距决定。