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湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.63520．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B．点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．解答：解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C．点评：本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣2i+1﹣2i=4﹣4i，∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒考点：实际问题中导数的意义．专题：导数的综合应用．分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可．解答：解：由题意可得α′=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10π．故选：B．点评：他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．解答：解：由＞1得0＜a＜1，若函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增，则3﹣2a＞1，解得a＜1，故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路．7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案．解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=﹣3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=﹣3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）==12，n（AB）==6，所以P（B|A）===．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又∵|PF1|=2|PF2|，∴3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可．解答：解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是﹣192．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求．解答：解：∵=，由3﹣r=2，得r=1．∴含x2项的系数是﹣×25=﹣192．故答案为：﹣192．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把z=1﹣i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．解答：解：由z=1﹣i，且z2+az+b=，得（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，∴a+b﹣（a+2）i=1+i．，解得a=﹣3，b=4．故a+bi=﹣3+4i．∴|a+bi|=．故答案为：5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．解答：解：∵“p∧（￢q）”为真命题，∴p真，q假，若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，∴，解得1≤a＜2故a的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．解答：解：函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的导数为f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx（x∈[﹣1，1]），由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用k AM•k BM=﹣及，计算即得结论．解答：解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则k AM•k BM=•==﹣，∵，∴n2=b2（1﹣）=（a2﹣m2），即=﹣=﹣，∴=，则e====，故答案为：．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解答：解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）•（1﹣）=，故至少有一个命中目标的概率为1﹣=．（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为•••••（1﹣）=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（Ⅰ）===（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E （0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．解答：解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2﹣a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立．结合（1）（2）可知，数列{a n}的递推公式是（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0则1+a n＞2a n，且1+a k＞2a n，两式相加得，（1+a n）+（1+a k）≥2a n+2a k，即a n+a k≤2因为＞1，则：a k+a n＞2，矛盾．所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男15 10 25女 5 10 15总计20 20 40因为K2=≈2.667＞2.072，P（K2≥2.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）则，从而，所以||=，又，则由已知，，则（x﹣1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）联立y2=4x，消去x，得y=tanα（），即y2tanα﹣4y﹣4tanα=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1﹣cos2α）=（）（1﹣cos2α）=2（）2sin2α=4为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；（Ⅲ）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）﹣lnx=＞0，∴S=dx=（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+≥0恒成立，∴a≥﹣=﹣（x++2），∵x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取等号，∴a≥﹣4，故a的取范围为[﹣4，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，令f′（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，∴f（x1）+f（x2）=lnx1++lnx2+=lnx1x2++=a=a•=a，于是﹣=﹣=，设g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，故≥，当且仅当x=1时取等号．点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．。
湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期第二次阶段性检测数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02<-=x x x A ，{}0log 2≤=x x B ，则=B A （）A.(0,1)B. ]1,(-∞C.]1,0(D.)1,0[ 2.下列说法正确的是（）A.“若0=⋅，则⊥”的否命题是“若0≠⋅，则⊥”B.命题“对R x ∈∀，恒有012>+x ”的否定是“R x ∈∃0，使得0120≤+x ”C.R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D.设p ，q 是简单命题，若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题 3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A.52+ B.522+ C.34 D.324.“x>a ”是“x>-1”成立的充分不必要条件（） A.a 的值可以是21-B.a 的值可以是-1C.a 的值可以是-2D.a 的值可以是-3 5.函数1)4(cos )4(sin )(22--++=ππx x x f 是（） A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数6.已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（） A.数列{}n a 的各项均为正数 B.数列{}n a 中必有小于2的项 C.数列{}n a 的公比必是正数D.数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x 9.设等差数列{}n a 满足171053a a =，且01>a ，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项是（） A.26S B.27S C.28S D.29S10.若对于任意的]0,1[-∈x ，关于x 的不等式0232≤++b ax x 恒成立，则122-+b a 的最小值为（） A.54 B.53 C.35 D.4511.在平面上，21AB AB ⊥1==，21AB AB AP +=32<的取值范围是（） A.]314,0( B.]2,314( C.]5,25( D.]7,27( 12.给出以下命题①若a>b>0，d<c<0，dbc a <；②如果21214q q p p ≥⋅，则关于x 的实系数二次方程0112=++q x p x ，0222=++q x p x 中至少有一个方程有实根；③若Z k k x ∈≠,π，则2sin 1sin ≥+x x ；④当]2,0(∈x 时，xx x f 1)(-=无最大值.其中真命题的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①③④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若数列{}n a 的前n 项和为3132+=n n a S ，则数列{}n a 的通项公式是=n a _______. 14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102211y x x y x ，向量),2(m x y a -=，)1,1(-=b ，且b a ∥，则m的最小值为_____.15.已知抛物线)0(22>=p px y 上一点M （1，m ）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线122=-y ax 的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与其直线AM 平行，则实数a 等于_____.16.已知f(x)是定义在上的奇函数，当]2,0(∈x 时，12)(-=x x f ，函数m x x x g +-=2)(2，如果对于任意]2,2[1-∈x ，存在]2,2[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数m 的取值范围是______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列. （1）若b=13，a=3，求c 的值； （2）设t=sinAsinC ，求t 的最大值. 18.（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2.（1）证明DF ⊥平面ABE ； （2）求二面角A-BD-E 的余弦值.19.（本小题满分12分） 已知点A ，B 的坐标分别是)0,21(-,)0,21(,直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是-1.（1）过点M 的轨迹C 的方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线1l 、2l 分别交曲线C 于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足41=a ，且345a 是2a 、4a 的等差中项，数列{}nb 满足11+=+n n b b ，其前n 项和为n S ，且442a S S =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式n b T n n n 37)4(log 2≥+-+λ对一切+∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围. 21.（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，其长轴长与短轴长的和等于6.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设椭圆E 的上、下顶点分别为1A ，2A ，P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，直线1PA 、2PA 分别交x 轴于点N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T.证明：线段OT 的长为定值.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称f(x)为“Γ-函数”.（1）判断函数x x f =)(1，x x f 3)(2=是否是“Γ-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a,b)；（3）若定义域为R 的函数f(x)是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当]1,0[∈x 时，f(x)的值域为，求当]2016,2016[-∈x 时函数f(x)的值域.湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期第二次阶段性检测数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.B4.A5.C6.C7.D8.D9.B 10.A 11.B 12.A 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.1)2(--=n n a 14.-6 15.91 【解析】由题意可知：抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为x=-4，∴p=8，则点M(1,4)，双曲线122=-y a x 的左顶点为)0,(a A -，所以直线AM 的斜率为a+14，由题意可知：91114=⇒=+a aa .16.【解析】根据题意，m x x x g +-=2)(2在的值域⊇f(x)在的值域，而f(x)在的图象如图所示（粗线部分），即要满足：3)1(-≤g 且3)2(≥-g ，解得]2,5[--∈m .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）由2B=A+C ，及π=++C B A ，得3π=B . (2)分又b=13，a=3，B ac c a b cos 2222-+=，所以0432=--c c . 所以c=4（c=-1舍去）. ............................5分（2）因为32π=+C A ， 所以)sin 21cos 23(sin )32sin(sin A A A A A t +=-=π )62sin(2141)22cos 1(212sin 43π-+=-+=A A A ， ...............8分 因为320π<<A ，所以67626πππ<-<-A.则相关各点的坐标分别是A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，D(0,0,1)，E(1,0,2)，)1,21,21(F 。
湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.63520．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．②无根不循环小数都是无理数，因为e=2.7182818459045…是无限不循环小数，所以e是无理数．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B．点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．解答：解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C．点评：本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣2i+1﹣2i=4﹣4i，∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒考点：实际问题中导数的意义．专题：导数的综合应用．分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可．解答：解：由题意可得α′=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10π．故选：B．点评：他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．解答：解：由＞1得0＜a＜1，若函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增，则3﹣2a＞1，解得a＜1，故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路．7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案．解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=﹣3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=﹣3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）==12，n（AB）==6，所以P（B|A）===．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又∵|PF1|=2|PF2|，∴3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可．解答：解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是﹣192．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求．解答：解：∵=，由3﹣r=2，得r=1．∴含x2项的系数是﹣×25=﹣192．故答案为：﹣192．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把z=1﹣i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．解答：解：由z=1﹣i，且z2+az+b=，得（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，∴a+b﹣（a+2）i=1+i．，解得a=﹣3，b=4．故a+bi=﹣3+4i．∴|a+bi|=．故答案为：5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．解答：解：∵“p∧（￢q）”为真命题，∴p真，q假，若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，∴，解得1≤a＜2故a的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．解答：解：函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的导数为f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx（x∈[﹣1，1]），由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用k AM•k BM=﹣及，计算即得结论．解答：解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则k AM•k BM=•==﹣，∵，∴n2=b2（1﹣）=（a2﹣m2），即=﹣=﹣，∴=，则e====，故答案为：．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解答：解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）•（1﹣）=，故至少有一个命中目标的概率为1﹣=．（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为•••••（1﹣）=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（Ⅰ）===（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E （0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．解答：解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2﹣a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立．结合（1）（2）可知，数列{a n}的递推公式是（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0则1+a n＞2a n，且1+a k＞2a n，两式相加得，（1+a n）+（1+a k）≥2a n+2a k，即a n+a k≤2因为＞1，则：a k+a n＞2，矛盾．所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男15 10 25女 5 10 15总计20 20 40因为K2=≈2.667＞2.072，P（K2≥2.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）则，从而，所以||=，又，则由已知，，则（x﹣1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）联立y2=4x，消去x，得y=tanα（），即y2tanα﹣4y﹣4tanα=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1﹣cos2α）=（）（1﹣cos2α）=2（）2sin2α=4为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取范围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；（Ⅲ）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）﹣lnx=＞0，∴S=dx=（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+≥0恒成立，∴a≥﹣=﹣（x++2），∵x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取等号，∴a≥﹣4，故a的取范围为[﹣4，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，令f′（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，∴f（x1）+f（x2）=lnx1++lnx2+=lnx1x2++=a=a•=a，于是﹣=﹣=，设g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，故≥，当且仅当x=1时取等号．点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．。
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．A 【解析】函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，结合选项M ∩N ＝N 正确，选A.3．C 【解析】由均值不等式知p 为真命题；因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4≤2，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )为真命题．故选C.4．A 【解析】由题意可得a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解之可得a 1＝－8，故S 10＝－8×10＋10×（10－1）2×2＝10.故选A.5．C 【解析】由题意，因为函数f (x )＝e x ＋a e x (a ∈R )为奇函数，则f (0)＝e 0＋ae0＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝e x －1e x ，则f ′(x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(0)＝e 0＋1e0＝2，即k ＝2，且当x ＝0时，f (0)＝e 0－1e0＝0，即切点的坐标为(0，0)，所以切线的方程为y ＝2x ，故选C.6．B 【解析】如图，过E 作EF ∥BC ，由向量加法的平行四边形法则可知BE →＝BF →＋BC →＝－12AB →＋AD →，故选B.7．C 【解析】f (x )＝y 1－y 2＝－2x 3＋18x 2，f ′(x )＝－6x 2＋36x ＝0，x ＝6，故选C.8．A 【解析】如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|MN →|＝|MA →＋AB →＋BN →|＝⎪⎪⎪⎪－13AC 1→＋AB →＋12BB 1→＝⎪⎪⎪⎪23a －13b ＋16c . 又a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0， ∴|MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b ＋16c 2，可得|MN →|＝216a .或者建立空间直角坐标系来求解．9．B 【解析】抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标F (1，0)，准线为x ＝－1也就是直线l 1，故P 到直线l 1的距离就是P 到F 的距离．如图所示，设P 到直线l 2的距离为d ，则d ＋|PF |≥|1－0＋1|2＝2，当且仅当P ，E ，F 三点共线时等号成立，故选B.10．A 【解析】g (x )＝f (x )＋m ＋x 有两个零点， 等价于f (x )＋m ＋x ＝0有两个根， 即y ＝f (x )与y ＝－x －m 有两个交点， 画出y ＝f (x )与y ＝－x －m 的图象，如图，由图可知，当y ＝－x －m 在y 轴的截距不大于1时， 两函数图象有两个交点，即－m ≤1，m ≥－1，m 的取值范围是[－1，＋∞)，故选A. 11．C 【解析】因为M 是PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线． 因为OM ⊥PF 1，所以PF 2⊥PF 1.又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，2|PF 1|＝|PF 2|，|F 1F 2|＝2c ， 所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a .在△F 1PF 2中，PF 2⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 代入得(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，所以c 2a2＝5.即e ＝ 5.选C.12．A 【解析】根据题意，对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≤0， 即f (x 1)≤g (x 2)，f (x )max ≤g (x )min 恒成立，g ′(x )＝－3x 2＋2x ，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内先增后减，g (2)<g ⎝⎛⎭⎫12，故g (x )min ＝1. 则f (x )≤1，ax＋x ln x ≤1，解a ≤x －x 2ln x .令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ″(x )＝－2ln x －3.在区间⎣⎡⎦⎤12，2内，h ″(x )<0，h ′(x )递减，h ′(1)＝0，故x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )>0， x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，h (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h （2）＝h (2)＝2－4ln 2， ∴a ≤2－4ln 2，则实数a 的取值范围是(－∞，2－4ln 2]．故选A. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．x n ＋nx>n ＋114．2 【解析】作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3≤0x －1≤0y －1≥0表示的平面区域，得到如图的区域，其中A (－1，1)，设z ＝F (x ，y )＝－x ＋y ，将直线l ：z ＝－x ＋y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F (－1，1)＝1＋1＝2. 故答案为：2. 15.π4－2 【解析】由定积分的几何意义可知，⎠⎛011－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于π4.⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝－cos π＋cos 0＝2.∴⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝π4－2.答案为：π4－2.16．－12<a<0 【解析】f(x)＝x ln x ＋ax 2(x ＞0)，f ′(x)＝ln x ＋1＋2ax.令g(x)＝ln x ＋1＋2ax ，函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点 g(x)＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．g′(x)＝1x＋2a ＝1＋2ax x，当a ≥0时，g ′(x)＞0，函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因此g(x)＝0在区间(0，＋∞)上不可能有两个实数根，应舍去．当a<0时，令g ′(x)＝0，解得x ＝－12a .令g′(x)＞0，解得0＜x ＜－12a，此时函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0，解得x ＞－12a，此时函数g(x)单调递减．∴当x ＝－12a 时，函数g(x)取得极大值．要使g(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个实数根，则g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＞0，解得－12<a<0.∴实数a 的取值范围是－12<a<0. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)∵b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝12bc sin A ，∴代入已知等式得：2bc cos A ＝433·12bc sin A ，得：tan A ＝3，∵A 是三角形内角，∴A ＝60°.6分(Ⅱ)∵B 为三角形内角，cos B ＝45，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35，∴sin C ＝sin (B ＋A)＝sin (B ＋60°)＝12sin B ＋32cos B ＝3＋4310，∵a ＝53，sin A ＝32，sin C ＝3＋4310， ∴由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝3＋4 3.12分18．【解析】(Ⅰ)∵3a n ＝2S n ＋n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋n －1，即a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n ＋12＝32·3n －1，∴a n ＝12×3n －12，∴S n ＝3a n －n 2＝34·3n －14()2n ＋3，8分∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34()3＋32＋ (3)－14×()5＋2n ＋3n 2＝98()3n －1－n ()n ＋44.12分19．【解析】(Ⅰ)如图，作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB. 又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SAD.5分 (Ⅱ)连结BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD. 取BC 中点E ，得OE ∥AB ，连结SE ，∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝ 2.由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴DC →＝(0，1，0)，SC →＝(－1，1，－2)，BC →＝(－2，0，0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0，1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0.即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 2＝1得n ＝(0，2，1)．则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝13×3＝13.12分20．【解析】(Ⅰ)圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0的圆心为M ()0，－2，半径为23，点N()0，2在圆M 内， ||PM ＋||PN ＝23>||MN ，所以曲线E 是以M, N 为焦点，长轴长为23的椭圆，由a ＝3， c ＝2，得b 2＝3－2＝1，所以曲线E 的方程为x 2＋y 23＝1.4分(Ⅱ)①设B ()x 1，y 1， C ()x 2，y 2，直线BC: x ＝ty ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 2＋y 23＝1， 得()1＋3t 2y 2＋6mty ＋3m 2－3＝0，Δ＝36t 2－12m 2＋12，y 1＋y 2＝－6mt1＋3t 2， y 1y 2＝3m 2－31＋3t 2，由k 1k 2＝9知y 1y 2＝9()x 1－1()x 2－1＝9()ty 1＋m －1()ty 2＋m －1＝9t 2y 1y 2＋9()m －1t ()y 1＋y 2＋9()m －12，且m ≠1，代入化简得()9t 2－1()m ＋1－18mt 2＋3()m －1()1＋3t 2＝0，解得m ＝2.8分 ②由Δ＝36t 2－12m 2＋12＝36(t 2－1)>0，解得t 2>1，S △ABC ＝12||y 2－y 1＝3t 2－11＋3t 2＝3t 2－14＋3()t 2－12＝34t 2－1＋3t 2－1≤34(当且仅当t 2＝73时取等号)．综上，△ABC 面积的最大值为34.12分21．【解析】(Ⅰ)由已知x >0，f ′(x )＝2x ＋a ＋1x ＝2x 2＋ax ＋1x，①当a ≥－22时，f ′(x )≥0，则函数f (x )在(0，＋∞)单调递增. 2分 ②当a <－22时，Δ＝a 2－8>0时，2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根，记x 1＝－a －a 2－84，x 2＝－a ＋a 2－84，当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增．综上，当a ≥－22时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－22时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－84，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－84，－a ＋a 2－84上单调递减.5分 (Ⅱ)函数g (x )＝e x －1＋x 2＋a －f (x )＝e x －1－ln x －ax ＋a ，则g ′(x )＝e x －1－1x －a ＝h (x )，则h ′(x )＝e x －1＋1x2>0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，g ′(x )→－∞；x →＋∞时，g ′(x )→＋∞；所以g ′(x )∈R ， 所以g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0， 所以g (x 0)为g (x )的最小值．由已知函数g (x )有且只有一个零点m ，则m ＝x 0.所以g ′(m )＝0，g (m )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧e m －1－1m －a ＝0，e m －1－ln m －am ＋a ＝0，则e m －1－ln m －⎝⎛⎭⎫e m －1－1m m ＋⎝⎛⎭⎫e m －1－1m ＝0，得(2－m )e m －1－ln m ＋m －1m＝0， 令p (x )＝(2－x )e x －1－ln x ＋x －1x (x >0)，所以p (m )＝0，则p ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫e x －1＋1x 2，所以x ∈(0，1)时，p ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)时，p ′(x )<0，所以p (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，因为p (1)＝1>0，p (e)＝(2－e)e e －1－1＋e －1e ＝(2－e)e e －1－1e<0，所以p (x )在(1，e)上有一个零点，在(e ，＋∞)无零点，所以m <e.12分22．【解析】(Ⅰ)∵圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，∴消去参数α得普通方程为：x 2＋(y －1)2＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴(ρcos θ)2＋(ρsin θ－1)2＝1，化简得圆C 的极坐标方程为：ρ＝2sin θ.4分(Ⅱ)∵射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P .∴把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得：ρP ＝2sin π6＝1.又射线OM ：θ＝π6与直线l 的交点为Q ，∴把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得：ρsin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝2.ρQ ＝2.∴线段PQ 的长|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.10分23．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≤2.∴－1≤x ≤1，∴不等式解集为[－1，1].4分 (Ⅱ) ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴m ＝2，6分 又1a ＋4b ＝2，a >0，b >0，∴12a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝2，b ＝2a ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3时取等号，所以(a ＋b )min ＝92.10分(这是边文，请据需要手工删加)。
湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题数 学(文科)命题人：湖南师大附中高二数学备课组(考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容)时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ＝{x ∈N |0＜x ≤8}，集合A ＝{1,2,4,5}，B ＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{1,2,4}B.{3,7,8}C.{1,2,4,6}D.{3,6,7,8}2.已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 3.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.在三角形ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，若a cos C ＝c cos A ，且a 、b 、c 成等比，则三角形ABC 是A.等边三角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形5.在等比数列{a n }中，已知a 3＝12，a 9＝8，则a 5a 6a 7的值为A.±8B.－8C. 8D.646.已知平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝3，向量a 与b 的夹角是60°，则|a ＋b |＝ A.13 B.15 C.19 D. 377.已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2αcos 2α的值等于A.32B.34C.－32D. －348.函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的图象是9.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )成立，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0(其中f ′(x )为f (x )的导数).设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 三者的大小关系是A.a <b <cB.c <a <bC.c <b <aD.b <c <a10.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R 的说法不正确．．．的是 A.函数不具有奇偶性B.x ∈[1,2)时函数是增函数C.函数是周期函数D.若函数g(x)＝f(x)－kx 恰有两个零点，则k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，12 选择题答题卡二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11.计算sin 600°＝ .12.已知圆C 的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x －y －4＝0相切，则圆C 的标准方程是 .13.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的结果是 .15.若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4，(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B、C两点，则(OB＋OC)·OA＝.(其中O为坐标原点)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(－4x＋5·2x＋1－16).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[2，log27]上的值域.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R ). (1)求函数f ()x 的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ·AC ＝9，求a 的值.已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且－a 2，S n,2a n ＋1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n(a n －1)(a n ＋1－1)，求证：数列{b n }的前n 项和T n ∈⎣⎡⎭⎫23，1.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v(千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a 元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数并标明定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m∈R ，m ≠0).(1)求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线的形状；(2)若m ＝－3，已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是动点M 的轨迹上的两个动点且E ，F ，A 不共线，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a(a>0，a≠1).(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y＝f(x)－t有零点，求t的最小值；(3)若x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围.一、选择题1.B 【解析】图中阴影部分所表示的集合是(C U A )∩B ＝{3,7,8}，故选B.2.C 【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.3.D 【解析】∵f (1)＝ln 1＋1>0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，f (5)<0，选D.4.A 【解析】∵sin A cos C ＝sin C cos A A －C )＝A ＝C a ＝c ，由b 2＝ac ，故a ＝b ＝c ，选A.5.A 【解析】因{a n }为等比数列，则a 26＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6＝±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A.6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b ＝|a|·|b |cos θ＝4×3×12＝6.(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，||a ＋b ＝37.7.C 【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45，tan α＝－34.所以sin 2αcos 2α＝2tan α＝－32，故选C.8.A 【解析】函数是偶函数排除B 、D ，而ln cos π3＝－ln 2<0，选A.9.B 【解析】由f (x )＝f (2－x )可得，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (3)＝f (－1).又当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )<0，即f ′(x )>0，则f (x )在()－∞，1上单调递增.所以f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12.即c <a <b ，故选B.10.D 【解析】画出函数f (x )＝x －[x ]的图像如图，据图可知选D. 二、填空题 11.－32 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 12.x 2＋(y －1)2＝5 【解析】因为直线2x －y －4＝0与圆C 相切，所以圆C 的半径r ＝|－1－4|5＝ 5. 故圆C 的标准方程是x 2＋(y －1)2＝5. 13.－2 【解析】f (2 015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝－f (－3) ＝－f (－3＋4)＝－f (1)＝－2.14.2 【解析】第一次x ＝5－3＝2，第二次x ＝2－3＝－1，满足x ≤0，计算y ＝0.5－1＝2.15.72 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的周期是16，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4(－2<x <14)的图像仅与2015届高二第二学期期中考试试题数学(文科)参考答案x 轴交于点A (6,0)且关于点A 对称，故A 是线段BC 的中点，则(OB ＋OC )·OA ＝2OA 2＝72.三、解答题16.【解析】(1)－4x ＋5·2x ＋1－x －2)(2x －xx <3. 即函数f (x )的定义域是(1,3)；6分(2)当x ∈[2，log 27]时2x ∈[4,7]，－4x ＋5·2x ＋1－16＝9－(2x －5)2∈[5,9]， 此时 f (x )的值域是[log 25,2log 23].12分17.【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π63分 (1)最小正周期：T ＝2π2＝π，4分由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得：k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；6分 (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12可得：2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z ) 所以A ＝π3，8分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，9分 而AB ·AC ＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝1810分∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝4a 2－54，∴a ＝3 2.12分18.【解析】(1)∵2S n ＝－a 2＋2a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝－a 2＋2a n 2分 两式相减得2a n ＝2a n ＋1－2a n ，故a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2.4分又当n ＝1时，2a 1＝－a 2＋2a 2，得a 2＝2a 1，所以n ＝1时也满足a n ＋1a n ＝2∴{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n .6分 (2)∵b n ＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，8分 ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，10分 ∵2n ＋1≥4，∴T n ≥1－13＝23， 又12n ＋1－1>0，∴T n <1，∴23≤T n ＜1.12分 19.【解析】(1)由已知有可变成本＝v 225，全程所用的时间为s v，3分 全程运输成本为y ＝a ·s v ＋125v 2·s v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25， 所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25，v ∈(0,60].6分(2)y ′＝s ⎝⎛⎭⎫125－a v 2＝v 2－25a 25v 2s ＝(v ＋5a )(v －5a )25v 2s ，v ∈(0,60]8分 由题意：s ，a ，v 均为正数，当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,5a ]上单减 ，在[5a ，60]上单增所以此时当v ＝5a 时，全程运输成本y 最小.11分(或用均值不等式：当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25≥2sa 25，当且仅当a v ＝v 25，即v ＝5a 时等号成立)当5a ≥60即a ≥144时，当v ∈(0,60]时，y ′<0， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,60]上单减 ，∴此时当v ＝60时，全程运输成本y 取最小值综上，当a <144时，行驶速度v ＝5a 千米/小时时全程成本最小； 当a ≥144时，行驶速度v ＝60千米/小时时全程成本最小.13分20.【解析】(1)设动点M (x ，y )，依题意有：y x －2·y x ＋2＝m 4(m ≠0) 整理得x 24－y 2m＝1 (x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程，3分 m >0时轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；m ＝－4时，轨迹是圆；m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上.6分(2)m ＝－3时，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2) ∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 23＝1 解得t ＝32，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，327分 设k AE ＝k (k ≠0)，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1并整理得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝⎛⎭⎫1，32在动点M 的轨迹上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2③， y E ＝kx E ＋32－k ④9分 又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k 10分 ∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k 4k 2＋3∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k 24k 4k 2＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝12即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13分 21.【解析】(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a 1分由于0<a <1或a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a 与a x －1同号，所以 f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分(2)当a >0，a ≠1时，易知f ′(0)＝0，设g (x )＝2x ＋(a x －1)ln a g ′(x )＝2＋a x (ln a )2>0则f ′(x )在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝05分且x ，f′(x)，f(x)故f min (x)＝f(0)＝1，即使函数y ＝f(x)－t 有零点的t 的最小值是1.7分(3)因为1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|(f(x))max －(f(x))min |＝(f(x))max －(f(x))min ≥e －18分 由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，(f(x))min ＝f(0)＝1，(f(x))max ＝max {}f(－1)，f(1)，而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a－2ln a ， 记g(t)＝t －1t－2ln t(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t－12≥0(当t ＝1时取等号)， 所以g(t)＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －－ln a ≥e －≥e ，②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1a＋ln a ≥e －≤1e ， 综上知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[)e ，＋∞.13分。
湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4} 2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=07．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．299．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP （O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}=[1，4]，∴A∩B=[1，2]，故选：B．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．解答：解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选D点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值考点：顺序结构；算法的概念．专题：算法和程序框图．分析：逐步分析各步算法，根据赋值语句的功能，即可得解．解答：解：逐步分析算法中的各语句的功能，第一步是把a的值赋值给m，第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．故选：D．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案，本题属于基本知识的考查．4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．解答：解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．解答：解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设出幂函数，利用点P确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程．解答：解：设幂函数的方程为f（x）=xα，因为f（x）图象经过点P（4，2），即f（4）=4α=22α=2，即2α=1，解得，所以幂函数方程为，幂函数的导数为，所以切线斜率．所以切线方程为，即x﹣4y+4=0．故选B．点评：本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键．7．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数的图象的平移变换规律，可得结论．解答：解：将x=tan3x的图象上的所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y=tan3（x+）=tan（3x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．解答：解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP （O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F （c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），∴，消去y1得：…（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：∵0＜sin2θ＜1∴而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率∵双曲线中，c＞a∴离心率e＞1，可得．故选C点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（2，8]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据对数函数的真数大于0建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可．解答：解：要使函数有意义则f（x）＞0结合图象可知当x∈（2，8]时，f（x）＞0∴函数的定义域是（2，8]故答案为：（2，8]点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及数形结合的思想，同时考查了识图能力，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=﹣1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．解答：解：∵向量=（1，2），﹣=（3，1），∴﹣=（3，1）﹣（1，2）=（2，﹣1），∴=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2）；∴2+=2（1，2）+（﹣4，2）=（﹣2，6）；又=（x，3），（2+）∥，∴﹣2×3﹣6x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．考点：概率的基本性质；几何概型．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值范围为（﹣，0）．考点：带绝对值的函数．专题：计算题．分析：由题意可得|4a﹣3|=|2b+3|，故4a﹣3和2b+3互为相反数，解得b=﹣2a，代入要求的式子可得 T=3a2+b=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），由此求得T=3a2+b的取值范围．解答：解：∵f（x）=|2x﹣3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a﹣3|=|2b+3|．因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a﹣3＜2b+3，所以必须有4a﹣3和2b+3互为相反数．∴4a﹣3+2b+3=0，故 b=﹣2a．再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜﹣2a+1，即 0＜a＜．∴T=3a2+b=3a2 ﹣2a=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），即﹣＜T＜0，故答案为（﹣，0）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由题意x与y由所给的表格可以知道数学与地理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（2）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，数学成绩的优秀得人数为7+20+5，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（3）由题意知a+b=31，且a≥10，b≥8，然后列举出所求满足条件的（a，b），找出数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的个数，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：解：（1）依题意，=0.18，得n=100；（2）由=0.3，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），，（21，10），（22，9），（23，8）共14组．其中数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少有：：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组∴数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率为=点评：本题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，属于基础题．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，从而=2，由此得到数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列，从而能求出S n=．（2）由b n===（），利用裂项求和法能求出使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值．解答：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣），即2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，…①由题意S n﹣1•S n≠0，将①式两边同除以S n﹣1•S n，得=2，∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）∵b n===（），∴T n=（）=（1﹣）＜．∵T n＜，∴，∴使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值为10．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，设DF的中点为N，则MNAO为平行四边形，则OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF，满足定理所需条件；（3）过A做AH⊥DF于H，根据面面垂直的性质可知AH⊥平面BDF，AH为点A到平面BDF的距离，即可得出结论．解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB又AF⊥BF，CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．证明：设DF的中点为N，则MN平行且等于CD又AO平行且等于CD．∴MN平行且等于AO，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF∴OM∥平面DAF；（3）解：过A做AH⊥DF于H，∵AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，∵AF⊥BF，AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，∴平面ADF⊥平面BDF，∴AH⊥平面BDF，∴AH为点A到平面BDF的距离．在△ADF中，AD=AF=1，∴AH=．点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和A到平面BDF 的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）考点：圆方程的综合应用．专题：应用题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径；（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0°，180°），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）；（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号．∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴当P为圆弧ABC的中点时，四边形APCD的面积最大，且为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h （t）的最值，从而求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值范围为[33，+∞）．点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率，及点在该椭圆上满足椭圆的方程与a2=b2+c2即可求出；（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），由A（﹣2，0），PQ=HP，得到Q（x0，2y0），进而得到直线AQ的方程为．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线即可得到点N的坐标，只要证明且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．解答：解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得，又a2=b2+c2，∴4b2=a2．∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得b2=1．∴a2=4，故椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），∵A（﹣2，0），∵PQ=HP，∴Q（x0，2y0），∴直线AQ的方程为．令x=2，得．∵B（2，0），，∴．∴，．∴∵，∴∴．∵﹣2＜x0＜2，∴．又O、Q、N不在同一条直线，∴∠OQN为锐角．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．。
2014-2015学年度高二年级期中考试试卷（理科）考试范围：选修2-1；选修2-2，选修2-3排列组合 考试时间：120分钟；命题：湖南师大附中高二数学备课组 审题：吴锦坤 一、填空题（共10题每题5分，满分50分） 1、“2x <”是“2320x x -+<”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为232012x x x -+<⇔<<,因为122x x <<⇒<且2x <⇒12x <<,所以“2x <”是“2320x x -+<”成立的必要不充分条件,故选B.2、有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C【解析】 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．3、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（） A.23,p p B.12,p p C.,p p 24 D.,p p 34【答案】C 【解析】i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212， 所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.4、5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20 【答案】A【解析】 由题意可得通项公式r r r r y x C T )2()21(551-=-+，令r ＝3，则C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝⎛⎭⎫122×(－2)3＝－20.5、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 由类比推理可知，选项C 正确．6、在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【答案】D【解析】作出各点，求出对应面积即可.7、点P 与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）【答案】A.【解析】由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. 8、若点P 是函数2()ln 2f x x x =-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最小距离为 （ ） 553235 【答案】D 【解析】法一：设P （x ，23ln 2x x -），点P 到直线220x y --=的距离d =223|2ln 2|221x x x -+-+=23|2ln 2|25x x x -+-+，设()g x =232ln 22x x x -+-+，()g x '=123x x-+- =(31)(1)x x x+-，当0＜x ＜1时，()g x '＜0，当x ＞1时，()g x '＞0，∴()g x 在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以min [()]g x =(1)g =32，∴min d min 5=3510，故选D.法二：函数上与直线距离最短的点即为与直线平行的切线与函数图像相切的切点， 设切点为),(00y x ，则2)(0='x f ，得10=x ，从而切点为)23,1(，又点到直线的距离公式得结论为D.9、在各项均不为0的数列{n a }中，若1a =1，2a =13，21212n n n n n n a a a a a a ++++=+）（*∈N n ,则2015a =（ ）A.14027B.14028C.14029D.14031【答案】C【解析】∵数列{n a }的各项均不为0，故将21212n n n n n n a a a a a a ++++=+两边同除以12n n n a a a ++得，12211n n n a a a ++=+， ∴数列{1n a }是首项为1，公差为2的等差数列，∴20151a =4029，∴2015a =14029，故选C.10、已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且)5()(x f x f -=,5()'()02x f x -<若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是( ) A ．12()()f x f x <B ．12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x +<D ．12()()f x f x > 【答案】D【解析】由题意知函数)(x f 图像关于25=x 对称，且在),25(+∞为增函数，在)25,(-∞为减函数，又1212,5x x x x <+<，则251<x ，25221<+x x ，结合图像可知答案D 二、填空题（共5题每题5分，满分25）11、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是．【答案】2214y x -= 【解析】由渐近线2y x =±，知双曲线方程可设为：λ=-422y x ，将点代人得1=λ12、若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2. 13、()2-2|sin |x x dx ππ+=⎰=________.【答案】2 【解析】由题可得,()222222sin sin x x dx xdx x dxππππππ---+=+⎰⎰⎰2002sin xdx π=+⎰()2cos cos 022π⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦,故填2.14、已知z ∈C ，且|z ﹣2﹣2i|=1，i 为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是. 【答案】3【解析】设yi x z +=（R y x ∈,)，满足|z ﹣2﹣2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心， 以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C 1，C 2连线的长为4与1的差，即为3.15、已知任意一个正整数的三次幂可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7911++，则我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若3n 的一个“数因子”为2015，则n =【答案】45【解析】由图可知，3n 可表示为n 个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n 个正整数的三次幂的“数因子”共有，故2015是第1008个奇数. ，所以344的最大“数因子”是第990个奇数，345的最大“数因子”是第1035个奇数，故第1008个奇数——2015应是345的一个“数因子”.三、解答题（共6题每满分75）16．（本小题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩（x ∈R ），（1）求函数()f x 的最小值；（2）已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立；q ：函数2(1)x y m =-是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解：（1）min 1(2)1()3(2)()=f(-2)=12151()2x x f x x x f x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩作出图像，可知 （4分）（2）22:+2-21-31:-1>1p m m m q m m m ≤⇒≤≤⇒（8分）∵0-3m 11p q p q p q m m ≤≤⎧⎪∴≤≤⎨≤≤⎪⎩1或为真，且为假若真假时，则解得（10分）>1<-32<-3m m p q m m m m ⎧⎪⎨⎪⎩或若假真时，则解得或CA故实数m 的取值范围是(-,-3))∞⋃⋃∞ （12分）17．(本小题满分12分) ，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．分 （2分分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即由于分，即12分18.(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面ABC ,点A 在平面1A BC 中的投影为线段1A B 上的点D . （1）求证：BC ⊥1A B（2）点P 为AC 上一点,若AP PC =,2AD AB BC ===,求二面角C B A P --1的平面角的余弦值【解析】（1）证明:1AA ⊥平面ABC 且BC ⊆平面ABC .1AA BC ∴⊥且三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱 2分AD ⊥平面1A BC 且BC ⊆平面1A BC∴AD BC ⊥3分又1AA ⊆平面1A AB ,AD ⊆平面1A AB ,1A AAD A =,∴BC ⊥平面1A AB ,1BC A B ⊥5分（2）由（1）可得BC ⊥平面1A AB ,AB ⊆平面1A AB ,从而BC AB ⊥,如图,以点B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -7分在Rt ABD ∆中,AD =2AB =,0sin ,602AD ABD ABD AB ∠==∠=, 在直三棱柱111ABC A B C -中,01tan60AA AB ==8分 则()()()(10,0,0,0,2,0,1,1,0,B A P A ,()1,1,0BP =,(10,2,BA =,()2,0,0BC =,设平面1PA B 的一个法向量为()1,,n x y z =,则有11100200x y n BP y n BA ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪=⎪⎩⎩,可得(13,3,n -. 9分 设面1CA B 的一个法向量为()2,,n x y z =,则22100n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩020x y =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩,即(20,n =-, 10分 则12121227cos ,7n n n n n n <>==, 所以二面角1P A B C --. 12分 19.(本小题满分13分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：[)[]321640,10,3025401600,30,50x x y x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。
满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟 必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是A.x >1B.x <1C.x >3D.x <3 3.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于A.－sin αB.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 . 9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 . 13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且AC ＝AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上一点，且AH ⊥PD ，EH 与平面PAD 所成角的正切值为62，求二面角E －AF －C 的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，13B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 4.(本小题满分13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题1－4.BABC 5－7.BDC 二、填空题②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝62，因此AH ＝ 2.又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°，所以PA ＝2.(8分)解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，1. 设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则错误!因此错误!取z 1＝－1，则m ＝(0,2，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD ＝(－3，3,0)，所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD ＝2×35×12＝155. 因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上， 所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.(6分)由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM ·TN 取得最小值为－15.由(*)式，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋452－15.(6分)故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x－2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24.v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24时，有0个公共点； 当m ＝e24时，有1个公共点；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分) (3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝exx所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x－2·e x x ＝e x(x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减； 当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0.即x >0时，e x－2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0， 所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e)所以h (e)>78.(14分)。
命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月 15日)满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分： 必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是A.x >1B.x <1C.x >3D.x <33.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于A.－sin αB.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为A.17或－1B.－17或1C.－1D.16.设F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2x 2a 2y 225的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有A.f (－3)＋f (3)<2f (2)B.f (－3)＋f (7)>2f (2)C.f (－3)＋f (3)≤2f (2)D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数10的值是 . (1－i 1＋i)9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则，中至少有一个小于2”时，1＋x y 1＋y x假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有＝成立.类似地，在等比数a 11＋a 12＋…＋a 2010a 1＋a 2＋…＋a 3030列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为.12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 .13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.。
湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知z =，则z =（ ）A ．13B ．13+C ．12i 33-D ．12i 33+ 2．设集合{}(){}212,ln 1A x x B y y x =+≤==+，则A B =U （ ） A ．[]0,1 B ．[]3,0- C ．[)3,∞-+ D ．[)0,+∞ 3）A ．2πB ．3πC ．D ．4．若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(2)3α-=（ ） A ．45- B ．35- C ．45 D ．355．已知平面上三个单位向量,,a b c r r r 满足()2a c b =+r r r ，则a c ⋅=r r （ ）A ．12BC ．14 D 6．若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]4,14 C ．[]10,14 D ．[)10,+∞ 7．已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（ ）A B C ．1 D ．28．已知点P 在椭圆τ：22221x y a b+=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12 BCD二、多选题9．若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为811．在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=o ，点T 满足1AT xAB yAC z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（ ）A ．当点T 为三角形111ABC 的重心时，2x y z ++=B ．当1x y z ++=时，ATC ．当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D ．当1x y +=时，点T 到1AA三、填空题12．已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =． 13．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为则该球的表面积为．14．已知2024是不等式()22log 2321log x x a a +->+的最小整数解，则a 的取值范围为．四、解答题15．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？16．已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)若CMP !的面积为2，求AB ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =PB PC =90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18．已知P是椭圆C ：22221x y a b+= (a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．19．基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...n i n i a a a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...n nn n n i i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...n i n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n +++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．(1)已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值； (2)已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111n n n i i i i ana ==-≥-∏∏； （ⅱ）当2024n ≥，求3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．。
