北京市高二下学期数学月考试卷A卷

2023-2024学年北京市高二下册统练3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．已知复数2i 1iz a =+-，其所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(1,+)∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【正确答案】D【分析】先对复数z 化简，再由其对应的点在第四象限，列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：因为22(1)11(1)1(1)(1)i z ai ai ai i a i i i i +=+=+=++=++--+，所以复数z 在复平面对应的点为(1,1)a +，因为复数z 在复平面对应的点在第四象限，所以10a +<，得1a <-，故选：D3．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【正确答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】ππsin 2sin236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需将sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度即可.故选：B.4．对任意向量a ､b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．()22a ba b +=+ B ．()()22a b a b a b⋅=+-- C ．a b a b ⋅≤⋅ D ．a b a b -≤-【正确答案】D根据向量的平方即为模的平方．即可判断A ；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断B ；运用向量数量积的定义，即可判断C ；运用向量模的性质，即可判断D.【详解】A ，由模的平方等于向量的平方知()22a ba b +=+恒成立，故正确；B ，由平方差公式知()()22a b a b a b ⋅=+-- 恒成立，故正确；C ，cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅≤⋅恒成立，故正确；D ，当,a b →→不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，a b a b ->-，故a b a b -≤- 不恒成立，故D 错误.故选：D5．在ABC 中，2a =，6A π=，则“3B π=”是“b =的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：在ABC 中，2a =，6A π=，当3B π=时，由正弦定理可得2sinsin63b ππ=，22sin213sin62b ππ=⨯==当b =2πsin sin6B =，sin 2B =，因为5(0,)6B π∈，所以3B π=或23B π=，所以“3B π=”是“b =的充分而不必要条件，故选：A6．若直线2y x =与双曲线:C 22221x ya b-=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（）AB ．1C ．2D ．【正确答案】C【分析】由直线与双曲线的位置关系求得,a b 的不等关系，由此变形可得离心率范围，得到正确选项．【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，直线2y x =与双曲线无公共点，则2b a ≤，22224a b c a ≥=-，225c a≤，即c e a =≤，所以e ∈．故选：C ．7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A ．29B ．30C ．58D ．59【正确答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【正确答案】A【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11812(1)1611113212n nnn a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<< ，当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>> ，所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ．故选：A ．关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值．9．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +-=上一点，Q 是ABC 边上一点，则OP OQ ⋅的最大值是（）A．B ．12C．D ．16【正确答案】B【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，【详解】解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==，所以1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，所以问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，因为点(,)P x y 在圆M 上，设点(,)P x y 所在的直线l 为x y t +=，因为直线l 与圆M 有公共点，≤所以42t -≤，解得26t ≤≤，即1126x y ≤+≤，所以1142()12x y ≤+≤，所以OP OQ ⋅的最大值是12，故选：B关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是该正方体棱上一点.若满足()10PB PC m m +=>的点的个数为4，则m 的取值范围是（）A ．⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡+⎣C ．⎡⎣D ．2⎡+⎣【正确答案】B先求得正方体的8个顶点到1,B C 两点的距离之和，进而得到得到在棱上的运动时m 的取值范围，然后再根据点的个数为4取交集即可.【详解】如图所示：因为顶点1,C B 到1,B C两点的距离之和分别为111114,4,CB CC B B B C BC +=+==所以当点P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m的取值范围是4]；因为顶点1,A D ，到1,B C两点的距离之和分别为：1111122AB AC D B D C BC +=++=+=所以当点P 分别在棱11,C D AB 上运动时，m的取值范围是2+；因为顶点11,,,A B C D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1114B B B C +=，14CB CC +=，1DB DC +=，所以当点P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m的取值范围是；因为顶点11,,,A A D D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1DB DC +=，111122AB AC D B D C +=++=+所以当点P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m的取值范围是[2+.由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，所以当1||(0)PB PC m m +=>的点P 的个数为4时，则m的取值范围是[4,2+，故选：B二、填空题11．已知向量(,1)a m = ，(3,)b m = ，若a 与b方向相反，则m 等于___________.【正确答案】【分析】由题意可设(0)a b λλ=< ，从而可得31m m λλ=⎧⎨=⎩，进而可求出m 的值【详解】解：由于a 与b方向相反，所以设(0)a b λλ=< ，所以(,1)(3,)m m λ=，则31m m λλ=⎧⎨=⎩，解得3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去），所以m =故12．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【正确答案】2根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值.【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为.2结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos2αα-=，则cos α=___________.【正确答案】5运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±，而π(0,)2α∈，因此cos 5α=.14．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【正确答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为60︒．圆锥的计算．15．对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列命题：①存在函数()y g x =满足：()0>g f t ，且()y g x =有最小值；②设()()||=h x g x ，若()()=h g f t f t ，则()0g x ≥；③若()1=g f t ，则()y g x =为单调函数；④设()()()h x g x a a R =+∈，则()()=g h f t f t ．其中所有正确命题的序号为__________．【正确答案】②④【分析】根据方程()g x t =实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用()h x t =和()g x t =的解的个数相同，可判断，③举一反例，设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，可判断，④利用图象平移可说明判断．【详解】①若()g x 有最小值，则存在实数m ，使得()g x m ≥，则当<t m 时，()g x t =无实数根，即()0g f t =与()0g f t >矛盾，①错；②()()0h x g x =≥，故当0t <时，()h x t =无实数根，()0h f t =，所以()0g f t =，所以()g x t =无实数根，则()0g x ≥．②正确；③设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，易知对任意的实数t ，()g x t =有且只有一个根，所以()1g f t =，但()g x 不是单调函数，③错误；④()()h x g x a =+，()h x 为()g x 向左平移a 个单位所得图象对应的函数（a<0时，表示向右平移a 个单位），因此()h x t =和()g x t =的解的个数相等，所以()()h g f t f t =，④正确．故②④.关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义()g f t 的意义，根据新定义问题()g f t 转化为方程()g x t =解的个数．这样我们或兴例说明，或通过()g x t =的解的个数确定函数的性质，完成求解．三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2PA AD CD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）求二面角E CD A --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，则结合已知条件可证得四边形AFCD 是正方形，可得AB CF ⊥，AC BC ==BC AC ⊥，而由已知可得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAC ，从而由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知可得,,PA AD AB 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解二面角E CD A --的余弦值【详解】解：（1）.取AB 的中点F ，连接CF ，所以AF CD =，又因为//AF CD ，所以四边形AFCD 是平行四边形.因为AB AD ⊥，AD CD =，所以四边形AFCD 是正方形，则AB CF ⊥，2CF AD ==，所以AC BC ==，得到222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⊥平面PAC .（2）.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，则,,PA AD AB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,1)E ，所以(0,2,0)DC = ，(2,0,1)CE =-.设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，所以0n DC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以20,20,y x z =⎧⎨-+=⎩即0,2,y z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2z =，所以平面CDE 的法向量为(1,0,2)n =，又因为平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，所以cos ,⋅==⋅m n m n m n，由已知，二面角E CD A --为锐角，所以二面角E CD A --.关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立正确的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题17．已知函数()4sincos((0)223xxf x m ωωωπ=-+>.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知.(1)求(3f π的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③.(0)2f =注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】答案见解析【分析】利用三角函数恒等变换公式把函数()f x 化简成π()2sin()33f x x m ω=-+，选择①②，利用①、②分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择①③，利用①、③分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择②③，利用②、③都只能求出m 不能求出ω.【详解】13()4sin(cos sin )2222xx xf x m ωωω=⋅++22sin cos 3sin 222x x x m ωωω=++sin 3(1cos )x x m ωω=-+sin 3cos 3x x m ωω=-+π2sin()33x m ω=-+.选择条件①②：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2ω=，由②知，(23)(23)0m m ++-=，所以3m =，则()f x π2sin(2)3x =-，所以π2πππ()2sin(2sin 33333f =-=(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.选择条件①③：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2=ω，由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =，则()f x π2sin(2)23x =-++，所以ππ()2sin 33f ==；(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.说明：不可以选择条件②③：由②知，(2)(2)0m m ++-=，所以m =；由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =；矛盾.所以函数()f x 不能同时满足条件②和③.涉及正余弦型函数性质(单调性、周期性、对称性、最值等)的三角函数式问题，正确利用三角函数恒等变换公式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式是解决问题的关键.18．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠= ，120BCD ∠= .（1）若105ADC ∠=o ，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.【正确答案】（1）16米；（2）63米.【分析】（1）连接BD ，可知ABD △是等边三角形，可得出20BD =，求出BDC ∠的值，利用正弦定理可求得BC 的长；（2）设ADC θ∠=，利用正弦定理得出3BC πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而可得出围成该区域所需板材的长度关于θ的表达式，利用正弦函数的有界性可求得结果.【详解】（1）连接BD ，由题意ABD △是等边三角形，所以20BD =，又因为105ADC ∠=o ，所以45BDC ∠= ，在BCD △中，sin sin BC BDBDC C=∠∠，得20sin 45216sin1203BD BC ⨯==≈（米）；（2）设ADC θ∠=，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD △中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以sin 33BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，233DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所需板材的长度为()24033f ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1140sin cos cos sin 40sin 322223θθθθθ⎫=+-++=+⎪⎪⎝⎭.答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为4063≈（米）.方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常用两种思路：（1）转化为边，利用基本不等式求解；（2）转化为角，利用三角函数的有界性来求解.19．已知椭圆2222:1x y C a b +=()30A -,，()3,0B ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求BMO 与NMO △的面积之比．【正确答案】(1)22193x y +=；(2)4:7.【分析】(1)由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=，写出PA 所在直线方程，求得E 点坐标，得到直线l的方程，再写出PB 方程求解N 点坐标，把三角形的面积比转化为B 与N 点的横坐标的绝对值之比得答案．【详解】（1）由题意，3a =，又3c e a ==，c ∴=，则b ==∴椭圆C 的方程为22193x y +=；（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=．∴直线AP 的方程为00(3)3yy x x =++，取4x =，可得点07(4,)3y E x +，直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-，又直线PB 的方程为0(3)3y y x x =--，联立直线l 与PB 的方程，消去y 得00003(3)73x yx x y x +-=--，∴220000007937(3)3y x y x y x x +-⋅=--，①2200193x y +=，∴220093x y -=-，代入①解得点N 的横坐标214N x =，∴1||||||342121||7||||24B BMO B NMON N OM x S x S x OM x ⋅===⋅△△．故BMO 与NMO △的面积之比为4:7．20．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)求a 的值;(2)若对任意的[0,+)x ∈∞,有()2f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;【正确答案】(1)1；(2)12.【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；（2）先分析0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；再分析0k >时，构造函数()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥，对函数求导，分类讨论102k <<和12k ≥，即可求出结果.【详解】(1)()f x 的定义域为(),a -+∞,由()()ln f x x x a =-+，得()111x a f x x a x a+--'==++；由()0f x '>得1x a >-，由()0f x '<得1a x a -<<-，故函数()f x 在()1a a --，上单调递减，在()1a -+∞，上单调递增；因此当1x a =-时，()()min 110f x f a a =-=-=，所有1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；当0k >时，设()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥()()22111211x kx k g x kx x x -+-=--='++，令()0g x '=得0x =或1212k x k -=>-，①当102k <<时，1202k k ->，当12(0,)2k x k -∈时，()0g x '>，因此函数()g x 在12(0,)2kk -上单调递增，因此当012(0,)2k x k-∈时，()()000g x g ≥=，即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不满足题意；②当12k ≥时，1202kk-≤，()0g x '<在(0,+)∞上恒成立，因此()g x 在(0,+)∞上单调递减，从而对任意的[0,+)x ∈∞，有有()2f x kx ≤成立,故12k ≥符合题意；综上，实数k 的最小值为12.本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.21．已知数列012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅.设集合{}(),0,1,2,,0,1,2,,k i A i x k i n k n ===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，如果对任意的整数()0k k n ≤≤都有集合k A 的元素个数等于k x ，则称A 为“完美数列”(1)分别判断数列1:2,0,2,0A 和2:1,2,0,1A 是否为“完美数列”，直接写出结论：(2)若A 是“完美数列”，求证：()01223122n x x x n x n +++⋅⋅⋅++=+；(3)若A 是“完美数列”，且02023x =，求出所有满足条件的数列A .【正确答案】(1)1:2,0,2,0A 为“完美数列”；2:1,2,0,1A 不是“完美数列”(2)证明见解析(3):2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）【分析】（1）根据“完美数列”的定义进行判断即可；（2）根据A 共有1n +个元素，结合“完美数列”的定义可得0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+；又A 中各元素之和为123231n x x x nx n +++⋅⋅⋅+=+，加和即可证得结论；（3）根据02023x =可确定2024n ≥，依次分析2024,2025,2026n =的情况，结合0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+可确定2026n =时存在满足题意的数列；当2027n ≥时，在20231x =和20232x =的情况下，利用1A 的定义可说明不合题意，由此可得最终结论.【详解】（1）对于数列2,0,2,0，则02x =，10x =，22x =，30x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为02x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为10x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为22x =；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x =；1:2,0,2,0A ∴为“完美数列”；对于数列1,2,0,1，则01x =，12x =，20x =，31x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为01x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为12x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为21x ≠；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x ≠；2:1,2,0,1A ∴不是“完美数列”.（2）若A 是“完美数列”，则{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为0x ，{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为1x ，{}22,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为2x ，……，{},0,1,2,,n i A i x n i n ===⋅⋅⋅的元素个数为n x ，012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅ 共有1n +个元素，0121n x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+，又12323n x x x nx +++⋅⋅⋅+表示数列A 各项的和，123012231n n x x x nx x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+，()()()01212301223123n n n x x x n x x x x nx x x x x ∴+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=()2122n n +=+.（3）若012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅是“完美数列”，当2023n ≤时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则2023n >，与2023n ≤矛盾，不合题意；当2024n ≥时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则{}20232023,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为20231x ≥，①当2024n =时，012202320242025x x x x x +++⋅⋅⋅++=，12202320242x x x x ∴++⋅⋅⋅++=，又20230x ≠，A 中含有2023个等于0的项，12202220240x x x x ∴==⋅⋅⋅===，20232x =，此时{}22,0,1,2,,2024i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为21x ≠，不合题意；②当2025n =时，0122023202420252026x x x x x x +++⋅⋅⋅+++=，122023202420253x x x x x ∴++⋅⋅⋅+++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20233p x x +=且0p x ≠，若20231x =，则2p x =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为11x ≠，不合题意；若20232x =，则1p x =，若2p ≠，此时{}22,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数21x ≠，不合题意；若2p =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数11x ≠，不合题意；③当2026n =时，01220232024202520262027x x x x x x x +++⋅⋅⋅++++=，1220232024202520264x x x x x x ∴++⋅⋅⋅++++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20234p q x x x ++=不为0，且0p x ≠，0q x ≠；若20231x =，则3p q x x +=，可令1p x =，2q x =，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为2，{}22,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为1，则12x =，21x =，即:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）满足题意；若20232x =，则2p q x x +=，则1p q x x ==，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为12x ≠，不合题意；④当2027n ≥时，012202320241n x x x x x x n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+，12202320242022n x x x x x n ∴++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-，又A 中含有2023个等于0的项，则有20232022p q r x x x x n ++⋅⋅⋅++=-，且,,,p q r x x x ⋅⋅⋅均不为0，若20231x =，则存在2m x =，其余各项均为1，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；若20232x =，则p q r x x x ==⋅⋅⋅=，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；综上所述：:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）.关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题的求解，本题解题关键是能够充分理解“完美数列”的定义，结合“完美数列”中各项之和来分析确定数列中的各项所有可能的结果，从而得到符合题意的“完美数列”.。

2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若复数满足，则复数的实部与虚部之差为( )A.B.C.D.2. 如图，函数的图象在点处的切线是，则等于( )A.B.C.D.3. 下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )A.B.C.z (1+i)z =3−2i z 3−32−2y =f(x)P l f(2)+(2)f ′12−2−4y =x 2π4(0,0)(2,4)(，)1214，)11D.4. 设，则“”是“”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 函数的极值点是（ ）A.B.C.或或D.6. 某一次乒乓球赛的参赛队共有小组，每小组队．首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7. （5分） 若展开式的各项系数之和为，其展开式中的常数项为________（用数字作答）．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8. 随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了名用户进行调查，得到如下数据：(，)14116x ∈R 1<x <2|x −2|<1()f(x)=(−1+2x 2)3x=2x=0x=1−10x=−15315202530(+x 21x3)n 32100如果认为每周使用超过次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有关？每周骑行共享单车次及次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取名用户，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式，其中 9. 如图，在四棱锥中，，为等边三角形，且平面平面为中点.求证：平面；求二面角的正弦值.(1)32×20.05(2)664500X X =K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d)P −ABCD AB//CD ，∠BCD =90∘AB =2BC =2CD =4，△PABPAB ⊥ABCD ，Q PB (1)AQ ⊥PBC (2)B −PC −D参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：因为复数满足，所以，所以复数的实部与虚部之差为．故选．2.【答案】A【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出的式子，进而可求出的式子，即可求得结果．【解答】解：由图象可知，函数的图象在点处的切线是，且与轴交于，与轴交于，可知，z (1+i)z =3−2i z ==−i 3−2i 1+i 1252z −(−)=31252A f'(x)y =f(X)y =f(x)P l l x (4,0)y (0,4)l :x +y =4f(2)=2(2)=−1f ′∴，，∴代入则可得.故选．3.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的倾斜角【解析】利用导数的几何意义，求切线导数，利用倾斜角和斜率之间的关系进行求解．【解答】解：函数的导数为．因为切线的倾斜角为，所以切线的斜率，即，所以，解得．当时，．即切点为．故选.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，则，即.若，则成立，而，则不一定成立，f(2)=2(2)=−1f ′f(2)+f'(2)=1A f (x)=2x ′π4k =tan =1π4f (x)=1′2x =1x =12x =12y =(=12)214(,)1214C x ∈R ，|x −2|<1−1<x −2<11<x <31<x <21<x <31<x <31<x <2∴1<x <2|x −2|<1。

2023-2024学年北京市高二下册3月月考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，则它的公差为A ．2B ．3C ．2-D ．3-【正确答案】C【详解】试题分析：由32n a n =-可得12321,3221a a =-==-⨯=-，所以公差21112d a a =-=--=-．故C 正确．等差数列的定义．2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若22n S n n =+，则5a =（）A ．-21B ．11C ．27D ．35【正确答案】B【分析】根据n S 与n a 的关系即可求解.【详解】由22n S n n =+得25525=35S =+⨯，24424=24S =+⨯，所以554352411a S S =-=-=,故选：B3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若q =2，26S =，则3S =（）A ．8B ．12C ．13D ．14【正确答案】D【分析】由等比数列的基本量运算求得1a 后求得3a ，从而易得3S ．【详解】由题意21126S a a =+=，12a =，所以23228a =⨯=，3236814S S a =+=+=．故选：D ．4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.3P ξ<<=，则()4P ξ>=（）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【正确答案】D【分析】根据随机变量服从正态分布()22,N σ，求得其图象的对称轴2x =，再根据曲线的对称性，即可求解答案．【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布()22,N σ，所以2μ=，即图象的对称轴为2x =，又由()020.3P ξ<<=，则()240.3P ξ<<=，则()1(04)40.22P P ξξ-<<>==，故选：D ．5．用数学归纳法证明()*1111,12321n n n n ++++<∈>-N 时，第一步应验证不等式（）A ．1122+<B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【正确答案】B【分析】取2n =即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当2n =时，不等式为111223++<．故选：B ．6．小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A ．11144B ．112C ．1172D ．16【正确答案】C【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出.【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为112，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为121111C 1121272⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭.故选：C.7．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A ．0.4B ．0.8C ．0.2D ．0.5【正确答案】B【分析】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，根据题意可得出()P A 、()P AB ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，则()0.4=P AB ，()0.5P A =，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是()()()0.40.80.5P AB P B A P A ===.故选：B.二、多选题8．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则下列命题正确的是（）A ．若10a >，则48S a >B ．若10a >，则84S a ≤C ．若10a <，则48S a >D ．若10a <，则84S a ≤【正确答案】AD【分析】根据题意结合等比中项可得12d a =，再根据等差数列前n 项和结合作差法逐项分析判断.【详解】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，则2215a a a =，可得()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，由0d ≠，则12d a =，则()()11114181467332a d a d a d a a S a a =+-+=-=-=-.对A 、B ：若10a >，即1480S a a =>-，故48S a >，A 正确，B 错误；对C 、D ：若10a <，即1480S a a =<-，故48S a <，D 正确，C 错误；故选：AD.三、填空题9．在等差数列{}n a 中，已知45630a a a ++=，则19a a +=___．【正确答案】20【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 为等差数列，则4565330a a a a ++==，可得510a =，∴195220a a a +==.故20.10．数列{}n a 中各项均为正数，且()*12102,16n n a a n a a +=∈=N ，则6a ＝___．【正确答案】4【分析】根据等比数列下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 中各项均为正数，且()*12n n a a n +=∈N ，则数列{}n a 为等比数列，∴2210616a a a ==，可得64a =或64a =-（舍去）.故4.11．数列{}n a 满足111,31n na a a +==-，则2023a =________．【正确答案】3【分析】根据递推关系求出前几项，可知数列具有周期性，利用周期求解.【详解】由题可知，111,31n na a a +==-，得234111121,,31213231()123a a a a ==-=====----，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴20231367413a a a +⨯===．故312．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆ10.5yx a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的估计值为___________x24568y2050607080【正确答案】213.5由于回归直线过中心点，所以将中心点坐标代入回归直线方程中求出a ，再把20x =代入方程中可求得结果【详解】解：1(24568)55x =++++=，1(2050607080)565y =++++=，所以中心点为(5,56)，所以5610.55a =⨯+，解得 3.5a =，所以回归直线方程为10.5.5ˆ3yx =+，所以当20x =时，10.520 3.5213.5y =⨯+=，故213.5四、解答题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，29S =，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足32n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．条件①：47a =；条件②.422S =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)*3()n a n n =+∈N ,(2)122n n T +=-【分析】（1）选择条件①：由等差通项公式列出方程，得出数列{}n a 的通项公式；选择条件②：由等差求和公式列出方程，得出得出数列{}n a 的通项公式；（2）由3=22-=n n a n b ，结合等比求和公式得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）选择条件①：设公差为d ，因为2=9S ，47a =，所以112937a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.选择条件②：设公差为d ，因为2=9S ，4=22S ，所以11294622a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.（2）因为32n a n b -=，所以3=22-=n na nb 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()1122122122212n n n n n T b b b +-=++⋅⋅⋅+==-=--14．已知在等比数列{}n a 中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)12n n a -=(2)n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2)121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦ ()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-.221n n =+-.数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．15．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望()E X.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望.6 5（1）补全列联表，计算出2K后可得结论；（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.，计算出概率得分布列，由分布列计算期望．【详解】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为222800(300150250100)(450250)16010.8285502504004005525211K ⨯⨯-⨯-===>⨯⨯⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.所以0323351(0)10C C P X C ===，1233253(1)5C C P X C ===，5122333(2)10C C P X C ===.所以X 的分布列为X 012P11035310所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.答：x 的数学期望为65.16．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100] ，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【正确答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人（2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=依题意可知：~(3,0.3)X B ()300.7P X ==,1123(1)0.30.7P X C ==22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C P X ====所以,X 的分布列为X 0123P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.。

北京市2019-2020年度高二下学期数学第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高二下·中山月考) 若集合，，则“ ”的充要条件是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③不是棱锥D . ④是棱柱3. （2分） (2016高二下·上海期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A .B .C .D .4. （2分）若函数,函数,则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高二上·北京期中) 与共线且满足的向量b=________。

6. （1分） (2018高二上·北京月考) 已知为直线，为平面，有下列三个命题：⑴ ，则；⑵ ，则；⑶ ，则；⑷ ，则；其中正确命题是________7. （1分） (2017高一下·长春期末) 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是________．8. （1分）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．9. （1分） (2019高一下·通榆月考) 底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________cm2.10. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为________.11. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________12. （1分） (2018高一下·百色期末) 圆的圆心到直线的距离为，则 ________．13. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.14. （1分）(2018·延安模拟) 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．15. （1分）(2018高二下·沈阳期中) 如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）(2017·沈阳模拟) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC= AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．18. （5分）(2018·上海) 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。

2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若数列−2，a ，b ，c ，−8是等比数列，则实数b 的值为( )A. 4或−4B. −4C. 4D. −52.已知首项为1的数列{a n }中，a n +1=1+1a n ，则a 5=( )A. 53B. 85C. 138D. 23.曲线f(x)=3x 2−e x 在(0,f(0))处的切线方程为( )A. x +y +1=0B. x−y +1=0C. x−y−1=0D. x +y−1=04.在数列{a n }中，a n =1−1a n−1(n ≥2)，若a 1=2，则a 2024=( )A. 2B. 12C. −12D. −15.函数f(x)=lnxx 的单调递增区间是( )A. (−∞,e)B. (0,e)C. (1e ,+∞)D. (e,+∞)6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 4+a 14=6，则S 13=( )A. 14B. 26C. 28D. 327.李明同学进行立定投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为34；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为23，则他第2球投进的概率为( )A. 512B. 23C. 712D. 8128.已知函数f(x)=xsinx ，x ∈R ，则f(π5),f(1),f(π3)的大小关系为( )A. f(π3)>f(1)>f(π5) B. f(1)>f(π3)>f(π5)C. f(π5)>f(1)>f(π3)D. f(π3)>f(π5)>f(1)9.在某电路上有M 、N 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M 元件的概率为0.3，需要更换N 元件的概率为0.2，则在某次通电后M 、N 有且只有一个需要更换的条件下，M 需要更换的概率是( )A. 1219B. 1519C. 35D. 2510.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).现给出下列四个命题：①当k=1时，数列{a n}为递减数列；2②当0<k<1时，数列{a n}为递减数列；2<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；③当12④当k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．1−k其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ②③④D. ②④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市数学高二下学期理数第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A . {（1，2）}B . （1，2）C . {1，2}D . {（1，2），（﹣1，﹣2）}2. （2分）已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为（）A . 25B . 50C . 75D . 1003. （2分）设，函数的导函数为，且是奇函数，则a=（）A . -2B . 1C . 2D . -14. （2分）(2017·广西模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .5. （2分）设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1 ， x2 ， x3 ，且x1＜x2＜x3 ，则（）A . x1＞－1B . x2＜0C . x2＞0D . x3＞26. （2分）(2018·邢台模拟) （）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·广州期中) 曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是（）A . 1B .C .D .8. （2分）已知为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .9. （2分）已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·莆田模拟) 函数f（x）=x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·陕西模拟) 已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·平罗月考) 定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南充模拟) 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点， .若，则的面积的最大值是________．14. （1分） (2017高二下·邢台期末) 曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x= ，y=0所围成的平面图形的面积为________．15. （1分）(2020·武汉模拟) 函数f（x）＝xlnx+1在点（e ， e+l）处的切线方程为________．16. （1分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知函数 ,若，且，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）= ，曲线f（x）= 在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直．（注：e为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求证：当x＞1时，＞．18. （10分） (2017高一下·邢台期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA﹣cosB=2sinBcosC，且角B为钝角．（1）求角C的大小；（2）若a=2，b2+c2﹣a2= bc，求△ABC的面积．19. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知数列{an}的各项都是正数，它的前n项和为Sn ，满足2Sn=an2+an ，记bn=（﹣1）n ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前2016项的和．20. （10分）(2018·石嘴山模拟) 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且 .（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.21. （10分） (2019高二上·双流期中) 已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为．（1）求动点M轨迹C的方程；（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．22. （15分） (2019高三上·宁德月考) 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知且，若函数没有零点，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

北京市数学高二下学期文数5月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·深圳月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 设α ，β表示平面，m ， n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是（）A . α⊥β且m⊥βB . α∩β＝n且m∥nC . α∥β且m⊂βD . m∥n且n∥α3. （2分） (2019高一上·淮南月考) 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A . ，B . ,C . ，D . ，4. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 下列选项正确的个数为（）①已知数轴上且，则②已知 .③命题“ ” 的否定形式为“ ” .④已知多项式有一个因式为，则 .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）若函数满足,且时，，函数，则函数在区间[-5,5]内与轴交点的个数为（）A . 5B . 7C . 8D . 106. （2分）(2017·邯郸模拟) 函数y= 与y=ln（1﹣x）的定义域分别为M、N，则M∪N=（）A . （1，2]B . [1，2]C . （﹣∞，1]∪（2，+∞）D . （﹣∞，1）∪[2，+∞）7. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A . （﹣2，5）B . （﹣0.5，0.2）C . （﹣2，1）D . （﹣0.5，1）8. （2分） (2019高一上·山丹期中) 已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·临川模拟) 设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）A .B .C .D .10. （2分）若定义运算：，例如，则下列等式不能成立的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·吉林月考) 设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：① 是“1倍函数”；② 是“2倍函数”：③ 是“3倍函数”．其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③12. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·平遥月考) 若函数为偶函数，则 ________14. （1分） (2017高一上·鸡西期末) 若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=________．15. （1分） (2018高一上·唐山月考) 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号)① ；② ；③ ；④ .16. （1分） (2017高二上·临沂期末) 已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得 +（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·赣州期中) 计算：（1） 2 + + ﹣；（2）log22•log3 •log5 ．18. （10分） (2016高一上·宝安期中) 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（，）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断奇偶性；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用单调性定义证明．（3）作出函数f（x）在定义域内的大致图象（不必写出作图过程）．19. （10分） (2016高一上·泗阳期中) 已知函数f（x）=2x+m21﹣x ．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．注：点M（x1，y1），N（x2，y2）的中点坐标为（，）．20. （10分） (2019高一上·思南期中) 已知函数且 , （1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．21. （10分）(2017·诸暨模拟) 已知函数f（x）=xex﹣a（x﹣1）（a∈R）（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高一上·林口期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

首师大附中（通州校区）高二月考数学试卷一、单选题（每小题4分，共40分）1. 某物体做直线运动，位移y (单位：m)与时间t (单位：s)满足关系式，那么该物体在s 221y t =+3t =时的瞬时速度是（ ）A. 2m/sB. 4m/sC. 7m/sD. 12m/s【答案】D 【解析】 【分析】对求导，将代入导函数，可求出答案. 221y t =+3t =【详解】对求导，得，221y t =+4y t '=当时，（m/s ）， 3t =4312y '=⨯=所以物体在s 时的瞬时速度是12m/s. 3t =故选：D.【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．2. 在的二项式展开式中，常数项是（ ）921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 504 B.C. 84D.84-504-【答案】C 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式 29118319C ()()(1)C r r r r r rr n T x x x---+=-=-令 ，解出 ，再代入通项公式中即可1830r -=r 【详解】根据二项展开式的通项公式 291183199C ()()(1)C r r r r r r r T x x x---+=-=-令，解得1830r -=6r =6679(1)C 84T ∴=-=故选：C3. 若直线与曲线相切，则（ ）2y x =ln 2y a x =+=aA. 1B. 2C. eD.2e 【答案】B 【解析】【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.()00,x y 0000022ln 2a x y x y a x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩a 【详解】设切点坐标为，.()00,x y ay x'=则，解得. 0000022ln 2a x y x y a x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩002ln 22a x y a a a a ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩令，则， ()ln22af a a a =+-()ln ln 2f a a '=-所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 02a <<()0f a '<()f a 2a >()0f a '>()f a 所以，所以方程的根为． ()()min 20f a f ==ln 22aa a =+2a =故选：B .4. 设随机变量，，若，则（ ） ()2,X B p ()4,Y B p ~()409P X ==()D Y =A.B.C.D.23434989【答案】D 【解析】【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p 的方程，解出p ()2,X B p ()409P X ==的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果． ()4,Y B p ~【详解】因为随机变量， ()2,X B p 所以， 0224(0)C (1)9P X p ==-=解得或（舍） ， 13p =53p =所以，14,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以. ()11841339D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：D ．5. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A 只能安排在第一或最后一场，讲座B 和C 必须相邻，则不同的安排方法共有（ ）种 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】C 【解析】【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得,B C 22A D 22A A 12A 到答案.【详解】设四场讲座为，,,,A B C D 首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，,B C 22A D 22A A 12A 综上共有种.221222A A A 8=故选：C6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（ ） A.B.C.D.163101234【答案】D 【解析】【分析】设第1次抽到白球为事件A ，第2次抽到红球为事件B ，求出，，利用()25P A =()310P AB =条件概率公式求出概率.【详解】设第1次抽到白球为事件A ，第2次抽到红球为事件B ， 则，， ()25P A =()2335410P AB =⨯=则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. ()()()3310245P AB P B A P A ===故选：D7. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）0.63A.B.C.D.81125541253612527125【答案】A 【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：， 232333333811555125C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.8. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是的事件为310（ ）A. 恰有1只是坏的B. 4只全是好的C. 恰有2只是好的D. 至多2只是坏的【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意计算随机地抽取4只的总事件数，再根据组合的方法分别计算各选项中的事件数再判断即可【详解】盒中有10只螺丝钉，盒中随机地抽取4只的总事件数为：，∴410C 210=其中有3只是坏的，所以可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：∴，，，，1337C C 105⨯=2237C C 63=47C 35=4132273737C C C C C 203++=恰有1只坏的概率为：， ∴10512102=恰有2只好的概率为：， 63321010=4只全是好的概率为:， 3512106=至多2只坏的概率为:； 2032921030=故选：ABD ． 9. 对于函数的描述，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A. 函数存在唯一的零点B. 函数在区间上单调递增()f x ()f x (0,e)C. 函数在区间上单调递增D. 函数的值域为R()f x (e,)+∞()f x 【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数的零点及单调性即可判断选项()f x A ，B ，C 选项，利用最值以及函数值即可判断选项D ． 【详解】对于A ，由题意函数，定义域为，，，无解,A 错误； ()ln x f x x =(01)(1⋃)∞+()0ln xf x x==又因为，当或时，，故函数单调递减， 2ln 1()ln x f x x-'=01x <<1e x <<()0f x '<()f x 当时，，故函数单调递增，B 错误C 正确； e x >()0f x '>()f x 当又,,且当时，，所以，故函数()()1,e x f x f >≥()e e f =()e f x ∴≥01x <<ln 0x <()0f x <()f x 的值域不为R . 故选：C ．10. 设函数在R 上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列结()f x ()f x '(1)()y x f x '=-论：①有极大值()f x ()2f -②在区间上是增函数 ()f x ()1,+∞③的减区间是； ()f x ()2,-+∞④有极小值.()f x ()1f 则其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C 【解析】【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.1x -(1)()y x f x '=-()f x '【详解】当时，由的图象可知，所以， <2x -(1)()y x f x '=-0y >()0f x '>当时，由的图象可知，所以， 2<<1x -(1)()y x f x '=-0y <()0f x '<当时，由的图象可知，所以， 1x >(1)()y x f x '=-0y >()0f x '<即函数在上递增，在上单调递减， ()f x (,2)-∞-(2,)-+∞所以有极大值.()f x ()2f -故①③正确，②④错误. 故选：C二、填空题（每小题5分，共25分）11. 设随机变量的分布列为，则__________，数学期望X ()()1,2,3,4iP X i i a====a ()E X =___________. 【答案】 ①. 10②. 3【解析】【分析】利用分布列中所有取值的概率之和为1，算出a 的值，再用期望公式计算.()E X 【详解】随机变量的分布列为， X ()()1,2,3,4iP X i i a===，解得；()()()()123412341P X P X P X P X a a a a∴=+=+=+==+++=10a =.()12341234310101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：10；3.12. 二项展开式，则________；()523450123452x a a x a x a x a x a x +=+++++3a =135a a a ++=________． 【答案】 ①.②.40121【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，即可根据题意，求出1r +5152r r r r T C x -+=⋅⋅.135a a a ++【详解】因为展开式的第项为，()52x +1r +5152r r r r T C x -+=⋅⋅令，得；3r =3235240a C =⋅=令，得；1r =1154280a C ⋅==令，得=5r 505521a C =⋅=因此. 135121a a a ++=故答案为：；.40121【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.13. 一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，则至少取到2个正品的概率为__________ 【答案】##0.845【解析】【分析】根据已知，利用古典概型以及组合数进行计算求解.【详解】一个箱子中有6个大小相同产品，从中任取3个产品，有种取法， 36C 20=其中4个正品、2个次品，至少取到2个正品有种取法， 321442C C C 16+=所以至少取到2个正品的概率为. 164205=故答案为：. 4514. 若在上是减函数，则b 的取值范围是___________. ()()21ln 22f x x b x =-++()1,-+∞【答案】 (],1-∞-【解析】【分析】根据导数的性质，结合参变分离法进行求解即可. 【详解】因为， 21()ln(2)2f x x b x =-++所以， ()2bf x x x '=-++因为在上是减函数， ()()21ln 22f x x b x =-++()1,-+∞所以在上恒成立， ()02bf x x x '-+≤+=()1,-+∞即， (2)0x x b -++≤所以2(2)(1)1b x x x ≤+=+-当时，，所以，()1,x ∈-+∞2(1)11x +--＞1b ≤-故答案为： (],1-∞-15. 给出如下关于函数的结论： ()1ln xf x x+=①；②对，都，使得；③，使得1322f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10,1x ∀∈()21,x ∃∈+∞()()21f x f x =00x ∃>；()00f x x >其中正确的结论有___________.（填上所有你认为正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】【分析】通过导数求函数的单调区间，对于①作差法比较大小；由单调性判断值域，来判断②是否正确；对于③化简,构造函数来解决是否存在的问题. ()f x x -【详解】对于①，函数，定义域为， ()1ln xf x x+=()0,∞+1323232(1ln 2)1ln 23ln 2ln 223232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 2322ln 8(2ln12)0323⎛⎫⎛⎫=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，故 ①正确； 1322f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于②，，，，单调递增，，，单2ln ()xf x x-'=()0,1x ∈()0f x '>()f x ()1,x ∞∈+()0f x '<()f x 调递减， 当时， ，，都有，找不到，使()110,1e x =∈()110e f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()21,x ∀∈+∞()20f x >()21,x ∈+∞得，故②错误；()()21f x f x =对于③，，令， 21ln 1ln ()x x x f x x x x x ++--=-=2()1ln h x x x =+- 则 ，2112()2,0x h x x x x x-'=-=>故 ，，单调递增， ，，单调递减，x ⎛∈ ⎝()0h x '>()h x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0h x '<()h x，211()1ln ln 222h x h ≤=+-=- ， ， 11ln 2022->0f ∴=>即，使得，故③正确； 00x ∃>()00f x x >故答案为：①③【点睛】比大小问题多采用作差的方法将差值与0比较从而得到两个数的大小关系；导数是研究函数的重要工具，通过导数可以判断出函数的单调性，变化趋势等，从而求解相关题目.三、解答题（共85分）16. 袋子中有标号为1号的球3个，标号为2号的球3个，标号为3号的球2个，如下表.现从这8个球中任选2个球.标号1号2号 3号 合计个数 3 328（1）求选出的这2个球标号相同的概率；（2）设随机变量X 为选出的2个球标号之差的绝对值，求X 的分布与数学期望. 【答案】（1）14（2）分布列见解析， ()2728E X =【解析】【分析】（1）求8个球中任选2个球的方法数，再求选出的这2个球标号相同的方法数，利用古典概型公式求概率；（2）根据随机变量X 的取值，计算相应的概率，列出分布列，由期望公式计算数学期望. 【小问1详解】从这8个球中任选2个球，有种结果， 28C 28=其中这2个球标号相同有种结果，222332C C C 7++=所以从这8个球中任选2个球，其中这2个球标号相同的概率为. 71284P ==【小问2详解】随机变量X 可能的取值为0，1，2，， ()22233228C C C 710C 284P X ++====， ()1111332328C C C C 151C 28P X ⋅+===，()112328C C 632C 2814P X ====则X 的分布列为： X 012P14 1528 314数学期望. ()1153270124281428E X =⨯+⨯+⨯=17. 已知函数，其中. ()()2ln 21f x a x x a x =+-+0a >（1）求函数的单调区间； ()f x （2）当时，判断函数零点的个数. 102a <<()f x 【答案】（1）答案见解析（2）一个零点，理由见解析 【解析】【分析】（1）求出，分、、讨论可得答案；()f x '12a =102a <<12a >（2）由（1）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为102a <<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭可得函数的极大值，再利用导数证明可得答案. ()f x ()f a ()0f a <【小问1详解】， ()()()()()212210x x a af x x a x x x--'=+-+=>令得， ()0f x '=21,2x x a ==当时，，则函数在上单调递增， 12a =()0f x '≥()f x ()0,∞+当时， 或时，， 102a <<0x a <<12x >()0f x ¢>时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 12a x <<()0f x '<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭当时， 或时，，时，， 12a >102x <<x a >()0f x ¢>12x a <<()0f x '<所以函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 12a =()f x ()0,∞+当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 102a <<()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 12a >()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】 当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下， 102a <<()f x 由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减； 则函数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()0,a 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭的极大值为，()f x ()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--且极小值为，令，， ()12f f a ⎛⎫<⎪⎝⎭()ln 1g x x x =--10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，， ()1110x g x x x -'=-=>10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--<⎪⎝⎭所以当时，，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--因为，所以，，可得，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,1a ∈22e 10,e 20a ->->()2e0f >如下图，作出函数的大致图象， ()f x 由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数. 102a <<()f x【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.18. 某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两次检测是否合格相互独立. 16110（1）求每生产一台该产品是合格品的概率；（2）据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X 表示这2台产品的获利之和，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）34（2）的分布列见解析；的数学期望为350元. X X 【解析】【分析】（1）根据题意设出事件直接运用概率的乘法公式进行计算即可；（2）先得到的可能取值为，再直接求解各个概率即可，通过离散型随机变量的期望公X 200,300,400式求解数学期望即可. 【小问1详解】记“生产一台该产品是合格品”为事件，A 则，()11593116106104P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：每生产一台该产品是合格品的概率为. 34【小问2详解】由（1）知，每生产一台该产品是合格品的概率为， 34每生产一台该产品是次品的概率为， 31144-=的可能取值为，X 200,300,400则， ()1112004416P X ==⨯=，()3133002448P X ==⨯⨯=，()3394004416P X ==⨯=所以的分布列为：XX 200 300400P 116 38916所以（元）. ()1392800200300400350168168E X =⨯+⨯+⨯==答：的分布列见上；的数学期望为350元.X X 19. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.规定成绩超过85分为优秀.两位同学的测试成绩如下表：（单位：分） 同学次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次甲 80 83 82 86 95 93 —— 乙80818488899694（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩优秀的概率；（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，设表示这2次测试成绩达到优秀的次数，求的分布ξξ列及数学期望；E ξ（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设随即变量X 表示这3次测试是成绩优秀的次数，随机变量Y 表示这3次测试成绩不是优秀的次数；请直接写出EX 与EY 的关系式，比较DX 与DY 的大小（只需结论，不需过程） 【答案】（1）； 713（2）ξ0 1 2P 15 35 15；()1E ξ=（3），. EX EY >DX DY =【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望ξ即可求解；（3）根据题意先求出所有与的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，分别计算出期望与方X Y 差再比较大小即可. 【小问1详解】从甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过85分的共7次， 由古典概型的计算公式可知，该次测试成绩优秀的概率， 713P =所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩优秀的概率为. 713【小问2详解】从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，这2次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，ξ则，，， ()203326C C 10C 5P ξ===()113326C C 31C 5P ξ===()023326C C 12C 5P ξ===所以的分布列为ξξ0 1 2P 1535 15所以. 1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=【小问3详解】从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试是成绩优秀的次数的可能取值为0，1，2，3,X 则，，()303437C C 10C 35P X ===()213437C C 121C 35P X ===，，()123437C C 182C 35P X ===()033437C C 43C 35P X ===所以的分布列为XX 0 1 2 3P 135 **** **** 435所以. 112184120123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 222212112121218124840240123735735735735171549DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭同理可得这3次测试成绩不是优秀的次数的分布列为YY 0 1 2 3P 435 1835 1235 135所以. 41812190123353535357EY =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22229491891291840240123735735735735171549DY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，.EX EY >DX DY =20.已知函数，. ()()211e 12xf x x ax =--+a ∈R （1）请直接写出函数恒过那个定点； ()f x （2）判断函数的极值点的个数，并说明理由； ()f x （3）若对任意，恒成立，求的取值范围. x ∈R ()0f x ≥a 【答案】（1）()0,0（2）当时，则函数有一个极值点； 0a ≤()y f x =当或时，则函数有两个极值点； 01a <<1a <()y f x =当时，则函数无极值点.1a =()y f x =（3） 0a ≤【解析】【分析】（1）用赋值法，令含参数的项为零，可得答案；（2）利用导数，令导数等于零，根据分类讨论，结合极值的判定方法，可得答案； （3）根据（2），利用函数的最小值的情况，可得答案. 【小问1详解】令，，故函数的定点为. 0x =()()021001e 0102f a =--⋅+=()y f x =()0,0【小问2详解】，令，即.()()()e 1e e x x x f x x ax x a '=+--=-()0f x '=()e 0x x a -=当时，，，解得，0a ≤e 0x a ->()0f x '=0x =x(),0∞-()0,∞+ ()f x '-+()f x 递减极小值递增则函数有一个极值点；()y f x =当时，，解得或，且，01a <<()0f x '=ln x a =0ln 0a <x(),ln a -∞ln a()ln ,0a()0,∞+ ()f x '+-+()f x 递增极大值 递减极小值递增则函数有是两个极值点； ()y f x =当时，，解得，1a =()0f x '=0x =x(),0∞-()0,∞+ ()f x '++()f x 递增0递增则函数无极值点；()y f x =当时，，解得或，且，1a >()0f x '=0x =ln a 0ln a <x(),0∞-()0,ln aln a()ln ,a +∞()f x '+- 0+()f x 递增极大值 递减极小值递增则函数有两个极值点；()y f x =综上，当时，则函数有一个极值点； 0a ≤()y f x =当或时，则函数有两个极值点； 01a <<1a <()y f x =当时，则函数无极值点.1a =()y f x =【小问3详解】当时，由（2），可知，即恒成立； 0a ≤()()min 00f x f ==()0f x ≥当时，有，不满足题意，01a <<,()x f x →-∞→-∞当时，由（2），在单增，当时，，故不满足题意， 1a =()f x (,)-∞+∞0x <()(0)0f x f <=当时，由（2），在上递减，所以，不满足题意， 1a >()f x (0,ln )a ()(0)0f x f <=综上，当时， 恒成立.0a ≤()0f x ≥21. 已知函数，.()ln f x a x bx b =-+()()e 0x g x a x x=->（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值； ()y f x =()y g x =()1,c ,a b （2）当且时，证明：为函数的极小值点； a b =e a <1x =()()()F x f x g x =+【答案】（1）e,e a b ==（2）证明见解析； 【解析】【分析】（1）将交点分别代入和可得，再利用导数的几何意义使斜率相等可得()1,c ()f x ()g x e a =；e a b ==（2）易知，通过构造函数可证明当时其在时()()()21e x x ax F x x --'=()e x x ax ϕ=-e a <()0,x ∈+∞恒大于零，即可得出的单调性进而得出证明. ()F x 【小问1详解】根据题意可得，即，()1f c =0c =所以也在上，即可得，即；()1,0()()e 0xg x a x x=->()1e 0g a =-=e a =又因为在交点处具有公共切线，所以，()1,0(1)(1)f g ''=易知，； ()a f x b x '=-()()22e 1e ex x xx x g x x x-⋅-'==，所以，可得()10g '=()10f a b '=-=e a b ==【小问2详解】当时，a b =()()()(),0n e l xF x f x g x a x x x xa =++=->， ()()()()221e e 1xx x ax x a F x a x x x ---'=-+=令，，则，()e xx ax ϕ=-()0,x ∈+∞()e xx a ϕ'=-当时，在恒成立，单调递增，1a ≤()e 0xx a ϕ'=->()0,x ∈+∞()x ϕ所以，可得 ()()010x a ϕϕ=-≥>()0x ϕ>当时，令可得，1e a <<()e 0xx a ϕ='-=ln x a =所以时，，单调递减；()0,ln x a ∈()0x ϕ'<()x ϕ时，，单调递增；()ln ,x a ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ即函数在处取得最小值，所以，()x ϕln x a =()()()ln 1ln 0x a a a ϕϕ≥=->综上可得时，恒成立，e a <()e 0xx ax ϕ=->所以当时，，单调递减；()0,1x ∈()()()21e 0x x a F x x x'--=<()F x 当时，，单调递增；()1,x ∈+∞()()()21e 0x x a F x x x'--=>()F x 所以，是的极小值点.1x =()F x。

北京市高二下学期数学第二次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高一上·黄陵期末) 已知直线的倾斜角为，则的斜率是（）A .B .C .D .2. （2分）△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·泉州期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·石家庄期末) 《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（）A . 8B . 16+8C . 16+16D . 24+165. （2分）直线过点（-1,2）且与直线垂直，则的方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·广东月考) 下列有关命题的说法错误的是（）A . 若“ ”为假命题，则、均为假命题；B . 若、是两个不同平面，，，则；C . “ ”的必要不充分条件是“ ”；D . 若命题：，，则命题：：， .7. （2分） (2018高二下·西安期末) 在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（）A . 2B .C .D . 18. （2分）在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述①点P关于x轴对称的坐标是P1(x,－y,z)②点P关于yox轴对称的坐标是P2(x,－y,－z)③点P关于y轴对称的坐标是P3(x,－y,z)④点P关于原点对称的坐标是P4(－x,－y,－z),其中正确的个数是（）A . 0B . 3C . 2D . 19. （2分） (2016高一下·新化期中) 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA 与BD所成角的度数为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2018高二上·万州月考) 在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与AC所成角为（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2019·浙江模拟) 一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是________，剩余部分表面积是________．12. （1分） (2016高三上·江苏期中) 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是________．13. （1分）平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．14. （1分） (2019高二下·上海月考) 在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为________.15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.16. （1分） (2018高一下·三明期末) 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系的坐标平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭区域，将区域沿轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域面积相等，则此圆柱的体积为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2018高三上·广东月考) 设，分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．18. （10分）(2017·金山模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD 与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．19. （10分） (2018高二下·邗江期中) 如图，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且（为实数）．（1）求二面角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线与直线不可能垂直．20. （15分）(2017·天心模拟) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21. （10分）(2018·商丘模拟) 如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面 .（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。

北京市数学高二下学期理数第二次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·天河模拟) 已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A . 2B . 4C . 8D . 162. （2分）已知i是虚数单位，则（）A . 1B . iC . -1D . -i3. （2分）设p、q是两个命题， ,p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一上·湖南期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A . （，100）B . （100，+∞）C . （，+∞）D . （0，）∪（100，+∞）5. （2分）若△ABC三内角A、B、C成等差数列，则∠B=60°的推理过程是（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 演绎推理D . 合情推理6. （2分）(2020·重庆模拟) 孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法.右图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（）A . 29B . 30C . 31D . 327. （2分）设集合A=｛x|-2-a<x<a,a>0},命题p:，命题q:若为真命题，为假命题，则a的取值范围是（）A . 0<a<1或a>2B . 0<a<1或C .D .8. （2分）函数y= 是（）A . 区间（﹣∞，0）上的增函数B . 区间（﹣∞，0）上的减函数C . 区间（0，+∞）上的增函数D . 区间（0，+∞）上的减函数9. （2分）对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l1：y=kx+m1和l2：y=kx+m2 ，使得当x∈D 时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）在x∈D有一个宽度为d的通道.有下列函数：①；②；③；④.其中在[1，+∞）上通道宽度为1的函数是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④10. （2分）已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增. 若实数满足,则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 已知函数任意，都有图象关于点（1,0）对称，，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知定义在上的函数，满足，当时，，则函数的图象与函数的图象在区间上所有交点的横坐标之和为（）A . 5B . 6C . 7D . 9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·天津模拟) i是虚数单位，复数 ________.14. （1分） (2017高三上·涪城开学考) 函数f（x）= （﹣x2﹣2x+3）的单调递增区间为________．15. （1分）函数f（x）=（）|x﹣1|+2cosπx（﹣4≤x≤6）的所有零点之和为________．16. （1分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知函数（其中），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分） (2019高二上·田阳月考) 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．18. （5分）(2017·漳州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）过点P且倾斜角为的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．19. （5分） (2015高三上·青岛期末) 已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．（1）若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；（2）若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．20. （5分） (2018高二下·泸县期末) 已知函数， .（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明： .21. （10分）已知函数f（x）=ax+（1﹣a）lnx+，（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．22. （5分）(2020·海安模拟) 已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数 f（x）的最大值；（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2023-2024学年北京市高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列求导运算中错误的是（）A ．(3)3ln 3xx '=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．(sin cos )cos 2x x x='⋅【正确答案】C依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A 选项：(3)3ln 3x x '=，A 正确；B 选项：()22ln ln ln 1ln x x x x x x x x x '''⋅-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；C 选项：2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，C 错误；D 选项：()()22(sin cos )sin cos cos sin cos sin cos 2x x x x x x x x x ''⋅-'=⋅+⋅==，D 正确故选：C2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足2616a a =，则5a =（）A ．8B ．4C ．2D ．1【正确答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a 由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a =则451282a =⨯=故选：A3．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A ．0B ．12C ．1D ．2【正确答案】B由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B .本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．4．曲线()y f x =在1x =处的切线如图所示，则(1)(1)'-=f f （）A ．0B ．1-C ．1D ．12-【正确答案】C由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f -，1(1)=2f '，即可求解.【详解】由直线经过()0-1，，()2,0，可求出直线方程为：220x y --=∵()y f x =在1x =处的切线∴21(1)=22x f -=-，1(1)=2f '∴11(1)(1)122f f ⎛⎫'-=--= ⎪⎝⎭故选：C用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-；(2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程.111()()y y f x x x '-=-5．已知函数()3221f x x x x =-+-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的极小值为2-B ．()f x 的极大值为2327-C ．()f x 在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间(),0-∞上单调递减【正确答案】B【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为()3221f x x x x =-+-，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x '>，得1x >或13x <；令()0f x '<，得113x <<；所以()f x 在区间()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在13x =处有极大值，极大值为123327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；在1x =处有极小值，极小值为()11f =-.故选：B.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2410n S n n =-，则26a a =（）A ．52B ．68C ．96D ．108【正确答案】B【分析】根据数列的前n 项和为n S ，求得数列的通项公式，即可求得26a a 的值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 满足2410n S n n =-，可得当2n ≥时，可得()()22141041101814n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，所以()()268214861468a a =⨯-⨯⨯-=.故选：B.7．若曲线2y x ax =+在点(1,1)a +处的切线与直线7y x =平行，则a =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】C【分析】根据导数求出切线的斜率等于7即可求解.【详解】因为2y x a '=+，切点为(1,1)a +，所以217k a =⨯+=，解得5a =，故选：C本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程，属于容易题.8．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D 【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.等比数列9．已知函数()()2e 1xf x x =-+，则()f x 的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.【详解】()110ef -=>，()1e 40f =-<，()222e 30f =-<，排除选项ABD.故选：C.10．在数列{}n a=18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+【正确答案】A【分析】由已知可得==，进而可求出n a=，=所以==(1)n =-+，所以22(1)n a n =+.故选：A.此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.11．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（）A ．1BCD ．2【正确答案】C根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【详解】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+=+=，故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=，由0l >可知r <.∴建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r r πππ-'=-=.当(r ∈时，0'<y ，r ∈时，0'>y .当r =.故选：C .本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.12．定义在R 上的函数()f x 和()g x 的导函数分别为'()f x ，'()g x ，则下面结论正确的是①若'()'()f x g x >，则函数()f x 的图象在函数()g x 的图象上方；②若函数'()f x 与'()g x 的图象关于直线x a =对称，则函数()f x 与()g x 的图象关于点（a ，0）对称；③函数()()f x f a x =-，则'()'()f x f a x =--；④若'()f x 是增函数，则1212()()()22x x f x f x f ++≤.A ．①②B ．①②③C ．③④D ．②③④【正确答案】C【详解】试题分析：①'()'()f x g x >时，说明函数()f x 比函数()g x 增加的快，但函数()f x 的图像不一定在函数()g x 图像的上方，故①不正确；②若函数'()f x 与'()g x 的图象关于直线x a =对称，则()()''2f x g a x =-.若()(2),f x g a x m =-+（m 为常数），此时满足()()''2f x g a x =-，所以②不正确；③因为()()f x f a x =-，所以()()'()'()'()''f x f a x f a x a x f a x =-=--=--，故③正确.④由导数的几何意义可知'()f x 是增函数即函数()f x 切线的斜率单调递增，所以函数()f x 是“凹型函数”，则必有1212()()(22++≤x x f x f x f .故④正确.综上可得结论正确的是③④.故选：C.函数的简单性质.二、填空题13．函数f （x ）=cos x ，则()6f π'=____________．【正确答案】-12【详解】由题意可得：()1'sin ,'sin 662f x x f ππ⎛⎫=-∴=-=- ⎪⎝⎭.14．曲线()1e xf x -=过原点的切线方程是__________．【正确答案】2e y x=-【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，表示出切线方程，代入原点，求出切点坐标，从而得到切线方程.【详解】()1e xf x -=，()1e x f x -'=-，设切点是()00,x y ，()010e x f x -'=-，010e xy -=，故切线的斜率01e x k -=-，切点()010,e xx -，切线方程是∶()00110ee x x y x x ---=--，将()0,0代入切线方程得∶00110ee x x x ---=，解得：01x =-，故过原点的切线方程是2e y x =-.故2e y x =-.15．朱载填（1536-1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载填被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为2f ，第八个音频率为8f ，则82f f 等于___________．【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导可得.【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，则12131=a a q 且1312=a a ，∴1122q =，所以1668122(2)f q f ==16．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是___________．【正确答案】()0,4【分析】在()0,2上，()f x 有极值点表示()f x '有零点，即可得2x a =，从而求得a 的范围【详解】2()a x af x x x x-'=-=由于函数()f x 在(0,2)上有极值点∴()f x '在(0,2)上有零点，即20x ax-=时，有2x a =，可知(0,4)a ∈故()0,4本题考查了利用导数与极值点的关系求参数范围，原函数在区间内有极值点转化为其导函数的存在零点，进而求得参数范围17．给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S ∈，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【正确答案】6【分析】根据题意，要使S 的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故6．三、解答题18．已知函数()32143f x x ax =-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【正确答案】（1）1；（2）最大值4，有最小值83.（1）求出()f x 的导数，由题可知()20f '=，即可求出a ；（2）令()0f x '=，得0x =或2x =，判断出()f x 的单调性，即可求出最值.【详解】（1）()22f x x ax '=-.∵2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴()20f '=.即440a -=，解得1a =.经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴实数a 的值为1.（2）由（1）知，()32143f x x x =-+，()()222f x x x x x '=-=-.令()0f x '=，得0x =或2x =.当x 在[]1,3-上变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：x1-()1,0-0()0,22()2,33()f x '+-0+()f x 834834当=1x -或2x =时，()f x 有最小值83；当0x =或3x =时，()f x 有最大值4.本题考查利用极值点求参数，考查利用导数求函数的最值，属于中档题.19．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，满足11a =，0d >，且1a ，2a ，3S 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-(2)2122233n n T n +=+-【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）1a ，2a ，3S 成等比数列，故()22213133a a S d d =⇒+=+，化简得：220,d d --=因为0d >，所以2d =，因此21n a n =-（2）212=212n a n n n b a n -=+-+，因此()()()()132112214121=222214n n n n n nT a a a -⨯-+-+++++++=+- 2122233n n +=+-20．已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当a<0时，求证：函数()f x 存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．【正确答案】（1）0y =；（2）证明见解析；（3）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点.【分析】(1)求出函数f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)()()ln 121xf x x a x x =++-+'，说明()f x '有可变零点即可；(3)由题意可得函数()f x 的零点个数．【详解】（1）()()2ln 1f x x x ax =+-的定义域为{1}x x -因为()()200ln 0100f a =+-⋅=所以切点的坐标为()0,0因为()()ln 1+21xf x x ax x =-+'+()()00ln 01+20001f a -'=+⋅=+所以切线的斜率0k =，所以切线的方程为0y =（2）方法一：令()()()ln 121x g x f x x a x x ==++-+'()()211+211g x a x x =-+'+因为1x >-且0a <，所以101x >+，()2101x >+，20a ->从而得到()0g x '>在()1,-+∞上恒成立所以()0f x '>在()1,-+∞上单调递增且()00f '=，所以()f x 在上递减，在递增；所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证方法二：因为()()ln 121x f x x a x x =++-+'当0a <时，当0x <时，()ln 10,0,201x x a x x +<<-<+，所以()0f x '<当0x >时，ln(10,0,201x x a x x +>>->+，所以()0f x '>所以()f x 在上递减，在递增；所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证.（3）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点.本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题．21．已知函数()()e e 1,0x x f x m m x m -=++-≤(1)当0m =时，求证()1f x ≥恒成立：(2)讨论()f x 的单调性：(3)当e 1m -≤≤-时，求证：()()0,,2x f x ∀∈+∞≥-恒成立．【正确答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入0m =，求出()f x 导数，判断函数单调性，求解最小值即可证明；（2）求出()f x 导数，求出导数零点，分类讨论m 的取值范围与对应零点的位置关系即可判断单调性；（3）根据（2）中单调性判断出()f x 的最小值，代入最小值即可得出结论.【详解】（1）当0m =时，()e x f x x =-，()e 1x f x '=-令()00f x x '>⇒>，令()00f x x '<⇒<，所以()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，故()()01f x f ≥=.（2）()()()()e 1e +e e e 1x x x x x mf x m m -'=-+--=，0m ≤令()0f x '=解得0x =或()ln x m =-，①当0m =时，()e 1x f x '=-，则()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增；②当()1,0m ∈-时，()ln 0m -<，()(),ln x m ∈-∞-和()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()()ln ,0x m ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当1m =-时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上是增函数；④当(),1m ∈-∞-时()ln 0m ->，(),0x ∈-∞和()()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()()0,ln x m ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；（3）当e 1m -≤≤-时，即1e m ≤-≤，也就是()0ln 1m ≤-≤，由（2）可知，()f x 在()()0,ln m -单调递减，在()()ln ,m -+∞单调递增，所以()()()()()()()ln ln e e 1ln ln m m f x m m f m m ---+--+≥=-化简可得()()1(1)ln 1(1)12m m m m f x m ≥--+-⨯-≥--+-⨯=-，故()()0,,2x f x ∀∈+∞≥-恒成立.方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数()y f x =的定义域；(2)求导数()y f x ''=，令()0f x '=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用()f x 的定义域和实根把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；(4)确定()f x '在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性22．已知n 为正整数，数列X ：12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12n S X x x x =++⋅⋅⋅+．对于数列X ，总有{}0,1k x ∈，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称数列X 为n 项0-1数列．若数列A ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅，B ：12,,,n b b b ⋅⋅⋅，均为n 项0-1数列，定义数列*A B ：12,,,n m m m ⋅⋅⋅，其中1k k k m a b =--，1,2,,k n =⋅⋅⋅．(1)已知数列A ：1，0，1，B ：0，1，1，直接写出()*S A A 和()*S A B 的值；(2)若数列A ，B 均为n 项0-1数列，证明：()()()**S A B A S B =；(3)对于任意给定的正整数n ，是否存在n 项0-1数列A ，B ，C ，使得()()()***2S A B S A C S B C n ++=，并说明理由【正确答案】(1)()*3S A A =，()*1S A B =(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据数列*A B 的定义分别求出*A A ，*A B ，即可得出答案；（2）记数列*A B ：12,,,n c c c ，数列()**A B A ：12,,,n d d d ，分1k a =和0k a =两种情况讨论，从而可得出结论；（3）分n 是奇数和偶数两种情况讨论，根据定义分析运算，从而可得出结论.【详解】（1）解：因为数列A ：1，0，1，B ：0，1，1，所以数列*A A ：1,1,1，数列*A B ：0,0,1，所以()*3S A A =，()*1S A B =；（2）证明：对于两个0-1数列A ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅和B ：12,,,n b b b ⋅⋅⋅，记数列*A B ：12,,,n c c c ，对于(),1,2,,k c k n = ，若1k a =，则此时1,1k k k k k k k a b b c a b b -=-=--=；若0k a =，则此时,11k k k k k k k a b b c a b b -==--=-，故对于数列()**A B A ：12,,,n d d d ，考虑k d 的值()1,2,,k n =L ：若1k a =，则k k k d c b ==；若0k a =，则()111k k k k d c b b =-=--=，所以()**A B A 与B 是同一数列，所以()()()**S A B A S B =；（3）解：若n 是奇数，则不存在满足条件的n 项0-1数列A ，B ，C ，证明如下：对于3个n 项0-1数列A ，B ，C ，记()3,0,1,2,,i i i i i i i x a b b c c a i n =------= ，则()()()12***n S A B S A C S B C x x x ++=+++ ，当i i i a b c ==时，33i i i i i i i x a b b c c a =------=，当,,i i i a b c 中有一个不同于其他两个时，31i i i i i i i x a b b c c a =------=，所以i x 是奇数，则()()()12***n S A B S A C S B C x x x ++=+++ 为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为2n ；若n 为偶数，即()2N n k k +=∈，可构造：:1,1,,1n A 个，:1,1,,1n B 个，:0,0,,0,1,1,,1k k C 个个，此时数列*A B 为1,1,,1n 个，数列*A C ，*B C 相同，都是0,0,,0,1,1,,1k k 个个，所以有()()()***2S A B S A C S B C n k k n ++=++=，综上所述，当n 为偶数时，()()()***S A B S A C S B C ++有可能为2n ，当n 为奇数时，不可能成立.本题考查了数列的新定义，考查了学生的逻辑思维能力，解题的关键在于对新定义的理解，有一定的难度.。

北京市高二下学期5月数学月试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共18题；共36分)1. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3},B={3,4,5}，则=（）A . {1,2,3}B . {1,4,5}C . {1.2}D . {3,5}2. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 已知cos(＋φ)＝且|φ|<，则tanφ等于（）A . －B . －C .D .3. （2分）等比数列中，那么为（）A . 4B .C .D . 24. （2分） (2019高一上·西湖月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·蚌埠期末) 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A . （-1,2,3）B . （1,-2,3）C . （1,2,-3）D . （-1,-2,-3）6. （2分） (2016高二上·佛山期中) 已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A . 若a⊥b且b∥α，则a⊥αB . 若a⊥b且b⊥α，则a∥αC . 若a⊥α且b∥α，则a⊥bD . 若a⊥α且α⊥β，则a∥β7. （2分） (2015高二上·菏泽期末) 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（）A . y2=﹣4xB . y2=﹣8xC . y2=﹣xD . y2=8x8. （2分）(2017·蔡甸模拟) 图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 32πB . 48πC . 50πD . 64π9. （2分）(2019高二上·雨城期中) 已知为直线上的动点，过点作圆的一条切线，切点为，则面积的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分）设， q:关于x的方程有实根，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2016高二上·三原期中) 已知点P（x0 ， y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（）A . 3x0+2y0＞0B . 3x0+2y0＜0C . 3x0+2y0＜8D . 3x0+2y0＞812. （2分）使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值（）A .B .C .D .13. （2分） (2019高二上·延吉期中) 两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）A .B .C .D .14. （2分） (2019高三上·广东月考) 关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论：① f(x)是偶函数; ② f(x)在区间上单调递减;③ f(x)是周期函数; ④ f(x)图象关于对称其中所有正确结论的编号是（）A . ①③B . ②③C . ①②D . ③④15. （2分） (2017高一下·新乡期中) 平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则λ=（）A . 1B . 2C . ﹣2D . ﹣116. （2分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2 ，以线段F1F2为边作正△F1F2M，若椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF1的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和,则等于（）A . 5B . 2C . 3D . 417. （2分） (2018高二上·阜城月考) 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A .B .C .D .18. （2分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°;④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是A . ①B . ②C . ③D . ④二、填空题 (共4题；共4分)19. （1分） (2019高一上·大庆月考) 计算： ________.20. （1分） (2019高二上·成都期中) 椭圆 + =1与双曲线 - =1有公共的焦点F1 ， F2 ， P 是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=________ ．21. （1分） (2016高一下·北京期中) 向量 =（1，2）， =（x，1），当（ +2 ）⊥（2 ﹣）时，则x的值为________．22. （1分） (2019高二下·富阳月考) 已知函数，则关于的不等式的解集为________．三、解答题 (共3题；共35分)23. （10分） (2015高三上·来宾期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π﹣C）．（1）求角C的大小；（2）若c=4，△ABC的面积为，求a+b的值．24. （10分） (2019高二上·南宁期中) 圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．（1）设切点坐标为，求证：切线的方程为．（2）设点坐标为，试写出与的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．25. （15分） (2016高一上·成都期末) 定义函数，其中x为自变量，a为常数．（I）若当x∈[0，2]时，函数fa（x）的最小值为一1，求a之值；（II）设全集U=R，集A={x|f3（x）≥fa（0）}，B={x|fa（x）+fa（2﹣x）=f2（2）}，且（∁UA）∩B≠∅中，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共18题；共36分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、二、填空题 (共4题；共4分) 19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共3题；共35分) 23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、第11 页共11 页。

高二第二学期数学阶段练习解析5月31日（答案在最后）姓名：______班级：______分数：______一、单选题（共36分）1.在52()x x -的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2kk kk T x x --+=-，化简得()5215C 2kkk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A2.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）A.81125B.54125C.36125D.27125【答案】A 【解析】【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：232333333811555125C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.3.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率A.15B.310C.35D.12【答案】C 【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，得到概率．【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，∴根据等可能事件的概率得到P=35．故选C ．【点睛】本题考查等可能事件的概率，对于一个事件是否是等可能事件，要看对概率的理解，若出现的基本事件是等可能的就可以按照等可能事件来理解和解题．4.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.1-B.1C.15D.16【答案】C 【解析】【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令=1x -得，()443210216a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=．故选：C.5.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用X 表示取到红球的个数，则()D X =（）A.29B.89C.169D.83【答案】B 【解析】【分析】分析可知24,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的方差公式可求得()D X .【详解】袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为82123=，所以，24,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，因此，()2184339D X =⨯⨯=.故选：B.6.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（）A.70 B.140C.210D.280【答案】B 【解析】【分析】根据圆内接四边形的每一组对边为一组“自由弦对”的事实，从8个点中任取4点可构成四边形个数即可作答.【详解】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，从圆周上8个点中任取4点可以构成48C 个圆内接四边形，所以圆上的“自由弦对”总组数为482270140C =⋅=.故选：B.二、填空题（共24分）7.若nx⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为_________.【答案】3（只要是3正整数倍即可）【解析】【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.【详解】n x⎛+ ⎝的展开式的通项为()()321C C kn k n k k kk n n T x x --+=⋅⋅=⋅，nx⎛+ ⎝的展开式中含有常数项需要满足302n k -=，即23n k =，所以n 只要是3正整数倍即可.故答案为：3（只要是3正整数倍即可）.8.从2-，1-，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A ，“两数均为负数为事件B ．则()|P B A =________．【答案】14##0.25【解析】【分析】根据古典概型的概率公式求出()P A ，()P AB ，再由条件概率的概率公式计算可得.【详解】从2-，1-，1，2，3这5个数中任取2个不同的数有25C 10=种取法，其中满足两数之积为正数的有2223C C 4+=种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有22C 1=种取法，所以()410P A =，()110P AB =，所以()()()1|4P AB P B A P A ==.故答案为：149.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为______．【答案】18【解析】【分析】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，得到多人多足有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置即可.【详解】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则多人多足有3种安排方法，将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置，有33A 6=种安排方法，所以共有1863=⨯种安排方法.故答案为：18.10.算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“”表示的三位数为________；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为________．【答案】①.621②.14【解析】【分析】利用题中表格中的信息结合分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，即可得到答案．【详解】解：由题意，结合表格中的数据和图形，则“”表示的三位数为621；共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，①当个位数为5时，不符合题意；②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，⨯=个三位数；若百位有1根，十位4根，则共有122⨯=个三位数；若百位有2根，十位3根，则共有224⨯=个三位数；若百位有3根，十位有2根，则共有224⨯=个三位数；若百位有4根，十位有1根，则共有212若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数．所以共有2442214++++=个．故答案为：621；14．三、解答题（共40分）11.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245~259180~193及格205~244150~179不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：男生180205213220235245250258261270275280女生148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X 为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A ，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B ．判断A 与B 是否相互独立．（结论不要求证明）【答案】（1）13（2）76（3）A 与B 相互独立【解析】【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，计算频率得到优秀率的估计值；（2）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．算出对应概率的估计值，得到X 的数学期望的估计值；（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.【小问1详解】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．【小问2详解】由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212(329⨯=；(1)P X =估计为122121214C ()332329⨯⨯⨯+⨯=；(2)P X =估计为122121115C ()3323218⨯⨯⨯+⨯=；(3)P X =估计为2111(3218⨯=．估计X 的数学期望()2451701239918186E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】()P A 估计为22123311113C C 22224⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()P B 估计为2310331111C C 2222⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()P AB 估计为213113C 228⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立．12.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A 组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B 组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；（3）从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）310（2）()1E X =（3）()()12=D D ξξ【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X 的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；（3）根据方差公式计算可知，()()12=D D ξξ．【小问1详解】设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C ，在A 组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则3()10P C =.【小问2详解】由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为310，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为710，可知：X 的可能取值为0，1，2，则有：3721(0)111010100P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，373729(1)111010101050P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3721(2)1010100P X ==⨯=，所以212921()012110050100E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】依题可知，1ξ，2ξ的可能取值为0，1，2，且1ξ，2ξ服从超几何分布，()271210C 70C 15P ξ===，()11371210C C 71C 15P ξ===，()231210C 12C 15P ξ===，()232210C 10C 15P ξ===，()11372210C C 71C 15P ξ===，()272210C 72C 15P ξ===，因为()133=2105E ξ⨯=，()2772105E ξ=⨯=，可得()22217373132801215515515575D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22221777772801215515515575D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12=D D ξξ．。

2023-2024学年北京市首都师大附属中学实验学校高二（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.2.已知集合，集合，则()A. B. C. D.3.已知，，则下面结论正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则有最小值4D.若，则4.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，为减函数，若，，，则a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.6.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.7.已知函数，，若对，使得，则a的取值范围是()A. B. C. D.8.若是定义在R上的奇函数，且，对任意的恒成立，若对任意的，，则当时，的解析式为()A. B. C. D.9.已知函数若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.10.关于函数的性质，其中正确结论个数为()①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④函数在R上有三个零点；⑤存在无数个，满足A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.命题“，”的否定是______.12.______.13.函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有__________个元素.14.一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为关于x的函数解析式为__________；要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过__________小时精确到参考数据：，，，15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令…，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点.给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若则不存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共55分。

一、单选题1．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则（ ） ()|P B A =A ． B ．C ．D ．12131416【答案】D【分析】求出事件和事件所含基本事件的个数，然后可计算出概率． A AB 【详解】由题意，，∴． ()3618n A =⨯=()3n AB =()31(|)()186n AB P B A n A ===故选：D ．【点睛】本题考查条件概率，掌握求条件概率的方法是解题基础．2．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格60%40%率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） 95%90%A ．B ．C ．D ．0.920.930.940.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品A 为事件，B 则，，()0.6P A =()0.4P B =记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，， :C ()0.95P C A =()0.9P C B =所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯.0.93=故选：B.3．已知随机变量的分布列为，则（ ） X ()()1,2,3,410kP X k k ===()13P X <≤=A ．B ．C ．D ．310351215【答案】C【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可. 【详解】随机变量的分布列为 X ()()1,2,3,410kP X k k ===， 2(2)10P X ∴==3(3)10P X ==231(13)10102P X ∴<=+=…故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则等于( )ξ()E ξA ．B ．C ．D ．1358151415【答案】A【分析】依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望；ξ012【详解】解：由题意知的可能取值为，，，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公ξ012式，所以，，．27210C 7(0)C 15P ξ===1173210C C 7(1)C 15P ξ⋅===23210C 1(2)C 15P ξ===所以． ()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=故选：A ．5．掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为，事件B 的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） ()P A ()P B ()1P A B -⋂A ．两个点数都是偶数 B ．至多有一个点数是偶数 C ．两个点数都是奇数 D ．至多有一个点数是奇数【答案】D【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， A B ⋂由概率指的是事件的对立事件的概率，()1P A B -⋂A B ⋂则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. A B ⋂故选：D.6．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事件“为奇数”，事件“为偶数”，事x A =x B =x 件“为3的倍数”，事件“”，其中是相互独立事件的是（ ）C =xD =3x ≤A ．事件与事件B ．事件与事件 A B BC C ．事件与事件D ．事件与事件A D C D 【答案】B【分析】分别写出，，， 包含的样本空间，根据相互独立事件满足的乘法公式，即可判A B C D 断.【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,{1A =7}{2B =8}{3C =6}{}1,2,3D = ,{}{}{},6,1,3,3AB BC AD CD =∅===由古典概型概率公式可得：,()()()()1113,,,2248P A P B P C P D ====()()()()1110,,,848P AB P BC P AD P CD ====所以，，,， ()()()P AB P A P B ≠()()()P BC P B P C =()()()P AD P A P D ≠()()()P CD P C P D ≠故ACD 错误，B 正确． 故选：B7．随机变量的分布列是 X X -21 2P ab12若，则（ ）A ．0 B ．2C ．3D ．4()336E X +=()D X =【答案】B【解析】由于分布列的概率之和为1，以及，列出关于的方程，再根据方差公式()336E X +=,a b 即可求出．()D X 【详解】由题意可知，，()111621321363a a b a b b ⎧⎧=⎪++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+++==⎩⎪⎩又，所以；()()33336E X E X +=+=()1E X =所以. ()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8．已知是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： ,x y x 12 3 4 5y 4 m 9 n 11其回归直线过点的一个充分不必要条件是（ ）A ． B ． ˆˆˆy bx a =+()37，5m n ==6m n ==C ． D ．11+=m n 56m n ==，【答案】D【分析】由回归直线过可求，结合充分、必要条件即可求解. ()37，11+=m n 【详解】若回归直线过点，由题知，故为样本中心，所以ˆˆˆybx a =+()37，5115,3i i x x ===∑()37，，，所以的一个充分不必要条件可以是.491135m n ++++=11+=m n 11+=m n 56m n ==，故选：D9．若数列{an }满足，则的值为（ ） 1112,1nn na a a a ++==-2020a A ．2 B ．－3C ．D ．12-13【答案】D【解析】分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.23456,,,,a a a a a {}n a 【详解】由题意知，，，，，212312a +==--3131132a -==-+411121312a -==+51132113a +==-612312a +==--，…，因此数列是周期为4的周期数列， {}n a ∴. 20205054413a a a ⨯===故选D.【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.10．已知随机变量的分布列为：ξξx y P yx则下列说法正确的是（ ）A ．存在x ，， B ．对任意x ，， (0,1)y ∈1()2E ξ>(0,1)y ∈1()4E ξ≤C ．对任意x ，，D ．存在x ，， (0,1)y ∈()()DE ξξ≤(0,1)y ∈1()4D ξ>【答案】C【分析】对A 、B ：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C ：先求，利用作差法比()D ξ较大小；对D ：换元令，结合二次函数求的取值范围. t xy =()D ξ【详解】由题意可得：，且，即， ()1,,0,1x y x y +=∈11,22x y ≠≠1y x =-对A 、B ：由题意可得：，()2()22122E xy yx xy x x x x ξ=+==-=-∵开口向下，对称轴，， ()222f x x x =-12x =110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，故，()()11010,22f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭10()2f x <<即，()102E ξ<<不存在x ，，，A 错误； (0,1)y ∈1()2E ξ>例如，则，即存在x ，，，B 错误；12,33x y ==()4194E ξ=>(0,1)y ∈1()4E ξ>对C ：， [][]()()222222()()()224D x E y y E x x xy y y xy x xy x y ξξξ=-⨯+-⨯=-+-=-则， 2222()()440D E xy x y xy x y ξξ-=--=-<故对任意x ，，则，C 正确； (0,1)y ∈()()D E ξξ<对D ：令， ()110,24t xy E ξ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭则开口向下，对称轴，且， ()24g t t t =-18t =()11100,4816g g g ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，即， ()1016g t <≤10()16D ξ<≤不存在x ，，，D 错误； (0,1)y ∈1()4D ξ>故选：C.二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布，若，，则()2,N μσ()260.6P X <<=()60.2P X ≥=μ=______． 【答案】4【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. ()2P X ≤【详解】解：由题意得：∵ ()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥∴与关于对称 26x μ=∴． 4μ=故答案为：412．已知随机变量，则___________.23,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～()31D ξ-=【答案】6【分析】先根据二项分布求出，再按照公式求即可.()D ξ()31D ξ-【详解】由随机变量可得，则.23,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～()22231333D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭()()23136D D ξξ-==故答案为：6.13．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答） ξξ【答案】2011【分析】由题意，服从超几何分布，求出的所有可能取值对应的概率，利用期望公式即可求解. ξξ【详解】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，ξ，，，，()46411C 10C 22P ξ===()3165411C C 101C 33P ξ===()2265411C C 52C 11P ξ===()1365411C C 23C 11P ξ===，()45411C 14C 66P ξ===所以的数学期望， ξ()1105212001234223311116611E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：. 201114．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则 ______.()E X =【答案】##3.56255716【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意银行营业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数X 的分布列为 X 5 4 3 4 2P 18 316 516 1418则.13511()54342 3.56258161648E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：3.562515．已知x ，y ，，且，记随机变量为中的最大值，则__________. *z ∈N 10x y z ++=ξ,,x y z ()E ξ=【答案】173【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望. ξξ【详解】由题意可得：的可能取值为，ξ4,5,6,7,8用隔板法可求得：事件总情况为种，29C 36=若，三个正整数为或，则有种，故； 4ξ=3,3,42,4,41133C C 6+=()614366P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故； 5ξ=1,4,52,3,53333A A 12+=()1215363P ξ===若，三个正整数为或，则有种，故； 6ξ=1,3,62,2,63133A C 9+=()916364P ξ===若，三个正整数为，则有种，故； 7ξ=1,2,733A 6=()617366P ξ===若，三个正整数为，则有种，故； 8ξ=1,1,813C 3=()3183612P ξ===故的分布列为：ξξ 4 5 6 7 8P 1613 14 16112故.1111117()456786346123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：. 173三、解答题16．有三个同样的箱子，甲箱中有只红球，只白球，乙箱中有只红球，只白球，丙箱中有26643只红球，只白球.5（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率； （2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率. 【答案】（1）；（2）. 916049120【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）结合条件概率公式以及概率的加法公式求解.【详解】解:（1）记从甲箱中取一球为红球，从乙箱中取一球为红球，从丙箱中取一球1:A 2:A 3:A 为红球，取得的三球都为红球，且事件相互独立， :B 123,,A A A 所以，()()()1231339()458160P B P A P A P A =⋅⋅=⨯⨯=所以三球都为红球的概率为9.160（2）记该球为红球，取甲箱，取乙箱，取丙箱 :C 1:D 2:D 3:D 因为()()()123133,,,458P C D P C D P C D ===所以 ()()()()()()112233()P C P D P C D P D P C D P D P C D =⋅+⋅+⋅ 11131349,343538120=⨯+⨯+⨯=所以该球为红球的概率为49.12017．地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100(1)求频率分布直方图中的值；m (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再[)[)[]70,80,80,90,90,100从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； ξ[)80,90ξ(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A 等级，成绩在的为B 等级，其它为C 等[]90,100[)70,90级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的B 人数不少于2人的概率. 【答案】(1)；0.012(2)分布列见解析，数学期望为； 911(3). 0.352【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在1的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写[)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1ξ0,1,2,3出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数服从二项分0.04,0.4,0.56布，利用二项分布计算获得B 等级的人数不少于2人的概率.【详解】（1）由频率和为可得， 120.004100.022100.03100.02810101m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+=解得.0.012m =（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为， [)[)[]70,80,80,90,90,1007:3:1根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为， [)[)[]70,80,80,90,90,1007,3,1所以的可能取值为.ξ0,1,2,3，，()38311C 560C 165P ξ===()2183311C C 281C 55P ξ===，()1283311C C 82C 55P ξ===()33311C 10C 165P ξ===所以的分布列为ξξ 0 1 23P 5616528558551165 ()28819123555516511E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（3）由题意，成绩为A ,B ,C 等级的频率分别为， 0.04,0.4,0.56设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B 等级的人数为， η则服从二项分布，η()~3,0.4B η所以获得B 等级的人数不少于2人的概率为223333C 0.40.6C 0.40.352P =⨯⨯+⨯=18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网100箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法A 50kg 的箱产量不低于”，估计的概率；50kg A （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；99% 箱产量 50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）． 0.01附： ()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k 3.841 6.63510.828 . ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）0.409299%．52.35kg 【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”，利用频率分布直方图计算出、的估计值，再利用独立事件的概率乘法公式可求50kg ()P B ()P C 得事件的概率；A （2）根据频率分布直方图可完善列联表，计算出的观测值，对比临界值表，由此可得出结22⨯2K 论；（3）在新养殖法对应的频率分步直方图中，利用中位数左边的直方图的面积之和为可求得中位0.5数的值.【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于B 50kg C ”．50kg 由题意知．()()()()P A P BC P B P C ==⋅旧养殖法的箱产量低于的频率为，50kg ()0.0120.0140.0240.0340.0450.62++++⨯=故的估计值为.()P B 0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为，50kg ()0.0680.0460.010.00850.66+++⨯=故的估计值为.()P C 0.66因此，事件的概率估计值为；A ()()()0.620.660.4092P A PB PC =⋅=⨯=（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量 50kg <箱产量 50kg ≥旧养殖法62 38新养殖法34 66，()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关；15.705 6.635>99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，50kg ()0.0040.020.04450.340.5++⨯=<箱产量低于的直方图面积为，55kg ()0.0040.020.0440.06850.680.5+++⨯=>故新养殖法产量的中位数为，则，解得. x ()0.34500.0680.5x +-⨯=()0.165052.350.068x kg =+≈因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值为.52.35kg 19．如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，111ABC A B C -1BB ⊥ABC 90BAC ∠=︒E BC ． 12AC AB AA ===（1）求异面直线与所成的角的大小； AE 1AC （2）若为中点，求二面角的余弦值．G 1C C C AG E --【答案】（1）；（2 60 【分析】（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，1,,AB AC AA ,,x y z 1,AE AC 求得夹角的余弦值，然后求得夹角的大小.（2）通过计算平面和平面的法向量，利用空CAG EAG 间向量夹角公式，计算得二面角的余弦值.【详解】解：在三棱柱中，平面ABC ，，()1111ABC A B C -1BB ⊥90BAC ∠=E 是BC 的中点，．12AC AB AA ===以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，1AA 0，，0，，2，，1，，0，，(0,A 0)(2,B 0)(0,C 0)(1,E 0)1(0,A 2)1，，2，，(1,AE = 0)1(0,A C = 2)-设异面直线AE 与所成的角为，1AC θ则， 111cos 2AE A C AE A Cθ⋅===⋅，60θ∴= 异面直线AE 与所成的角为．∴1AC 60 2，，2，，()2(0,G 1)(0,AG = 1)设平面AGE 的法向量y ，，(,m x = )z 则，取，得， 020m AE x y m AG y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1,1,2m =- 平面ACG 的法向量0，，(1,n = 0)设二面角的平面角为，C AG E --α． cos m n m n α⋅===⋅二面角． ∴C AG E --【点睛】本小题主要考查利用空间向量的方法计算异面直线所成角、计算二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆C :在椭圆C 上，O 为坐标原点．22221(0)x y a b a b +=>>A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点l l 225x y +=，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 1P 2P 1OP2OP 1k 2k 12k k ⋅【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析． 2214x y +=【分析】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上的一点，列方程组，求解出点的值，从而求得椭圆,,ab c 方程；（II ）分斜率斜率存在和不存在讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式为零求得参数的相互关系，联立直线方程和圆的方程，写出韦达定理，由此计算出的值，即得.12k k ⋅【详解】Ⅰ由已知得：，解得：，， ()221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2a =c =1b =所以椭圆C 的方程为：； 2214x y +=Ⅱ当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为，()2x =±易得直线，的斜率之积， 1OP 2OP 1214k k =-当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为，y kx m =+由方程组，得：， 2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以，即， ()()222(8)441440km k m ∆=-+-=2241m k =+由方程组，得， 225y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()2221250k x kmx m +++-=设，，则，， ()111,P x y ()222,P x y 12221km x x k -+=+212251m x x k -=+所以 ()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=⋅==， 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --+⋅+-++==--+将代入上式，得， 2241m k =+212211444k k k k -+==--综上，为定值． 12k k 14-21．已知集合.对集合A 中的任意元素，(){}1234,,,,,1,2,3,4i A x x x x x N i αα==∈=()1234,,,x x x x α=定义，当正整数时，定义（约定()12233441(),,,α=----T x x x x x x x x 2n ≥()1()()αα-=n n T T T ）.1()()αα=T T (1)若，求；(2,0,2,1)α=4()αT (2)若满足，且，求的所有可能结果；()1234,,,x x x x α={}0,1(1,2,3,4)i x i ∈=2()(1,1,1,1)α=T α(3)是否存在正整数n 使得对任意都有?若存()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x ()(0,0,0,0)α=n T 在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】(1)4()(0,0,0,0)T α=(2)、、、(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)(3)存在，*{N |6}n n ∈≥【分析】（1）根据定义写出即可得结果.(),{1,2,3,4}n T n α∈（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；()T α(1,0,1,0)(0,1,0,1)α（3）由定义得，依次写出直到即可判断12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----()n T α()(0,0,0,0)α=n T 存在性，并确定n 的所有取值.【详解】（1）由题意，，，， ()(2,2,1,1)T α=2()(0,1,0,1)T α=3()(1,1,1,1)T α=4()(0,0,0,0)T α=（2）由且，2()(1,1,1,1)α=T {0,1}(i 1,2,3,4)i x ∈=①，12232334344141121111x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪⎪---=⎪⎨---=⎪⎪⎪---=⎩当或1时，，10x =411224||||||||1x x x x x x ---=-=同理，或1时，，20x =122313||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，30x =233424||||||||1x x x x x x ---=-=或1时，，40x =344113||||||||1x x x x x x ---=-=所以①等价于，则，， 132411x x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩13x x ≠24x x ≠当，，则为满足；10x =20x =α(0,0,1,1)当，，则为满足，10x =21x =α(0,1,1,0)当，，则为满足，11x =20x =α(1,0,0,1)当，，则为满足，11x =21x =α(1,1,0,0)综上，的所有可能结果、、、. α(1,0,0,1)(0,1,1,0)(1,1,0,0)(0,0,1,1)（3）存在正整数n 使且，理由如下： ()(0,0,0,0)α=n T *{N |6}n n ∈≥由，则，()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----所以，21322413424()(|2|,,|2|,)T x x x x x x x x x x α=+--+--若，，132|2|a x x x =+-134|2|b x x x =+-所以，324242424()(||,||,||,||)T x x a x x b x x b x x a α=--------若，则，，， 2424||||||c x x a x x b =-----4()(,0,,0)T c c α=5()(,,,)T c c c c α=6()(0,0,0,0)T α=所以，对都有， ()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 6()(0,0,0,0)T α=当时，恒成立，7n ≥()(0,0,0,0)α=n T 综上，n 所有取值为使成立.*{N |6}n n ∈≥()(0,0,0,0)α=n T 【点睛】本题解题关键是理解清楚集合定义，按照所给定义结合已知分析推理即可.。

北京市高二下学期数学5月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是（）A . 面ABB1A1B . 面BCC1B1C . 面BCFED . 面DCC1D12. （2分） (2019高二下·上海月考) 如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（）A . 192种B . 128种C . 96种D . 12种3. （2分） (2019高二下·上海月考) 从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于（）A .B .C .D .4. （2分）空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上都有可能二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高一下·平顶山期末) 在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，恰有2支一等品的概率是________．6. （1分）(2017·九江模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为________．7. （1分）(2020·肥城模拟) ________.8. （1分）斜二测画法的规则是：①在已知图形中建立直角坐标系xoy，画直观图时，它们分别对应x′和y′轴，两轴交于点o′，使∠x′o′y′=________，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________；③已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中________；平行于y轴的线段，在直观图中________．9. （1分） (2017高一下·保定期末) 一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．10. （1分）(2020·杨浦期末) 在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为________.11. （1分） (2019高一下·上海月考) 设，且，则 ________12. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有________种.（用数字作答）13. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 下图中共有________个矩形.14. （1分） A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB= ，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.15. （1分） (2018高二上·吕梁月考) 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC。

北京市数学高二下学期文数3月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·保定月考) 下列说法错误的是（）A . 正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系B . 人的身高与视力之间的关系是相关关系C . 汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系D . 数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系2. （2分） (2016高二下·潍坊期末) 复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）某公司的管理机构设置是：设总经理一个，副总经理两个，直接对总经理负责，下设有6个部门，其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部，副总经理B管理销售部、财务部和保卫部．请根据以上信息补充该公司的人事结构图，其中①、②处应分别填（）A . 保卫部，安全部B . 安全部，保卫部C . 质检中心，保卫部D . 安全部，质检中心4. （2分） (2017高二下·广州期中) 用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A .B .C . 且D . 或5. （2分） (2017高二下·张家口期末) 命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A . 使用了归纳推理B . 使用了类比推理C . 使用了“三段论”，但大前提错误D . 使用了“三段论”，但小前提错误6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 用演绎法证明函数是增函数时的小前提是（）A . 函数满足增函数的定义B . 增函数的定义C . 若，则D . 若，则7. （2分）由一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），得到回归直线方程 =bx+a，那么下面说法不正确的是（）A . 直线 =bx+a至少经过（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）中的一个点B . 直线 =bx+a必经过（）C . 直线 =bx+a的斜率为D . 直线 =bx+a的纵截距为﹣b8. （2分）(2019·黄山模拟) 设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的是（）A . 模型1的相关指数R2为0.78B . 模型2的相关指数R2为0.85C . 模型3的相关指数R2为0.61D . 模型4的相关指数R2为0.3110. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 下列说法：①分类变量与的随机变量越大，说明“ 与有关系”的可信度越大.②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，则.④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）(2020·海南模拟) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是（）A .B .C .D .12. （2分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________．14. （1分） (2017高二下·惠来期中) 已知复数z满足|z|=1，则|z﹣1﹣i|的最大值为________．15. （1分）“不能被2整除的整数是奇数，35不能被2整除，所以35奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．大前提：________，小前提：________，结论：________．16. （1分） (2016高一上·揭阳期中) 问题“求方程5x+12x=13x的解”有如下的思路：方程5x+12x=13x可变为（）x+（）x=1，考察函数f（x）=（）x+（）x可知f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，所以原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：lgx﹣4＞2lg2﹣x的解集为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分） (2019高二下·宁夏月考) 实数取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数的点在复平面的第四象限？18. （5分） (2018高一上·武邑月考) 给定函数，若对于定义域中的任意，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.（Ⅰ）证明：函数是“爬坡函数”；（Ⅱ）若函数是“爬坡函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对任意的实数，函数都不是“爬坡函数”，求实数的取值范围.19. （5分） (2015高二下·福州期中) 观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20. （15分） (2018高二下·集宁期末) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:工期延误天数Y 的均值与方差;21. （5分） (2018高二下·临泽期末) 证明下列不等式：（1）用分析法证明：；（2）已知是正实数，且 .求证： .22. （10分）(2017·贵港模拟) 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．比分易建联技术统计投篮命中罚球命中全场得分真实得分率中国91﹣42新加坡3/76/71259.52%中国76﹣73韩国7/136/82060.53%中国84﹣67约旦12/202/52658.56%中国75﹣62哈萨克期坦5/75/51581.52%中国90﹣72黎巴嫩7/115/51971.97%中国85﹣69卡塔尔4/104/41355.27%中国104﹣58印度8/125/52173.94%中国70﹣57伊朗5/102/41355.27%中国78﹣67菲律宾4/143/61133.05%注：①表中a/b表示出手b次命中a次；②TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：TS%= ．（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。