第1讲 坐标系

第一讲：坐标系 1.坐标系的种类（直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系）2.直角坐标系的运用（实现了数形结合，用坐标法研究几何位置形状等问题）【例1（课本）】一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程【练习】用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。

3.平面直角坐标系中的伸缩变换定义：_____________________________________________________________.【例2（课本）】在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。

（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=【练习】 1、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。

2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4.极坐标系：（1）实用背景（2）极坐标系定义__________________________________________(3)相关概念：__________________叫极径_______________极角____________极坐标考点一：由点的位置确定极坐标例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。

它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。

坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。

有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。

以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。

它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。

坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。

直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。

2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。

极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。

极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。

3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。

柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。

柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。

4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。

球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。

在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。

以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。

第一节 坐标系与参数方程考试要求1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．第一课时 坐标系[知识排查·微点淘金]知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．知识点2 极坐标系与点的极坐标在如图所示的极坐标系中，点O 是极点，射线Ox 是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O 与点M 的距离)，点M 的极坐标是M (ρ，θ)．[微提醒](1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．知识点3 直角坐标与极坐标的互化(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x ，y )、极坐标为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ.(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．常用结论曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a ，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.(√) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)2．(链接教材选修4－4 P 15T 4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π2 B ．⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2.故选B ． 3．(链接教材选修4－4 P 15T 2)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2答案：D4．(链接教材选修4－4 P 15T 3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为 .解析：因为y ＝1－x (0≤x ≤1)，所以ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，所以ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.答案：ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π25．(极坐标与直角坐标的互化致误)若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为 ．解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6一、基础探究点——平面直角坐标系中的伸缩变换(题组练透)1．曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.答案：x ′24＋y ′2＝12．曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ．解析：根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.答案：4x 2＋9y 2＝11.应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标（x ，y ）与变换后的坐标（x ′，y ′）.2.平面上的曲线y ＝f （x ）在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f （x ），得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到,y ′＝h （x ′），即为变换之后的方程.二、应用探究点——求曲线的极坐标方程(思维拓展)[典例剖析][例1] 如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[学会用活]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233，∴M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．三、综合探究点——极坐标方程的应用(思维拓展)[典例剖析][例2] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32，即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[学会用活]2.如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．解：取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，∵点A 在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5， ①∵△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°，∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°. ②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.限时规范训练 基础夯实练1．在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12，所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsin θ.故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．3．(2021·四川泸州二模)在平面直角坐标系xOy 中，动直线l 1：y ＝1k x (k ∈R ，且k ≠0)与动直线l 2：y ＝－k (x －4)(k ∈R ，且k ≠0)交点P 的轨迹为曲线C 1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0，求曲线C 1与曲线C 2的交点的极坐标．解：(1)设直线l 1与l 2的交点P (x 0，y 0)，所以y 0＝1kx 0和y 0＝－k (x 0－4)，消去参数k 得C 1的普通方程为x 20－4x 0＋y 20＝0，把x 0＝ρcos θ，y 0＝ρsin θ代入上式得(ρcos θ)2－4ρcos θ＋(ρsin θ)2＝0， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0且ρ≠4)； (2)将ρ＝4cos θ代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0得 4cos θ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝0，则θ＝12k π－π6(k ∈Z )， 即曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3＋2k π，⎝⎛⎭⎫23，11π6＋2k π(k ∈Z )． 综合提升练4．(2021·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，且曲线C 1与极轴的交点为M (异于极点)；曲线C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .(1)求点M 的直角坐标及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2与曲线C 1、C 2分别交于点A 、B ，当∠ABM ＝π6时，求tan α.解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y2代入上式得，圆C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，则点M 的直角坐标为(2, 0)，因为圆C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .所以圆C 2的半径为3，故圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. (2)依题意设A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝6cos α，则|AB |＝ρ2－ρ1＝6cos α－2cos α＝4cos α，∵OM 为圆C 1的直径，故OA ⊥AM ，∴|AM |＝2sin α，则在Rt △ABM 中，∠ABM ＝π6，|AB |＝3|AM |，则4cos α＝23sin α，故tan α＝233.5．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2 θ＋9ρ2sin 2 θ＝9， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2 θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.创新应用练6．在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线C 2的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．解：(1)由ρ＝4cos θ得曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 经过变换后曲线对应的方程为x 24＋y 2＝1，即为曲线C 2的普通方程，∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．(2)设四边形MNPQ 的周长为l ，点M (2cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 则l ＝8cos α＋4sin α ＝45⎝⎛⎭⎫25cos α＋15sin α ＝45·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝15＝55，sin φ＝25＝255.∴当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，l 取得最大值，此时α＝π2－φ＋2k π，k ∈Z ，l max ＝45，∴2cos α＝2sin φ＝455，sin α＝cos φ＝55，即M ⎝⎛⎭⎫455，55.。

平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩； 第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩； 第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点；⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标；⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？【解析】 ⑴ 如右图所示；⑴ ()32D ，；⑴ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑴ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x 轴对称． B 、C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数， 位置特点：关于y 轴对称．A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”所在位置的坐标为 ． ⑴ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，，若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【解析】 ⑴()31-，； ⑴B ； ⑴ B ； ⑴ ()07，；⑴ A ．【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m >（人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0 （一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数，则2a b += ．（人大附中期中）⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑴ 设()3,a ab 在第三象限，则：① (),a b 在第 象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第 象限； ③ ()3,b a b -在第 象限.【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()21-，； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；⑶ ①∵20n ≥，∴点()22m n ，不在第三、四象限；② 若210220m m +>⎧⎨+<⎩，不等式组无解， ∴点()2122m m ++，不在第四象限. 【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C【点评】 本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．。