数项级数经典例题大全 (1)

第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

第十二章 数项级数总练习题1、证明：若正项级数∑n u 收敛，且数列{u n }单调，则n ∞n nu lim +→=0.证：∵级数∑n u 收敛，∴n ∞n u lim +→=0，∴单调数列{u n }必递减.由柯西准则知，任给正数ε，存在N ，对n>N ，有0<u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 又当n>N 时，u N+i ≥u n , i=1,2,…,n-N ，从而当n>N 时，0<(n-N)u n ≤u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 取n>2N ，则0<2n u n ≤(n-N)u n <2ε， 即0<nu n <ε (n>2N)，故n ∞n nu lim +→=0.2、若级数∑n a 与∑n c 都收敛，且不等式a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)成立. 证明级数∑n b 也收敛. 若∑n a 与∑n c 都发散，问∑n b 一定发散吗？ 证：∵a n ≤b n ≤c n ，∴ 0≤b n -a n ≤c n -a n ，又级数∑n a 与∑n c 都收敛， ∴正项级数∑)a -(c n n 收敛，根据比较原则，正项级数∑)a -(b n n 收敛， ∴∑n b =∑)a -(b n n +∑n a 收敛.若∑n a 与∑n c 都发散，∑n b 不一定发散，如：当∑n a =∑)n1(-,∑n c =∑n 1时，∑n a 与∑n c 都发散， 而∑n b =∑2n1满足a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)，但∑n b 收敛.3、若nn∞n b a lim+→=k ≠0, 且级数∑n b 绝对收敛，证明∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，能推得∑n a 收敛吗？证：∵n n ∞n b a lim+→=k ≠0, ∴nn∞n b a lim +→=|k|>0, 又∑|b |n 收敛， 根据比较原则知∑|a |n 收敛，∴∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，则∑n a 不一定收敛. 如：取a n =n (-1)n+n 1，b n =n (-1)n ，则nn ∞n b a lim +→=n(-1)n1n (-1)lim n n∞n ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→n (-1)1lim n ∞n =1≠0, 且∑n b =∑n (-1)n收敛，但∑n a =∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n 1n(-1)n 却发散.4、(1)设∑n u 为正项级数，且n1n u u +<1，能否断定∑n u 收敛？ (2)对于级数∑n u ，有n1n u u +≥1，能否断定级数∑n u 不绝对收敛，但可能条件收敛?(3)设∑n u 为收敛的正项级数，能否存在一个正数ε，使得ε1n∞n n 1u lim++→=c>0. 解：(1)不能. 如取u n =n1，则n 1n u u +=1n n +<1，但∑n u =∑n1却发散. (2)不能. ∵n1n u u +≥1，∴|u n+1|≥|u n |≥|u 1|>0. ∴|u |lim n ∞n +→≠0，从而n ∞n u lim +→≠0，∴级数∑n u 发散.(3)不一定. 如：对收敛的正项级数∑p n1(p>1)，则总存在ε=p-1>0，有1)-p (1p ∞n n 1n 1lim ++→=1>0.但对收敛的正项级数∑n n1，却对任何正数ε，有ε1n ∞n n 1n 1l i m ++→=ε-1-n ∞n n 1lim +→=0.5、证明：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则级数∑n n b a 也收敛.证：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则任给正数ε， 存在N 1，使当n>N 1时，对任何自然数p ，都有∑+=pn n k k a <ε，且存在N 2，使当n>N 2时，对任何自然数p ，都有|b b |k pn nk 1k ∑+=+-<ε.由)b (b n 1n ∑-+收敛知：其部分和数列)b (b k n1k 1k ∑=+-=b n+1-b 1有界，即|b n |<M(n=1,2,…).由阿贝尔变换知：当n>N=max{N 1,N 2}时，对任何自然数p 有：∑+=pn nk k kb a=∑∑∑+=+-+=+-++=++++-+⋯+-+-pn nk kp n 1p n nk k p n 1p n 1n nk k 2n 1n n 1n n a b a )b b (a )b b (a )b b (≤|b n -b n+1||a n |+|b n+1-b n+2|∑+=1n nk k a +…+|b n+p-1-b n+p |∑-+=1p n nk ka+|b n+p |∑+=pn nk ka≤ε∑-+=+-1p n nk k 1k b b+εM ≤ε(ε+M). 根据柯西准则，级数∑n n b a 收敛.6、设a n >0，证明级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是收敛的.证：∵a n >0，∴级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是正项级数，其部分和S n =∑=+⋯++n1k k 21k )a 1()a 1)(a 1(a =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯++-+⋯+n 1k k 211-k 1)a 1()a 1)(a 1(1)a 1()a 1(1 =1-)a 1()a 1)(a 1(1n 21+⋯++<1，即{S n }有界，∴该级数收敛.7、证明：若级数∑2n a 与∑2n b 收敛，则级数∑n n b a 和级数∑+2n n )b (a 也收敛，且(∑n n b a )2≤∑2n a ·∑2n b ，∑+2n n)b (a≤∑2na+∑2nb.证：∵|a n b n |≤2b a 2n2n +，且∑2n a 与∑2n b 收敛，∴∑n n b a 绝对收敛. 从而∑+2n n )b (a =)b b a 2(a 2n n n 2n ∑++也收敛.由柯西—旋瓦兹不等式：(∑=n1k k k b a )2≤∑=n 1k 2ka ·∑=n1k 2k b ，及明可夫斯基不等式：∑=+n1k 2k k)b (a≤∑=n1k 2ka+∑=n1k 2kb，令n →∞取极限，得证！。

第十二章 数项级数一、单选题（每题2分） 1、 设常数0k >,则级数21(1)nn k nn +∞=+-∑( ) A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k 有关 2、 设a 是常数，则级数()21sin n na n +∞=⎡⎤⎢⎣∑（ ） A ．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a 的取值有关 3、 级数()1(1)1cos 0n n a a n +∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数（ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a 有关 4、 设常数0λ>，且级数21n n a +∞=∑收敛，则级数1(1)nn +∞=-∑ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与λ有关 5、 设0(1,2,3,)n a n >=，且级数1n n a +∞=∑收敛，常数0,2πλ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则级数21(1)tan n n n n a n λ+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑（ ）A . 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与λ有关 6、 设()1ln 1nn u ⎛=- ⎝，则级数（ ） A .1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都收敛 B.1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都发散C.1nn u+∞=∑收敛而21nn u+∞=∑发散 D.1nn u+∞=∑发散而21nn u+∞=∑收敛7、 设10(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是（ ） A .1n n a +∞=∑ B.()11nn n a +∞=-∑C.1n +∞= D.()211nn n a +∞=-∑8、 下列各选项正确的是（ ）A. 若21nn u+∞=∑和21nn v+∞=∑都收敛，则()21nn n uv +∞=+∑ 收敛B. 若1n nn u v=∑ 收敛，则21nn u=∑和21nn v=∑都收敛C. 若正项级数1n n u +∞=∑发散，则1n u n≥D. 若级数1nn u+∞=∑收敛，且()1,2,n n u v n ≥=，则级数1n n v +∞=∑也收敛9、 若级数1nn a+∞=∑和1nn b+∞=∑都发散，则（ ）A .()1nn n ab +∞=+∑ 发散 B. 1n nn a b+∞=∑发散C.()1nn n ab +∞=+∑发散 D.()221nn n ab +∞=+∑发散10、n a 和n b 符合（ ）条件，可由1nn a+∞=∑发散推出1nn b+∞=∑发散。

第十二章 数项级数选择题1．若正项级数收敛，则下面级数一定收敛的是（ ）；(A) (B)(C) (D)2．下列级数中是条件收敛的级数有（ )；(A) (B)(C) (D)3． 级数 条件收敛;等价于( )(A) 收敛 (B) 发散(C) 收敛且 发散 (D)收敛4． 正项级数收敛是级数收敛的( )(A)充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 上述均不对5． 设常数k>0, 则级数(A) 发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散6． 设正项级数收敛, 则级数.(A) 是条件收敛的 (B) 是绝对收敛的(C )可能收敛也可能发散 (D) 上述均不对7．设常数k>0 ,则级数( )(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散与k 的取值有关8．已知级数 与 都发散,则( )(A) 必发散 (B)必发散(C) 必发散 (D)必发散9．下面级数绝对收敛的是( )(A) (B)(C) (D)10．F(p)= , F 的定义域为( )(A) [0,1] (B) (0,1] (C) (0,1) (D) (1,)11．下面级数收敛的是( ) (A) ∑∞=1!3n n n n n (B) (C) (D)∑-∞=1)1(n n a (a>1)填空题1．设级数∑∞=-1)1(n n u收敛，则= ( )；2．级数,当p= ______________时条件收敛.3．.级数满足莱布尼兹判别法的两个条件,___________________________则它是收敛的.4．.若 ,则级数∑∞=1n n u__________ ,若 则级数_____________5． 级数之和为________________6． 若 收敛 则x=____________7．设>0则数列与级数∑∞=1n n a 的关系是___________________计算题1．已知级数a n =2,,求2．判别级数 的敛散性.3．求级数 的和4．求级数的和证明题1．设}{,0n n a a >单调减少趋于零，证明级数∑⋅-∞=+-111)1(n n n n a a 收敛（8分）2．用级数知识证明当, 是比高阶的无穷小 . （10分）3．设a n > 0 , 证明级数是收敛的.(8分)4．设a n >0, a n >a n+1 (n=1,2,…)且 证明级数 收敛. （10分）5．若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n c 都收敛且a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…) 则∑∞=1n n b 也收敛. (8分)选择题答案1．C 2． B 3． C 4． A 5． C 6．B7．C 8． C 9． C 10．.D 11．B填空题答案1． 1 2． p= -1 3．.ln(1+x) ,ln 4．发散, 绝对收敛5． 6． x>1, 7. 同敛散。