天津大学工程数学基础2017级试题

天津大学工程硕士研究生《工程数学基础》试卷 （共8页）______学院 专业________班，姓名 学号一. 判断 (每小题1分,共10分)1．Hermite 矩阵n n C A ⨯∈是负定的充要条件为A 的各阶顺序主子式均小于零. （ ）2．线性算子Y X T →:的零空间)(T N 是X 的线性子空间. （ ） 3．任意多个闭集的并仍然是闭集. （ ）4．在Banach 空间中，Cauchy 序列与收敛序列是等价的. （ ） 5．正规矩阵的最小多项式无重零点. （ ）6．设)()(x N x L n n 和分别是)(x f 在区间],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的n 次Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，则)()(x N x L n n =. （ ）7．用Newton-Cotes 公式计算⎰ba dx x f )(的近似值时节点取得越多则精度越高.（ ）8．线性空间],[b a P n 是n 维的. （ ） 9．2)2,,(2=Ti i . （ ）10．线性算子).,().,(:Y XY X T →是有界的充要条件为存在数0>M 使得对任意的X x ∈有M Tx Y ≤成立. （ ）二. 填空 (每小题1分,共10分) 1.设(A = 则 inf A = .2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为22()(1)(4)f λλλ=+-, 则A 的初等因子组为 .3.设33⨯∈C A 的Jordan 标准形2122J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的有理标准形_______________C =.4. 设1i 0211i 01A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则F A = . 5. ()[()]ij n n A t a t ⨯=可导，则d ()d T A t t= . 6. 已知2e ()1tt A t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 1()d A t t ⎰= .7. 设M 求解线性方程组b Ax =的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是()M ρ .8. 设{}nk k x l 0)(=是 ],[b a 上的以b x x x a n ≤<≤,,10 为节点的Lagrange 插值函数则∑==nk k x l 0)( .9. 设n 为奇数，则1+n 个求积节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度最低为 .10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式 .三．计算题 （每小题10分，共70分） 1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ,（1）求E A λ-的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .2. 设126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A , （1）求E A λ-的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .3．设214030021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求A 的最小多项式()ϕλ; （2）求e At . 4. 已知函数)(x f y =的数值如下：用3次插值多项式计算)1973(f 的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。

2017年高考真题天津卷理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积，其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F，离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

一、写出下面问题的数学模型规划，不需求解（1） 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物资1100吨，分别供给A 地1700吨、B 地1100吨、C 地200吨、D 地100吨。

已知每吨运费如表1所示，运费与运量成正比，建立运费最省的供给方案。

解：设甲、乙运往A 、B 、C 、D 的物资量分别为x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24吨，则由题意，我们需要去求21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。

显然x 11, x 12, x 13, x 14, x 21, x 22, x 23, x 24不能任意取值，我们还有“甲地调出物资2000吨”、“供给A 地1700吨”等条件限制。

总结需求及条件限制，得到下面的完整数学模型：111213142122232411121314212223241121122213231424min 212571551513715..2000,1100,1700,1100,200,100,0,1,2,1,2,3,4ij f x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++⎧++++⎪⎪+++=⎪⎪+++=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩该模型的现实含意为：在x 11+x 12+x 13+x 14 = 2000等条件下，求 f = 21x 11+25x 12+7x 13+15x 14+51x 21+51x 22+37x 23+15x 24的最小值。

(这里先做出数学模型，以后再考虑求解方法)（2）某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3。

已知的条件如下表所示，制定出总利润最大的生产计划。

解：设三种产品的生产量分别为x1, x2, x3时可以得到最大利润3x1+5x2+4x3，则由题意，我们可以得到完整的模型为1231223123max 354..231500,24800,3252000,0,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x j =++⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪++≤⎪≥=⎪⎩二、用图解法解线性规划121212min5..28 4z x x s t x x x x =-⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩三、论述用单纯形方法解LP 问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。

)1en +++12121211nnnne e ee e e en nn n n n+++++≤+++≤++++1111110()limlim (1)(1)t t t nn n t n t nee et e e e n e +=+→∞→+++--==--0(1)lim 1t t te e e t→+-==-- 12lim111nnn e n e e ee n n→∞+++++==-+两边夹法则，即得. ln(1)1cos x x+=- 2 .2111cos ),024x x x -→（ 200sin ln(1)4lim 4lim x x x x x→→-+==2(1)21n n -+++2(1)2)(21n x x x n -++++()0(n n f x o x n +++（）！(50)0=49f （）50！250!=49⋅）. =⎰-0()xtf t dt显然()xf t dt ⎰为T 周期函数⇔()=0Tf t dt ⎰，故选（D ）.2. 设函数()y f x =满足方程()(1)210()()'()()0n n n ya x y a x y a x y a x -++++=，若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是（ ）（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.由条件可得：当n 为偶数，且()0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极值，特别地，()0()V 0n fx =-<，()f x 在0x 点取得极大值.3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）(A)00()()baa f x dxb f x dx ≥⎰⎰(C)0()()baaf x dx b f x dx ≤⎰⎰(B) 00()()baa f x dxb f x dx >⎰⎰(D) 0()()baaf x dx b f x dx <⎰⎰解：选（C ）设0()(),0xf x dx F x x x=>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有02()()()()()0,(0,)xxf x f x dxf x f F x x xxξξ--'==≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0()()ba af x dx b f x dx ≤⎰⎰，故（C ）成立.4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.解：选（D ）由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.5. 设210sin x I dx xπ=⎰，220sin xI dx x π=⎰，则正确的是（ ）(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2sin 1xx π<<，210sin 1x I dx xπ=>⎰sin ,x x <则22sin x x <，从而sin sin x xx x<，则221200sin sin x x I dx I dx x xππ=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )limarcsin arctan x x x x x→--.解：331arcsin ()6x x x o x =++ ，331arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332arctan(arctan )()3x x x o x =-+ （4分）330033arcsin(arcsin )arctan(arctan )()lim lim 1arcsin arctan ()2x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n xnx x nn n n →∞+≤⎧⎪=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim(1cos cos cos)n x xn xnx n n nn→∞-++++- 11001sin =lim cos()cos()n n i i xx x tx dt x x nn x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)此时cos , 0()sin ,0ax b x x f x x x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P （A ∪B )=P (A ）+P (B )． P （AB ）=P (A ) P (B ）． ·棱柱的体积公式V =Sh 。

·球的体积公式343V R =π。

其中S 表示棱柱的底面面积,其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C){1,2,4,6}(D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A)23 （B ）1（C ）32(D ）3 （3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（A ）0 （B)1（C)2(D ）3 (4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件(D)既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,离心率为2。