天津大学工程数学基础新版习题答案0

天津大学工程硕士研究生《工程数学基础》试卷 （共8页）______学院 专业________班，姓名 学号一. 判断 (每小题1分,共10分)1．Hermite 矩阵n n C A ⨯∈是负定的充要条件为A 的各阶顺序主子式均小于零. （ ）2．线性算子Y X T →:的零空间)(T N 是X 的线性子空间. （ ） 3．任意多个闭集的并仍然是闭集. （ ）4．在Banach 空间中，Cauchy 序列与收敛序列是等价的. （ ） 5．正规矩阵的最小多项式无重零点. （ ）6．设)()(x N x L n n 和分别是)(x f 在区间],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的n 次Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，则)()(x N x L n n =. （ ）7．用Newton-Cotes 公式计算⎰ba dx x f )(的近似值时节点取得越多则精度越高.（ ）8．线性空间],[b a P n 是n 维的. （ ） 9．2)2,,(2=Ti i . （ ）10．线性算子).,().,(:Y XY X T →是有界的充要条件为存在数0>M 使得对任意的X x ∈有M Tx Y ≤成立. （ ）二. 填空 (每小题1分,共10分) 1.设(A = 则 inf A = .2. 已知4阶矩阵A 的特征多项式为22()(1)(4)f λλλ=+-, 则A 的初等因子组为 .3.设33⨯∈C A 的Jordan 标准形2122J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的有理标准形_______________C =.4. 设1i 0211i 01A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则F A = . 5. ()[()]ij n n A t a t ⨯=可导，则d ()d T A t t= . 6. 已知2e ()1tt A t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则 1()d A t t ⎰= .7. 设M 求解线性方程组b Ax =的Jacobi 迭代矩阵，则Jacobi 迭代格式收敛的充要条件是()M ρ .8. 设{}nk k x l 0)(=是 ],[b a 上的以b x x x a n ≤<≤,,10 为节点的Lagrange 插值函数则∑==nk k x l 0)( .9. 设n 为奇数，则1+n 个求积节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度最低为 .10. 方阵A 可对角化的充要条件是: A 的最小多项式 .三．计算题 （每小题10分，共70分） 1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ,（1）求E A λ-的初等因子组；(2) 求A 的Jordan 标准形J .2. 设126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A , （1）求E A λ-的不变因子；（2）求A 的有理标准形C .3．设214030021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, （1）求A 的最小多项式()ϕλ; （2）求e At . 4. 已知函数)(x f y =的数值如下：用3次插值多项式计算)1973(f 的近似值（计算过程及结果均保留至小数点后第2位）。

高等数学基础版教材答案---第一章线性代数1.1 向量与空间1. 向量与向量的线性组合：- 若向量组V1，V2，...，Vn，满足对于任意的实数k1，k2，...，kn，有k1V1 + k2V2 + ... + knVn 属于 V，则称向量组 V1，V2， (V)是线性相关的。

- 若向量组 V1，V2，...，Vn 是线性相关的，且不存在非零实数k1，k2，...，kn，使得 k1V1 + k2V2 + ... + knVn = 0，则称向量组 V1，V2，...，Vn 是线性无关的。

2. 向量与矩阵的基本运算：- 向量的加法：设有向量 A 和 B，A = (a1, a2, ..., an)，B = (b1,b2, ..., bn)，则有 A + B = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

- 向量的数乘：设有向量 A = (a1, a2, ..., an)，k 是实数，则有 kA = (ka1, ka2, ..., kan)。

- 矩阵的加法：设有矩阵 A 和 B，A = (aij)，B = (bij)，则有 A + B = (aij+bij)。

- 矩阵的数乘：设有矩阵 A = (aij)，k 是实数，则有 kA = (kaij)。

3. 解线性方程组：- 齐次线性方程组：设有 n 元线性方程组 A·X = 0，其中 A 是一个m×n 矩阵，X 是 n 维列向量，则该方程组的解空间是由 A 的零解及所有非零解构成的。

- 非齐次线性方程组：设有 n 元线性方程组 A·X = B，其中 A 是一个 m×n 矩阵，X 和 B 是 n 维列向量，则该方程组存在解的充要条件是：B 可以由 A 的列向量线性表示。

---第二章微积分2.1 导数与微分1. 导数的定义与性质：- 定义：若函数 f(x) 在点 x0 处有定义，则称 f(x) 在点 x0 处可导，记为 f'(x0) 或 dy/dx |_(x=x0)。

2019–2020学年第二学期《工程数学基础》试卷标准答案及评分标准考试时间:2020-9-12一、判断题1.×2.×3.×4.5.×6.7.8.×9.×10. 11.×12. 13.×14. 15.×16. 17. 18.×19.×20.×二、填空题1.A c ∩B c 2.−3 3.Y 4.0 5.b−a 6.07.λ−18.09.110.2+√211.0cos x3−x2sin x3e x2x1e x2012.213.−2/5<α<014.16/4515.h2[f(a)+2∑n−1i=1f(x i)+f(b)]16.f(4)(ξ)4!x2(x−2)2,ξ∈(0,2)17.618.2126x+21319.15(b5−a5)20.(0,0.278]三、解:¯A=22−1141−10−14−2−1−8−→4−2−1−81−10−122−114(1分)−→4−2−1−80−1214103−1218−→4−2−1−803−12180−12141−→4−2−1−803−121800164(3分)回代解得x3=24,x2=10,x1=9,即x=(9,10,24)T.(4分)Jacobi迭代格式为x(k+1)1=14·(−2x(k)2−2x(k)3+1),x(k+1)2=12·(−x(k)1−x(k)3+3),x(k+1)3=12·(−x(k)1−x(k)2+7),k=0,1,···.(6分)Jacobi迭代矩阵为M=D−1(L+U)=141212·0−2−2−10−1−1−10=0−12−12−120−12−12−12,由|λE−M|=λ3−34+14=(λ+1)(λ−12)2=0解得M的特征值为λ1,2=12,λ3=−1,所以ρ(M)=1,从而Jocobi迭代发散.(8分)四、解:构造差商表如下(3分)表1:差商表x y 一阶差商二阶差商三阶差商012−3−23−4−1135234315三次Newton 插值多项式N 3(x )=1−2(x −0)+13(x −0)(x −2)+15(x −0)(x −2)(x −3)=15x 3−23x 2−2215x +1,(4分)Newton 插值公式的余项R 3(x )=f [0,2,3,5,x ]x (x −2)(x −3)(x −5).(6分)五、解：(1)λE −A =λ020λ−10−10λ−3−→ −10λ−30λ−10λ02 −→ −10λ−30λ−10002+(λ−3)·λ−→ 10λ−30λ−1000λ2−3λ+2,(4分)所以A 的最小多项式m (λ)=λ2−3λ+2=(λ−1)(λ−2),且J =200010001,C = 10000−2013.(7分)(2)由A 的最小多项式为φ(λ)=(λ−1)(λ−2),设e tA =a 0(t )+a 1(t )A =T (tA ),(2分)因为T (tA )与e tA 在σ(A )={1,2}上的值相同，故有a 0(t )+a 1(t )=e t ,a 0(t )+2a 1(t )=e 2t ,(4分)解得a 1(t )=e 2t −e t ,a 0(t )=2e t −e 2t ,所以e tA =(2e t −e 2t )E +(e 2t −e t )A=2e t −e 2t 02e t −2e 2t 0e t 0e 2t −e t2e 2t −e t(6分)所以初值问题的解e tA= 2e t −e 2t 02e t −2e 2t 0e t 0e 2t −e t 02e 2t −e t · 101= 4e t −3e 2t 03e 2t −2e t.(8分)六、解:做变换x =12(1+t ),t ∈[−1,1],故t =2x −1.代入得f (x )=14(1+t )2 φ(t ).(2分)对φ(t )在[−1,1]上用Legendre 多项式做最佳平方逼近,设其为¯S ∗1(t )=a 0P 0(t )+a 1P 1(t )则a 0=12∫1−114(t +1)2dt =13,a 1=32∫1−114(t +1)2·tdt =12,(4分)因此有¯S ∗1(t )=13+12t,S ∗1(x )=13+12(2x −1)=x −16.(6分)平方误差为δ2=12∥φ(t )−¯S ∗1(t )∥22=12∫11142(t +1)4dt −121∑k =022k +1a 2k =12(25−2·132−23·122)=1180≈5.56×10−3.(8分)七、解：S 22=4T 23−T 224−1,从而有1=T 23=(3S 22+T 22)/4≈0.401812.其它的有2=S 21=4T 22−T 214−1≈0.400432,3=C 21=42S 22−S 2142−1≈0.400053.八、解：令z =y ′,初值问题化为y ′=z,z ′=(1+x 2)y +1,(0<x ≤1),y (0)=1,z (0)=3.(2分)解此问题的标准Runge-Kutta 格式为y n +1=y n +h 6(k 1+2k 2+2k 3+k 4),z n +1=z n +h 6(l 1+2l 2+2l 3+l 4),k 1=z n ,l 1=(1+x 2n )y n +1,k 2=z n +h 2l 1,l 2=[1+(x n +h 2)2](y n +h2k 1)+1,k 3=z n +h 2l 2,l 2=[1+(x n +h 2)2](y n +h 2k 2)+1,k 4=z n +hl 3,l 4=[1+(x n +h )2](y n +hk 3)+1,y 0=1,z 0=3,(n =0,1,···,N −1)(6分)九、证明:(1)由于(x n )和(y n )都是X 中的Cauchy 序列，则对∀ε>0,∃N 1,N 2∈N ,使得当m,n >N 1时,∥x m −x n ∥<ε;当m,n >N 2时,∥y m −y n ∥<ε.令N =max {N 1,N 2},则当m,n >N 时,有|∥x m −y m ∥−∥x n −y n ∥|≤∥(x m −y m )−(x n −y n )∥≤∥x m −y m ∥+∥x n −y n ∥<ε2+ε2=ε这表明(∥x n −y n ∥)是R 中Cauchy 的序列,由R 的完备性知,数列(∥x n −y n ∥)收敛.(5分)(2)由A 为Hermite 正定矩阵知,存在n 阶酉矩阵U 使得U H AU =diag (λ1,···,λn ).由于A为正定矩阵,因此λi>0,i=1,···,n.令P1=U·diag(1/√λ1, (1)√λn),则P1非奇异,且P H1AP1=E.(3分)同时,显然P H1BP1是Hermite矩阵,因此存在n阶酉矩阵P2,使得P H 2(P H1BP1)P2=diag(µ1,µ2,···,µn),这里µ1,µ2,···,µn为Hermite矩阵P H1BP1的特征值,故为实数.(4分)令P=P1P2,则P非奇异,且P H AP=P H2(P H1AP1)P2=E,P H BP=P H2(P H1BP1)P2=diag(µ1,µ2,···,µn).(5分)。

习 题6−1作图示杆件的轴力图。

解：在求AB 段内任一截面上的轴力时，在任一截面1−1处截断，取左段为脱离体（图c ），并设轴力F N1为拉力。

由平衡方程求出：kN 201N =F同理，可求得BC 段任一截面上的轴力（图d ）为kN 204020N2-=-=F求CD 段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体，并设轴力F N 3为拉力（图e ）。

由kN002525,0N3N3==+--=∑F F Fx同理，可得DE 段内任一横截面上的轴力F N 4为（图f ）kN 254N4==F F按轴力图作图规则，作出杆的轴力图（图g ）。

6−2 作图示杆件的轴力图。

已知：F =3kN 。

解：取图示脱离体，并由对应的脱离体平衡求出轴力分别为：30040040kN20kN 25kN（a ）N2 F （b ）（c ） （d ）（e ）20F N 图（kN ）（g ）习题6−1图（f ）作轴力图6−3 设在题6−1中杆件的横截面是10mm 20mm 的矩形，试求各杆件截面上的应力值。

解：由习题6-1解知杆件各段轴力，其对应的应力分别为：6−4 图示一圆周轴CD 与套管 AB 紧密配合。

现欲用力F 将轴自套管内拔出。

设轴与套管间的摩擦力q （按单位面积计）为常数。

已知q 、a 、b 及d ，试求：(1) 拔动轴CD 时所需的F值；(2) 分别作出轴CD 和套管 AB 在F 力作用下的轴力图。

解：（1）F 应等于轴与套管间的摩擦力，即 F=q πdb（2）轴CD 与套管的轴力图如图b 6−5在图示结构中，所有各杆都是钢制的，横截面面积均等于3×10-3mm2，力F =100kN 。

求各杆的应力。

解：求各杆的轴力，取B 节点为脱离体，由节点平衡FF轴力图q πdbq πdb图b取C 节点为脱离体，有求各杆应力6−6图示一三角架，由两杆AB 和BC 组成，该两杆材料相同，抗拉和抗压许用应力均为[σ]，截面面积分别为A 1和A 2。

---------------------考试---------------------------学资学习网---------------------押题------------------------------ACMql=2m。

4kN/m，处的约束力。

已知=8kN·m，3-10求图示多跨梁支座=、qqMAC C B BFF BCl 2l2 2llla）（(b)qMM AA CBFF CAl2 2ll(c)10 图习题3-??l?3?2l?qM?0,F?0CB BC(b)）取梁所示。

列平衡方程为研究对象。

其受力如图（解：1l322?4?9ql9kN??18F?C44所示。

列平衡方程）取整体为研究对象。

其受力如图(c)（2?0l??Fq?3F?0,F?CyA kN?64?2ql3??18?3?F??F?CA?0?5l??3l3.?,?0MM?M?F4l?q CAA22m?32kN5?4?2?1045lF?MM??4?10.ql8??18??2?.CAF ACCDC，05=所示。

设(a)用铰链组合梁11-3及连接而成，受力情况如图kN Mq m。

求各支座的约束力。

=50kNkN/m=25，力偶矩·MFqACB11m2m22m(a)MF q q′F C D AC C B FFFF C2m 2m1m1m DA B 2m(b) (c)一一图-11 习题3CD为研究对象。

其受力如图(c)所示。

列平衡方程（1）取梁解：?M?0,F?4?q?2?1?M?0 DC2q?M2?25?50??25kNF?D44?M?0,?F?4?q?2?3?M?0CD6q?M6?25?50??F?25kN C44ACFF=25kN。

列平衡方程(b)所示，其中′（2）取梁=为研究对象。

其受力如图CC ???2?0?F?2?F?1?q?2M?0,?1?F CBA?F?2q?2F25???25250?2C??F??25kN(?)A22???4?0F?2?F?1?q?2?3?M0,?F CBA?F?6q?4F25?4?650??25C F???150kNB226?1作图示杆件的轴力图。

一.判断（10分）1.设是K上的线性空间,算子则是的子空间.（）2.线性无关.（）3.对L e g e n d r e 多项式,有.（）4.,则可对角化.（）5.设是H e r mi t e插值余项，则节点为的二重零点.（）6.C o t e s 系数只与求积节点的个数有关而与被积函数和积分区间无关.（）7.设是上的任意方阵范数，则.（）8.,则.（）9.若为G a u s s型求积公式,则.（）10.若正规矩阵,其特征值均为实数,则为酉矩阵.（）二、填空（10分）1.已知，则.2.,则.3.设是S e i d e l迭代矩阵，则的所有特征值中绝对值最小的为.4.若为插值型求积公式,，是n次L a g r a n g e插值基函数，令则.5.设酉矩阵,且则的不变因子.三.(8分)设，求的有理标准形.题号12345678910平时成绩成绩得分四.(8分)求解初值问题五.(8分)已知线性方程组为(1)写出S e i d e l迭代格式，(2)判断迭代格式收敛性.六.（8分）由下列插值条件1.631.731.952.282.5314.09416.84418.47520.96323.135用三次N e w t o n插值多项式计算的近似值(结果保留至小数点后第3位)七.（10分）用算法求积分的近似值，并将计算结果列于下表（计算结果保留至小数点后第5位）01234八.(10分)用L e g e n d r e 多项式求函数在上的三次最佳平方逼近，并求(结果保留到小数点后第5位，取)九.(8分)写出用标准R u n g e-K u t t a方法解下列初值问题的计算公式.十.(10分)证明1.内积空间中的任何正交系都是线性无关的.2.,则。

习 题D o n e （略）3-1 如图（a ）所示，已知F 1=150N ，F 2=200N ，F 3=300N ，N 200='=F F 。

求力系向O 点简化的结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

解：（1）将力系向O 点简化N6.43752300101200211505210121321R-=---=---=∑='F F F F F x xN6.16151300103200211505110321321R-=+--=+--=∑='F F F F F y y()()N F F F y x 5.4666.1616.437222R 2R R=-+-='+'='设主矢与x 轴所夹锐角为θ，则有61206.4376.161arctanarctanRR '︒=--=''=x y F F θ因为0R <'x F ，0R <'y F ，所以主矢F ＇R在第三象限。

mN 44.2108.02002.0513001.02115008.02.0511.021)(31⋅=⨯-⨯+⨯=⨯-⨯+⨯==∑F F F M M O O F(a)(b) (c)将力系向O 点简化的结果如图（b ）。

(2)因为主矢和主矩都不为零，所以此力系可以简化为一个合力如图（c ），合力的大小mm 96.4504596.05.46644.21N 5.466RR R ====='=m F M d F F o3-2重力坝的横截面形状如图（a ）所示。

为了计算的方便，取坝的长度（垂直于图面）l =1m 。

已知混凝土的密度为2.4×103 kg/m 3，水的密度为1×103 kg/m 3，试求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的合力F R ，并计算F R 的作用线与x 轴交点的坐标x 。

解：（1）求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的大小kNN dy y dy y q P mN y dyy dy y q 5.9922105.9922245108.9)45(108.9)()45(108.9)45(8.91011)(3234534533=⨯=⨯⨯=⋅-⨯=⋅=-⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=⎰⎰（2）将坝体的重力W 1，W 2和水压力P 向O 点简化，则kN 5.9922R==∑='P F F x xkN 3057621168940821R-=--=--=∑='W W F F y y()kN 7.32145305765.9922222R 2R R=-+='+'='y x F F FkN N W kN N W 2116810211688.9104.2136)545(2194081094088.9104.218)545(332331=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+=(a) (b) (c)设主矢与x 轴所夹锐角为θ，则有︒=-=''= 02.725.992230576arctanarctanRR x y F F θ因为0R >'x F ，0R <'y F ，所以主矢F ＇R在第四象限，如图（b ）。

高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 常用极限和极限运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与基本性质2.2 高阶导数与导数的计算2.3 微分的概念与运算3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与泰勒公式3.3 极值与最值的判定3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长4. 第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表与积分方法4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法5. 第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的求导5.4 高阶导数与泰勒展开5.5 一元函数与多元函数的导数比较6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解6.2 条件极值的求解6.3 隐函数的极值7. 第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 广义积分的概念与性质7.3 三重积分的概念与计算7.4 曲线积分的概念与计算8. 第八章：无界区域上的积分8.1 狄利克雷条件8.2 无界闭区域上的积分8.3 圆周率的计算9. 第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的解法与应用9.2 高阶常微分方程的解法9.3 变量分离与恰当方程9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程10. 第十章：偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念10.2 分离变量方法与特征线法10.3 热传导方程与波动方程10.4 边界值问题与最值问题以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。

对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考：【第一章：函数与极限】习题1：已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求f(-2)的值。

解答：将x=-2代入f(x)，得到f(-2)=3*(-2)^2+2*(-2)-1=13。

习题2：证明函数f(x)=x^3+2x^2-3x+5是奇函数。