2013天津大学工程硕士工程数学复习题纲

《工程数学》考试大纲一、基本信息：《工程数学》考试内容主要包括高等数学和线性代数两部分，主要题型为选择题和计算题。

答题方式为笔试、闭卷。

考试时间为120分钟，试卷总分为100分，其中高等数学约70%，线性代数约30%。

二、考试内容1.函数、极限、连续（1）分段函数概念；函数的有界性、（严格）单调性、奇偶性、周期性以及他们各自反映在函数图形上的特点；反函数与隐函数的概念；函数极限的唯一性，有界性，保号性；无穷小，无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念；函数的左连续与右连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。

（2）函数、区间及邻域等概念；复合函数及初等函数的概念；极限的概念；函数的左、右极限及其与函数极限的关系；函数在一点连续的概念；函数在一个区间上连续的概念。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

2.导数、微分及应用（1）函数的可导性与连续性的关系；高阶导数概念；微分的几何意义及函数的可微性与可导性的关系。

导数的几何意义；微分的概念。

初等函数的一阶、二阶导数的求法。

求隐函数和参数式所确定的函数的一阶导数以及比较简单的二阶导数。

（2）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、罗必达法则；函数插值的思想和一些方法。

函数的极值概念。

用导数判断函数的单调性和求极值的方法；函数图形的凹凸性及其判定法。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

3.不定积分、定积分及应用（1）简单的有理函数、三角函数有理式和简单的无理函数的积分法。

原函数和不定积分的概念。

不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。

（2）定积分的性质、定积分的中值定理；两种广义积分的概念，用定义求解较简单的广义积分，定积分数值计算的思想和一些方法。

定积分的概念和几何意义；变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。

牛顿-莱布尼兹公式；定积分的换元法和分部积分法。

（3）元素法的思想，用定积分求一些几何量和物理量的方法，建立一些几何量与物理量的积分表达式（如面积、体积、弧长、功、水压力等）。

《工程数学》复习资料一、填空1、A 、B 均为3阶方阵，2=A ，2-=B ，则=A B ；2、设D=1234234134124123， 则12223242234A A A A +++=________； 3、设α=（1，3，-5），β=（0，-3，5），如果向量x 满足12,2x αβ+= 则x =__________________；4、1124A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值为 5、 321,,X X X 相互独立，且都服从2=λ的泊松分布，)(21321X X X Y ++=， 则=)(2Y E .6、设X 1, X 2, n X , 是取自标准正态总体N()1,0的样本,则∑=ni iX 12∽______.7、向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是8、X ～N (3 ,21.0),则)3.0|3(|<-X P ＝ (其中)3(Φ＝0.9987). 9、X ～x x f 21)(=，(20≤≤x )，则=≤<-)231(X P . 10、设X ～),(p n B ,若2.7,12==DX EX 则n =______, p =______. 11、总体X ～μ(N ,)2σ(2σ未知)，今有样本观察数据：16=n ，8.2=x ，1=*S ，则总体均值μ的信度为95％的置信区间为( )，(13.2)15(025.0=t ，保留两位小数).12、设X 服从参数为λ的指数分布，若方差4)(=X D ，则λ= 13、设X 服从参数为λ的泊松分布，且1(0)P X e -==，则λ= 二、选择题1、齐次线性方程组2000x y z x y z x y z λλ-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解.则λ必须满足 ( )(A) 14λλ≠-≠且 (B) 1λ=- (C) 4λ= (D) 14λλ=-=或 2、设s ααα,,,21 是秩为r 的n 维向量组，则（ ）（A ）该向量组中任意r+1个向量（若有的话）线性相关；（B ）该向量组中任意r 个向量线性无关；（C ）该向量组存在唯一的极大线性无关组；（D ）r<s .3、若矩阵111121231A λ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的秩为2，则λ=（ ） (A) 0 (B) 2 (C)-1 (D) 14、6.0)(=B P ，3.0)(=AB P ，则=)|(B A P （ ）.)(A 0. 4； )(B 0.75； )(C 0.6；)(D 0.5.5、设随机变量X 和Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则（ ）.)(A 0)(=Y D ；)(B Y X ,独立； )(C Y X ,不相关；)(D 0)()(=-Y D X D .6. 设总体X ～)4,1(N ,1621,,,X X X 是取自总体X 的样本，X 为样本均值，则下列结论成立的是（ ）.)(A X ～)41,1(N ；)(B X ～0(N ，)1；)(C X ～1(N ，)161， )(D 以上都不对.7．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）（A ） B=O （B ） 00==A B 或 （C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=-8、设样本4321,,,X X X X 是取自正态总体X ，2σμ==DX EX 为已知，而未知，则下列随机变量中 不能作为统计量的是（ ）(A) ∑==4141i i X X , (B) μ241-+X X , (C) 2412)(1X XK i i-=∑=σ ,(D) 2412)(31X X S i i -=∑= .9、设总体X ～N (μ,2σ) ，1X ,2X ,…,n X 是来自X 的简单随机样本，则下列结论( )成立. A. X ～N (μ,2σ)； B.X ～N (μn ,2σn )； C. X ～N (μ,n /2σ)； D. 以上都不对 .10、设 X ～),(p n B ，若期望6.1)(=X E ，方差28.1)(=X D ，则参数p n ,的值为（ ）(A) 8.0,2==p n (B) 4.0,4==p n )(C 2.0,8==p n (D) 1.0,16==p n11、设离散型随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则数学期望)(2X E ＝（ ）(A) λ (B) 2λ（Ｃ）2λλ- (D) 2λλ+ 三、计算题1、求n 阶行列式........................ba a aab a aaaba aa a b的值；2、求矩阵223110221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵；3、设总体X ～)10(,)1()(<<+=x x a x f a .求参数a 的极大似然估计.4、某种机械零件直径(m m )的方差2205.0=σ，今对一批零件抽查6件，得直径数据为：10.50，10.48，10.51，10.50，10.52，10.46.问这批零件直径的均值能否认为是10.52(α＝0.05).5、计算行列式aa a a a a a a a a a a D 3333222211111=6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+7、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）8、抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据(单位:g )：495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 . 问能否认为该批罐头食品的平均净重为500g (α＝0.05). 9．设离散型随机变量X ～),2(p B ，若概率95)1(=≥X P ，求： （1）参数p 的值；（2）)2(=X P ；（3）)(X D 10、事件A 在一次试验中发生的概率为23，求在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率。

《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。

工程数学复习资料二（填空题等做完四题计算题有时间再来做）1设 A 、B 均为3 阶方阵，且 |A| =－6，|B| =3，则 |31)(-'-BA |= 8 。

2 设 A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 Ax = λx ，则称λ为A 的 特征值 则称x 为A 相应于特征值λ的 特征向量 。

3已知 P （A ）=0.8，P （AB ）=0.2，则 P （A －B ）= 0.6 。

4 设离散型随机变量X ~⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 5.02.0210 ，则a = 0.3 。

5 若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ， 则称θˆ为θ的 无偏估计 。

1设 A 、B 均为3 阶方阵，且 |A| =3，|B| =2，则 |12-'B A |= 12 。

4 设随机变量X ，若E （X ）=3，E （2X ）=5，则D （X ）= 2 。

5设n x x x ,...,,21 是来自正态总体N （μ，σ2）的一个样本，则∑=ni ix n 11～ N （μ，σ2/n ） 。

1 设 A 是2 阶矩阵，且 |A| =9，则 |)(31'-A |= 1 。

2设 A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 Ax = λx ，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。

4 设X 为随机变量，若D （X ）=3，则D （－ X+ 3）= 3 。

5若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足D （1ˆθ）>D （2ˆθ），则称2ˆθ比1ˆθ更 有效 。

1 设 A 、B ，C 均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为111,,---C B A ，则 11)(--'B A C = 11)(--'C A B 。

2 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是 r （A ）= r （Ab ） 。

3若P （A ）=0.8，P （B A ）=0.5，则 P （AB ）= 0.3 。

4 设随机变量X 的概率密度函数为2301()0x x f x ⎧≤≤=⎨⎩ 其它，则 P （X<1/2）= 1/ 8 。

第1讲：矩阵、线性运算、线性空间（一） 矩阵（matrix ）()，列的矩形阵列：行个数字排成列的矩阵：行nm ijmn m m n n a a a a a a a a a a A n m n m n m ⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯212222111211()()也称为列向量。

也称为行向量；列矩阵，，，行矩阵的行依次变为列：的转置矩阵：将矩阵.,212121212221212111T mmn mn nn m m Tb b b b b b B a a a A a a a a a a a a a AA A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=()，阶方阵，零矩阵nn ij nn n n n n a a a a a a a a a a A n O ⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212222111211000000000为零的方形矩阵。

，即主对角线之上全部下三角矩阵零的方形矩阵。

，即主对角线之下全为上三角矩阵nn nn n n nn n n a a a a a a A a a a a a a A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2122211122211211000000()，，数量矩阵对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λa a aA a a a diag a a a n nn00000000000112112211.0000000000023081230818418412434023211450482152150154100010001⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zy xc b az yx c b a d c b a d cb a z y x z y x A A A A A E T是指；是指；是指例如，的对应元素都相等。

工程数学（本）2013秋模拟试题（二）参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．B 2．C 3．A 4． D 5．A二、填空题（每小题3分，共15分）1．0 2．特征值 3．0.08 4．0.1 5．统计量三、（每小题16分，共64分）1．解：利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101310011210001221100531010011001221 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→112100235010225021112100011210001221 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→112100235010245001 因此， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1122352451A 于是由矩阵乘法可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-1152614011211122352451B A X ． 2．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----14770281414014770542169141328341325421⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000211012010000000021105421 方程组的一般解为 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，(其中x 3是自由元) 令x 3 = 0，得到方程组的一个特解X 0 =)0,2,1('-；不计最后一列，x 3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X 1 =)1,1,2('-于是，方程组的通解为： 10kX X X +=，(其中k 是任意常数)．3．解：⑴)3522()5217525212()1712(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 0215.09772.09987.0)2()3(=-=Φ-Φ= ⑵)152()52352()3(->-=-->-=->X P X P X P 8413.0)1(=Φ=4．解：零假设1600:0=μH ；1600:1≠μH ．由于标准差没有改变，故已知2270=σ，选取样本函数U x nN =-μσ~(,)01 由已知1520=x ，16000=μ，700=σ，49=n ，于是得849701600152000-=-=-=n x U σμ在0.05的显著性水平下， 96.1800>=-n x σμ，因此拒绝零假设0H ，即最近生产的灯管质量出现显著变化．四、（本题6分）1．证明：由矩阵转置的运算性质可得B A B B A B AB B ''=''''='')()(又A 为对称矩阵，故A A ='，从而AB B AB B '='')(因此，AB B '也是对称矩阵．。

工程数学复习题及答案1. 极限的概念和性质求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据极限的性质，我们知道当\(x\)趋近于0时，\(\sin x\)与\(x\)的比值趋近于1。

因此，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。

2. 导数的计算计算函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)的导数。

答案：函数\(f(x)\)的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。

3. 积分的计算计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：定积分的计算结果为\(\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)。

4. 线性代数中的矩阵运算求解矩阵方程\(AX = B\)，其中\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6\end{bmatrix}\)。

答案：通过矩阵运算，我们可以得到\(X = A^{-1}B =\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

5. 概率论中的随机变量设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，求\(P(X > \mu + \sigma)\)。

答案：根据正态分布的性质，我们知道\(P(X > \mu + \sigma) =1 - P(X \leq \mu + \sigma)\)。

由于正态分布是对称的，且\(\mu + \sigma\)位于均值右侧一个标准差的位置，所以\(P(X > \mu +\sigma) = 0.1587\)。

6. 复变函数的积分计算复变函数的积分：\(\oint_C \frac{1}{z} dz\)，其中\(C\)是单位圆。