(完整版)八年级数学矩形基础练习题

八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2（附答案）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线平分一组对角C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在矩形ABCD 中 ,AB=4，BC=8，点E 为CD 中点，P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE 周长最小时，BP 的长为（ ）A ．1B ．2C ．22D ．43．Rt △ABC 中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则斜边的中线为（ ）A ．10cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5．如图，矩形ABDC 中，BAD ∠的平分线交BC 于E ．若AB 4=，AD 7=，则DEC S (=V )A ．6B ．7C ．8D ．11 6．宽与长的比是 51- （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ，DF ，作∠DFC,的平分线，交AD 的延长线于点H ，作HG ⊥BC ，交I3C 的延长线于点G ，则下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 7．下列说法正确的有（ ）①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，若AO OD =、BO OC =，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．矩形D ．以上都不对 9．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与顶点C 重合在一起，EF 为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF 为边长的正方形面积（ ）A ．11B ．10C ．9D ．1610．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm ，8cm ，则下列结论不正确的是（ ） A ．斜边长为10cmB ．周长为25cmC ．面积为24cm 2D ．斜边上的中线长为5cm11．如图，矩形OBCD 的顶点C 的坐标为（1，3），则线段BD 的长等于________12．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=o ，AB AD =，如果23AC cm =，则四边形ABCD 的面积为________2cm ．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则斜边上的中线长为______．14．如图，在梯形ACDB 中，AB ∥CD ，∠C+∠D=90°，AB=2，CD=8，E ，F 分别是AB，CD的中点，则EF=_____．15．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝_____°．16．如图,△ ABC 中,∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ ABD 沿AD 翻折得到△ AED，连CE,则线段CE 的长等于_____17．如图，矩形ABCD申，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=600，AB=5，则AD 的长是（)．（A)5（B）5（C）5 (D)1018．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=_____，矩形的面积为_____．19．如图，折叠形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，AE是折痕，已知AB=8cm，BC=10cm．则CE=__cm．20．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．（1）若CE=4，CF=3，求OC的长．（2）连接AE 、AF ，问当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．21．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点．(1)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是_________，请说明理由；(2)当四边形ABCD 满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？并说明理由．22．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 在BD 上，BE DF =．（1）求证：AE CF =；（2）若3AB =，120AOD ∠=︒，求BC 的长度．23．如图，在△ABC 中，点O 是A C 边上(端点除外)的一个动点，过点O 作直线MN ∥B C ．设MN 交∠B C A 的平分线于点E ，交∠B C A 的外角平分线于点F ，连结AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．24．如图：是长方形纸片ABCD 折叠的情况，纸片的宽度AB=8cm ，长AD=10cm ，AD 沿点A 对折，点D 正好落在BC 上的M 处，AE 是折痕．（1）求CM 的长；（2）求梯形ABCE 的面积．25．已知，如图矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．（1）求证：BE=BF；（2）求△ABE的面积；（3）求折痕EF的长．26．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD 边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．参考答案1．A【解析】试题分析：解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故选A．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．2．D【解析】分析：要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．详解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交B C于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°．设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4．故选D.点睛：本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，正确做出辅助线确定出P和Q点的位置是解答本题的关键.3．B【解析】分析：利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．详解：两条直角边的边长分别为6和8，根据勾股定理得：斜边2268+，所以，斜边上的中线的长=12×10=5．故选B．点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键．4．D【解析】分析：由勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解.详解：由勾股定理得，斜边为10，因为直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线等于5.故选D.点睛：本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形中已知两边的长，可用勾股定理求第三边的长.5．A【解析】【分析】由矩形的性质得出∠BAD=∠B=∠C=90°，BC=AD=7，CD=AB=4，证明△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=4，因此CE=BC-BE=3，12DECS CE CD=⋅V，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD B C ∠=∠=∠=o ，BC =AD =7，CD =AB =4，∵AE 平分∠BAD ，∴45BAE ∠=o ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE =AB =4，∴CE =BC −BE =3， ∴1134622DEC S CE CD =⋅=⨯⨯=V ； 故选：A.【点睛】考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的计算，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形得出CE 是解题的关键.6．C【解析】设正方形ABCD 的边长为2，则DE =1，在直角三角形DFC 中，DF .∵AH ∥BG ，∴∠AHF =∠HFG .∵FH 平分∠DFC ，∴∠DFH =∠HFG ，∴∠DFH =∠AHF ，∴DF =DH∴EH∴EF EH = ， ∴矩形EFGH 为黄金矩形.故选C.7．C【解析】【分析】根据矩形的判定定理判断即可.【详解】两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形.①③⑤错.有一个角为直角的平行四边形为矩形.②④⑥正确.故选C.【点睛】本题考查的是矩形的判定定理,解题的关键是掌握：矩形的判定定理有:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.8．D【解析】【分析】由四边形ABCD对角线AC、BD交于O，若AO=OD、BO=OC，易得AC=BD，AD∥BC，然后分别从AD=BC与AD≠BC去分析求解，即可求得答案．【详解】∵AO=OD、BO=OC，∴AC=BD,∠OAD=∠ODA=1802AOD︒-∠,∠OBC=∠OCB=1802BOC︒-∠，∵∠AOD=∠BOC，∴∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC，①若AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；②若AD≠BC，则四边形ABCD是梯形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形.故答案选D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和矩形与等腰梯形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质和矩形与等腰梯形的判定.9．B【解析】【分析】根据矩形和折叠性质可得△EHC≌△FBC，从而可得BF=HE=DE，设BF=EH=DE=x，则AF=CF=9﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF2=EG2+GF2可得答案．【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°，根据折叠的性质，有HC=AD，∠H=∠D，HE=DE，∴HC=BC，∠H=∠B，又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°，∴∠HCE=∠BCF，在△EHC和△FBC中，∵H BHC BCHCE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EHC≌△FBC，∴BF=HE，∴BF=HE=DE，设BF=EH=DE=x，则AF=CF=9﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2=CF2可得x2+32=（9﹣x）2，解得：x=4，即DE=EH=BF=4，则AG=DE=EH=BF=4，∴GF=AB﹣AG﹣BF=9﹣4﹣4=1，∴EF2=EG2+GF2=32+12=10，故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键.10．B【解析】试题解析：∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，∴直角三角形的面积=12×6×8=24cm2，故选项C不符合题意；∴斜边226810cm，=+=故选项A不符合题意；∴斜边上的中线长为5cm，故选项D不符合题意；∵三边长分别为6cm，8cm，10cm，∴三角形的周长=24cm，故选项B符合题意，故选B．点睛：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.1110．【解析】试题分析：根据勾股定理可得2231+10，根据矩形的性质可得10. 考点：矩形的性质.12．6【解析】【分析】如图，作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．【详解】如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN；在△ABM与△ADN中，{BAM DANAMB ANDAB AD∠∠∠∠＝＝＝，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝3；∴2λ2＝12，λ2＝6，故答案为：6．【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．13．2【解析】【分析】利用“直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半”就可以得到AB的值,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以解决本题.【详解】根据题意画出图形∵∠C=90°,∠A=30°∴ BC=12×AB (在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∵ BC=2 ∴ AB=4∴斜边上的中线长=12×AB=2 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟记并掌握性质解题.14．3【解析】【分析】延长AC和BD，交于M点，M、E、F三点共线，EF=MF－ME.【详解】延长AC和BD，交于M点，M、E、F三点共线，∵∠C+∠D=90°，∴△MCD是直角三角形，∴MF=1CD2，同理ME=1AB2,∴EF=MF－ME=4-1=3.【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质.15．35．【解析】【详解】∵∠ACB=90°，∠B=55°，∴∠A=35°，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=35°，故答案为35．【点睛】考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．16．7 5【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，∴5=，AD=BD=2.5，∴12BC·AH=12AC·AB，即2.5AH=6，∴AH=2.4，由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，∴AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，∴S△ADB=12AD·OB=12BD·AH，∴OB=AH=2.4，∴BE=4.8，∴CE=2275 4.85-=.故答案为：7 5 .点睛：本题的解题要点有：（1）读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，利用面积法求出AH和OB的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角.17．B【解析】解：过O点作线段AD的垂线交AD于E点，则AE=ED；如图所示：则所以°；即可得△ABO为等边三角形，所以AO=AB=5，而OE为Rt△DAB的中位线，即可知OE=；AE=，即AD=2AE=18．5 12．【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，利用面积公式计算求解．【详解】如图：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得AC=2222++；=34=5AB BC矩形的面积为AB•BC=3×4=12．故答案为5，12．【点睛】此题较简单，根据勾股定理及矩形的面积公式解答．19．3【解析】分析：首先根据折叠可得AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中利用勾股定理计算出BF的长,进而得到FC的长,再设CE=x cm，则DE=EF=(8−x)cm，在Rt△ECF中利用勾股定理列方程求解即可.详解：连接AF，EF，设CE=x cm，DE=EF=(8−x)cm，由折叠得，AF=AD=BC=10cm.在Rt△ABF中，根据勾股定理可得：2222BF AF AB=-=-=cm；1086∴CF=BC-BF=10-6=4cm.在Rt△ECF中,∵CE2+CF2=EF2,∴x2+42=(8-x)2,解可得x=3，故CE=3cm.故答案为：3.点睛：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，掌握翻折以后有哪些线段是对应相等的,有哪些角是对应相等的,熟练运用勾股定理是解答本题的关键.20．(1)2.5: (2)见解析.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【详解】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==5，∴OC=OE=EF=2.5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握这些判定及性质是解答本题的关键.21．（1）菱形，理由见解析；（2）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由见解析.【解析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据菱形的判定，矩形的性质，求解即可，（2）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可．解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由题意，得EF＝12AC，EH＝12BD，GH＝12AC，GF＝12BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12 AC.同理：EH∥BD，EH＝12BD，GF＝12BD，GH＝12AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．点睛：本题主要考查三角形中位线、矩形的性质, 菱形的判定, 正方形的判定.熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质及判定是解题的关键.22．（1）详见解析；（2）BC =【解析】【分析】（1）欲证明AE=CF ，只要证明△ADE ≌△CBF 即可； （2）在Rt △ADB 中，求出AD 即可解决问题．【详解】解:（1）∵矩形ABCD∴//AD BC ，AD BC =∴ADB CBD ∠=∠∵BE DF =∴BD BE BD DF -=- 即DE BF =在ADE V 和CBF V∵AD BC ADB CBD DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE V ≌CBF V∴AE CF =（2）∵矩形ABCD∴AC BD = ∵12AO AC =，12DO BD = ∴AO DO = ∴()()111801*********ADB AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt ADE V 中，26BD AB ==AD ==∴BC AD ==【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形，理由见解析【解析】试题分析：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．如图，由CE 平分∠BCA可得∠1＝∠2，由MN∥BC可得∠1＝∠3，所以∠3＝∠2，所以EO＝CO，同理可证FO＝CO，所以EO＝FO，结合OA＝OC可得四边形AECF是平行四边形，由CF 是∠BCA的外角平分线可得∠4＝∠5，不难证明∠2＋∠4＝90°，所以平行四边形AECF是矩形．试题解析：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．点睛：掌握矩形的判定定理.24．(1)4cm；（2）55cm2．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABM中，AB=8cm，AM=AD=10cm，直接根据勾股定理求解即可；（2）先求出CE的长，然后根据梯形的面积公式求解．试题解析：（1）在Rt △ABM 中，AB=8cm ，AM=AD=10cm ，根据勾股定理得：BM=22AM AB =6cm ； ∴CM=10-6=4cm ；（2）在Rt △MCE 中，ME 2=EC 2+MC 2，即（8-x ）2=42+x 2，解得x=3，∴S 四边形ABCE =12×（AB+CE ）×BC=12×（8+3）×10=55cm 2． 25．（1）证明见解析；（2）6cm 2．（3）10【解析】【分析】（1）由翻折得出∠BEF=∠DEF ，由AD ∥BC 得出∠BFE=∠DEF ，进一步得出∠BEF=∠BFE 求得结论；（2）设AE=x ，则BE=DE=9-x ，根据勾股定理求得AE ，进一步求△ABE 的面积；（3）作EH ⊥BC 于H ，则易得：EH=AB ，BH=AE ，再用勾股定理求解．【详解】（1）证明：∵将矩形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ．∴∠BEF=∠DEF ，……………………………………………1’∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BFE=∠DEF ，……………………………………………2’∴∠BEF=∠BFE ，∴BE=BF ．……………………………………………3’（2）解：设AE=x ，则BE=DE=9﹣x ，……………………………………………4’ 由勾股定理得：x 2+32=（9﹣x ）2，……………………………………………5’ 解得：x=4，……………………………………………6’则S △ABE =AB•AE=6cm 2．……………………………………………7’（3）作EH⊥BC于H，则易得：EH=AB=3，BH=AE=4在Rt△ABE中，AB=3，AE=4∴BE=5，……………………………………………8’∴BF=BE=5∴HF=BF=BH=5-4=1……………………………………………9’在Rt△EHF中，EH=3，HF=1∴22+=3110【点睛】本题考查的是翻折问题，熟练掌握勾股定理和平行的性质是解题的关键.26．（1）见解析；（2）5cm；（3）5．【解析】分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．详解：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．。

矩形的性质和判定（人教版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法，错误的是( )A.矩形的对边互相平行B.矩形的对角相等C.矩形的对角线相等D.矩形的对角线平分一组对角答案：D解题思路：概念辨析，考查矩形的性质，从边、角、对角线依次分析．矩形的边：对边平行且都相等，A对；矩形的角：四个角都是90°（对角相等、邻角互补），B对；矩形的对角线：互相平分且相等，C对．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角线相等D.对角相等答案：C解题思路：概念辨析，考查平行四边形和矩形的性质，需要对比矩形和平行四边形的性质，矩形具有而平行四边形不具有的性质：从边、角、对角线依次分析：矩形的边：和平行四边形一致；矩形的角：四个角都是90°；矩形的对角线：互相平分且相等，C对．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( )A. B.2C. D.4答案：D解题思路：在矩形ABCD中，AC=BD，，，∴OA=OB=．∵AC=8，∴OA=OB=4．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=4，故选D．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长度是( )A. B.5C. D.3答案：A解题思路：如图，在矩形ABCD中，AC=BD，，，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．在矩形ABCD中，∠EDC:∠EDA=1:3，设∠EDC=α，则∠EDA=3α，∵∠ADC=90°，∴4α=90°，α=22.5°．由题意得，∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠EDA=3α=67.5°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠OCD=180°-2×67.5°=45°．在Rt△DOE中，，∴，故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长是( )A.3B.4C.5D.7答案：A解题思路：如图，易证△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC，AF=DE．设AE=x，则DC=x，∵AF=2，矩形周长为16，∴2(AD+DC)=16，即2(x+2+x)=16，解得x=3，故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对答案：A解题思路：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．所以乙的作业正确．故选A试题难度：三颗星知识点：略7.如图，以△ABC的三边为边在BC同侧分别作三个正三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．则当∠BAC等于____时，四边形ADEF为矩形( )A.∠BAC=90°B.∠BAC=120°C.∠BAC=135°D.∠BAC=150°答案：D解题思路：由题意，可证△DBE≌△ABC，△FEC≌△ABC，可得DE=AC=AF，EF=AB=AD．故四边形ADEF为平行四边形．若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°．又因为∠BAD=∠CAF=60°，故∠BAC=150°．故选D试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=BC=3DE=6，则四边形DEFG的周长为( )A.6B.9C.11D.12答案：C解题思路：∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴GF，EF都是△ABC的中位线，∴∵AB=BC=3DE=6，∴GF=3，EF=3，DE=2，∵AD⊥BC，∴∴四边形DEFG的周长为11．故选C试题难度：三颗星知识点：略9.如图，在△ABC中，BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M．若BC=10，DM=3，则EF的长为( )A.6B.9C.7D.8答案：D解题思路：故选D试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．若BF=2，则AD的长为( )A. B.1C.1.5D.2答案：B解题思路：如图，延长CD交BA的延长线于点E．∵BF平分∠ABC，CD⊥BD易得，△CBE为等腰三角形∴点D是CE的中点在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ∴∠CAE=90°∴∠DCF+∠E=90°∵CD⊥BD∴∠DCF+∠CFD=90°∴∠E=∠CFD∵∠CFD=∠BFA∴∠E=∠BFA∴△ABF≌△ACE（AAS）∴BF=CE∴∵BF=2∴CE=2∴AD=1故选B试题难度：三颗星知识点：略。

(完整版)八年级数学《矩形》练习题一、选择题1. 矩形的四个角都是：A. 直角B. 锐角C. 钝角D. 无角2. 矩形的对角线之间的关系是：A. 相等且垂直B. 相等且平行C. 相等但不垂直D. 不相等但垂直3. 若矩形的长为12cm，宽为8cm，那么它的面积是：A. 20cm²B. 48cm²C. 80cm²D. 96cm²4. 若矩形的周长为30cm，宽为4cm，那么它的长是：A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 11cm二、填空题1. 矩形的对边是_______。

2. 矩形的并联边是_______。

3. 矩形的一个维数称为_______。

4. 矩形的面积公式是_______。

5. 矩形的周长公式是_______。

三、解答题1. 若矩形的面积是45cm²，且长是5cm，求宽。

解：设矩形的宽为x，则根据面积公式，有5x = 45。

对上述等式两边同时除以5，得到x = 9。

所以矩形的宽为9cm。

2. 若矩形的长为12cm，宽为6cm，求其周长和对角线之间的角的大小。

解：矩形的周长为2(长 + 宽)，代入数值得周长为2(12 + 6) = 36cm。

对角线之间的角都是直角，大小为90°。

3. 画出一个矩形，并标注其长、宽、对边和对角线。

[示意图]四、应用题1. 一个矩形的面积是30cm²，且长比宽多2cm，求矩形的长和宽。

解：设矩形的宽为x，根据面积的条件，有x(x+2) = 30。

展开得x² + 2x - 30 = 0。

左侧为二次方程，可以因式分解为(x+6)(x-5) = 0。

因为长比宽多2cm，所以宽为5cm，长为7cm。

2. 一个矩形的周长为28cm，长和宽的比值为5:3，求矩形的长和宽。

解：设矩形的长为5x，宽为3x，根据周长的条件，有2(5x+3x) = 28。

化简得8x = 28，解得x = 3.5。

矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65． 题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形． 题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一： 见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ， 在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。

矩形的性质专项练习30 题（有答案）1．已知：如图，在矩形ABCD 中， AF=DE ，求证： BE=CF ．2．以下列图，已知矩形 ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点 O，作 BE∥ AC 交 DC 的延伸于点E．（1）请判断△ DEB 的形状，并说明原因；（2）若 AD=8 ， DC=6 ，试△ DEB 的周长．3．如图，在矩形 ABCD 中， AB=12 ， AC=20 ，两条对角线订交于点O，以 OB 、OC 为邻边作平行四边形OBB 1C，求平行四边形 OBB 1C 的面积．4．如图，已知在矩形ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，四边形 AFCE 为菱形，求菱形的面积．5．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、 BD 订交于点O，∠ AOB=60 °， AB=2cm（1）求证：△ AOB 是等边三角形；（2）求矩形 ABCD 的面积．6．如图，四边形ABCD 是矩形，△EAD 是等腰直角三角形，△ EBC是等边三角形．已知AE=DE=2 ，求 AB 的长．7．如图，已知在矩形ABCD 中，E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EF⊥EC ，且 EF=EC ，DE=3cm ，BC=7cm ．（1）求证：△ AEF ≌ △ DCE ；（2）请你求出 EF 的长．8．如图，在矩形ABCD 中，点 E 在 AD 上， CE 均分∠BED ．（1）△ BEC 能否为等腰三角形？为何？（2）若 AB=1 ，∠ DCE=22.5 °，求 BC 长．9．如图， ABCD 是矩形纸片，翻折∠ B、∠ D，使 BC、AD 恰巧落在 AC 上．设 F、H 分别是 B、D 落在 AC 上的点， E、G 分别是折痕 CE 与 AB 、 AG 与 CD 的交点．（ 1）试说明四边形AECG 是平行四边形；（ 2）若矩形的一边AB 的长为 3cm，当 BC 的长为多少时，四边形AECG 是菱形？10．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直均分线EF 与 AD 、 AC 、BC 分别交于点E、O、 F．（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AB=5 ， BC=12 ，EF=6 ，求菱形 AFCE 的面积．11．以下图，矩形ABCD 的对角线AC 、 BD 订交于点O， AE ⊥ BD ，垂足为 E，∠ 1=∠ 2， OB=6（1）求∠ BOC 的度数；（2）求△ DOC 的周长．12．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O， E 是边 AD 的中点．（1） OE 与 AD 垂直吗？说明原因；（2）若 AC=10 ， OE=3 ，求 AD 的长度．13．如图，在矩形ABCD 中， BM ⊥ AC ， DN ⊥AC ， M 、 N 是垂足．（1）求证： AN=CM ；（2）假如 AN=MN=2 ，求矩形 ABCD 的面积．14．如图，矩形ABCD 中，角均分线AE 交 BC 于点 E，BE=5 ， CE=3．（1）求∠ BAE 的度数；（2）求△ ADE 的面积．15．如图，已知在矩形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，CE=AE ， F 是 AE 的中点， AB=4 ， BC=8 ．求线段 OF 的长．16．如图，矩形纸片ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ，沿 AE 对折，点 D 恰巧落在 BC 边上的 F 点处．（1）求出线段 BF 、 CE 的长；（2）求四边形 AFCE 的面积．17．如图，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△AFE ，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸 AF 交CD 于点 G．（1）猜想线段 GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段 GC 的长．18．已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 和 BD 订交于点O， AC=2AB ．求证：∠AOD=120 °．19．在矩形 ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点 O，AB=6cm ， AC=8cm ．（1）求 BC 的长；（2）画出△ AOB 沿射线 AD 方向平移所得的△DEC ；（3）连结 OE，写出 OE 与 DC 的关系？说明原因．20．如图，矩形 ABCD 被两条对角线分红四个小三角形，假如四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？21．如图，矩形 ABCD 纸片， E 是 AB 上的一点，且 BE ：EA=5 ： 3，CE=15 ，把△ BCE 沿折痕 EC 向上翻折，若点 B恰巧与 AD 边上的点 F 重合，求 AB 、 BC 的长．22．已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个极点 E， G， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ， CD 上，AH=2 ，连结 CF．（1）当四边形 EFGH 为正方形时，求 DG 的长；（2）当△ FCG 的面积为 1 时，求 DG 的长；（ 3）当△ FCG 的面积最小时，求DG 的长．23．设 E， F 分别在矩形ABCD 边 BC 和 CD 上，△ ABE 、△ ECF、△ FDA 的面积分别是a， b， c．求△ AEF 的面积S．24．如图，过矩形 ABCD 对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC ，分别交 AB 、DC 于 E、F，点 G 为 AE 的中点，若∠ AOG=30 °，求证： OG=DC ．25．如图，在矩形ABCD 中， AB=6 ， AD=4 ， E 是 AD 边上一点（点 E 与 A、 D 不重合）． BE 的垂直均分线交AB于M ，交 DC 于 N ．（1）设 AE=x ，试把 AM 用含 x 的代数式表示出来；（2）设 AE=x ，四边形 ADNM 的面积为 S．写出 S 对于 x 的函数关系式．26．矩形 ABCD 中， AC 、BD 订交于点O，且∠ ADB=30 °，∠ADC 的均分线交BC 于 E，连结 OE．（1）求∠ COE 的度数．（2）若 AB=4 ，求 OE 的长．27．如图，在矩形 ABCD 中， AB=b ， AD=a ，过 D 和 B 作 DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC ，且 AE=EF ，试求 a 与 b 之间的关系．28．如图，设在矩形 ABCD 中，点 O 为矩形对角线的交点，∠ BAD 的均分线 AE 交 BC 于点 E，交 OB 于点 F，已知 AD=3 ，AB= ．（1）求证：△ AOB 为等边三角形；（2）求 BF 的长．29．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， G 是边 AB 上的一点，过点 G 作 GE∥ DC 交 BC 边于点 E，F 是 EC 的中点，连结 GF 并延伸交 DC 的延伸线于点 H ．求证： BG=CH ．30．已知，矩形ABCD 中，延伸 BC 至 E，使 BE=BD ， F 为 DE 的中点，连结AF、 CF．求证：（ 1）∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）AF ⊥ CF．矩形的性质专项练习30 题参照答案：1．连结 BF、 CE，已知矩形 ABCD ，∴ AB=CD ，∠ BAF= ∠ CDE=90 °，又AF=DE ，∴ △ AFB ≌ △ DEC ，∴ BF=CE ，∠ AFB= ∠DEC ，∵矩形 ABCD ，AD ∥ BC ，∴ ∠ CBF= ∠AFB ，∠ BCE= ∠ DEC，∴ ∠ CBF= ∠ BCE，BC=BC ，∴ △ BCF ≌ △CBE ，∴BE=CF2．（ 1）△ DEB 的形状为等腰三角形．原因：∵矩形 ABCD ，∴DC∥ AB ，AC=BD ．∵BE ∥AC ，∴四边形 ABEC 为平行四边形．∴AC=BE ．∴BE=BD ．∴△ DEB 的形状为等腰三角形．（ 2）∵ AD=8 ， DC=6 ，∴ AC==10 ．∴BD=BE=10 ．∵ BC⊥ DE ，∴CD=DE=6 ．∴△ DEB 的周长 =2（CD+BD ） =2（6+10 ）=323．在 Rt△ ABC 中，，∴，∴ x=，∴ S 菱形AFCE=EC ?AB=×2=5．∴菱形的面积为55． 1）证明：在矩形ABCD 中， AO=BO ，又∠ AOB=60 °，∴ △ AOB 是等边三角形．（ 2）解：∵ △ AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=2 （ cm），∴BD=2OB=4cm ，在Rt△ABD ，（ cm）∴ S 矩形ABCD =2×2=4（cm2），答：矩形ABCD 的面积是 4cm2．6．过点 E 作 EF⊥BC ，交 AD 于 G，垂足为 F．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EG⊥ AD ．（ 1 分）∵ △ EAC 是等腰直角三角形，EA=ED=2 ，∴ AG=GD ， AD=．∴ EG==．（1分）∵ EB=EC=BC=AD=2，∴ BF=，（1分）∴ EF=．（1分）∴AB=GF=EF ﹣ EG=∵矩形 ABCD 对角线订交于点O，∴，∵四边形 OBB 1C 是平行四边形，∴．4．∵四边形 AFCE 为菱形，∴AF=CF=EC=AE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ B=90 °，7.（1）证明：在矩形 ABCD 中，∠ A= ∠ D=90 °，∴ ∠ ECD+ ∠ CED=90 °，∵ EF⊥ EC，∴ ∠AEF+ ∠CED=90 °，∴ ∠ ECD= ∠ AEF ，在△ AEF 与△ DCE 中，，∴ AF=DE ，又∵ FE⊥ AC ，∵ DE=3cm ， BC=7cm ，∴平行四边形 AFCE 为菱形；∴ AF=3cm ， AE=AD ﹣ DE=BC ﹣DE=7 ﹣ 3=4cm ，（ 2）在 Rt △ ABC 中，由 AB=5 ， BC=12 ，在 Rt△ AEF 中， EF===5．依据勾股定理得： AC===13，故答案为： 5又 EF=6 ，8．（ 1）△ BEC 是等腰三角形，∴菱形 AFCE 的面积 S= AC ?EF=×13×6=39原因是：∵矩形 ABCD ，∴ AD ∥ BC ，11．（ 1）∵ 四边形 ABCD 为矩形， AE ⊥ BD ，∴ ∠ DEC= ∠ECB ，∴ ∠ 1+∠ ABD= ∠ ADB+ ∠ ABD= ∠ 2+ ∠ABD=90 °，∵ CE 均分∠ BED ，∴ ∠ ACB= ∠ ADB= ∠ 2=∠ 1=30 °，∴ ∠ DEC= ∠CEB ，又 AO=BO ，∴ ∠ CEB= ∠ECB ，∴ △ AOB 为等边三角形，∴ BE=BC ，∴ ∠ BOC=120 °；∴ △ BEC 是等腰三角形．（ 2）由（ 1）知，△ DOC ≌ △ AOB ，（ 2）解：∵矩形 ABCD ，∴ △ DOC 为等边三角形，∴ ∠ A= ∠ D=90 °，∴ OD=OC=CD=OB=6 ，∵ ∠ DCE=22.5 °，∴ △ DOC 的周长 =3×6=18∴ ∠ DEB=2 ×（ 90°﹣ 22.5°） =135°，12．（ 1）解： OE⊥AD ，∴ ∠ AEB=180 °﹣∠ DEB=45 °，原因：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABE= ∠AEB=45 °，∴ AC=BD ， AO=OC ，DO=BO ，∴ AE=AB=1 ，由勾股定理得： BE=BC==，∴ AO=DO ，又∵点 E 是 AD 的中点，答： BC 的长是∴ OE⊥ AD ．9．（ 1）由题意，得∠ GAH=∠ DAC ，∠ ECF= ∠ BCA ，（ 2）解：由（ 1）知 OE⊥ AD ， AO=5 ，在 Rt△AOE 中，由勾股定理得：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD ∥ BC ，∴∠ DAC= ∠ BCA ，∴∠ GAH= ∠ ECF，∴AG ∥ CE，又∵ AE ∥ CG∴四边形 AECG 是平行四边形；（2）∵四边形 AECG 是菱形，∴ F、 H 重合，∴ AC=2BC ，在 Rt △ ABC 中，设 BC=x ，则 AC=2x ，在Rt△ ABC 中 AC 2=AB2+BC2，222，即（ 2x） =3 +x解得 x=，即线段 BC 的长为cm．10．（ 1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥ FC，∴∠ EAO= ∠ FCO，∵ EF 垂直均分 AC ，∴AO=CO ，FE⊥AC ，又∠ AOE= ∠ COF，AE===4，∵ E 是边 AD 的中点，∴AD=2AE=8 ．答： AD 的长度是 813．（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， AD=BC ，∴∠ DAC= ∠BCA ，又∵ DN ⊥ AC ， BM ⊥ AC ，∴ ∠ DNA= ∠BMC ，∴ △ DAN ≌ △BCM ，∴AN=CM ．（2）连结 BD 交 AC 于点 O．∵ AN=NM=2 ，∴AC=BD=6 ，∴ DN=，∴ 矩形 ABCD 的面积 =，答：矩形 ABCD 的面积是 12．14．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ BAD=90 °， ∵ AE 均分 ∠ BAD ，∴ ∠ BAE= ∠ BAD=×90°=45°．（ 2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠BAD=∠B=90 °， ∴ ∠ DAE= ∠ AEB∵ ∠ BAE= ∠DAE=45 °， ∴ ∠ AEB=45 °， ∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∴ AB=BE=5 ，∴ BC=3+5=8=AD ，∴ S △ADE = AD ×AB= ×8×5=2015． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ADC=90 °， AD=BC=8 ， CD=AB=4 ．（ 1 分）设 DE=x ，那么 AE=CE=8 ﹣ x ，（1 分） 2 2 2，（ 1 分）∵ 在 Rt △ DEC 中， CE =DE +CD 222∴ （ 8﹣ x ） =x +4 ，（ 1 分）∴ CE=8﹣ x=5 ．（1 分）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ O 为 AC 中点．（ 1 分）又 ∵ F 是 AE 的中点， ∴．16．（ 1）设 BF=x ，CE=y ，则 CF=10 ﹣ x ，EF=DE=8 ﹣y ，在 Rt △ ABF 中依据勾股定理可得 x 2+82=10 2，在 Rt △ CEF 中依据勾股定理可得 y 2+（ 10﹣ x ） 2=（ 8﹣y ） 2，解得 x=6 ，y=3 ，即 BF=6 ， CE=3；（ 2） △ ABF 的面积为 ×8×6=24，∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=EC ，∵ △ ABE 沿 AE 折叠后获得 △ AFE ，∴ BE=EF ，∴ EF=EC ，∵ 在 △ GFE 和 △ GCE 中，，∴ △ GFE ≌ △ GCE （ HL ），∴ GF=GC ；（ 2）设 GC=x ，则 AG=3+x ，DG=3 ﹣ x ，在Rt △ADG 中， 42+（ 3﹣ x ） 2=（3+x ） 2，解得 x=18． ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ ABC=90 °（矩形的四个角都是直角） ，∵ 在 Rt △ ABC 中， AC=2AB ， ∴ ∠ ACB=30 °，∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ OB=OD= BD ， OC=OA= AC ， AC=BD ，∴ BO=CO ，∴ ∠ OBC= ∠ OCB=30 °，∵ ∠ OBC+ ∠ OCB+ ∠ BOC=180 °，∴ ∠ BOC=120 °，∴ ∠ AOD= ∠BOC=120 ° 19．（ 1） ∵ 矩形 ABCD ， ∴ ∠ CBA=90 °，AB=6cm ， AC=8cm ，由勾股定理：BC===2（ cm ），答： BC 的长是 2 cm ．（ 2）解：以下图△ ADE 的面积为 ×10×5=25，∴ 四边形 AFCE 的面积为 8×10﹣ 24﹣25=31 ，答： BF 的长为 6， CE 的长度为 3，四边形 AFCE 的面积（ 3）答： OE 与 DC 的关系是相互垂直均分．原因是： ∵ 矩形 ABCD ，∴OD=OC=DE=CE ，∴四边形 ODEC 是菱形，∴OE⊥ CD ， OG=EG ， CG=DG ，即 OE 与 DC 的关系是相互垂直均分20．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD=13cm ，∵ △ AOB 、△BOC 、△ COD 和△ AOD 四个三角形的周长和为 86cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC+OC+OD+DC+OD+OA+A D=86cm ，∴AB+BC+CD+DA=86 ﹣ 2（ AC+BD ）=86﹣ 4×13=34（ cm）．答：矩形 ABCD 的周长等于34cm．21．∵四边形 ABCD 是矩形∴ ∠ A= ∠ B= ∠ D=90 °，BC=AD ， AB=CD ，∴ ∠ AFE+ ∠AEF=90 °（ 2 分）∵F 在 AD 上，∠ EFC=90 °，∴ ∠ AFE+ ∠DFC=90 °，∴ ∠ AEF= ∠DFC ，∴ △ AEF ∽ △DFC ，（ 3 分）∴．（ 4 分）∵BE ：EA=5 ： 3设BE=5k ， AE=3k∴AB=DC=8k ，由勾股定理得： AF=4k ，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k （5 分）在△ EBC 中，依据勾股定理得BE 2+BC2=EC2∵CE=15 ， BE=5k ， BC=10k∴∴k=3（ 6 分）∴AB=8k=24 ， BC=10k=3022．（ 1）∵四边形 EFGH 为正方形，∴HG=HE ，∵ ∠ DHG+ ∠AHE=90 °，∠DHG+ ∠ DGH=90 °，∴ ∠ DGH= ∠AHE ，∴ △ AHE ≌ △DGH （AAS ）∴DG=AH=2（2）作 FM ⊥ DC ，M 为垂足，连结 GE，∵ AB ∥CD ，∴ ∠ AEG= ∠MGE∵HE ∥ GF，∴ ∠ HEG= ∠ FGE，∴ ∠ AEH= ∠ MGF ．在△ AHE 和△ MFG 中，∠ A= ∠ M=90 °，HE=FG ，∴ △ AHE ≌ △ MFG ．∴FM=HA=2 ，即不论菱形 EFGH 怎样变化，点 F 到直线CD 的距离一直为定值 2．所以 S△FCG=GC=1 ，解得 GC=1， DG=6 ．（ 3）设 DG=x ，则由第（ 2）小题得， S△FCG=7 ﹣ x，又在△ AHE 中， AE ≤AB=7 ，∴HE2≤53，∴ x2+16≤53， x≤，∴ S△FCG的最小值为，此时 DG=23．设 AB=x ，BE=x ，EC=x ，CF=x ，则 FD=x﹣ x ，123414 23AD=x +x ，由题意得x1?x2=2a， x3?x4=2b，（x1﹣ x4）×（ x2+x 3）=2c，即 x2?x3﹣x2?x4=2（ b+c﹣ a），又x1x2x3x4=4ab代入 x2 x4=x 1x3﹣ 2（ b+c﹣ a）得对于 x1x3的一元二次方程，即（x1x3）2﹣ 2（ b+c﹣a） x1x3﹣4ab=0解之得 x1x3=（ b+c﹣ a） +又S 矩形=x 1（ x2+x 3）=2a+ （ b+c﹣a）+=（ a+b+c） +∴S△AEF=S 矩形﹣ S△ABE﹣ S△CEF﹣ S△ADF=（ a+b+c）+﹣ a﹣ b﹣ c=24．连结 OB ，∵EF⊥ AC ，矩形的性质专项练习--第11页共13页∴ △ AOE 是直角三角形∴ OG=AG=GE ，∴ ∠ BAC= ∠ AOG=30 °， ∠ AEO=60 °， ∠ GOE= ∠ AOE﹣ ∠ AOG=60 °， ∴ △ OEG 是正三角形，∴ OG=OE=GE ，∴ ∠ ABO= ∠ BAC=30 °，∴ ∠ AOB=180 °﹣ 30°﹣ 30°=120°，∴ ∠ BOE= ∠AOB ﹣ 90°=30 °，∴ △ OEB 是等腰三角形，∴ OE=EB ，∴ OG=AG=GE=EB=OE ，∴ OG= AB= DC ．25．（ 1）连结 ME ．∵ MN 是 BE 的垂直均分线，∴ BM=ME=6 ﹣ AM ，在 △ AME 中， ∠A=90 °，由勾股定理得： AM 2+AE 2=ME 2，AM 2+x 2=（6﹣ AM ） 2，AM=3 ﹣x ．（ 2）连结 ME ，NE ，NB ，设 AM=a ，DN=b ，NC=6 ﹣b ，因 MN 垂直均分 BE ，则 ME=MB=6 ﹣ a ，NE=NB ，所以由勾股定理得AM 2+AE 2=ME 2， DN 2+DE 2=NE 2=BN 2=BC 2+CN 2即 a 2+x 2=（ 6﹣a ） 2， b 2+（4﹣ x ） 2=42+（ 6﹣ b ）2，解得 a=3﹣x 2， b=x 2+x+3 ，所以四边形 ADNM 的面积为 S= ×（ a+b ） ×4=2x+12 ，即 S 对于 x 的函数关系为 S=2x+12 （ 0＜ x ＜ 2），答： S 对于 x 的函数关系式是 S=2x+1226．（ 1） ∵四边形 ABCD 是矩形， DE 均分 ∠ADC ， ∴ ∠ CDE= ∠CED=45 °；∴ EC=DC ， 又 ∵ ∠ ADB=30 °，∴ ∠ CDO=60 °；又 ∵ 由于矩形的对角线相互均分，∴ OD=OC ；∴ △ OCD 是等边三角形；∴ ∠ DCO=60 °， ∠OCB=90 °﹣∠DCO=30 °； ∵ DE 均分 ∠ ADC ， ∠ ECD=90 °，∠ CDE= ∠ CED=45 °，∴ CD=CE=CO ，∴ ∠ COE= ∠ CEO ；∴ ∠ COE= （ 180°﹣ 30°）÷2=75°；（ 2）过 O 作 OF ⊥ BC 于 F ， ∵ AO=CO ，∴ BF=CF ，∴ OF= AB=2 ，∵ ∠ ADB=30 °， AB=4 ，∴ AC=8 ， ∴ BC==4， ∴ BF=CF=2，∵ CD=CE=4 ，∴ EF=CE ﹣ CF=4 ﹣ 2 ，在 Rt △OFE 中，OE==4 ．27．：a 与 b 的关系是 b= a ，原因是：∵ 矩形 ABCD ，∴ AD=BC ， AD ∥ BC ，∴ ∠ DAC= ∠BCA ， ∵ DE ⊥ AC ，BF ⊥ AC ，∴ ∠ AED= ∠ CFB=90 °，在 △ ADE 和 △CBF 中，∴ △ ADE ≌ △CBF ，∴ AE=CF ，∵ AE=EF ，∴ AE=EF=CF ，∵ 矩形 ABCD ，∴ ∠ ABC=90 °=∠ BFC ，∴ ∠ BCF+ ∠ CBF=90 °，∠ ABF+ ∠CBF=90 °，∴ ∠ ABF= ∠ BCF ，∵ ∠ AFB= ∠ CFB=90 °， ∴ △ ABF ∽ △ BCF ，∴= = ，矩形的性质专项练习 -- 第 12 页 共 13 页设 AE=EF=CF=c ，则 BF 2 =AF ?CF=2c 2， ∴ BF= c ，∵ AB=b ， BC=a ，∴ = = ， ∴ b=a ，即 a 与 b 之间的关系是 b= a28．（ 1）证明：在 Rt △ ABD 中， BD===2 ，∵ 矩形 ABCD ，∴ OA=OB= BD=，∴ △ AOB 为等边三角形；（ 2）解： ∵ AE 是 ∠ BAD 的均分线，∴ ∠ BAE=45 °，∴ △ ABE 是等腰直角三角形， △ BEO 是等腰三角形，又 ∠ EBO=90 °﹣60°=30 °，∴ ∠ BOE= （180°﹣ 30°） ÷2=75°，在 △ BOC 中 ∠ COE=180 °﹣ 30°×2﹣ 75°=45°，所以，在 △BEF 和 △ COE 中，∴ △ BEF ≌ △ COE （ ASA ），∴ BF=CE ， 又 CE=BC ﹣ BE=3 ﹣ ，∴ BF=3 ﹣．29．在 △ GEF 和 △ HCF 中， ∵ GE ∥ DC ， ∴ ∠ GEF= ∠HCF ， ∵ F 是 EC 的中点， ∴ FE=FC ，而 ∠ GFE= ∠ CFH （对顶角相等） ，∴ △ GEF ≌ △HCF ，∴GE=HC ， 四边形 ABCD 为等腰梯形，∴ ∠ B= ∠ DCB ，∵ GE ∥ DC ，∴ ∠ GEB= ∠ DCB ，（ 2 分）∴ ∠ GEB= ∠ B ，∴ GB=GE=HC ，∴ BG=CH30．（ 1）在矩形 ABCD 中，∵ AD=BC ， ∠ ADC= ∠ BCD=90 °， ∴ ∠ DCE=90 °，在 Rt △DCE 中，∵ F 为 DE 中点，∴ DF=CF ，∴ ∠ FDC= ∠ DCF ，∴ ∠ ADC+ ∠CDF= ∠ BCD+ ∠ DCF ，即 ∠ ADF= ∠ BCF ；（ 2）连结 BF ，∵ BE=BD ， F 为 DE 的中点，∴ BF ⊥ DE ，∴ ∠ BFD=90 °，即 ∠ BFA+ ∠ AFD=90 °，在 △ AFD 和 △BFC 中，∴ △ ADF ≌ △ BCF ，∴ ∠ AFD= ∠ BFC ，∵ ∠ AFD+ ∠ BFA=90 °， ∴ ∠ BFC+ ∠ BFA=90 °， 即 ∠ AFC=90 °，∴ AF ⊥ FC ．矩形的性质专项练习 -- 第 13 页 共 13 页。

矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65． 题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形． 题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一： 见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ， 在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。

专题2.25 平面直角坐标系-矩形折叠问题（专项练习）经过特殊平行四边形--矩形的学习，建立在平面直角坐标系下的矩形是十分重要的，而其中的折叠问题又常常出现在中考压轴题中，因此建立平面直角坐标系中的几何变换图形把矩形与函数结合在一起-----数学形结合思想，就显得尤为重要。

本专题汇集了平面直角坐标系中的几何折叠问题，对培养学生数学思想，提高学生数学素养非常重要。

一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）A ．()8,4-B ．()10,3-C ．()10,4-D ．()8,3-2．如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中, 5AC =,3OA =,把矩形OABC 沿直线DE 对折使点C 落在点A 处,直线DE 与,,OC AC AB 的交点分别为,,DF E ,点M 在y 轴上,点N 在坐标平面内,若四边形MFDN 是菱形,则菱形MFDN 的面积是（ ）A ．258B ．134C ．278D ．1543．如图，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿着OB 对折，使点A 落在点A'处，点B 的坐标(8，4)，则点A'的坐标是( )A ．(4，B ．(245，325)C ．(265，345 )D ．(325，245 )4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为（ ）A ．()2-B ．()3-C ．)3-D ．(3,-5．如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O 为原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为()1,2，连结OB ，将OAB 沿直线OB 翻折，点A 落在点D 的位置．则cos COD Ð的值是（ ）A ．35B ．12C ．34D ．456．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形OA′B′C′，A′B′与BC 交于点M ，延长BC 交B′C′于N ，若A 0），C （0，1），则点N 的坐标为（ ）A ，1）B ．（2，1）C 2-，1）D ．（11）7．矩形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其各顶点的坐标分别为(0,0),(2,0),(2,1),(0,1)A B C D ，固定点B 并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点C 的对应点的坐标为(3,0)，则旋转后点D 的对应点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(3,3)D ．(2,2)8．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点C 在x 轴上，点()D 在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E ．若抛物线210y ax =-+（0a ¹且a 为常数）的顶点落在ADE 的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．213520a <<B ．211520a <<C ．113205a <<D ．313520a <<9．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（ ）．A ．（，）B ．（，3）C ．（，）D ．（，）10．如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）A ．1(2B ．1(2-C ．34()55-，D ．（ (11．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点D 处，已知1OA AB ==，则点D 的坐标为（ ）A ．32ö÷÷ø，B ．3ö÷÷øC ．32æççèD ．12æççè12．如图,在平面直角坐标系中,将长方形OABC 沿OB 对折,使点A 落在点A ¢处,已知060,2BOA OB Ð==,则点A ¢的坐标是( )A ．12æççèB ．12ö÷÷ø-C ．12ö÷÷øD ．12æ-ççè13．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AB=1，则点A 1的坐标是（ ）A ．32)B ．，3)C ．(32)D ．(1214．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA=，AB=1，则点A 1的坐标是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（）15．如图，在矩形ABCD 中，1AD AB ==，将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ;沿着CM 折叠,点D 的对应点为,E ME 与BC 的交点为F ;再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G .下列结论:①CMP D 是直角三角形:②点C E G 、、在同一条直线上;③PC =;④AB =;⑤点F 是CMPD 的外心，其中正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，矩形OABC 放在平面直角坐标系中，2OC =，4OA =，将矩形OABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90o 得到矩形'''OA B C ，则点'B 的坐标是________．17．如图，矩形ABCD 的边长AB 9=，AD 3=，将此矩形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴正半轴上，经过点C 的直线122y x =-与x 轴交于点E ，则AEC D 的面积是__________．18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，若A （3，0），C （0E 的坐标为_________19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若6OA =，10AB =，则点E 的坐标是__________．20．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中()4,3AB BC ==，使点A 与坐标系中原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30o （如图2），则图2中点C 的坐标为________．21．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若8OA =，4CF =，则点E 的坐标是__________．22．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系内，其中点()2,0A ，点()0,4C ，点D 和点E 分别位于线段AC ，AB 上，将ABC D 沿DE 对折，恰好能使点A 与点C 重合．若x 轴上有一点P ，能使AEP D 为等腰三角形，则点P 的坐标为___________．23．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .24．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A ‘处，已知∠AOB=30°，则点A’的坐标是___________，线段AA’的长度=___________．25．将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(m ，0)(m ＞0)，点D(m ，1)在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 的对应点E 落在坐标平面内，当△ADE 是等腰直角三角形时，点E 的坐标为______．26．如图，将矩形纸片ABCD 放入以BC 所在直线为x 轴，BC 边上一点O 为坐标原点的平面直角坐标系中，连结OD 。

专题2.29 矩形-动点问题（专项练习）一、填空题1．（2018·四川成都外国语学校九年级期中）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，当时间为__时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．2．（2019·上海市嘉定区怀少学校九年级月考）如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=9，点P 在BC 边上，CP=3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP=BR ，则QR BQ=____________．3．（2019·合肥寿春中学八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 是AB 边的中点，点F 是BC 边上的一动点，将EBF △沿EF 折叠，使得点B 落在G 处，连接CG ，BEG m BCG Ð=Ð，当点G 落在矩形ABCD 的对称轴上，则m 的值为______．4．（2019·安徽九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，5, 7,AB BC ==点E 是AD 上的一个动点，把BAE △沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点1A 恰好落在BCD Ð的平分线上时，1CA 的长为________________．5．（2019·江苏八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边62OA OC ==，，一条动直线l 分别与BC OA 、将于点E F 、，且将矩形OABC 分为面积相等的两部分，则点O 到动直线l 的距离的最大值为__________.6．（2018·陕西西北工业大学附属中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则△PAB 周长的最小值_____7．（2019·浙江八年级期末）图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，连接AF ，则AF 的最小值为_____．8．（2020·南通崇川学校八年级期中）如图，矩形ABCD 中，AD=3，∠CAB=30°，点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段CD 上的动点，则AQ+QP 的最小值是_____．9．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A ¢处，如果A ¢恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．10．（2019·全国九年级单元测试）如图，在矩形ABCD 中，点P 是线段BC 上一动点，且PE AC ^，PF BD ^，6AB =，8BC =，则PE PF +的值为_________．11．（2020·武汉市光谷实验中学九年级月考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝9，点P 时矩形ABCD 内一动点，且PAB S V ＝12PCD S V ，则PC ＋PD 的最小值是_________．12．（2020·苏州市平江中学校九年级期中）如图，矩形ABCD 中，4BC =，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，连结AF ．AEF V 的面积最大为__________．13．（2021·江苏九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是AD 上的动点（不与端点重合），在矩形ABCD 内找点F ，使得EF AD ^，且满足2·AF AE AD =，则线段BF 的最小值是__________．14．（2020·安徽九年级学业考试）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，AD =E 为AD 的中点，动点F 从点D 出发沿D C B ®®的方向在DC 和CB 上运动，将矩形沿EF 折叠，点D 落在点D ¢处，当点'D 恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F 运动的距离为__________.15．（2020·陕西九年级期中）如图，矩形ABCD 中，120BOC Ð=°，12BD =，点P 是AD 边上动点，则OP 的最小值为______．16．（2019·山东九年级期中）在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，P 是AD 上的动点，PE AC ^于点E ，PF BD ^于点F ， 则PE PF +=____________.17．（2020·山东九年级）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．18．（2018·河南九年级）如图，矩形ABCD 中，AD 4=，AB 7=，点E 为DC 上一动点，ADE V 沿AE 折叠，点D 落在矩形ABCD 内一点D'处，若BCD'V 为等腰三角形，则DE 的长为______．19．（2020·广西九年级）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，12BC =，E 是BC 的中点，连接AE ，P 是边AD 上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当APD ¢△是直角三角形时，PD =__________．20．如图，矩形ABCD 中，2,4AB BC ==，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，当AE =________时，ED 平分FEC Ð；连结AF ，则AF 的最小值为_______．21．（2019·重庆西南大学附中八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．22．（2020·山东周村二中九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点P 是矩形ABCD 内的一个动点，且90APB Ð=°，连接PC ，则线段PC 的最小值________．23．（2018·河南九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，矩形内有一动点P ，过点P 作PE AD ^于E ，连接,PB PC ，则PE PB PC ++的最小值为_____．二、解答题24．（2018·全国九年级单元测试）如图，在矩形ABCD 中，20AB cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边以4/cm s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度运动，点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts ，则当t 为何值时，四边形APQD 时矩形？25．（2020·辽宁九年级）如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE D 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ¢落在ABC Ð的平分线上时，求DE 的长．26．（2019·湖北八年级期末）如图，已知四边形ABCD 为正方形，点E 为对角线AC 上的一动点，连接DE ，过点E 作EF DE ^，交BC 于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG .（1）求证：矩形DEFG 是正方形；（2）判断,CE CG 与AB 之间的数量关系，并给出证明.27．（2018·成都双流中学实验学校九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于Q 点，再把△PQC 沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）求∠CQP 的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上；（3）①求y 与x 之间的函数关系式；②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727．28．（2019·北京市第十一中学八年级月考）如图1，矩形ABCD 中，点E 是边AD 上动点，点F 是边BC 上动点，连接EF ，把矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上，记为点G ；如图2，把矩形展开铺平，连接BE ，FG.（1）判断四边形BEGF 的形状一定是 ，请证明你的结论；（2）若矩形边AB ＝4，BC ＝8，直接写出四边形BEGF 面积的最大值为 ．29．（2019·全国九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，M 是AD 的中点，连接BM 、CM ，点P 是BC 边上的动点，作PE MC ^于E 点，PF MB ^于F 点，当矩形的长与宽是什么关系时，四边形PEMF 是矩形？并证明．30．（2019·全国九年级课时练习）如图，E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，P 是AD 边上一动点，PF AE ^，PH DE ^，垂足分别为F H ，．（1）当矩形ABCD 的边AD 与AB 满足什么条件时，四边形PHEF 是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P 运动到什么位置时，矩形PHEF 为正方形？为什么？31．（2020·江苏九年级期末）附加题,已知：矩形ABCD ，2,5AB BC ==，动点P 从点B 开始向点C 运动，动点P 速度为每秒1个单位，以AP 为对称轴，把ABP D 折叠，所得AB P ¢D 与矩形ABCD 重叠部分面积为y ，运动时间为t 秒.（1）当运动到第几秒时点B ¢恰好落在AD 上；（2）求y 关于t 的关系式，以及t 的取值范围；（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD 面积的14；（4）连接PD ，以PD 为对称轴，将PCD D 作轴对称变换，得到PC D ¢D ，当t 为何值时，点P B C ¢¢、、在同一直线上？32．如图，在矩形ABCD中，AB=3厘米，BC=7厘米．动点E从点D出发向点A运动，速度为每秒1厘米，同时动点F从点B出发向点C运动，速度为每秒2厘米．当点F到达点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，连接EF，将矩形沿EF对折．（1）当t=1时，求EF的长；（2）当t为何值时，矩形ABCD左边无重叠部分（阴影部分）为矩形？33．（2020·江苏九年级）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，OF的最小值为___________．参考答案1．85s 或245s 【分析】过点Q 作ON AB ^于点N ，设当t 秒时PQ=10cm ，利用勾股定理得出即可．解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作ON AB ^于点N ，如图：则2QC tcm =，(165)PN t cm =-，故226(165)100t +-=，解得：185t =，2245t =，即当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，故答案为：85s 或245s ．【点拨】本题考查了勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想．2．1【详解】解： 有两种情况：①若R 在线段AD 上，∵ABCD 为矩形，∴∠RAB=∠ABP=90°，∵AB=AB ，AP=BR ，∴△RAB ≌△PBA ，∴AR=BP ，∵AD ∥BC ，∴∠ARQ=∠QBP ，∠RAQ=∠QPB ，∴△ARQ ≌△PBQ ，∴QR=BQ ，∴QR BQ =1；②若R 在线段DC 上，如图，延长AP 与DC 的延长线交于点E ，∵CP ∥DA ，∴CE ：DE=CP ：DA ，∴CE ：(CE+8)=3：9，∴CE=4，∵PB=9-3=6，AB=8，∴AP=10，∴BR=AP=10，∴=，∴4+，∵DC ∥AB ，∴QR RE BQ AB ==故答案为1【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例定理；矩形的性质．3．2【分析】根据旋转的性质在三角形EHG 中,利用30°角的特殊性得到∠EGH=30°,再利用对称性进行解题即可.解：如下图过点E 作EH 垂直对称轴与H ，连接BG ，∵2AB =，1BC =，∴BE=EG=1,EH=12,∴∠EGH=30°,∴∠BEG=30°,由旋转可知∠BEF=15°,BG ⊥EF,∴∠EBG=75°,∠GBF=∠BCG=15°,即2BEG BCGÐ=Ð∴m=2故答案是:2【点拨】本题考查了图形旋转的性质,中垂线的性质,直角三角形中30°的特殊性,熟悉30°角的特殊性是解题关键.4．【分析】过点A 1作A 1F ⊥BC 于F ，根据等腰直角三角形的判定可得△1CA F 为等腰直角三角形，设CF=1A F =x ，从而得出BF= 7－x ，CA 1，然后根据折叠的性质可得AB=1A B =5，再利用勾股定理求出x ，即可求出结论．解：过点A 1作A 1F ⊥BC 于F∵四边形ABCD 为矩形，1CA 平分BCDÐ∴11452Ð=Ð=°ACF BCD ∴△1CA F 为等腰直角三角形，设CF=1A F =x则BF=BC －CF=7－x ，CA 11A F 由折叠的性质可得AB=1A B =5在Rt △1BA F 中，22211+=BF A F A B即()22275-+=x x 解得：x 1=3，x 2=4∴CA 1=或故答案为：【点拨】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．5【解析】【分析】设M,N 为CO,EF 中点, 点O 到动直线l 的距离为ON,求解即可.【详解】∵62OA OC ==，，∴S OABC =12∵将矩形OABC 分为面积相等的两部分∴S CEOF =12×（CE+OF ）×2=6∴CE+OF=6设M,N 为CO,EF 中点，∴MN=3点O 到动直线l 的距离的最大值为=.【点拨】本题考查的是的动点问题，熟练掌握最大距离的算法是解题的关键6．．【分析】首先由S△PAB＝13S矩形ABCD，得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的值，继而求得答案.【详解】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝13S矩形ABCD，∴12AB•h＝13AB•AD，∴h＝23AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE==，即PA+PB的最小值为∴△PAB周长的最小值＝10+故答案为：10+．【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，还考查了三角形的面积、矩形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的性质，得出动点P所在的位置是解题的关键.7．【解析】【分析】过F作FH ED^，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH EDCD@D，进而利用勾股定理解答即可．解：过F 作FH ED ^，Q 正方形CEFG ，EF EC \=，90FEC FED DEC Ð=Ð+Ð=°，FH ED ^Q ，90FED EFH \Ð+Ð=°，DEC EFH \Ð=Ð，且EF EC =，90FHE EDC Ð=Ð=°，()EFH EDC AAS \D @D ，2EH DC \==，FH ED =，AF \===\当1AE =时，AF 的最小值为故答案为：【点拨】本题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH EDC D @D ．8．【分析】作点A 关于直线CD 的对称点E ，作EP ⊥AC 于P ，交CD 于点Q ，此时QA+QP 最短，由QA+QP=QE+PQ=PE 可知，求出PE 即可解决问题．解：作点A 关于直线CD 的对称点E ，作EP ⊥AC 于P ，交CD 于点Q ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴DQ ⊥AE ，∵DE=AD ，∴QE=QA ，∴QA+QP=QE+QP=EP ，∴此时QA+QP 最短（垂线段最短），∵∠CAB=30°，∴∠DAC=60°，在RT△APE中，∵∠APE=90°，AE=2AD=6，∴故答案为：【点拨】本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置，属于中考常考题型．9．2【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，得出AM=BN=12AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E，即可得出结果．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，∴AM=BN=12AD=2，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E=AE，A′B=AB=2，∴，即A′与N重合，∴A′M=2=A′E，∴AE=2；②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A′B=2PB ，∴∠PA′B=30°，∴∠A′BC=30°，∴∠EBA′=30°，设A′E=x ，则BE=2x ，在△A′EB 中，()22222x x =+，解得：∴综上所述：AE 的长为2故答案为：2【点拨】本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．10．245【分析】先根据矩形的性质和勾股定理得到各边边长,再利用S △BOP +S △COP = S △BOC 进行求解即可解题.解：如下图,连接OP,在矩形ABCD 中，∵6AB =，8BC =，∴AC=10（勾股定理）∴BD=10,∴OA=OB=OC=OD=5,∴S △BOC =168124´´= S △BOP +S △COP = S △BOC11551222PF PE ´´+´´= ∴PE+PF=245故答案为245【点拨】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角形的面积,属于简单题,熟悉面积的表示形式和矩形的性质是解题关键.11．【分析】如图，作PM ⊥AD 于M ，作点D 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，EC ．设AM ＝x ．由PM 垂直平分线段DE ，推出PD ＝PE ，推出PC ＋PD ＝PC ＋PE ≥EC ，利用勾股定理求出EC 的值即可．解：如图，作PM ⊥AD 于M ，作点D 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，EC ．设AM ＝x ．∵四边形ABC 都是矩形，∴AB //CD ，AB ＝CD ＝2，BC ＝AD ＝9，∵PAB S V ＝12PCD S V ，∴12×2×x ＝12×12×2×（9－x ），∴x ＝3，∴AM ＝3，DM ＝EM ＝6，在Rt V ECD 中，EC ＝，∵PM 垂直平分线段DE ，∴PD ＝PE ，∴PC ＋PD ＝PC ＋PE ≥EC ，∴PD ＋PC ，∴PD ＋PC 的最小值为．【点拨】本题考查轴对称－最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12．2【分析】作FH ⊥AD 于点H ，证明△FEH ≌△ECD 得到FH =ED ，设AE =x ，则FH =ED =4-x ，建立AEF V 的面积关于x 的函数表达式，运用二次函数的性质求解即可．【详解】如图所示，作FH ⊥AD 于点H ，∵四边形CEFG 为正方形，∴FE =EC ，∠FEH +∠DEC =90°，∵∠D =90°，∴∠DEC +∠ECD =90°，∴∠FEH =∠ECD ，在△FEH 和△ECD 中，FHE D FEH ECDFE EC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△FEH ≌△ECD （AAS ），∴FH =ED ，设AE =x ，则FH =ED =4-x ，∴()()2111422222AEF S AE FH x x x ==-=--+g △，则当x =2时，AEF S V 取最大值，最大值为2，故答案为：2．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及函数法求解几何图形的面积最值问题，熟练运用二次函数的性质是解题关键．13．2【分析】连结FD ，由2·AF AE AD =可证△FAE ∽△DAF ，可得∠DFA=90°，可知点F 在以AD 中点为圆心，3为半径的半圆上运动，由B 、F 、O 三点共线时，利用两点之间线段最短知BF 最短,在Rt △ABO 中，由勾股定理得，可求BF=5-3=2．【详解】连结FD ，∵2·AF AE AD =，∴AF AD AE AF=，∵∠FAE=∠DAF ，∴△FAE ∽△DAF ，∴∠FEA=∠DFA，^，即∠FEA=90°，∵EF AD∴∠DFA=90°，∴点F在以AD中点为圆心，3为半径的半圆上运动，当B、F、O三点共线时，BF最短,在Rt△ABO中，由勾股定理得，，BF=5-3=2，BF的最小值为2，故答案为：2．【点拨】本题考查三角形相似判定与性质，圆周角性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握三角形相似的判定方法和性质的应用，会根据直角确定点F在圆周上运动，利用两点之间线段最短解决问题是关键．14．1或2【分析】分点D′落在对角线AC上和点D′落在对角线BD上两种情况分别进行讨论求解即可得出点F运动的距离．【详解】解：第一种情况，如图当点D′落在对角线AC上时，连接DD′，∵将矩形沿EF折叠，点D的对应点为点D′，且点D'恰好落在矩形的对角线上，∴DD′⊥EF，∵点E为线段AD的中点，∴AE =ED =ED ′，∴∠AD ′D =90°，即DD ′⊥AC ，∴EF ∥AC ，∴点F 是CD 的中点，∵在矩形ABCD 中，AB =2，∴CD =AB =2，∴DF =1，∴点F 运动的距离为1．第二种情况，如图当点D ′落在对角线BD 上时，作FH ⊥AD 于H ，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =∠C =∠ADC =90°，∴∠ADB =30°，∵EF ⊥BD ，∴∠FEH =60°，∵四边形CFHD 为矩形，∴HF =CD =2，∴tan 60HF EH ==°，∵ED =，∴FC HD DE EH ==-=∴点F 运动的距离为2+．故答案为：1或2+．【点拨】此题考查图形的折叠问题，解题的关键是掌握折叠图形的性质：对称点连接的线段被对称轴垂直平分．15．3【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO12AC=，BO=DO=162BD=，AC=BD，∠ADC=90°，∴OD=OC，∵∠BOC=120°，∴∠DOC=60°，∴△DOC是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，此时132OP OD==．故答案为：3．【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短以及30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．16．60 13【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【详解】连接PO，过D作DM AC^于M，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC Ð=°，5AB CD ==，12AD =，OA OC =，OB OD =，AC BD =，∴OA OD =，由勾股定理得：13AC =，∴ 6.5OA OD ==，∵111251322V ADC S DM =´´=´´ ，∴6013DM =，∵AOD APO DPO S S S =+V V ，∴111222AO PE OD PF AO DM ´+´=´´，∴6013PE PF DM +==，故答案为：6013．【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解题关键是求出DM 长和得出PE+PF=DM ．17．【分析】由于S △PAB=S △PCD ，这两个三角形等底同高，可得点P 在线段AD 的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC 此时最小，有勾股定理可求结果．【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S\点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线18【分析】连接'DD ，利用折叠得出'AD AD =，利用矩形的性质，以及'BCD V 为等腰三角形，需要分类讨论；进一步求得结论即可．【详解】①当''CD BD =时，如图连接'DD ，由折叠性质，得'AD AD =，'DAE D AE Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \=，90ABC DCB Ð=Ð=o ，'BCD QV 为等腰三角形，''D B D C \=，''D BC D CB Ð=Ð，''DCD ABD \Ð=Ð，在'DD C V 和'AD B V 中，''''DC AB DCD ABD CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，'DD C \V ≌'AD B V ，''DD AD \=，''DD AD AD \==，'ADD \V 是等边三角形，'60DAD \Ð=o ，30DAE \Ð=o ，12DE AE \=，设DE x =，则2AE x =，222(2)4x x -=，解得：x =，即DE =；②当'CD CB =时，如图连接AC ，又题意可知'4AD =，'4CD =，而44AC ==>+；故这种情况不存在；③当'BD BC =时，如图过'D 作AB 的垂线，垂足为F ，延长'D F 交CD 于G ，∵AD'BD'=，'D F AB ^，∴AF BF =，从而由勾股定理求得' D ==，又易证'~'AD F D EG V V ，设DE x =，'D E x =，∴D'E D'GAD'AF=，即4x=解得x=；．【点拨】此题考查翻折变换，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质，证得三角形全等是解决问题的关键．19．163或487【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理可求出AE的长，设PD¢＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△APD¢是直角三角形时，分两种情况：①当∠AD P¢＝90°，②当∠APD¢＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果．【详解】∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝6，∴AE10==，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D¢处，∴PD¢＝PD，设PD¢＝PD＝x，则AP＝12﹣x，当△A PD¢是直角三角形时，①当∠AD P¢＝90°时，∴∠AD P¢＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD¢＝∠AEB，∴△ABE∽△PD A¢，∴AP PDAE AB¢=，∴12108x x-=，解得：x＝163，即PD＝163；②当∠APD¢＝90°时，∴∠APD¢＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD¢∽△EBA，∴AP PD BE AB¢=，∴1268x x-=，解得：x＝487，即PD＝487；综上所述，当△APD¢是直角三角形时，PD＝163或487．故答案为：163或487．【点拨】题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键．20．2【分析】答题空1：ED平分∠FEC时，证出V CDE是等腰直角三角形，得出DE=CD=2，求出AE=AD-DE=2即可；答题空2：过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出V EFH≌V EDC，进而利用勾股定理解答即可．解：答题空1∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，∵四边形CEFG是正方形，∴∠FEC =90°，∵ED 平分∠FEC ，∴∠CED =45°，∴V CDE 是等腰直角三角形，∴DE =CD =2，∴AE =AD -DE =2，即当AE =2时，ED 平分∠FEC ；故答案为：2；答题空2过F 作FH ⊥ED 垂足为H ，如图所示：∵四边形CEFG 是正方形，∴EF =EC ，∠FEC =∠FED +∠DEC =90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FHE =∠D=90°，∠FED +∠EFH =90°，∴∠DEC =∠EFH ，且EF =EC ，在V EFH 和V EDC 中，FHE D EFH DEC EF EC ÐÐìïÐíïî＝＝＝∴V EFH ≌V EDC （AAS ），∴EH =DC =2，FH =ED ，∴由勾股定理得：AF，∴当AE=1时，AF的最小值为故答案为：【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理解三角形等知识；关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．21．【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE==,即PA+PD的最小值为．故答案．【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．222【分析】以AB 为直径在矩形作圆O ，证出点P 在圆O 上，连接OC ，由矩形的性质得出90OBC Ð=°，122OB BC OB AB ^==，，由勾股定理求出OC ==，当P 在OC 与圆O 的交点时，PC 最小2-；当PC 与OP 垂直时，PC 是圆O 的切线，PC=BC=3，由勾股定理求出AC=5，得出25PC -£<，即可得出答案．解：以AB 为直径作圆O ，90APB Ð=°Q ，\点P 在圆O 上，连接OC ，Q 四边形ABCD 是矩形，90OBC \Ð=°，122OB BC OB AB ^==，，\OC ==，当P 为OC 与圆O 的交点时，PC 最小2-；当PC 与OP 垂直时，PC 是圆O 的切线，PC=BC=3，5AC ==Q 25PC -£<，\线段PC 2-．【点拨】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、切线长定理等知识，熟练掌握矩形的性质，求出PC 的取值范围是解题的关键．23．4+【分析】将BPC △绕点B 顺时针旋转60o 得到''BP C V ,连接''PP CC 、，从而将PE PB PC ++转化到PE PP P C ¢¢¢++，当点E P P C ¢¢、、、在同一条直线上时，PE PB PC PE PP P C ¢¢¢++=++取得最小值.【详解】如图，将BPC △绕点B 顺时针旋转60o 得到''BP C V ,连接''PP CC 、则''BPP BCC V V 、都是等边三角形∴,BP PP PC P C =¢=¢¢∴PE PB PC PE PP P C ¢¢¢++=++作C N AD ¢^,交BC 与点M ，如图所示;当点E P P C ¢¢、、、在同一条直线上时，PE PB PC PE PP P C ¢¢¢++=++取得最小值//,AD BC C N AD¢^Q C M BC\¢^∵BCC ¢V 是等边三角形13,62BM BC BC BC \=¢=¢==MC \¢=4C N C M M N \¢=¢+=∴PE PB PC ++的最小值是4故答案为：4【点拨】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解.24．当4t s =时，四边形APQD 是矩形【分析】根据题意表示出AP=4t, DQ=20-t; 根据菱形的对边相等, 求出的值, 即可解决问题.【详解】由题意得：4AP t =，20DQ t =-；∵四边形APQD 是矩形，∴AP DQ =，即420t t =-，解得：()4t s =．即当4t s =时，四边形APQD 是矩形．【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质.25．52或53【分析】过点D ¢作MN AB ^，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD ¢，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．解：如图，过点D ¢作MN AB ^，交CD 于点N ，交AB 于点M ，连接BD ¢．∵点D 的对应点D ¢恰落在ABC Ð的平分线上，∴D M BM ¢=，设BM D M x ¢==，则7AM x =-．由折叠知，5DA D A ¢==．在Rt D AM ¢D 中，222D M D A AM ¢¢=-，∴2225(7)x x --=，∴3x =或4x =，即3D M ¢=或4D M ¢=．设DE m =，则D E m ¢=，分两种情况讨论：（1）当3D M ¢=时，3BM NC ==，2D N ¢=，734EN CD DE NC m m =--=--=-．在Rt D NE ¢D 中，222(4)2m m =-+，∴52m =，即52DE =．（2）当4D M ¢=时，4BM NC ==，1D N ¢=，743EN CD DE NC m m =--=--=-，在Rt D NE ¢D 中，222(3)1m m =-+，∴53m =，即53DE =．综上，DE 的长为52或53．【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.26．（1）详见解析；（2）C E CG =+，理由详见解析.【解析】【分析】作出辅助线，得到EN=EM ，然后判断∠DEN=∠FEM ，得到△DEM ≌△FEM ，则有DE=EF 即可；根据四边形的性质即全等三角形的性质即可证明()ADE CDG SAS D @D ，即可得在Rt ABC D 中AC AE CE =+=，则C E CG =+【详解】证明：（1）过E 作EM BC ^于M 点，过E 作EN CD ^于N 点，如图所示：Q 正方形ABCD ，,9045BCD ECN °°\Ð=Ð=，90EMC ENC BCD °\Ð=Ð=Ð=，且NE NC =，\四边形EMCN 为正方形Q 四边形DEFG 是矩形，，.EM EN \=，90DEN NEF MEF NEF °Ð+Ð=Ð+Ð=DEN MEF\Ð=Ð又90DNE FME °Ð=Ð=，在DEN D 和FEM D 中，DNE FME EN EMDEN FEM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()DEN FEM ASA \D @D ，ED EF \=，\矩形DEFG 为正方形，（2）Q 矩形DEFG 为正方形，DE DG \=，90EDC CDG °Ð+Ð=Q 四边形ABCD 是正方形，AD DC \=，90ADE EDC °Ð+Ð=，ADE CDG \Ð=Ð，在ADE D 和CDG D 中，AD CD ADE CDG DE DG =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE CDG SAS \D @D ，AE CG \=，\在Rt ABC D中，AC AE CE =+=，C E CG \=+【点拨】本题考查正方形的判定与性质，解题关键在于证明()ADE CDG SASD @D .27．（1）∠CQP ＝30°；（2）x ＝；（3）①22(018x y x x <=+-<<…，②=x 【分析】（1）由于PQ 与BD 平行，∠CQP ＝∠CDB ，因此只需求出∠CDB 的度数即可．可在直角三角形ABD 中，根据AB ，AD 的长求出∠ABD 的度数，由∠CQP ＝∠CDB ＝∠ABD 即可得出∠CQP的度数；（2）当R 在AB 上时，三角形PBR 为直角三角形，且∠BPR ＝60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR ＝CP ＝x ，然后用x 表示出BP 的长，在直角三角形可根据∠RPB 的余弦值得出关于x 的方程即可求出x 的值；（3）①要分两种情况进行讨论：一、当R 在AB 或矩形ABCD 的内部时，重合部分是三角形PQR ，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP 的面积来得出，在直角三角形CQP 中，已知了∠CQP 的度数，可用CP 即x 的值表示出CQ 的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y ，x 的函数关系式；二、当R 在矩形ABCD 的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ ，RP 与AB的交点分别为E 、F ，那么重合部分就是四边形EFPQ ，它的面积＝△CQR 的面积﹣△REF的面积．△CQR 的面积在一已经得出，关键是求△REF 的面积，首先要求出的是两条直角边RE ，RF 的表达式，可在直角三角形PBF 中用一的方法求PF 的长，即可通过RP ﹣PF 得出RF 的长；在直角三角形REF 中，∠RFE ＝∠PFB ＝30°，可用其正切值表示出RE 的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF 的面积．进而得出S 与x 的函数关系式；②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x 的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x 的值是否符合题意．【详解】解：（1）如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ．又AB ＝9，AD ＝，∠C ＝90°，∴CD ＝9，BC ＝．∴tan ∠CDB ＝BC CD =，∴∠CDB ＝30°．∵PQ ∥BD ，∴∠CQP ＝∠CDB ＝30°；（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ ≌△CPQ ，∴∠RPQ ＝∠CPQ ，RP ＝CP ．由（1）知∠CQP ＝30°，∴∠RPQ ＝∠CPQ ＝60°，∴∠RPB ＝60°，∴RP ＝2BP ．∵CP ＝x ，∴PR ＝x ，PB ＝x ．在△RPB 中，根据题意得：2（﹣x ）＝x ，解这个方程得：x ＝；（3）①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，0x <£，21122CPQ S CP CQ x x D =´´==，∵△RPQ ≌△CPQ ，∴当0x <£时，2y x =当R 在矩形ABCD 的外部时（如图2），x <<，在Rt △PFB 中，∵∠RPB ＝60°，∴PF ＝2BP ＝2（x ），又∵RP ＝CP ＝x ，∴RF ＝RP ﹣PF ＝3x ﹣在Rt △ERF 中，∵∠EFR ＝∠PFB ＝30°，∴ERx ﹣6．∴S △ERF ＝12ER ×FR2﹣18x，∵y ＝S △RPQ ﹣S △ERF ，∴当x <<时，y ＝x 2+18x ﹣综上所述，y 与x之间的函数解析式是：22(018x y x x <=+-<<…．②矩形面积＝9´，当0x <£时，函数2y x =随自变量的增大而增大，所以y 的最大值是，而矩形面积的727的值＝727´，而0x <<时，y 的值不可能是矩形面积的727；当x <<218x +-=解这个方程，得x =±，因为>，所以x =所以x =．综上所述，当x =时，△PQR 与矩形ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727．【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质和二次函数的综合应用，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质和二次函数的综合应用，注意的是（3）中要根据R点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．28．（1）四边形BEGF是菱形，证明见解析；（2）四边形BEGF面积的最大值为20.【分析】（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．【详解】（1）四边形BEGF是菱形，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∵把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，∴∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，∴∠DEF＝∠GFE，∴EG＝FG，∴EG＝BF，且AD∥BC，∴四边形BEGF是平行四边形，且BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，（2）∵四边形BEGF是菱形，∴BE＝EG，∵S＝EG×AB＝4EG，四边形BEGF∴当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，。