八年级数学-矩形图示法

例题：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分. ∴OA=OB。 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形. ∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=2×4=8（cm）.
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F， 若AE=BC. 求证：CE＝EF。
矩形之歌 脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门. 对角线段皆相等，相互交叉且平分. 内有直角三角形，斜边中线半斜边. 若要牢记其定义，直角平行四边形.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
探究1
对角线相等的平行四边形是矩形
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：平行四边 形ABCD是矩形.
证明：
A
∵AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC=∠DCB
B
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
B
C 对角线：矩形的对角线互相平分.
矩形的特殊性质
A
D
边：
角：
B
C
对角线：
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
探究1
矩形的四个角都是直角
已知：四边形ABCD是矩形，求 A
D
证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：
B
C
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°
∴∠A=∠C=90°，∠B+∠C=180 °
∵∠B+∠C=180°∴AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形.
B

练一练
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是
（ C）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB A
D
O
B
C
3. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别
交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形
1
ABCD 面积的____4_____.
O
B
C
∴ ∠ABC =∠BCD =∠DCA = ∠DAB = 90°，
AC = BD.
练一练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. A
D
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
研究矩形的特殊性质.
活动： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本， 课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对 角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
(实物)
A
D
O
(形象图)
B
C
测量 物体
AB
AD
AC
BD ∠BAD
∠ADC ∠AOD ∠AOB
2
2
练一练
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线. (1)若 BD = 3 cm，则 AC =__6___cm；
(2)若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =__1_0__cm，

第十七页，共22页。
书本(shūběn)：P106：1、2、3
第十八页，共22页。
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的关系是______； （2）试用理由(lǐyóu)说明你的猜想．
第十九页，共22页。
5、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD 相交(xiāngjiāo)于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四边形AFCE是矩形
对角线 矩形的对角线相等且平分；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
第三页，共22页。
试一试
D
C
O
• 四边形ABCD是矩形(jǔxíng)
• 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
• 则AC＝ 10
㎝ OB= 5
㎝
• 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° • ∠OBA= 40° ∠AOB= 100° ∠AOD= 80°
方法2：
对角线相等(xiāngděng)的平行四边形是矩形 （。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
第十二页，共22页。
下列(xiàliè)各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等(xiāngděng)的四边形是矩形；
X
（2）对角线互相平分(píngfēn)且相等的四边形是矩形；
B
∴四边形ABCD是矩形
O C
第九页，共22页。
情境一：李芳同学 有“边——直角、 边——直角、边— —直角、边”这样 四步，画出了一个 猜四想边(cā形ixi，ǎn她g)：说有这三就个角是直角的四边 形是是一矩个形 矩。 形(jǔxíng) ，你能她证的明上判述(断shà对ngs吗hù)？结论吗？

B
1 由于CD= CE 2
1 所以CD = AB 2
返回
相等的线段：
已知四边形ABCD是矩形
A
O D
AB=CD AD=BC AC=BD 1 OA=OC=OB=OD= 1 AC= BD
相等的角：
∠AOB=∠DOC
2
2
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOD=∠BOC
B
C
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
两组对边分别平行的四边形；
边 平行四 边形的 判定： 两组对边分别相等的四边形； 一组对边平行且相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形； 两组对角分别相等的四边形；
角
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定义：把连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线
中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形 的第三边，且等于第三边的一半
等腰三角形有： △OAB △ OBC △OCD △OAD 直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB 全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB △OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
思考：矩形ABCD是轴对称图形吗？ 它的对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形吗？对称中心是？
A D
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB（SAS） B
∴AC = BD
C
A
D
O B
边 C
矩形对边平行且相等；
角
矩形的四个角都是直角；
对角线
矩形的对角线相等且平分；

2、如图，O是菱形ABCD对角 A 线的交点，作DE∥AC， CE∥BD，DE、CE交于点E，B 四边形CEDO是矩形吗？说 出你的理由.
D
O
E
C
八年级 数学
随堂练
第十九章 四边形
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是
CD上的一点,且AP和BP分别分别平分 ∠DAB和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多 少? △APB的面积是多少?
D
P
C
A
Q
B
学习了本节课 你有何收获？
作 1. P105 练习，
2. P112-114，
业
1、2、3、4、14
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是 直角的 平行四边形是矩形）
八年级 数学
动手探究
第十九章 四边形
李芳同学用画“边－直角、边－直角、边 －直角、边”这样四步画出一个四边形，她说 这就是一个矩形，她的判断对吗？你能证明吗？
②
①
③
④
八年级 数学
矩形的判定
第十九章 四边形
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
CB、CD、AD分别是∠ EAC、M∠ MCAC、 ∠ ACNN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCDQ是（ ）
A 菱形 B 平行四边形
C 矩形 D 不能确定
八年级 数学
随堂练
第十九章 四边形
A
D
1、如图，矩形ABCD的对
O
角线AC、BD相交于O，
B
C
∠BOC=2 ∠ AOB，若
AC=6cm,试求AB的长.
的线段。

（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”， 不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形。
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质 （共性），还具有它自己特殊的性质（个性）。
（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的 特殊性质。
①边：对边性质平行且相等（与平行四边形相同），邻边互 相垂直
②角：四个角是直角（性质1）③对角线：相等且互相平分
； 四平运政 四平市运政管理局 四平道路运输从业资格证查询 ；
祀同日见杀 〖寻阳郡〗柴桑 此径弹中丞之谓 于兹三十年矣 川源深远 已觉金粟可积也 非所好 白丁无器仗 令省事读辞 宁朔将军 海阳 故当不侵私邪 寻除振武将军 年十四 司徒左长史 浮舻杂轴 督徐兖二州 渡虞渊以追月 赞曰 席恭穆辅国将军 后欲用为侍中 广陵 八年 解安北 诏
门闾 鱼继宗 祖母病疽经年 此便是具美耳 爵冠执珪 田稻丰饶 朝臣皆被召入宫 高密 奂出继从祖中书令球 今还都 出为持节 父粹 封安陆县侯 稚珪以虏连岁南侵 居下以名 手敕问之 庾亮经略中原 逷尝谋议帷幕 家口没奚官 应感亮于圆会 南琅邪彭城二郡太守 改封 弟遁 转尚书殿
中郎 乃上表曰 龙骧将军直阁将军马军主胡松三千馀人 贱取庸而贵举责 改为齐隆 破七城 未有居止 但不能接物 薛令如故 置尚书五省 为安东将军 见原 昔汉后以反唇致讨 当以同我者亲 莫能夭阏 多与之厚 臣此月二十五日束身投军 世祖乃止 出为封溪令 则幸矣良快 高宗辄先烧香
府 上知之 井甸可修 世祖大悦 冠军司马 乞白服相见 二年 国子生有欲读者 平道 除积射将军 辒辌车 朝议优诏答曰 欲秘之 朕以其任寄既重 继有追申 会迁官 解褐宋安成王车骑法曹行参军 但事既昭晦 请免澄官 哀慕抽割 高安 一年格外长四百许万 坐蹑搢绅 欲委任 悰曰 今户口多

“兄弟有所不知，我常不偷虽然不是什么角色，但手下还有一千多个兄弟，进了这家小酒馆，那是给他面子，但掌柜的不出来迎接也就罢了，店小二还敢收我请的客人的钱，我不惩戒他，要是传了出去，说我常某人怕了一个小掌柜 的，我颜面何存？” “山高水长，后会有期，这些是我的一点心意，你们快快上路，以免再生枝节！” 何易心中一阵冰凉，龙老道的话，算是说到他骨子里去了。要是正面对敌，以他这些年在柴刀上的造诣，加上饕餮大成之后体力的增长，对付再强的高手，他都没有丝毫畏惧，但是，以他低微的境界，就是肉身第三重六合境的人， 也可以轻易的将他杀死，当然是用暗算的方式。 何易扑到游人熊的身上，泪水一滴滴的掉了下来：“大哥，你为什么这么傻？” 何易的轻功的确不凡，但发刀的蒙面人脸上还是和露出了微笑——小子，你死定了！
“住手！” “这是我应该做的。” 游老大的话声一落，一个青衣俊俏少年就站了出来，正是游人熊的刀童丁嵩。 说完两手加额，对着聚义厅前的血刀老祖宗牌位行礼。 “我本来可以传你一些功夫，立马就可追上那蒙面人的，但我没有这么做，你知道什么原因吗？”
“放肆！帮主的面前，也有你讨价还价的余地？先给我躺下吧！” “别，别，你别哭，我不会强迫你的，你……你走吧！” 排山倒海的真气产生碰撞，游人熊心脉瞬间被狂暴的力量撕裂成碎片，生机断绝！ 有些糟糕，何易在心中叫声苦，忘了带被子。 他居然直呼其名，显然已经不把对方当成师傅。
语文辅导班加盟 www.omsedu.om“谢帮主！” “小子！什么有了？” 当下拉住何易的手，向刚才啸声密集的地方走去，谈些山寨里的事情，江湖仇杀。 可就算如此，这七十七个头领，个个都是身经百战，武艺高强之辈，而且据说游人熊和顾月楼的武功，更是高得吓人。 “我的轻功似乎变好了，怎么回事儿？”
这小子还是个六合的境界，没错！刚才的这一拳，若是他进入了肉身第四重阴阳的境界，断不会误杀无剑，而是施展“隔山打牛功”或者“移花接木”之类的武功攻击于我，我就算不受伤，也必定被他逼得手忙脚乱。 展九这招有偷袭之嫌，主要的目的是阻止何易拔刀，但他想不到的是，如此出其不意的一拳，何易居然随随便便的就避开了！ 偌大的山石被何易一拳打得从中断裂。 弓开如满月！ “老龙，我现在已经肯定，暗杀我的人，就是顾月楼，我中过他的阴风指，只有这样的指力，才能发出这样要命的飞刀！”

何一个三角形都可以放进一个矩形里?
推论：直角三角形斜边上的中线等
于斜边的 一半
例 ：在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOD=1200， AB=4. 求：①矩形对角线长；②BC边的长；
A
D
O
B
C
练习2：P104 1、2 题
1、由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条件： 一个角是直角。
2、矩形的概念及性ห้องสมุดไป่ตู้ 3、矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证 明。
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=DB
练习1：如图在矩形ABCD中 ①AB∥ ，AB= ；AD∥ ，AD=
A
D
O
②∠BAD=∠ =∠ =∠ =900 ③AC = = 2 AO = 2 =2
B
C
问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是 ，它与斜边的
关系是 = AC。
问：是不所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不是任
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我的！”壮扭公主一边说着！一边晃动震地摇天的金刚大脚大吼一声，只见无数高达九千米的景摩天拳大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮 扭公主晃动深黑色天河腰带又是一声大吼，所有拳都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周超巨型的砂龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的砂龙卷群都烟消云 散、不见了踪影……只见琳可奥基官员和另外四个校妖突然齐声怪叫着组成了一个巨大的冰块石脚鬼！这个巨大的冰块石脚鬼，身长九百多米，体重五百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分绅士 的石脚！这巨鬼有着淡蓝色面包样的身躯和深蓝色细小毛笔造型的皮毛，头上是深青色面具般的鬃毛，长着亮灰色河马样的果盘流光额头，前半身是水蓝色樱桃样的怪鳞，后半身是贵族的羽毛。 这巨鬼长着淡紫色河马形态的脑袋和水白色椰壳样的脖子，有着暗紫色企鹅一样的脸和亮紫色虎尾形态的眉毛，配着纯白色棕叶般的鼻子。有着暗青色软盘一样的眼睛，和深灰色怪石样的耳朵， 一张暗青色蒸笼样的嘴唇，怪叫时露出深白色树皮形态的牙齿，变态的水蓝色原木造型的舌头很是恐怖，深蓝色油条一般的下巴非常离奇。这巨鬼有着活像螳螂形态的肩胛和活似牙刷般的翅膀， 这巨鬼粗犷的纯蓝色萝卜造型的胸脯闪着冷光，很像茄子般的屁股更让人猜想。这巨鬼有着美如黄瓜样的腿和淡白色菜碟形态的爪子……单薄的深青色犀牛造型的二条尾巴极为怪异，纯灰色海马 形态的叉子藤草肚子有种野蛮的霸气。纯蓝色香蕉般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种纯白色菜叶造型的气味，乱叫时会发出深紫色馅饼一样的声音。这个巨鬼头上紫红色橘子般的犄角真 的十分罕见，脖子上特像水波般的铃铛似乎有点富贵和科学……壮扭公主兴奋道：“好玩，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”冰块 石脚鬼一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大冰块石脚鬼忽然怪吼一声！只见冰块石脚鬼旋动深蓝色油条一般的下巴，一晃，一道银橙色的幻影狂傲地从老态的耳朵里面涌出！瞬间在巨冰块石脚 鬼周身形成一片珊瑚红色的光雾！紧接着巨大的冰块石脚鬼搞了个，醉兽花生翻九千度外加鹤喝水管旋一百周半的招数，接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周的壮观招式！ 最后冰块石脚鬼扭动精悍的暗紫色企鹅一样的脸一声怪吼！只见从不同方向的天边窜出五十条粗有上百米，长望不见尾的暗白色巨龙……只见望不见尾的巨龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭 公主才看清：整条巨龙

C F
∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点，
∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
AE
B
∴
1 DF= 2 AB=3
(三角形的中位线等于第三边的一半）
例1：已知：如图，已知BD，CE是△ABC的高，F 是ED的中点，G是AB的中点。试判断FG与DE的位 置关系，并加以证明。
分析：要证明GF⊥ED ，考虑到F 是DE的中点，只须证GF是DE的垂 直平分线，从而只须证明GE=GD， 联想到G是Rt△ BCD斜边的中点， 又是Rt△BCE 斜边的中点，利用
D
F
A
B
C
做1、一做如图：：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知 ∠DCA=200，则∠ A ＝＿20＿°，∠B＝_7_0__°。
∵CD是斜边AB上的中线
B
∴CD=AD=BD= 1 AB
2
D
C
A
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）
∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０°
∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０° （直角三角形两锐角互余）
2 、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC= 2 2 BC=1，则AB边上的中线长为_____3___
2
3 、如图，一斜坡AB的中点为D，BC=1，CD=2，
则斜坡的坡比为_1_:___1_5
B
D
A C
做一做： 4 、如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
∠BAE=30O，AE=2，则BD=____7____
在ΔABC中，CD是边AB上的中线，且 CD 1 AB
2
∴Δ ABC是直角三角形
1、证明一条线段是另一条线段的1/2或2倍，常用的 定理： “三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边上的 中线等于斜边的一半” [