统计学第四章

第四章 差异量教学目的:1、理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差与差异系数等概念;2、掌握各种差异量指标的计算方法。

数据的分布特征不仅有集中趋势,还有离中趋势。

以动态的眼光,从不同的角度瞧,数据就是向中间变动的,也就是向两端变动的。

两组数据可能平均水平相同,但两组数据的分布特征并不完全相同。

【如】:比较下列两组数据 A 组:88、82、73、76、81 B 组:92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15,R Ｂ=92－70＝22。

即A 组较集中,B 组较分散。

因此,我们描述一组数据的分布特征,既要描述其集中趋势,也要描述其离中趋势。

差异量:表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。

常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差与差异系数。

第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距:就是一组数距中最大值与最小值之差。

优点:意义明确,计算方便。

缺点:反应不灵敏,易受极端值影响。

二、四分位距(一)四分位距的的概念四分位距:就是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。

）（1.4213Q Q QD -=QD :表示四分位距; Q 3:表示第三四分位数; Q 1:表示第一四分位数。

所以:四分位距的公式又为:22575P P QD -=(二)四分位数的计算方法 1、原始数据计算法 (1)将数据由小到大进行排列; (2)分别求出三位四分位数(点); (3)代入公式计算。

【例如】:有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30,其中四分位距的计算方法如下:(1)先将原始数据从小到大排列好;12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40 Q 1=18 Md =27 Q 3=34(2)求出Q 1、Md 、Q 3;(3)将Q 1、Md 、Q 3的得数代入公式(4、1)。

821834=-=DQ 2、频数分布表计算法 利用频数分布表计算公式为:）（2.422575P P QD -=关键就是分别计算P 75与P 25,百分位数计算方法掌握了,这里的计算就不会有什么问题。

(三)优缺点优点:意义明确,不受极端值影响。

缺点:反应不灵敏。

三、百分位距百分位距:就是指两个百分位数之差。

常用的百分位距有两种:P 90－P 10与P 93－P 7 优点:意义明确,不受极值影响。

缺点:反映不灵敏。

第二节 平均差一、平均差的概念平均差:就是指每个数据与本组数据的平均数(或中位数)之差的绝对值的算术平均数(用MD 表示)。

二、平均差的计算方法1、原始数据计算法 公式为:)(||||3.4⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=∑∑N Md X MD NX X MD 或【如】:求88、82、73、76、81的平均差。

4.45808180768073808280888058176738288|)||||||||(|||)(=÷-+-+-+-+-=∑-=∴=÷++++=∑=NX X MD NXX：解 2、频数分布表计算法 公式为:.)(||4.4为各组组中值：c cX NX Xf MD ∑-=【例】:求表4、1中30数据的平均差。

表4、130个分数的频数分布表分数 60— 70－ 80－ 90－ 频数 5 12 10 3 组中值657585957.7830953851075126551=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=N fX X c ）（解：5.7307.789537.7885107.7875127.78655)2(|)|||||||(||=÷-⨯+⨯+-⨯+-⨯=∑-=-NX X f MD c 三、平均差的优缺点优点:意义明确,反应灵敏。

缺点:不适合代数运算。

第三节方差与标准差一、方差与标准差的概念1、方差:就是一组数据离差平方的算术平均数(用2x σ表示)。

定义公式为:)()(5.422NX X x ∑-=σ。

：；：为离差平方和为离差2)(∑--X X X X2、方差的方根即标准差)()(6.42NX X x ∑-=σ例:求72,78,80,86的方差与标准差 解:(1)求算术平均数79486807872=+++==∑NX X(2)求方差254)7986()7980()7978()7972()(222222=-+-+-+-=-=∑NX X xσ(3)求标准差5252===x x σσ※:标准差的值越大,说明数据越分散。

二、方差与标准差的计算方法 1、原始数据计算法)()(.)(222222222222NXX NX N X N X N X X N X NX N X X N X NXX X X N X X x ∑=∑-∑=-∑==∑+⋅-∑=∑∑∑+⋅-=∑-=ΘΘ）（σ所以得:)()()()(8.47.422222NX N X NX N X x x∑-∑=∑-∑=σσ【例】:计算80、78、84、80、72的方差与标准差。

解:9.336.1536.15572808478802722802842782802222])[(5)(===÷-=∑-∑=-+++++++x xN X N X σσ）（2、频数分布表计算法 公式为:)()()()(10.49.422222NfX N fX N fX N fX c cx c c x∑-∑=∑-∑=σσ。

：；：；：；：个数据的和为个数据的平方和为为组频数为组中值f fX f fX f X c cc 2例题:参瞧教材48。

三、方差与标准差的优缺点:优点:严密确定,反映灵敏,适合代数运算。

缺点:不太容易理解,易受两极端值影响。

第四节相对差异量一、相对差异量的概念平均差、方差、标准差等都带有单位,就是绝对差异量。

常常不能对不同组的数据差异直接比较。

差异系数:也叫相对差异量,就是指同一组数据的标准差与算术平均数的百分比(用CV 表示)。

公式为:)(11.4%100⨯=XCV xσCV 值越大,表明数据离散程度越大。

二、差异系数的用途1、比较不同单位资料的差异程度。

【例题】:某班学生的平均身高为152cm,标准差为5、1cm;平均体重为47公斤,标准差为3、2公斤,问该班学生身高变异大还就是体重变异大?解:%36.3%1001521.5%100=⨯=⨯=XCV xσ：身高%8.6%100472.3%100=⨯=⨯=XCV xσ：体重得:该班学生体重变异大。

2、比较单位相同平均数差异较大的两组资料的差程度。

【如】:某班语文测验平均分为86、5分,标准差为5、5分;英语平均分为71分,标准差为5分,则:%04.7%100715%36.6%1005.865.5=⨯==⨯=CVCV 英语：语文：所以,英语成绩的变异大。

3、可判断特殊情况:一般CV 值在5%～35%之间。

，性差；即对各个数据的代表，的计算可能有误或时当可能失去意义时当x X CVX CV σ535<>第五节 偏态量与峰态量偏态量与峰态量:就是判断频数分布就是否为正态分布的统计量,就是一种粗略指标。

正态性检验常用2χ检验。

一、偏态量偏态量有两种计算方法 1、皮尔逊指数法)()()()(13.432312.40xxxMd X X Md X SK M X SK σσσ-=--=-=或当SK =0则分布就是对称形;当SK>0时,分布为正偏;当SK < 0时,分布为负偏。

【例】:某校200名学生的英语平均分为80分,中位数为82分,标差为8分,其偏态度为:解:。

分布为负偏态该校学生的英语分数的）（∴<-=-=-⨯=-=,0)(75.075.08828033SK Md X SK xΘσ2、根据动差来计算动差:就是指力与力距的乘积(力学中的概念)。

)()()()(15.414.4333333xcxNX Xf NX X σασα∑∑-=-=当3α=0时,分布对称;当3α>0时,分布就是正偏态;当3α<0时,分布就是负偏态。

计算3α时,N 应大于200、例题:参瞧教材57页。

二、峰态量峰态量:就是用于说明分布曲线高狭与低阔程度的量。

1、用两个百分位距来计算)()(216.410902575P P P P K u --=当Ku =0、263时,分布就是正态峰;当Ku <0、263时,分布为高狭峰;当Ku >0、263时,分布低阔。

表4、1 小学二年级80个学生身高的四分位距计算表【例题】:根据表4、1数据将计算出的P 75=132、84,P 25=126、40,P 90=135、75,P 10=122、5代入 公式(4、17),则峰态量为:。

，则分布为高狭峰由于263.0243.0243.0)50.12270.135(240.12684.132<=--==u u K K2、根据动差来计算)(3][)(3][18.417.4444444-÷-=-÷-=∑∑x cx NX Xf NX X σασα）（）（当α4=0时,分布就是正态峰;当α4>0时,分布就是高狭峰;当α4<0时,分布就是低阔峰。

计算α4时,N 应大于1000,峰态系数方比较可靠。

表4、4 以平均数为原点四种动差的计算表【例题】:表4、4,10个数据的标准差为:。

，个数据的分布呈低阔峰表明由于－，则峰态系数为：，将数据代入公式1056.1392.1010/15.204552)17.4(92.100444<==-=αασx。